1
00:00:00,180 --> 00:00:03,740
A lo largo de la historia ha habido diferentes ampliaciones de los números.

2
00:00:04,139 --> 00:00:10,960
Por ejemplo, cuando comienza la humanidad, todo el mundo trabajaba con los números naturales.

3
00:00:11,099 --> 00:00:13,119
Uno, dos, tres, había que contar.

4
00:00:14,539 --> 00:00:22,780
Luego empiezan a aparecer los números enteros, ¿de acuerdo?

5
00:00:22,780 --> 00:00:25,079
Porque nos debían.

6
00:00:26,140 --> 00:00:29,760
Y es decir, aparece el menos uno, el menos dos, el menos tres, etc.

7
00:00:29,760 --> 00:00:31,559
luego

8
00:00:31,559 --> 00:00:34,600
siguen más ampliaciones

9
00:00:34,600 --> 00:00:38,189
que son los números

10
00:00:38,189 --> 00:00:39,490
racionales

11
00:00:39,490 --> 00:00:49,479
una vez que aparecen los números racionales

12
00:00:49,479 --> 00:00:51,119
hay números que se siguen quedando fuera

13
00:00:51,119 --> 00:00:53,840
porque estos son los que se pueden poner siempre en forma de fracción

14
00:00:53,840 --> 00:00:56,340
pero hay números como raíz de 2

15
00:00:56,340 --> 00:00:57,359
o raíz de 7

16
00:00:57,359 --> 00:00:58,460
que no se pueden poner

17
00:00:58,460 --> 00:01:00,259
y entonces aparecen los números irracionales

18
00:01:00,259 --> 00:01:02,140
y los números reales

19
00:01:02,140 --> 00:01:15,189
si os vais fijando esto siempre va conteniendo lo anterior

20
00:01:15,189 --> 00:01:16,609
es decir, son ampliaciones

21
00:01:16,609 --> 00:01:20,370
Hasta ahora siempre hemos trabajado con los números reales

22
00:01:20,370 --> 00:01:22,450
Ahora, hay un tipo de ecuaciones

23
00:01:22,450 --> 00:01:24,670
Que los números reales

24
00:01:24,670 --> 00:01:26,709
No se pueden resolver

25
00:01:26,709 --> 00:01:28,549
Por ejemplo, esto de aquí

26
00:01:28,549 --> 00:01:30,489
Siempre hemos dicho que no tiene solución

27
00:01:30,489 --> 00:01:32,390
No tiene solución en R

28
00:01:32,390 --> 00:01:33,989
Pero sí que es cierto

29
00:01:33,989 --> 00:01:37,129
Que si nosotros hacemos una nueva ampliación

30
00:01:37,129 --> 00:01:38,230
De los números reales

31
00:01:38,230 --> 00:01:42,480
Y trabajamos con los números complejos

32
00:01:42,480 --> 00:01:44,719
Podemos encontrar solución

33
00:01:44,719 --> 00:01:46,299
A este tipo de soluciones

34
00:01:46,299 --> 00:01:49,180
que es lo que vamos a trabajar en este tema

35
00:01:49,180 --> 00:01:55,420
por ejemplo

36
00:01:55,420 --> 00:01:57,500
entonces, hay un acuerdo

37
00:01:57,500 --> 00:01:58,959
en el que se dice

38
00:01:58,959 --> 00:02:01,579
que el número que si

39
00:02:01,579 --> 00:02:08,099
vale, la solución de esto

40
00:02:08,099 --> 00:02:10,020
le vamos a llamar por convenio

41
00:02:10,020 --> 00:02:13,810
i, vale

42
00:02:13,810 --> 00:02:16,129
y que tiene de particular

43
00:02:16,129 --> 00:02:17,469
i, es que i

44
00:02:17,469 --> 00:02:20,069
al cuadrado es

45
00:02:20,069 --> 00:02:21,750
menos uno, es un número especial

46
00:02:21,750 --> 00:02:22,729
es un número

47
00:02:22,729 --> 00:02:26,270
que es complejo o imaginario

48
00:02:26,270 --> 00:02:32,189
Cuando nosotros hablamos de los números reales, siempre hemos dicho que, claro, que R es toda la recta.

49
00:02:32,810 --> 00:02:37,689
Y claro, a partir del 0, va el 1, el 2, el 3, el 4, ¿vale?

50
00:02:40,000 --> 00:02:43,939
Y siempre hemos dicho que los números reales completan la recta, no queda ningún hueco.

51
00:02:44,479 --> 00:02:47,039
Entonces, ¿dónde ubicamos a los números complejos?

52
00:02:47,439 --> 00:02:53,469
Pues lo que vamos a hacer es ampliar y a estar en el plano.

53
00:02:53,469 --> 00:02:59,610
De manera que esta va a ser la recta imaginaria y esta va a ser la recta real.

54
00:03:01,189 --> 00:03:02,469
Este va a ser el eje real.

55
00:03:05,479 --> 00:03:11,060
De manera que yo cualquier número de aquí lo puedo poner de la siguiente manera, ¿de acuerdo?

56
00:03:11,159 --> 00:03:16,219
Puedo decir 3 más 2i.

57
00:03:17,000 --> 00:03:20,060
Vale, 3 más 2i, ¿dónde va a estar? Pues vamos a verlo.

58
00:03:20,060 --> 00:03:32,960
Si lo pongo así, va a estar en el 3, y aquí ponemos 1, 2, ¿vale?

59
00:03:33,020 --> 00:03:46,050
Fijaros, entonces, ese punto de i es el 3 más 2i, ¿vale?

60
00:03:46,530 --> 00:03:56,900
Y así se puede representar cualquier número complejo, ¿vale?

61
00:03:56,900 --> 00:04:25,839
Esta parte de aquí, es decir, mirad, cada número complejo en forma binaria se puede representar siempre como a más b por i, ¿vale?

62
00:04:26,220 --> 00:04:35,939
Esto de aquí, esto siempre va a ser la parte real y esto de aquí va a ser la parte imaginaria.

63
00:04:51,490 --> 00:04:53,810
Y la forma de representarlo siempre va a ser la misma.

64
00:04:53,810 --> 00:05:02,970
Tengo que tener unos ejes coordenados en los que el eje vertical va a ser la parte compleja y el eje horizontal es la parte real.

65
00:05:04,350 --> 00:05:08,470
Y entonces voy a representarlo como se representa cualquier tipo de coordenada, da lo mismo.

66
00:05:09,610 --> 00:05:27,180
Por ejemplo, si yo tengo 4 menos 2i, pues es fácil, vamos a representarlo.

67
00:05:27,180 --> 00:05:30,220
Si yo tengo mi eje cartesiano

68
00:05:30,220 --> 00:05:38,089
4 menos 2i estará

69
00:05:38,089 --> 00:05:48,639
Este punto de aquí

70
00:05:48,639 --> 00:05:54,259
Si yo quiero pintar, por ejemplo

71
00:05:54,259 --> 00:05:56,160
El punto

72
00:05:56,160 --> 00:05:57,259
Quiero representar el punto

73
00:05:57,259 --> 00:05:59,639
Menos 7 más

74
00:05:59,639 --> 00:06:01,300
2i

75
00:06:01,300 --> 00:06:03,800
¿Vale? Pues menos 7 más 2i

76
00:06:03,800 --> 00:06:04,160
Está aquí

77
00:06:04,160 --> 00:06:07,220
1, 2, 3, 4, 5, 6

78
00:06:07,220 --> 00:06:12,199
Prolongo

79
00:06:12,199 --> 00:06:17,670
7 y 2

80
00:06:17,670 --> 00:06:19,089
1, 2

81
00:06:19,089 --> 00:06:31,540
Ahí, ¿vale?

82
00:06:31,839 --> 00:06:40,740
Si yo, por ejemplo, quiero pintar el punto 4i, ¿vale?

83
00:06:41,660 --> 00:06:45,339
Fijaros, este de aquí no tiene parte real, solo tiene parte imaginaria.

84
00:06:45,860 --> 00:06:49,540
Pues este de aquí estará en 1, 2, 3, 4.

85
00:06:49,860 --> 00:06:52,480
Aquí tengo 4i, ¿vale?

86
00:06:52,980 --> 00:06:55,540
Este de aquí se le llama imaginario puro.

87
00:07:04,199 --> 00:07:07,839
Y de la misma manera, si yo quiero pintar, por ejemplo, un número que sea real,

88
00:07:07,839 --> 00:07:18,470
Si yo os digo el 4, claro, no tiene parte imaginaria, no tiene nada por i, pues el 4 está aquí, ¿vale?

89
00:07:18,470 --> 00:07:24,250
Que es un número real, porque no tiene parte imaginaria, ¿vale?

90
00:07:31,230 --> 00:07:36,730
Yo puedo operar con los números reales y puedo operar con los números complejos, ¿vale?

91
00:07:36,870 --> 00:07:37,790
Vamos a ver cómo se hace.

92
00:08:01,100 --> 00:08:04,439
Vale, la suma y la resta es muy fácil.

93
00:08:04,439 --> 00:08:10,699
Bueno, realmente en forma binaria las cuentas, las operaciones en números complejos no son complicadas, ¿de acuerdo?

94
00:08:11,379 --> 00:08:16,600
Venga, entonces, si tenemos nosotros, por ejemplo, suma y resta.

95
00:08:18,509 --> 00:08:21,189
Vale, la suma y la resta es muy fácil.

96
00:08:21,750 --> 00:08:33,429
Debo sumar, si yo tengo a más b por i más otro número que le llamamos, por ejemplo, c más di, ¿vale?

97
00:08:33,809 --> 00:08:34,929
¿Qué es lo que tengo que hacer?

98
00:08:34,929 --> 00:08:38,769
Pues lo que voy a hacer es sumar las partes reales con las partes reales

99
00:08:38,769 --> 00:08:41,029
Y las partes imaginarias con las partes imaginarias

100
00:08:41,029 --> 00:08:42,389
De manera que me va a quedar

101
00:08:42,389 --> 00:08:48,509
A más C más B más D por Y

102
00:08:48,509 --> 00:08:51,049
¿Vale? Vamos a ver un ejemplo

103
00:08:51,049 --> 00:08:53,009
Y esto igual en la suma que en la resta, ¿vale?

104
00:08:54,090 --> 00:08:54,490
Ejemplo

105
00:08:54,490 --> 00:09:03,250
Si yo, por ejemplo, tengo 3 más 2Y

106
00:09:03,250 --> 00:09:08,450
y quiero hacer más 5 menos 7i,

107
00:09:09,029 --> 00:09:11,029
pues esto es tan fácil, ¿de acuerdo?

108
00:09:11,149 --> 00:09:12,090
Como coger y decir,

109
00:09:12,330 --> 00:09:14,730
pues las partes reales con las partes reales,

110
00:09:14,789 --> 00:09:15,750
que me quedaría 8,

111
00:09:16,789 --> 00:09:20,289
y luego las partes imaginarias con las partes imaginarias,

112
00:09:20,370 --> 00:09:22,710
que en este caso me quedaría menos 5i.

113
00:09:23,090 --> 00:09:23,629
Ya está.

114
00:09:24,029 --> 00:09:24,769
Ese es el resultado.

115
00:09:27,919 --> 00:09:30,960
Da igual suma que resta, ¿vale?

116
00:09:30,960 --> 00:10:07,100
Si yo quiero multiplicar, quiero multiplicar por un escalar, multiplicaciones, vamos a ver, a ver, multiplicaciones, vamos primero, un segundo, multiplicaciones real por imaginario, ¿vale?

117
00:10:07,100 --> 00:10:15,320
Pues esto es muy fácil, ¿de acuerdo? Porque lo único que tengo que hacer es multiplicar el número por la parte real y por la parte imaginaria.

118
00:10:15,379 --> 00:10:27,379
Por ejemplo, si yo tengo k que va a multiplicar a más bi, ¿vale? Esto simplemente será k por a más k por bi, lo que quede, ¿vale?

119
00:10:27,379 --> 00:10:32,659
Por ejemplo, si yo tengo menos 7 por 2 menos 4i,

120
00:10:33,399 --> 00:10:38,600
pues esto simplemente es menos 14 más 28i.

121
00:10:39,379 --> 00:10:39,899
Ya está.

122
00:10:44,000 --> 00:10:49,639
Ahora, ¿qué ocurre si yo lo que voy a multiplicar son dos números imaginarios?

123
00:10:49,639 --> 00:10:54,220
Lo único que tengo que tener en cuenta es la definición que hemos hablado de número imaginario.

124
00:10:54,379 --> 00:10:57,500
Es que i al cuadrado es menos 1.

125
00:10:57,500 --> 00:11:00,360
Es lo único con lo que tengo que tener en cuenta, ¿vale?

126
00:11:01,220 --> 00:11:01,779
Vamos a ello.

127
00:11:19,409 --> 00:11:25,610
Ya os digo, lo único que tengo que tener en cuenta es que hemos definido que i al cuadrado es menos 1.

128
00:11:28,179 --> 00:11:29,659
Eso de ahí, ¿vale?

129
00:11:29,919 --> 00:11:30,200
Venga.

130
00:11:31,220 --> 00:11:48,059
Entonces, cuando yo vaya a multiplicar, lo único que tengo que aplicar es la propiedad distributiva, ¿vale?

131
00:11:48,519 --> 00:11:49,779
Nada más, ¿vale?

132
00:11:50,580 --> 00:11:56,759
Entonces, vamos a ver un ejemplo.

133
00:11:56,759 --> 00:12:30,399
Si yo tengo, por ejemplo, si yo tengo que multiplicar esto, lo que voy a hacer es hacer, voy a multiplicar S por S, luego multiplicaré este por aquí, luego multiplico S por S y por último S por S de ahí, ¿vale?

134
00:12:30,399 --> 00:13:00,090
¿Vale? Una vez que yo tengo eso claro, pues vamos a hacerlo, ¿vale? Voy a ir con colores, ¿vale? Entonces me quedaría 8, ahora me quedaría menos 4i, ¿vale? Multiplico ahí, ahora me quedaría más 12i,

135
00:13:00,090 --> 00:13:01,950
Y ahora me quedaría

136
00:13:01,950 --> 00:13:05,509
Esto de aquí que es van morado

137
00:13:05,509 --> 00:13:06,009
¿Vale?

138
00:13:06,049 --> 00:13:08,889
Que es menos 6 y cuadrado

139
00:13:08,889 --> 00:13:13,009
¿Vale?

140
00:13:13,950 --> 00:13:15,429
Bueno, pues ahora

141
00:13:15,429 --> 00:13:17,309
Lo único que tengo que tener claro

142
00:13:17,309 --> 00:13:19,549
Es que voy a juntar lo que pueda juntar con lo que pueda juntar

143
00:13:19,549 --> 00:13:20,730
Y que y cuadrado

144
00:13:20,730 --> 00:13:21,690
Esto

145
00:13:21,690 --> 00:13:24,009
Es menos 1

146
00:13:24,009 --> 00:13:25,590
Entonces, en el fondo

147
00:13:25,590 --> 00:13:27,850
Lo que yo tengo aquí es

148
00:13:27,850 --> 00:13:29,370
8

149
00:13:29,370 --> 00:13:31,730
Menos 4y

150
00:13:31,730 --> 00:13:33,669
Antes de juntarlo voy a ponerlo todo

151
00:13:33,669 --> 00:13:35,190
Más 12i

152
00:13:35,190 --> 00:13:37,629
Y esto de aquí, fijaros

153
00:13:37,629 --> 00:13:40,750
Es menos 6 por menos 1

154
00:13:40,750 --> 00:13:41,570
¿Vale?

155
00:13:41,610 --> 00:13:43,370
Por lo tanto esto es más 6

156
00:13:43,370 --> 00:13:46,470
O sea que esta cuenta de aquí

157
00:13:46,470 --> 00:13:48,009
Me quedarían 14

158
00:13:48,009 --> 00:13:51,929
Menos 8i

159
00:13:51,929 --> 00:13:53,529
Este es el resultado

160
00:13:53,529 --> 00:13:55,370
Ese es mi número imaginario

161
00:13:55,370 --> 00:14:01,799
¿Vale?

162
00:14:02,320 --> 00:14:05,340
Vamos a ver el siguiente

163
00:14:05,340 --> 00:14:06,899
Vamos con el cociente

164
00:14:06,899 --> 00:14:17,440
Para hacer el cociente

165
00:14:17,440 --> 00:14:19,740
siempre lo que vamos a hacer es multiplicar

166
00:14:19,740 --> 00:14:21,820
y dividir por el conjugado, ¿vale?

167
00:14:21,879 --> 00:14:39,570
Por ejemplo, vamos a usar lo de multiplicar, ¿vale?

168
00:14:40,549 --> 00:14:42,409
Es decir, si yo tengo, por ejemplo,

169
00:14:42,850 --> 00:14:48,929
a más bi entre c más di, ¿vale?

170
00:14:49,210 --> 00:14:51,730
Para hacer esta división, yo lo que voy a hacer siempre

171
00:14:51,730 --> 00:14:55,090
es multiplicar por c menos di, ¿vale?

172
00:14:55,090 --> 00:14:57,250
Que es el conjugado, acordaros, hay que cambiar ese signo, ¿vale?

173
00:14:58,149 --> 00:15:00,830
Y c menos di, ¿vale?

174
00:15:01,830 --> 00:15:09,289
Arriba haré la cuenta como la hemos hecho antes y abajo, fijaros en una cosa, como tengo suma por diferencia, ¿vale?

175
00:15:09,330 --> 00:15:14,350
Por eso siempre usamos lo del conjugado, va a quedar diferencia de cuadrados, ¿vale?

176
00:15:14,730 --> 00:15:23,029
Entonces, arriba tendría que operar esto, lo que me quede, a más bi por c menos ti, ¿vale?

177
00:15:23,029 --> 00:15:30,789
Y abajo, fijaros, me quedaría c cuadrado menos d cuadrado y cuadrado.

178
00:15:31,169 --> 00:15:56,190
Vale, pues cuidado con esto de aquí, porque claro, como es un número complejo, vale, acordaros que y cuadrado es menos 1, es decir, que esto en el fondo va a quedar c cuadrado más d cuadrado, ¿vale?

179
00:15:57,149 --> 00:16:20,080
Vamos a ver un ejemplo, a ver si yo por ejemplo tengo esto de aquí, vale, me dicen que lo haga, vale, pues yo lo primero que tengo que hacer es multiplicar por el conjugado,

180
00:16:20,080 --> 00:16:26,899
Entonces me fijo en la parte de abajo y multiplico y divido por el mismo con el signo del centro cambiado.

181
00:16:26,899 --> 00:16:31,299
Es decir, 4 más i, 4 más i.

182
00:16:31,899 --> 00:16:32,220
Vale.

183
00:16:32,840 --> 00:16:41,120
Entonces en la parte de arriba tendré que hacer esta multiplicación que es 3 más 2i y 4 más i.

184
00:16:42,600 --> 00:16:47,639
Y abajo me queda 4 menos i por 4 más i.

185
00:16:48,320 --> 00:16:48,860
Vale.

186
00:16:50,080 --> 00:16:53,019
Entonces, ahora me lido a operar, ¿vale?

187
00:16:54,320 --> 00:16:56,879
Arriba, propiedad distributiva.

188
00:16:58,080 --> 00:17:04,140
Y digo 12 más 3i más 8i.

189
00:17:04,140 --> 00:17:08,900
Y ahora aquí, fijaros, me quedaría más 2 y cuadrado, o sea que menos 2.

190
00:17:09,900 --> 00:17:15,220
Este de aquí sería 2 más 2 y cuadrado.

191
00:17:15,700 --> 00:17:18,960
Pero tenéis que recordar que cuadrado es menos 1, ¿vale?

192
00:17:18,960 --> 00:17:48,660
Y abajo me quedaría, sumo por diferencia, diferencia de cuadrados son 16 menos y cuadrado, pero claro, y cuadrado, o sea, es menos, lo pongo ahí, entonces esto de aquí me quedaría 12, esto de aquí, fijaros, es menos, menos 1, estos son 12, menos 2, a ver un segundo, ya lo pongo todo junto, vale, esto me quedaría 10,

193
00:17:48,960 --> 00:17:52,559
Más 11i

194
00:17:52,559 --> 00:17:56,259
Partido de 17

195
00:17:56,259 --> 00:17:58,259
Y ya está, esta es la cuenta

196
00:17:58,259 --> 00:18:00,359
Eso es lo que da esa división

197
00:18:00,359 --> 00:18:05,259
Si queréis partirlo porque no os guste así

198
00:18:05,259 --> 00:18:06,779
Pues lo podéis poner así

199
00:18:06,779 --> 00:18:11,849
Es lo mismo

200
00:18:11,849 --> 00:18:13,670
¿Vale?

201
00:18:19,910 --> 00:18:22,309
Bueno, pues con todo esto de aquí

202
00:18:22,309 --> 00:18:26,500
Podéis hacer ya unas cuantas cosas

203
00:18:26,500 --> 00:18:27,259
¿Vale?

204
00:18:27,799 --> 00:18:30,660
Entonces, a ver, ¿qué quiero que hagáis para el miércoles?

205
00:18:31,099 --> 00:18:31,259
¿Vale?

206
00:18:31,259 --> 00:18:34,240
Que yo os pasaré también otro vídeo corrigiendo los ejercicios

207
00:18:34,240 --> 00:18:35,720
Vale, a ver

208
00:18:35,720 --> 00:18:50,670
Poco, ¿de acuerdo?

209
00:18:50,789 --> 00:18:51,950
No me voy a pasar

210
00:18:51,950 --> 00:18:53,750
A ver, quiero que hagamos

211
00:18:53,750 --> 00:18:55,750
A ver

212
00:18:55,750 --> 00:18:57,589
Con esto que hemos visto

213
00:18:57,589 --> 00:19:08,940
Vale, de la página

214
00:19:08,940 --> 00:19:16,049
De la página, sí

215
00:19:16,049 --> 00:19:27,380
134

216
00:19:27,380 --> 00:19:28,559
Quiero que hagáis el

217
00:19:28,559 --> 00:19:30,240
Uno

218
00:19:30,240 --> 00:19:33,559
¿Vale? Que es el ejercicio que tenéis ahí abajo

219
00:19:33,559 --> 00:19:37,549
Pensad que para hacer este ejercicio

220
00:19:37,549 --> 00:19:39,430
lo que tenéis que hacer es igualar la parte real

221
00:19:39,430 --> 00:19:41,450
a la parte real y la parte imaginaria

222
00:19:41,450 --> 00:19:42,789
a la parte imaginaria, ¿vale?

223
00:19:42,829 --> 00:19:47,079
no es difícil, tenéis abajo de todas formas

224
00:19:47,079 --> 00:19:48,799
las soluciones, ¿vale?

225
00:19:50,059 --> 00:19:50,920
y luego

226
00:19:50,920 --> 00:19:52,200
quiero que hagáis de la página

227
00:19:52,200 --> 00:19:55,119
136

228
00:19:55,119 --> 00:20:04,650
el

229
00:20:04,650 --> 00:20:05,789
ejercicio

230
00:20:05,789 --> 00:20:08,630
1

231
00:20:08,630 --> 00:20:10,910
¿vale?

232
00:20:12,410 --> 00:20:14,450
para el miércoles yo haré un vídeo

233
00:20:14,450 --> 00:20:15,690
corrigiendo todo esto de aquí

234
00:20:15,690 --> 00:20:18,289
y podremos avanzar una cuota más

235
00:20:18,289 --> 00:20:21,089
Yo el jueves

236
00:20:21,089 --> 00:20:24,049
Casi con total seguridad

237
00:20:24,049 --> 00:20:25,309
Estaré por el instituto

238
00:20:25,309 --> 00:20:28,230
No preocuparos que yo voy para allá

239
00:20:28,230 --> 00:20:29,730
Pero así podemos avanzar

240
00:20:29,730 --> 00:20:30,430
Y no perdemos clase

241
00:20:30,430 --> 00:20:32,430
Un saludo

242
00:20:32,430 --> 00:20:33,369
Adiós