1
00:00:05,549 --> 00:00:08,730
En este vídeo vamos a deducir la ecuación de las lentes delgadas.

2
00:00:09,789 --> 00:00:11,550
Primero definamos lo que es una lente.

3
00:00:12,109 --> 00:00:15,970
Una lente va a ser, si tenemos nuestro eje óptico así,

4
00:00:16,890 --> 00:00:19,730
nos vamos a plantear primero que haya un cambio de medio,

5
00:00:21,489 --> 00:00:26,070
que vamos del aire a un plástico, un cristal, que tiene índice de refracción n,

6
00:00:26,550 --> 00:00:32,649
y luego tendremos otro cambio de medio, otro dioptrio, como este.

7
00:00:32,649 --> 00:00:35,969
y pasaremos de este cristalo plástico al aire.

8
00:00:37,590 --> 00:00:42,329
Observamos entonces que ya tenemos lo que es una lente, puede tener esta forma, puede tener otra forma,

9
00:00:42,429 --> 00:00:51,369
ya veremos más adelante otros tipos de lentes, pero en concreto nos va a interesar el tamaño de la lente,

10
00:00:51,369 --> 00:00:52,450
que le vamos a llamar T.

11
00:00:53,170 --> 00:00:58,490
Y para que sea una lente delgada necesitamos que esta T sea una distancia pequeña

12
00:00:58,490 --> 00:01:02,770
en comparación con el resto de distancias involucradas en el problema.

13
00:01:02,950 --> 00:01:07,769
Por ejemplo, este dioptrio primero tendrá su centro de curvatura como por aquí.

14
00:01:10,299 --> 00:01:14,060
Vemos que el radio 1 es grande comparado con T.

15
00:01:15,239 --> 00:01:20,340
Este dioptrio segundo tendrá su centro de curvatura en este punto de aquí.

16
00:01:22,180 --> 00:01:24,519
También es un radio grande comparado con T.

17
00:01:25,180 --> 00:01:27,180
Y nuestro objeto lo vamos a colocar aquí.

18
00:01:27,180 --> 00:01:31,019
tendrá una distancia S

19
00:01:31,019 --> 00:01:36,579
se formará una imagen que por ejemplo podría estar aquí

20
00:01:36,579 --> 00:01:39,540
que será una imagen intermedia

21
00:01:39,540 --> 00:01:42,439
que se forma con el primer dioptrio pero antes de llegar al segundo

22
00:01:42,439 --> 00:01:46,099
y lo que observamos es que tiene una distancia imagen

23
00:01:46,099 --> 00:01:48,420
S'1

24
00:01:48,420 --> 00:01:53,540
ahora esta imagen nos va a servir como objeto para el dioptrio 2

25
00:01:53,540 --> 00:01:57,819
y tendrá por lo tanto una distancia objeto S2

26
00:01:57,819 --> 00:02:12,340
y nos va a formar finalmente una imagen que será esta, la imagen final, a una distancia S' desde el segundo dioptrio.

27
00:02:12,879 --> 00:02:18,240
Observamos que el primer objeto, antes de pasar por el primer elemento del sistema, en este caso el primer dioptrio,

28
00:02:18,960 --> 00:02:25,599
está a una distancia S, no le pongo subíndice, y a la última imagen tampoco le pongo subíndice porque es el resultado del sistema.

29
00:02:26,020 --> 00:02:27,520
A las intermedias sí se lo pongo.

30
00:02:27,520 --> 00:02:32,840
todas estas distancias entonces van a ser distancias mucho mayores que T

31
00:02:32,840 --> 00:02:42,259
en este caso T va a ser mucho más pequeño que pues S, S', S'1

32
00:02:42,259 --> 00:02:46,060
les pongo valor absoluto porque son negativas

33
00:02:46,060 --> 00:02:52,360
S2, R1 que no hace falta valor absoluto porque este es positivo

34
00:02:52,360 --> 00:02:54,500
y R2

35
00:02:54,500 --> 00:02:59,960
esto nos dice que estas dos magnitudes

36
00:02:59,960 --> 00:03:04,219
si nos fijamos en el dibujo podemos escribir que en valor absoluto S2

37
00:03:04,219 --> 00:03:08,759
es el valor absoluto de S'1 más T

38
00:03:08,759 --> 00:03:13,419
pero T como es muy pequeña podemos eliminarla

39
00:03:13,419 --> 00:03:17,340
y podemos decir simplemente que S2 y S1 son iguales

40
00:03:17,340 --> 00:03:19,259
además los dos son negativos porque van hacia 3

41
00:03:19,259 --> 00:03:22,400
bien, vamos a ver cómo formamos estas imágenes

42
00:03:22,400 --> 00:03:24,620
utilizando las ecuaciones del dioptrio

43
00:03:24,620 --> 00:03:50,120
El primer dioptrio, dioptrio 1, tendrá una ecuación que es n sobre s'1 menos 1 sobre s, observamos que vamos del aire hacia el plástico, es igual a n menos 1 sobre r1.

44
00:03:50,120 --> 00:04:13,810
Si hacemos el dioptrio 2, pues ahora estamos yendo del medio hacia el aire, por lo tanto ahora vamos a escribirla al revés, será 1 sobre S' menos N sobre S2, será 1 menos N entre R2.

45
00:04:13,810 --> 00:04:26,970
Y ahora nos fijamos que como hemos dicho que S2 y S'1 eran muy muy parecidos, iguales porque esta T es demasiado pequeña, este término y este término son iguales y de signos opuestos.

46
00:04:26,970 --> 00:04:50,480
Por lo tanto si sumamos nos va a quedar 1 sobre S' menos 1 sobre S es igual a n-1 por, este n-1 sale factor común, aquí como está al revés nos añade un signo menos, entonces 1 sobre R1 menos 1 sobre R2.

47
00:04:50,480 --> 00:04:57,720
llegados a este punto nos fijamos que la parte izquierda de la ecuación depende únicamente de donde coloquemos el objeto

48
00:04:57,720 --> 00:05:03,120
y donde va a estar la imagen, mientras que la parte derecha depende del tipo de material que utilicemos

49
00:05:03,120 --> 00:05:06,339
y de la curvatura de las dos caras de este material

50
00:05:06,339 --> 00:05:12,759
por eso si ponemos S que tiende a infinito, a menos infinito sería

51
00:05:12,759 --> 00:05:19,600
y S' por lo tanto es F' observaremos que nos queda una ecuación 1 sobre F'

52
00:05:19,600 --> 00:05:33,500
que es este término, este desaparece, es igual a n-1 por 1 sobre r1 menos 1 sobre r2.

53
00:05:34,000 --> 00:05:39,420
Esta ecuación de aquí le llamamos la ecuación del fabricante de lentes,

54
00:05:40,139 --> 00:05:51,250
ecuación del fabricante de lentes, porque nos dice qué índice de refracción tenemos que poner

55
00:05:51,250 --> 00:05:58,009
y qué curvatura tenemos que darle a estos radios para tener una distancia focal que es la que nosotros queremos.

56
00:05:58,009 --> 00:06:05,490
En concreto nos dice el inverso de la distancia focal y lo que observamos es que la potencia de una lente

57
00:06:05,490 --> 00:06:14,350
que se escribe con la letra P la definimos como 1 sobre f' en metros.

58
00:06:15,709 --> 00:06:22,029
Cuando tenemos esto las unidades de esta magnitud son dioptrías que se abrevia dpt

59
00:06:22,029 --> 00:06:26,430
y es muy adecuada porque si tenemos dos lentes que están muy muy cerca

60
00:06:26,430 --> 00:06:30,110
podemos sumar sus potencias, es decir, tendríamos una potencia equivalente

61
00:06:30,110 --> 00:06:35,550
que será la de la lente 1 más la de la lente 2.

62
00:06:37,449 --> 00:06:41,610
Además, si ponemos en esta ecuación lo mismo pero al revés,

63
00:06:41,610 --> 00:06:49,290
es decir, nos llevamos S' hacia infinito y por lo tanto S es la focal objeto,

64
00:06:49,290 --> 00:06:57,689
observaremos que para las lentes f' y la focal objeto son iguales con el signo cambiado

65
00:06:57,689 --> 00:07:02,610
es decir, si sabemos la focal que estará aquí, la focal objeto a la misma distancia hacia atrás

66
00:07:02,610 --> 00:07:09,689
Ahora que tenemos definido que todo este término de la derecha es la potencia o 1 sobre la focal

67
00:07:09,689 --> 00:07:28,110
la ecuación de las lentes delgadas será 1 sobre S' menos 1 sobre S igual a 1 sobre F'.

68
00:07:28,110 --> 00:07:34,250
Esta es la ecuación con la que trabajaremos cuando tengamos un problema de lentes.

69
00:07:34,910 --> 00:07:40,850
Esta ecuación es altamente no lineal, vemos que no cambian proporcionalmente S y S'.

70
00:07:40,850 --> 00:07:58,290
Para entender un poco más cómo funciona esta ecuación, podemos despejar y ver cómo cambia S' en función de S y veremos que es S por F' dividido entre S más F'.

71
00:07:58,290 --> 00:08:17,790
Si con esta ecuación despejada hacemos una gráfica, vamos a hacernos los ejes. En el eje vertical voy a pintar S' y en el eje horizontal voy a pintar S, pero la voy a pintar en valor absoluto, porque S recordad que siempre va hacia la izquierda.

72
00:08:17,790 --> 00:08:24,970
me voy a marcar como puntos importantes aquí f' y aquí f'

73
00:08:25,250 --> 00:08:28,329
vamos a dibujarla así

74
00:08:28,329 --> 00:08:39,740
y lo que observamos es que si la distancia focal imagen f' es positiva

75
00:08:39,740 --> 00:08:44,100
nos vamos a encontrar con una gráfica como esta

76
00:08:44,100 --> 00:08:48,320
así y así

77
00:08:48,320 --> 00:08:56,230
Vemos que cuando S tiende a infinito la imagen se nos forma en F' como estamos acostumbrados

78
00:08:56,230 --> 00:08:59,929
Además, si tenemos una lente con una focal negativa

79
00:08:59,929 --> 00:09:06,019
ahora no tendremos la discontinuidad porque esta S es negativa y la F' también

80
00:09:06,019 --> 00:09:09,639
y nos encontraremos con una función así

81
00:09:09,639 --> 00:09:17,289
Estas dos funciones son interesantes, en particular la azul

82
00:09:17,289 --> 00:09:23,610
porque muy muy cerquita de donde está la distancia focal

83
00:09:23,610 --> 00:09:31,360
es donde observamos que se producen los mayores cambios en esta distancia S'.

84
00:09:31,360 --> 00:09:37,740
Si nos vamos relativamente lejos de la distancia focal, observamos que casi la curva es plana.

85
00:09:37,840 --> 00:09:42,460
Por lo tanto, los cambios más importantes se nos van a producir cerca de la distancia focal.

86
00:09:44,080 --> 00:09:46,860
Y así es como vamos a trabajar con las lentes delgadas.