1
00:00:00,620 --> 00:00:05,660
Vamos a hacer el ejercicio 4 de la página 45 del libro.

2
00:00:05,900 --> 00:00:08,599
En todo caso, os muestro aquí el enunciado.

3
00:00:08,720 --> 00:00:10,000
Da igual si no tenéis el libro.

4
00:00:11,199 --> 00:00:22,800
Dice, hallar mentalmente, sin operar, el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los siguientes pares de polinomios.

5
00:00:23,140 --> 00:00:24,879
Bien, tenemos estos polinomios.

6
00:00:25,660 --> 00:00:29,359
En fin, que sea uno operando es relativamente anecdótico.

7
00:00:29,359 --> 00:00:33,619
Lo que me interesa es que sepamos calcularlo y lo voy a...

8
00:00:33,619 --> 00:00:41,539
Entonces os propongo que lo hagáis primero, paráis este vídeo, lo hacéis en base a lo explicado anteriormente

9
00:00:41,539 --> 00:00:44,399
y luego continuéis con el vídeo para la explicación.

10
00:00:44,600 --> 00:00:50,299
Pero os propongo que lo hagáis sin ver esta explicación que viene a continuación.

11
00:00:51,759 --> 00:00:55,479
Bien, entiendo que ya habéis intentado el ejercicio y paso a explicarlo.

12
00:00:55,479 --> 00:01:01,100
Tenemos que calcular en este caso el mínimo común múltiplo

13
00:01:01,100 --> 00:01:09,040
El mínimo común múltiplo de el polinomio x cuadrado menos 1 y x más 1 al cuadrado

14
00:01:09,040 --> 00:01:10,920
Pues bien, mentalmente ¿qué hacemos?

15
00:01:11,079 --> 00:01:15,079
Pues digo, bueno, x cuadrado menos 1 lo puedo factorizar mentalmente

16
00:01:15,079 --> 00:01:19,680
Es x cuadrado x más 1 por x menos 1

17
00:01:19,680 --> 00:01:23,040
Algo sabido, aplicando los productos notables al revés

18
00:01:23,040 --> 00:01:24,719
Este de aquí ya está factorizado

19
00:01:24,719 --> 00:01:31,379
Entonces, ¿cómo hacemos el mínimo común múltiplo? Pues tomando los comunes y no comunes al mayor exponente.

20
00:01:31,540 --> 00:01:38,239
A ver, lo que se repiten es x más 1, pero aparece aquí al cuadrado, por tanto, tomaríamos x más 1 al cuadrado.

21
00:01:40,519 --> 00:01:46,060
Perdón, pues sí, para el máximo común, estoy haciendo el mínimo común múltiplo, ¿de acuerdo?

22
00:01:46,140 --> 00:01:51,140
Entonces, tomaríamos x más 1 al cuadrado y finalmente x menos 1, que es el que no se repite.

23
00:01:51,659 --> 00:01:54,939
Y así obtenemos este resultado, ¿de acuerdo?

24
00:01:54,939 --> 00:02:19,750
Para el máximo común divisor, ¿cómo se hacía? Pues tomamos los comunes al menor exponente, y claro, los comunes al menor exponente, en este caso son x más 1 sin elevar al cuadrado, que es al menor exponente, aquí lo tenemos, porque aquí aparece al cuadrado.

25
00:02:19,750 --> 00:02:25,569
Por tanto, el máximo común divisor será x más 1, ¿de acuerdo?

26
00:02:25,669 --> 00:02:31,370
Hacemos el b, por ejemplo, pues factorizarmos este polinomio y luego este.

27
00:02:32,750 --> 00:02:38,289
Rápidamente se factoriza porque se hace sacando factor común en este caso, ¿no?

28
00:02:39,069 --> 00:02:44,629
Y nos quedaría x por x más 1 y aquí sería x por x menos 1.

29
00:02:44,629 --> 00:02:49,990
Bien, para el MCD, el máximo común divisor, tomamos los comunes al menor exponente.

30
00:02:50,090 --> 00:02:54,750
¿Cuál se repite? Pues x. Por eso el MCD es x.

31
00:02:55,050 --> 00:03:00,449
Y para el MCM, pues, tomamos los que se repiten y los que no se repiten al mayor exponente.

32
00:03:00,810 --> 00:03:04,449
En este caso es x por x más 1 por x menos 1.

33
00:03:05,349 --> 00:03:07,349
¿Se ve? Es sencillo.

34
00:03:07,710 --> 00:03:12,990
Al final es seguir la regla del cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de números.

35
00:03:12,990 --> 00:03:16,689
lo mismo pero adaptado a los polinomios

36
00:03:16,689 --> 00:03:19,490
por ejemplo, veamos en este caso

37
00:03:19,490 --> 00:03:23,990
el de el apartado C

38
00:03:23,990 --> 00:03:26,930
pues sería, factorizamos este polinomio

39
00:03:26,930 --> 00:03:31,449
que nos queda x por x cuadrado menos 1

40
00:03:31,449 --> 00:03:34,810
que por cierto es x más 1 por x menos 1

41
00:03:34,810 --> 00:03:35,509
¿de acuerdo?

42
00:03:36,289 --> 00:03:38,650
rápidamente, podríamos verlo

43
00:03:38,650 --> 00:03:50,550
es x más 1 por x menos 1 y este de aquí pues sería x más 1 por x menos 1 vemos que está repetido esto

44
00:03:50,550 --> 00:03:59,770
así que va a ser sencillo el mcd máximo común divisor sería tomando los comunes al los comunes

45
00:03:59,770 --> 00:04:02,530
al menor exponente

46
00:04:02,530 --> 00:04:04,569
y por tanto sería

47
00:04:04,569 --> 00:04:07,689
x menos 1 por x más 1

48
00:04:07,689 --> 00:04:08,810
aquí lo tenemos

49
00:04:08,810 --> 00:04:09,969
el máximo común divisor

50
00:04:09,969 --> 00:04:11,870
es x más 1 por x menos 1

51
00:04:11,870 --> 00:04:13,770
porque son los que se repiten nada más

52
00:04:13,770 --> 00:04:16,290
y para el mínimo común múltiplo

53
00:04:16,290 --> 00:04:18,350
sería tomando los que se repiten

54
00:04:18,350 --> 00:04:19,990
y los que no se repiten

55
00:04:19,990 --> 00:04:22,250
siempre al mayor exponente

56
00:04:22,250 --> 00:04:23,470
que en este caso es

57
00:04:23,470 --> 00:04:26,410
x por x menos 1 por x más 1

58
00:04:26,410 --> 00:04:27,410
aquí lo tenemos

59
00:04:27,410 --> 00:04:28,430
¿de acuerdo?

60
00:04:28,430 --> 00:04:53,730
Bien, para hacer el apartado de, pues os lo dejo ahí, bueno, simplemente observar una cuestión importante, x más 1 al cuadrado no se puede factorizar, rápidamente si resolvéis mentalmente esta operación, esta ecuación, veis que no tiene solución, te obliga a hacer una raíz de un número negativo, y por tanto no tiene solución en el campo de números reales.

61
00:04:53,730 --> 00:04:58,209
Bien, pues lo que decíamos es que ya está factorizado

62
00:04:58,209 --> 00:05:00,149
Este polinomio no se puede factorizar

63
00:05:00,149 --> 00:05:02,149
Y este también está factorizado

64
00:05:02,149 --> 00:05:04,209
Entonces para el máximo común divisor

65
00:05:04,209 --> 00:05:07,370
Pues tomaremos los comunes al menor exponente

66
00:05:07,370 --> 00:05:09,170
Pero no hay comunes, así que es 1

67
00:05:09,170 --> 00:05:11,910
Y para el mínimo común múltiplo

68
00:05:11,910 --> 00:05:15,310
Pues tomamos los comunes y no comunes al mayor exponente

69
00:05:15,310 --> 00:05:19,329
Como no se repiten, pues lo ponemos tal cual es

70
00:05:19,329 --> 00:05:27,939
En fin, ahora propondría hacer el ejercicio 5 de la misma página

71
00:05:27,939 --> 00:05:30,259
Que os presento aquí el enunciado

72
00:05:30,259 --> 00:05:34,560
Dice calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

73
00:05:34,560 --> 00:05:43,709
De, bueno, pues de polinomio p de x y q de x en cada apartado

74
00:05:43,709 --> 00:05:47,050
En este caso no se puede hacer mentalmente

75
00:05:47,050 --> 00:05:50,410
Y bueno, pues lo que hacemos es factorizar los polinomios

76
00:05:50,410 --> 00:05:53,250
Obtenemos la factorización y a partir de ahí

77
00:05:53,250 --> 00:05:59,170
pues calculamos el mínimo común múltiplo y máximo común divisor aplicando la regla ya explicada.

78
00:06:00,589 --> 00:06:08,769
Propongo que copiéis el enunciado del ejercicio 5 y os tomáis, paráis el vídeo y lo hacéis

79
00:06:08,769 --> 00:06:18,750
y después lo explico. Aquí tenéis mejor el enunciado puesto de acuerdo.

80
00:06:19,329 --> 00:06:25,110
Bien, doy un tiempo, paráis el vídeo y a continuación paso a explicarlo.

81
00:06:27,720 --> 00:06:34,819
Bien, supongo que ya habéis hecho el ejercicio y ya habéis pausado el vídeo y ahora estáis viendo la explicación.

82
00:06:34,959 --> 00:06:35,459
Vamos a ello.

83
00:06:35,959 --> 00:06:41,500
En este caso nos piden calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de P y Q en cada caso.

84
00:06:41,500 --> 00:06:42,680
Vamos al apartado A.

85
00:06:43,300 --> 00:06:47,720
Tenemos el polinomio x cuadrado menos 9 y x cuadrado menos 6x más 9.

86
00:06:47,720 --> 00:07:14,639
Pues lo dicho, hay que factorizar ambos polinomios, bien, si factorizas x cuadrado menos 9 se ve fácil por la aplicación del producto notable al revés, la fórmula de la suma por diferencia, diferencia de cuadrados, que la factorización sería x más 3 por x menos 3, o sea, la factorización de este polinomio es x más 3 por x menos 3, lo hacéis por el método que prefiráis.

87
00:07:14,639 --> 00:07:19,879
Y para factorizar este polinomio, pues, o bien aplicando los productos notables al revés

88
00:07:19,879 --> 00:07:27,720
o calculando la ecuación igualada a cero, las raíces, el método, o Ruffini, el método que prefiráis.

89
00:07:27,980 --> 00:07:33,040
Y vais a ver que Q de X tiene como factorización X menos 3 al cuadrado.

90
00:07:34,120 --> 00:07:42,779
Bien, una vez hecha la factorización de ambos polinomios de P y Q, que aquí tenemos, pues, hacemos lo de siempre.

91
00:07:42,779 --> 00:07:52,139
El máximo común divisor va a ser tomar los comunes de todos los factores, los comunes, o sea, los que se repiten, al menor exponente.

92
00:07:52,399 --> 00:07:57,000
¿Quién es este? Pues yo veo que sólo se repite x menos 3.

93
00:07:57,480 --> 00:08:06,379
Aquí aparece al cuadrado, pero como hay que tomarlo como al menor exponente, pues pondremos que el máximo común divisor es x menos 3.

94
00:08:07,120 --> 00:08:09,720
Bien, ¿cómo haremos el mínimo común múltiplo?

95
00:08:09,720 --> 00:08:20,259
Pues, habiendo hecho la factorización, es sencillo, tomaríamos los comunes, o sea, los que se repiten, al mayor exponente y también los no comunes.

96
00:08:20,480 --> 00:08:30,160
Pues bien, ¿cuáles se repiten? Pues x menos 3 está aquí, lo tomamos al mayor exponente, entonces habría que poner x menos 3 al cuadrado.

97
00:08:30,160 --> 00:08:35,139
y bien aquí lo tenemos x menos 3 al cuadrado

98
00:08:35,139 --> 00:08:39,820
y finalmente también hay que tomar los no comunes

99
00:08:39,820 --> 00:08:42,860
en este caso no se repite x menos 3

100
00:08:42,860 --> 00:08:44,860
está solo en la expresión de p de x

101
00:08:44,860 --> 00:08:46,639
pero no en la de q de x

102
00:08:46,639 --> 00:08:49,100
y por tanto también se toma y se pone aquí

103
00:08:49,100 --> 00:08:52,759
bien este sería el mínimo común múltiplo

104
00:08:52,759 --> 00:08:55,360
de los polinomios p de x y q de x

105
00:08:55,360 --> 00:08:59,960
que uno lo puede dar en su expresión polinómica

106
00:08:59,960 --> 00:09:04,120
operando esto, pero bien, de esta manera también nos valdría

107
00:09:04,120 --> 00:09:09,070
¿de acuerdo? vamos a hacer ahora el apartado B

108
00:09:09,070 --> 00:09:13,509
este es interesante en cuanto, yo creo que es importante

109
00:09:13,509 --> 00:09:17,370
que lo hagáis vosotros sin mirar, porque tiene una factorización

110
00:09:17,370 --> 00:09:22,960
interesante, vamos a ver, es un polinomio de grado 3, aquí lo tenemos

111
00:09:22,960 --> 00:09:26,600
y Q de X es un polinomio de grado 4, bien

112
00:09:26,600 --> 00:09:29,399
¿cómo factorizamos el primer polinomio P de X?

113
00:09:29,399 --> 00:09:32,320
de grado 3, pues vemos que

114
00:09:32,320 --> 00:09:34,299
como no tiene término independiente

115
00:09:34,299 --> 00:09:36,580
podríamos sacar factor común x

116
00:09:36,580 --> 00:09:37,399
en primer lugar

117
00:09:37,399 --> 00:09:40,580
esto sería pues x por

118
00:09:40,580 --> 00:09:42,559
x cuadrado menos 7x

119
00:09:42,559 --> 00:09:43,879
más 12

120
00:09:43,879 --> 00:09:46,759
es la factorización de este

121
00:09:46,759 --> 00:09:47,759
polinomio

122
00:09:47,759 --> 00:09:49,700
digamos

123
00:09:49,700 --> 00:09:52,600
sacar factor común y ahora habría que factorizar

124
00:09:52,600 --> 00:09:54,799
este polinomio de grado 2

125
00:09:54,799 --> 00:09:56,600
pues como pues resolviendo

126
00:09:56,600 --> 00:09:58,759
la ecuación por ejemplo y encontrando

127
00:09:58,759 --> 00:10:08,240
las raíces, ¿no? La ecuación esta. Se resuelve, encuentras los valores de x y te van a dar

128
00:10:08,240 --> 00:10:16,100
las raíces. Y ya vimos en las explicaciones anteriores que a partir de las raíces podría

129
00:10:16,100 --> 00:10:27,820
factorizar este polinomio, ¿de acuerdo? Aquí lo tenemos. Decíamos que el polinomio

130
00:10:27,820 --> 00:10:36,059
px sacando factor común x pues obtenemos esta expresión y ahora este polinomio pues si lo

131
00:10:36,059 --> 00:10:43,360
igualamos a 0 y calculamos las raíces nos va a dar que los las raíces son x igual a 4

132
00:10:44,500 --> 00:10:54,240
y x igual a 3 y por tanto la factorización es esta x por x menos 4 por x menos 3 ya está

133
00:10:54,240 --> 00:10:58,960
explicado de acuerdo de vídeos anteriores tenemos el

134
00:10:58,960 --> 00:11:06,879
polinomio factorizado de px vamos a factorizar el polinomio q

135
00:11:06,879 --> 00:11:15,590
de x nuevamente habrá que sacar factor común

136
00:11:15,590 --> 00:11:21,669
factorizamos este polinomio en primer lugar lo que haremos es sacar factor

137
00:11:21,669 --> 00:11:31,590
común x cuadrado nos queda x cuadrado por x cuadrado menos 3x menos 4 y ahora habría que

138
00:11:31,590 --> 00:11:44,059
factorizar este polinomio de grado 2 por ejemplo igualando a 0 y resolviendo las raíces que si

139
00:11:44,059 --> 00:11:51,340
hacéis la fórmula de la ecuación de grado 2 veréis que una raíz es x igual a 4 y otra es x igual a

140
00:11:51,340 --> 00:11:58,639
menos 1 se resuelve y por tanto la factorización va a ser x cuadrado por x menos 4 por x más 1

141
00:11:58,639 --> 00:12:07,500
vamos a recordar que si 4 por ejemplo es una raíz del polinomio pues x menos 4 es un factor y si x

142
00:12:07,500 --> 00:12:13,600
menos 1 es raíz pues x más 1 es un factor así tenemos la factorización del polinomio

143
00:12:13,600 --> 00:12:21,399
Y aquí tenemos la factorización de ambos polinomios, p de x y q de x, ¿de acuerdo?

144
00:12:21,840 --> 00:12:25,860
Bien, el mínimo común múltiplo ya es fácil y el máximo común divisor también,

145
00:12:26,480 --> 00:12:31,600
aplicando nuestros algoritmos, nuestra forma de calcularlo.

146
00:12:32,419 --> 00:12:40,259
En este caso, para el máximo común divisor de este polinomio y este, pues tomaríamos los comunes al menor exponente.

147
00:12:40,259 --> 00:12:54,039
¿Cuáles son los comunes, los que se repiten? Vemos que x se repite. Aquí aparece como x cuadrado, pero me interesa el que tiene menor exponente y, por tanto, ponemos aquí x, que es el que se repite al menor exponente.

148
00:12:54,039 --> 00:13:07,799
Y también se está repitiendo x menos 4. Pues lo ponemos aquí, x menos 4. Ya no hay más que se repita y, por tanto, el máximo común divisor es x por x menos 4. ¿De acuerdo?

149
00:13:07,799 --> 00:13:15,679
En cuanto al mínimo común múltiplo, pues vamos a tomar los que se repitan y los que no se repitan al mayor exponente.

150
00:13:15,960 --> 00:13:28,580
En este caso se repite x, digo que se repite x, pero el de mayor exponente es x al cuadrado y por tanto lo ponemos como x al cuadrado,

151
00:13:29,080 --> 00:13:34,940
porque para el mínimo común múltiplo sí que tomamos el que tiene mayor grado de los que se repiten.

152
00:13:34,940 --> 00:13:54,299
También se está repitiendo x menos 4 y por tanto lo ponemos aquí y no se está repitiendo x menos 3 que hay que ponerlo y x más 1 que hay que ponerlo y así obtenemos este polinomio operándolo nos dará un polinomio que es el mínimo común múltiplo de p de x y q de x.

153
00:13:54,299 --> 00:13:58,860
y bien, pasamos a realizar el apartado C

154
00:13:58,860 --> 00:14:02,399
el apartado C os lo he seleccionado aquí

155
00:14:02,399 --> 00:14:06,440
bien, ya está factorizado

156
00:14:06,440 --> 00:14:10,019
nos vienen en el enunciado los polinomios factorizados

157
00:14:10,019 --> 00:14:14,500
pdx viene así expresado y qdx viene así expresado

158
00:14:14,500 --> 00:14:17,419
solamente darnos cuenta de que está factorizado

159
00:14:17,419 --> 00:14:19,919
bueno, de que esta parte podría no estarlo

160
00:14:19,919 --> 00:14:29,480
Pero si realmente intentas factorizarlo, por ejemplo, resolviendo la ecuación, verás que no tiene raíces y por tanto no se puede factorizar.

161
00:14:29,759 --> 00:14:32,100
Ya es un polinomio irreducible.

162
00:14:33,019 --> 00:14:37,580
Así pues, pdx y qdx nos vienen factorizados.

163
00:14:38,320 --> 00:14:48,059
Pues el mínimo común múltiplo será el que resulta de obtener los comunes y no comunes al mayor exponente.

164
00:14:48,059 --> 00:14:56,480
En este caso se repite x y x³, se repite pero el de mayor exponente es x³, pondríamos x³.

165
00:14:56,960 --> 00:15:05,039
También se está repitiendo x-3 pero no hay exponente pues lo ponemos tal cual x-3

166
00:15:05,039 --> 00:15:15,580
y ahora habría que añadir los que no se repiten que son x más 5 y x² más x más 2.

167
00:15:15,580 --> 00:15:21,639
así pues este polinomio es el mínimo común múltiplo de p de x y q de x

168
00:15:21,639 --> 00:15:28,220
y en cuanto al máximo común divisor pues tomaremos únicamente los que se repiten al menor exponente

169
00:15:28,220 --> 00:15:34,940
que son x y x cubo se repiten pero tomamos x porque es al menor exponente y aquí lo pongo

170
00:15:34,940 --> 00:15:42,980
y también se está repitiendo x menos 3 que lo tomamos en esta versión dado que es menor exponente

171
00:15:42,980 --> 00:15:49,480
Y ponemos x menos 3. Bien, así pues obtenemos el máximo común divisor.