1 00:00:01,899 --> 00:00:07,360 Bien, este problema fue propuesto como veis aquí en la de Bado de Castilla y León en julio del 18 2 00:00:07,360 --> 00:00:11,179 y nos piden de entre todos los rectángulos cuya perímetro sea 40 3 00:00:11,179 --> 00:00:14,820 encontrar aquel que tiene la diagonal de menor longitud. 4 00:00:16,000 --> 00:00:20,820 Bien, pues lo primero que vamos a hacer es dibujar nuestro rectángulo 5 00:00:20,820 --> 00:00:27,280 y un rectángulo pues tiene dos dimensiones que son la base y la altura. 6 00:00:28,280 --> 00:00:30,760 Vamos a llamar X e Y. 7 00:00:30,760 --> 00:00:35,659 Como el perímetro son 40, tenemos clara la relación entre X e Y 8 00:00:35,659 --> 00:00:38,100 Que es que 2X más 2Y es 40 9 00:00:38,100 --> 00:00:43,460 Que es lo mismo que decir que X más Y vale 20 10 00:00:43,460 --> 00:00:48,420 O lo que es lo mismo, la Y es 20 menos X 11 00:00:48,420 --> 00:00:54,119 Y nos dicen que encontremos aquel que tiene la diagonal de menor longitud 12 00:00:54,119 --> 00:00:57,039 Si trazamos la diagonal en este rectángulo 13 00:00:57,039 --> 00:01:00,740 Que la podemos hacer, es esta de aquí 14 00:01:00,740 --> 00:01:18,700 Y nos aparece un triángulo rectángulo, o sea que podemos aplicar el teorema de Pitágoras y sabemos que x al cuadrado más y al cuadrado van a ser la diagonal al cuadrado. 15 00:01:18,920 --> 00:01:28,200 O dicho de otra forma, la diagonal va a ser la raíz cuadrada positiva, porque es una distancia, de x al cuadrado más y al cuadrado. 16 00:01:28,200 --> 00:01:53,959 Aquí tenemos una función con dos variables, pero como podemos ponerla ahí en función de la x, ya puedo crear yo la función a la que vamos a llamar f de x, que nos diga el valor de la diagonal en función de la x, que será la raíz cuadrada de x al cuadrado más 20 menos x al cuadrado. 17 00:01:53,959 --> 00:01:57,859 Bien, esta es la función que tenemos que derivar 18 00:01:57,859 --> 00:02:00,439 Si desarrollamos el polinomio de dentro 19 00:02:00,439 --> 00:02:03,099 Tenemos que la función es 20 00:02:03,099 --> 00:02:06,760 2x cuadrado 21 00:02:06,760 --> 00:02:11,770 Menos 40x 22 00:02:11,770 --> 00:02:14,090 Más 400 23 00:02:14,090 --> 00:02:17,270 Y en lugar de poner la raíz vamos a poner elevado a 1 medio 24 00:02:17,270 --> 00:02:19,729 Esto que veis aquí 25 00:02:19,729 --> 00:02:22,990 Lo único que he hecho ha sido desarrollar este polinomio y operar 26 00:02:22,990 --> 00:02:29,030 Para encontrar el máximo de esta función tenemos que derivar la función, ¿vale? 27 00:02:29,310 --> 00:02:43,310 La derivada de esto será, como la tenemos en forma de fracción, perdón, en forma de potencia quiere decir, 28 00:02:43,310 --> 00:02:53,270 será 1 medio por todo este paréntesis 2x cuadrado menos 40x más 400 elevado a menos 1 medio 29 00:02:53,270 --> 00:03:01,189 y por la derivada de lo de dentro de la raíz que en este caso sería 4x menos 40 ¿vale? 30 00:03:01,990 --> 00:03:06,229 que si lo queremos poner en forma de raíz ya que teníamos raíces antes sería 31 00:03:06,229 --> 00:03:22,430 Que la derivada es 40x menos 40 dividido entre dos veces la raíz cuadrada de 2x cuadrado menos 40x más 400. 32 00:03:23,430 --> 00:03:28,449 Eso quiere decir que la derivada es 0 si lo de arriba es 0. 33 00:03:28,610 --> 00:03:32,729 4x menos 40 es igual a 0, es decir, si la x vale 10. 34 00:03:32,729 --> 00:03:37,150 ¿Cuándo la x vale 10? Esta función tiene un máximo o un mínimo 35 00:03:37,150 --> 00:03:42,490 Entonces lo que nos falta es discernir si es máximo o mínimo 36 00:03:42,490 --> 00:03:45,550 Tenemos muchas formas de hacer esto, hacer la segunda derivada 37 00:03:45,550 --> 00:03:49,270 Pero bueno, como la derivada es un poco compleja, la segunda derivada también puede serlo 38 00:03:49,270 --> 00:03:51,030 Vamos a utilizar otro método 39 00:03:51,030 --> 00:03:57,449 Yo sé que la derivada en el 10 es 0 40 00:03:57,449 --> 00:04:01,710 Vamos a calcular cuánto es la derivada en el 9 y cuánto es la derivada en el 11 41 00:04:01,710 --> 00:04:03,449 porque sabemos que no hay más raíces 42 00:04:03,449 --> 00:04:05,849 porque el único punto en el que se anula es en el 10 43 00:04:05,849 --> 00:04:07,849 si hacemos la derivada en el 9 44 00:04:07,849 --> 00:04:09,569 esto da 45 00:04:09,569 --> 00:04:11,870 arriba 36 46 00:04:11,870 --> 00:04:12,930 menos 40 47 00:04:12,930 --> 00:04:15,909 vale, estoy cambiando 48 00:04:15,909 --> 00:04:17,670 el x por un 9 y abajo 49 00:04:17,670 --> 00:04:19,750 2 por la raíz de 50 00:04:19,750 --> 00:04:21,709 162 51 00:04:21,709 --> 00:04:23,750 menos 360 52 00:04:23,750 --> 00:04:24,709 más 40 53 00:04:24,709 --> 00:04:27,589 que lo de abajo tiene signo positivo 54 00:04:27,589 --> 00:04:29,370 y lo de arriba negativo, claramente 55 00:04:29,370 --> 00:04:33,209 aquí, esta es negativa, eso quiere decir que 56 00:04:33,209 --> 00:04:37,110 en x igual a 9 mi función decrece 57 00:04:37,110 --> 00:04:41,509 si hacemos la derivada en el 11, tenemos que lo de arriba es 58 00:04:41,509 --> 00:04:45,230 44 menos 40 dividido entre dos veces la raíz 59 00:04:45,230 --> 00:04:49,370 de 242 menos 440 60 00:04:50,009 --> 00:04:52,290 más 400 61 00:04:52,290 --> 00:04:56,970 y esto es, más entre más, esto es positivo, que quiere decir eso 62 00:04:56,970 --> 00:05:01,410 que en x igual a 11 mi función crece 63 00:05:01,410 --> 00:05:04,389 ¿por qué? porque su derivada es positiva 64 00:05:04,389 --> 00:05:08,230 si decrece en el 9 y ya en el 11 crece y en el 10 es 0 65 00:05:08,230 --> 00:05:12,209 claramente en el 10 hay ¿el qué? un mínimo 66 00:05:12,209 --> 00:05:18,459 con lo cual el rectángulo pedido 67 00:05:18,459 --> 00:05:20,899 como es de perímetro 40 en realidad es un cuadrado 68 00:05:20,899 --> 00:05:28,019 entonces el rectángulo pedido o buscado 69 00:05:28,019 --> 00:05:30,920 mide 70 00:05:30,920 --> 00:05:34,199 10 por 71 00:05:34,199 --> 00:05:36,259 10 centímetros 72 00:05:36,259 --> 00:05:37,500 ¿de acuerdo?