1
00:00:06,639 --> 00:00:12,519
En este vídeo vamos a calcular el campo que genera una corriente rectilínea infinita.

2
00:00:13,960 --> 00:00:19,899
Este hilo de aquí es un hilo conductor por el cual circula una corriente de intensidad I.

3
00:00:21,120 --> 00:00:29,440
Vamos a calcular el campo magnético que genera en este punto P, que está a una distancia de, en perpendicular a este hilo.

4
00:00:31,079 --> 00:00:34,700
Para ello vamos a aplicar la ley de Biot y Savart.

5
00:00:34,700 --> 00:00:41,530
Ley de Biot y Savart

6
00:00:41,530 --> 00:00:50,960
La ley de Biot y Savart nos dice que cada trocito de este hilo va a tener una contribución

7
00:00:50,960 --> 00:00:55,000
Un trocito, por ejemplo, de este trocito de aquí

8
00:00:55,000 --> 00:01:00,399
va a tener una contribución diferencial, porque es un trozo pequeño

9
00:01:00,399 --> 00:01:03,679
que va a venir dada por esta expresión

10
00:01:03,679 --> 00:01:05,239
1 sub 0

11
00:01:05,239 --> 00:01:08,540
por la intensidad que circula por el hilo

12
00:01:08,540 --> 00:01:17,680
dividido entre 4pi por diferencial de L que tiene relación con este trocito

13
00:01:17,680 --> 00:01:25,159
producto vectorial con R unitario, el gorrito significa unitario

14
00:01:25,159 --> 00:01:30,019
entre el módulo de R al cuadrado.

15
00:01:30,420 --> 00:01:33,439
Vamos a ver qué representa cada uno de estos términos.

16
00:01:34,099 --> 00:01:37,079
Mu sub cero es la permeabilidad magnética del vacío.

17
00:01:37,079 --> 00:01:45,200
Si no estuviésemos en el vacío, por ejemplo, estuviésemos debajo del agua, tendríamos que añadir un término permeabilidad relativa, un sub-R.

18
00:01:46,459 --> 00:01:49,760
Y es la intensidad que circula por este hilo.

19
00:01:51,219 --> 00:01:53,159
4pi es un factor que multiplica.

20
00:01:53,920 --> 00:02:03,719
Diferencial de L es un vector que tiene como módulo la longitud de este trocito que está generando el trocito de campo.

21
00:02:03,719 --> 00:02:16,610
entonces es la longitud diferencial de hilo

22
00:02:16,610 --> 00:02:20,669
y su dirección y sentido

23
00:02:20,669 --> 00:02:25,169
que lo representamos con el gorrito, con el vector unitario

24
00:02:25,169 --> 00:02:28,530
son la misma dirección y sentido que la intensidad

25
00:02:28,530 --> 00:02:33,069
en este dibujo será positivo j

26
00:02:33,069 --> 00:02:35,830
en el eje y

27
00:02:35,830 --> 00:02:38,930
r, el vector r

28
00:02:38,930 --> 00:02:47,629
es un vector que nos indica la posición de este punto P con respecto al diferencial de L

29
00:02:47,629 --> 00:02:54,050
sería un vector que va de quien genera, desde el punto donde se genera el campo

30
00:02:54,050 --> 00:02:56,509
hasta el punto donde se siente el campo

31
00:02:56,509 --> 00:03:05,300
su módulo por lo tanto será la distancia al punto

32
00:03:05,300 --> 00:03:17,810
y su dirección y sentido siempre es desde DL hasta P.

33
00:03:20,900 --> 00:03:24,000
Este sería el vector R.

34
00:03:25,879 --> 00:03:28,060
Vamos a escribirnos este vector R.

35
00:03:28,680 --> 00:03:33,780
Lo vamos a escribir utilizando este ángulo, cita, de aquí.

36
00:03:35,300 --> 00:03:39,460
Este vector R, R gorrito, vamos a escribirlo,

37
00:03:39,460 --> 00:03:52,520
va a ser el coseno de este ángulo hacia la izquierda, es decir, menos coseno de zeta por i

38
00:03:52,520 --> 00:04:00,520
y el seno de este ángulo hacia abajo, menos seno de zeta por j.

39
00:04:01,039 --> 00:04:08,259
Si hacemos ahora el producto vectorial de la dirección de dl, que hemos dicho que era j,

40
00:04:08,259 --> 00:04:31,879
Y por este regorrito lo que nos va a salir de L producto vectorial con el regorrito, por un lado el módulo de esto sabemos que va a ser diferencial de L producto vectorial con 1 porque el módulo de este es 1 y por el seno del ángulo que forman.

41
00:04:31,879 --> 00:04:34,120
¿vale? veremos si esto va a ser así

42
00:04:34,120 --> 00:04:39,019
en primer lugar aquí tenemos dl que es el módulo de este

43
00:04:39,019 --> 00:04:45,600
luego viene j y hacemos el producto vectorial con este término de aquí

44
00:04:45,600 --> 00:04:52,699
menos el coseno de cita por i menos el seno de cita por j

45
00:04:52,699 --> 00:04:59,480
al hacer el producto vectorial j producto vectorial con j es 0

46
00:04:59,480 --> 00:05:01,519
por lo tanto este término desaparecerá

47
00:05:02,259 --> 00:05:21,399
Nos queda entonces de L el signo menos, el coseno de cita, y ahora nos queda J, producto vectorial, con I, como están las letras en orden inverso, esto es menos K, por lo tanto aquí pongo un signo más, y K.

48
00:05:21,399 --> 00:05:27,279
Por un lado observamos que el campo debe de ser como K

49
00:05:27,279 --> 00:05:31,339
K en este dibujo sería el eje Z saldría hacia arriba del papel

50
00:05:31,339 --> 00:05:34,079
Podríamos haberlo hecho con la regla de la mano derecha

51
00:05:34,079 --> 00:05:37,920
Recordamos que si ponemos el pulgar como la intensidad

52
00:05:37,920 --> 00:05:41,019
El campo abraza el cable de esta manera

53
00:05:41,019 --> 00:05:44,699
En la parte donde está el punto P, la parte izquierda, saldría del papel

54
00:05:44,699 --> 00:05:48,420
Si el punto P estuviese en la parte derecha, entraría al papel

55
00:05:48,420 --> 00:05:58,360
en este punto entonces efectivamente el campo sale del papel tendríamos un campo que circula

56
00:05:58,360 --> 00:06:06,759
de esta manera esto sería el campo en todos los puntos pero sólo nos interesa en el punto p

57
00:06:06,759 --> 00:06:12,019
lo otro que nos llamará la atención es que aquí pone coseno yo había dicho que tenía que salir

58
00:06:12,019 --> 00:06:21,029
un seno pero el seno del ángulo que forman se refiere a este seno de aquí el seno de este

59
00:06:21,029 --> 00:06:29,379
ángulo como es el complementario de este va a ser equivalente al coseno del otro ángulo, pues bien

60
00:06:29,379 --> 00:06:39,209
ya tenemos este término de aquí arriba, nos falta cuánto vale diferencial de L porque lo que nos

61
00:06:39,209 --> 00:06:45,189
interesará es hacer una integral con respecto del ángulo, ahora veremos por qué, vamos a estudiar

62
00:06:45,189 --> 00:06:50,209
este módulo, este módulo va a ir cambiando si yo este diferencial de L, este trocito de aquí lo

63
00:06:50,209 --> 00:06:55,629
pongo más lejos más arriba entonces esta r va a ser más grande si lo pongo más cerca esta r va a

64
00:06:55,629 --> 00:07:01,089
ser más pequeño por lo tanto lo que vamos a hacer es ponerlo en función de esta d que es constante

65
00:07:01,089 --> 00:07:05,569
y es un dato del problema y este ángulo que es el que hemos dicho que nos iba a interesar

66
00:07:05,569 --> 00:07:15,490
entonces r el módulo de este vector la distancia desde p hasta el diferencial de l va a ser siempre

67
00:07:15,490 --> 00:07:24,709
de dividida entre el coseno de este ángulo, porque el coseno de este ángulo es el lado

68
00:07:24,709 --> 00:07:34,209
adyacente dividido entre r. Ya tenemos r, r al cuadrado, pues es el cuadrado de este término.

69
00:07:34,709 --> 00:07:42,029
Vamos a hablar de diferencial de L. Diferencial de L, observamos que es un trocito de la dirección

70
00:07:42,029 --> 00:07:48,569
vertical. Si elegimos la dirección vertical, es decir, todo esto de aquí y le llamamos

71
00:07:48,569 --> 00:07:57,870
por ejemplo L, podemos escribir L en función de D. Si dividimos L entre D, observamos que

72
00:07:57,870 --> 00:08:05,689
es la tangente del ángulo cita. Por lo tanto, si ahora queremos derivar L, diferencial de

73
00:08:05,689 --> 00:08:19,209
L será esta D, que es una constante, por la derivada de la tangente, 1 entre coseno cuadrado de zeta, y por la derivada del ángulo, por diferencial del ángulo.

74
00:08:20,189 --> 00:08:33,549
Ahora lo tenemos todo escrito en términos del ángulo, por lo tanto podemos escribirnos nuestro diferencial de campo como mu sub 0 por i por,

75
00:08:33,549 --> 00:08:58,299
Aquí arriba tengo que escribir diferencial de L que lo hemos escrito de esta manera, d por d cita dividido entre el coseno al cuadrado de cita y dividimos por 4pi y r al cuadrado pero r la hemos escrito de esta forma, entonces d cuadrado entre coseno al cuadrado de cita.

76
00:08:58,299 --> 00:09:11,539
Vemos que aquí podemos simplificar este coseno de aquí, este coseno de aquí, nos ha faltado toda esta parte, hemos escrito el de L pero no hemos escrito esta parte de aquí, con lo cual esto vendría aquí arriba.

77
00:09:11,539 --> 00:09:36,899
Coseno de cita por k. Hemos simplificado el coseno, simplificamos también una de estas d y lo que nos queda, lo voy a escribir aquí debajo, es mu sub 0 por i dividido entre 4pi por d y nos queda diferencial de cita, coseno de cita y la k.

78
00:09:36,899 --> 00:09:42,820
Voy a dejarla acá, aquí fuera, y coseno de cita, diferencial de cita.

79
00:09:45,080 --> 00:09:50,720
Esta parte de aquí es la única que depende del ángulo, todo lo demás son constantes.

80
00:09:50,840 --> 00:09:54,340
Cuando hagamos la integral solamente tendremos que integrar esta parte de aquí.

81
00:09:55,980 --> 00:09:57,379
Vamos a hacer entonces esta integral.

82
00:09:59,779 --> 00:10:04,480
El campo magnético, que será la integral de todos los diferenciales de campo,

83
00:10:04,480 --> 00:10:11,360
de todas las contribuciones que hace cada uno de estos trocitos va a ser la integral de mu sub cero i

84
00:10:11,360 --> 00:10:22,000
dividido entre 4 por pi por d, el vector unitario y el coseno de cita diferencial de cita.

85
00:10:22,460 --> 00:10:24,539
Tendremos que poner ahora los límites de integración.

86
00:10:25,080 --> 00:10:30,740
Si el cable terminase simplemente miraríamos qué ángulo forma el punto P hasta el punto superior

87
00:10:30,740 --> 00:10:33,159
y el punto P hasta el punto inferior.

88
00:10:33,159 --> 00:10:45,419
Pero como el cable es infinito, según vaya creciendo el cable más lejos, más lejos, más lejos, en el límite que tendemos a infinito, el punto superior sería cuando cita fuese pi medios, es decir, 90 grados.

89
00:10:45,620 --> 00:10:55,299
El punto inferior de la misma manera empieza en cero y va creciendo, creciendo, creciendo, creciendo, hasta que vuelve a ser 90 grados, pero esta vez hacia abajo, menos pi medios.

90
00:10:55,299 --> 00:11:25,299
Al hacer esta integral todo este término de aquí es constante y sale fuera y la integral de coseno es seno, entonces nos queda mu sub 0 por i dividido entre 4pi por la distancia de el vector unitario k y al integrar coseno nos sale seno de cita entre el valor máximo y el valor mínimo.

91
00:11:25,299 --> 00:11:37,549
vamos a separar aquí, si continuamos debajo el campo entonces va a ser todo este término que vuelve a ser igual

92
00:11:37,549 --> 00:11:49,769
mu sub 0i dividido entre 4 por pi por la distancia, el vector k y ahora tenemos que sustituir el seno de pi medios que es 90 grados

93
00:11:49,769 --> 00:12:06,370
Si nos hacemos la circunferencia goniométrica recordaremos que el seno de 90 es el valor máximo, es decir, 1, menos y el seno de menos 90, de menos pi medios, que sería este punto de aquí, con lo cual menos 1.

94
00:12:08,029 --> 00:12:18,730
Este resultado del paréntesis es 2, que podemos simplificar con el 4 y nos queda mu sub 0 por i dividido entre 2 por pi y por d.

95
00:12:18,730 --> 00:12:26,659
siguiendo el vector K. Esta es la ecuación del campo de un hilo infinito.

96
00:12:27,360 --> 00:12:32,320
Tenemos que tener en cuenta que si el punto P estuviese justo al otro lado

97
00:12:32,320 --> 00:12:38,460
nos saldría un signo negativo. Este signo negativo nos habría salido porque el vector R

98
00:12:38,460 --> 00:12:42,980
en lugar de ser hacia K sería hacia el otro lado, es decir, tendríamos un positivo aquí.