1
00:00:00,420 --> 00:00:02,480
Distribuciones de probabilidad continuas.

2
00:00:02,600 --> 00:00:05,799
Vamos a ver un poco la idea intuitiva de variable continua,

3
00:00:06,639 --> 00:00:08,339
después hablaremos de funciones de densidad

4
00:00:08,339 --> 00:00:11,580
y después calcularemos los parámetros de una distribución continua.

5
00:00:14,529 --> 00:00:17,489
Recordemos que una variable discreta es una variable aleatoria

6
00:00:17,489 --> 00:00:20,250
que sólo toma valores en un conjunto finito de puntos

7
00:00:20,250 --> 00:00:23,309
y su función de probabilidad tiene una cantidad finita de casos,

8
00:00:23,489 --> 00:00:27,010
es decir, en una variable discreta la función de probabilidad

9
00:00:27,010 --> 00:00:31,570
toma x1, x2 hasta xn y les asigna probabilidades

10
00:00:31,570 --> 00:00:39,960
p1, p2 hasta pn. Sin embargo, una distribución continua es una variable aleatoria que toma

11
00:00:39,960 --> 00:00:44,679
cualquier valor dentro de un intervalo y sus probabilidades son cualquier valor en el intervalo

12
00:00:44,679 --> 00:00:50,000
0,1. Por tanto, su función de probabilidad toma infinitos valores. En las variables continuas,

13
00:00:50,200 --> 00:00:55,799
la función de probabilidad se llamará función de densidad. Intuitivamente podemos entender

14
00:00:55,799 --> 00:01:01,679
que una variable aleatoria continua es una proyección hacia el infinito de una variable

15
00:01:01,679 --> 00:01:07,680
aceleratoria discreta cuando la n es cada vez más grande. Por ejemplo, para n igual a 9 tenemos ese

16
00:01:07,680 --> 00:01:14,319
diagrama de barras, ese histograma, para n igual a 15s, para n igual a 30i, para n igual a 60, para n

17
00:01:14,319 --> 00:01:19,099
igual a 100 y cuando n se hace arbitrariamente grande, lo que tenemos es algo muy parecido a

18
00:01:19,099 --> 00:01:25,599
esa curva. Es decir, que según vamos aumentando el número de datos, la anchura de los rectángulos

19
00:01:25,599 --> 00:01:31,560
disminuye y por lo tanto disminuye la probabilidad de cada valor de x. Eso hace que para cada valor

20
00:01:31,560 --> 00:01:37,200
de x la probabilidad sea prácticamente cero, pero la era encerrada tiene que seguir siendo

21
00:01:37,200 --> 00:01:43,140
uno porque la suma de las probabilidades sigue siendo uno. Por otra parte, la función de

22
00:01:43,140 --> 00:01:50,099
distribución es la suma de infinitos elementos que son prácticamente cero, es decir, la

23
00:01:50,099 --> 00:01:58,299
integral entre menos infinito y más infinito. Una función de densidad es una función definida

24
00:01:58,299 --> 00:02:03,859
en la recta real R, que tiene que cumplir dos propiedades, que son proyección de las

25
00:02:03,859 --> 00:02:09,800
que teníamos en las funciones discretas. La primera es que tiene que tomar valores

26
00:02:09,800 --> 00:02:14,960
entre cero y uno y la segunda es que la suma de todos esos valores, es decir, la integral,

27
00:02:15,500 --> 00:02:21,060
tiene que ser exactamente uno. Vamos a hacer un ejemplo de función de densidad. Vamos

28
00:02:21,060 --> 00:02:25,699
a comprobar que esa función es una función de densidad. En primer lugar, hay que comprobar

29
00:02:25,699 --> 00:02:30,840
que la función toma solo valores entre cero y uno y los toma, solo hay que sustituir.

30
00:02:30,840 --> 00:02:36,659
Y, en segundo lugar, hay que calcular la integral de la función de densidad y comprobar que da 1.

31
00:02:37,199 --> 00:02:45,719
Bueno, pues hacemos la integral entre menos infinito y más infinito y la partimos en tres trozos, hasta el 0, entre 0 y 2, y a partir del 2.

32
00:02:46,280 --> 00:02:51,699
La primera y la última son ceros y la de en medio es fácil de integrar porque es una función polinómica.

33
00:02:52,479 --> 00:02:55,259
Integramos, sustituimos y, efectivamente, nos da 1.

34
00:02:55,780 --> 00:03:01,740
Aunque todo esto, en algunos casos, no es necesario porque si dibujamos la gráfica de la función, pues es esa gráfica,

35
00:03:02,219 --> 00:03:07,759
y como la integral es el área encerrada entre la función y el eje horizontal, pues esa área es ese triángulo azul,

36
00:03:08,240 --> 00:03:11,620
que es un triángulo de base 2 y altura 1, por tanto, 1.

37
00:03:13,969 --> 00:03:17,110
Os dejo como ejercicio comprobar que estas funciones son funciones de densidad.

38
00:03:17,610 --> 00:03:26,580
En cuanto a los parámetros de una distribución continua, son los mismos parámetros que tenemos en las distribuciones discretas.

39
00:03:26,580 --> 00:03:34,139
En primer lugar, la media, que es la integral entre menos infinito y más infinito de x por f de x diferencial de x.

40
00:03:34,699 --> 00:03:42,560
La varianza, que es la integral entre menos infinito y más infinito de x cuadrado por f de x menos el cuadrado de la media.

41
00:03:43,539 --> 00:03:47,280
Y la desviación típica, que igual que siempre, es la raíz cuadrada de la varianza.

42
00:03:48,020 --> 00:03:49,159
Vamos a ver esto con un ejemplo.

43
00:03:50,860 --> 00:03:55,539
Vamos a calcular los parámetros de una variable x que tiene por función de densidad esta de aquí.

44
00:03:55,539 --> 00:03:57,539
En primer lugar, la media

45
00:03:57,539 --> 00:04:02,699
Hacemos la integral entre menos infinito y más infinito de x por f de x diferencial de x

46
00:04:02,699 --> 00:04:07,900
Es decir, la integral entre menos 1 y 2 de x por x cuadrado partido por 3

47
00:04:07,900 --> 00:04:11,620
Porque hasta el menos 1 es 0 y a partir del 2 es 0

48
00:04:11,620 --> 00:04:14,199
Extraemos el factor 1 tercio

49
00:04:14,199 --> 00:04:17,759
Integramos esto, que es una función polinómica muy sencilla

50
00:04:17,759 --> 00:04:22,480
Sustituimos y tenemos que la media es 1,25

51
00:04:22,480 --> 00:04:24,899
Vamos con la varianza

52
00:04:24,899 --> 00:04:32,699
La varianza es la integral entre menos infinito y más infinito de x cuadrado de f de x diferencial de x menos el cuadrado de la media que acabamos de calcular.

53
00:04:34,779 --> 00:04:42,379
Hacemos la integral y obtenemos que la varianza es 0,6375.

54
00:04:43,079 --> 00:04:46,939
Y por último, la desviación típica solo es la raíz cuadrada del valor anterior.

55
00:04:49,879 --> 00:04:56,279
Os dejo un ejercicio que intentéis calcular la media y la desviación de una variable que se distribuye con esa función de densidad.

56
00:04:57,379 --> 00:04:59,160
Esta integral hay que hacerla por partes.

57
00:04:59,160 --> 00:05:02,860
Entonces, pausad el vídeo porque las soluciones van a salir ahora mismo.

58
00:05:05,639 --> 00:05:10,860
Eso es la media, eso es la varianza y eso es la desviación típica.