1
00:00:02,169 --> 00:00:05,290
Definición de base de un espacio vectorial.

2
00:00:06,370 --> 00:00:10,849
Se dice que el conjunto de vectores, le hemos llamado B por lo de base,

3
00:00:11,550 --> 00:00:16,010
formado por los vectores U1, U2, etc., Un,

4
00:00:17,170 --> 00:00:21,929
forman una base de este espacio vectorial si cumplen estas dos condiciones.

5
00:00:23,190 --> 00:00:26,850
Tienen que ser linealmente independientes y, por otro lado,

6
00:00:27,329 --> 00:00:30,949
tienen que formar un sistema de generadores de dicho espacio vectorial.

7
00:00:30,949 --> 00:00:40,109
Eso quiere decir que cualquier vector de dicho espacio se va a poder escribir como una combinación lineal de ellos.

8
00:00:41,490 --> 00:00:47,829
Estamos dando aquí la definición general de base de un espacio vectorial de dimensión n.

9
00:00:48,969 --> 00:00:56,909
Como sabéis, en este curso nuestro espacio vectorial es de dimensión 2, estamos en el plano, estamos en v2.

10
00:00:56,909 --> 00:01:06,370
y lo hemos visto en el vídeo anterior que dados dos vectores u1 y u2

11
00:01:06,370 --> 00:01:12,409
que fueran linealmente independientes cualquier otro vector del plano

12
00:01:12,409 --> 00:01:16,909
se podía expresar como combinación lineal de ellos

13
00:01:16,909 --> 00:01:25,750
es decir, que las bases del espacio vectorial v2

14
00:01:25,750 --> 00:01:32,510
van a estar constituidas por dos vectores que sean linealmente independientes

15
00:01:32,510 --> 00:01:34,810
fijaros que la dimensión del espacio

16
00:01:34,810 --> 00:01:42,890
lo que me está dando es el número de vectores que tienen que conformar la base

17
00:01:42,890 --> 00:01:45,430
en este caso 2

18
00:01:45,430 --> 00:01:50,969
El curso que viene, que estudiaréis en geometría analítica

19
00:01:50,969 --> 00:01:55,409
Estaréis trabajando en V3, en el espacio

20
00:01:55,409 --> 00:01:59,090
Vectores ya en dimensión 3

21
00:01:59,090 --> 00:02:05,250
Las bases van a estar formadas por tres vectores

22
00:02:05,250 --> 00:02:09,409
Que son linealmente independientes

23
00:02:09,409 --> 00:02:26,439
De tal manera que cualquier otro vector que nosotros consideremos de dicho espacio vectorial se va a poder escribir como combinación lineal de los vectores de la base.

24
00:02:26,439 --> 00:02:46,129
Y de nuevo la dimensión del espacio, en este caso v3 es 3, coincide con el número de vectores que conforman la base.

25
00:02:47,729 --> 00:02:49,629
Veamos lo que pasa en V2.

26
00:02:50,490 --> 00:02:54,129
Consideremos los vectores AB y AC.

27
00:02:54,710 --> 00:02:56,669
¿Son linealmente independientes?

28
00:02:57,210 --> 00:03:00,090
Pues sí, gráficamente veo que tienen distinta dirección.

29
00:03:01,469 --> 00:03:07,189
Y cualquier combinación lineal de esos dos vectores, del vector AB y del vector AC,

30
00:03:08,250 --> 00:03:13,409
me da un vector AX que es combinación lineal de ellos.

31
00:03:13,409 --> 00:03:19,289
Si yo voy variando los valores de los escalares por los cuales multiplico esos vectores

32
00:03:19,289 --> 00:03:21,590
En este caso lo estoy llamando A y B

33
00:03:21,590 --> 00:03:30,430
Fijaros que si varío, puedo generar cualquier vector del plano

34
00:03:30,430 --> 00:03:35,969
Cualquier vector del plano lo podría escribir como combinación lineal de ellos

35
00:03:35,969 --> 00:03:43,169
Es decir, son linealmente independientes y forman un sistema de generadores del plano

36
00:03:43,169 --> 00:03:50,610
O sea, de V2. Cualquier vector de V2 lo puedo escribir como combinación lineal de ellos.

37
00:03:51,889 --> 00:03:59,110
Voy a cambiar ahora estos vectores de tal manera que sean linealmente dependientes, que tengan la misma dirección.

38
00:03:59,409 --> 00:04:04,969
Fijaros que en este caso los vectores AB y AC están sobre la misma línea.

39
00:04:06,509 --> 00:04:10,430
Es decir, tienen la misma dirección, son linealmente dependientes.

40
00:04:10,430 --> 00:04:13,229
¿forman una base de V2?

41
00:04:14,150 --> 00:04:20,529
Pues no, no forman una base de V2 porque al ser linealmente dependientes

42
00:04:20,529 --> 00:04:23,750
cualquier combinación lineal que haga de ellos

43
00:04:23,750 --> 00:04:28,569
fijaros, si voy variando los valores de A y de B, que son los escalares

44
00:04:28,569 --> 00:04:32,470
el resultado, el vector AX que obtengo

45
00:04:32,470 --> 00:04:37,889
siempre va a ser un vector que va a estar con la misma dirección

46
00:04:37,889 --> 00:04:48,370
que los vectores AB y AC. Es decir, la dimensión del espacio que generan es 1, no es 2.

47
00:04:48,970 --> 00:04:58,120
No puedo generar cualquier vector del plano. Por lo tanto, si U y V son linealmente independientes,

48
00:04:58,839 --> 00:05:03,120
el conjunto formado por ellos dos forman una base de V2.

49
00:05:03,120 --> 00:05:10,660
cualquier vector de V2 se va a poder escribir como una combinación lineal de ellos

50
00:05:10,660 --> 00:05:18,060
Se llama dimensión del espacio vectorial al número de vectores que forman dicha base

51
00:05:18,060 --> 00:05:25,560
y se llama coordenadas del vector respecto de esa base a los respectivos escalares

52
00:05:25,560 --> 00:05:30,980
por los cuales multiplico U y V que son los vectores de la base

53
00:05:30,980 --> 00:05:34,379
y que me dan el vector W.

54
00:05:35,980 --> 00:05:40,939
Vamos a ver con GeoGebra qué significa coordenadas de un vector respecto a una base.

55
00:05:41,939 --> 00:05:45,420
En este caso los vectores de la base son U y V.

56
00:05:46,319 --> 00:05:48,199
Son linealmente independientes.

57
00:05:48,600 --> 00:05:52,980
Como podéis ver, gráficamente tienen distintas direcciones.

58
00:05:54,720 --> 00:05:59,899
Las coordenadas del vector B respecto de esta base

59
00:05:59,899 --> 00:06:06,240
serán los escalares por los cuales tengo que multiplicar u y v para que el resultado sea b.

60
00:06:07,120 --> 00:06:16,279
En este caso, fijaros que los vectores son el 1, 0, u es 1, 0 y v es 0, 1.

61
00:06:16,759 --> 00:06:25,740
Pues en ese caso yo tengo que multiplicar el vector u por 2, el vector v por 2 también y sumar.

62
00:06:26,139 --> 00:06:27,860
El resultado sería el vector b.

63
00:06:27,860 --> 00:06:35,759
Vamos a modificar ahora los vectores de la base para que veáis que las coordenadas de b cambian entonces

64
00:06:35,759 --> 00:06:48,009
Por ejemplo, hemos cambiado el vector u que ahora es el 1 menos 1

65
00:06:49,230 --> 00:06:57,129
En este caso, los números escalares por los cuales tengo que multiplicar u y v han cambiado

66
00:06:57,129 --> 00:07:08,089
En este caso, para obtener B, tengo que multiplicar el vector U por 2 y el vector V por 4 y sumar con la regla del paralelogramo.

67
00:07:08,569 --> 00:07:14,750
Es decir, las coordenadas del vector B en esta nueva base serían 2, 4.

68
00:07:15,790 --> 00:07:18,509
Ya no son 2, 2, ya serían 2, 4.

69
00:07:19,910 --> 00:07:21,550
Vamos a ver un último ejemplo.

70
00:07:27,189 --> 00:07:31,810
Fijaros que en este caso estoy haciendo coincidir las direcciones de B y de V.

71
00:07:32,029 --> 00:07:41,579
En este caso, las coordenadas de este vector b respecto de la base serían 0, 2.

72
00:07:41,899 --> 00:07:52,319
¿Por qué? Porque el escalar por el cual tengo que multiplicar u es 0 y el escalar por el cual tengo que multiplicar v es 2.

73
00:07:52,319 --> 00:07:59,060
Fijaros que en este caso la proyección de b sobre la dirección de u es 0.

74
00:07:59,399 --> 00:08:03,040
Por eso la coordenada suya respecto de u es 0.

75
00:08:03,339 --> 00:08:10,199
Vamos a ver unos tipos de bases. Base ortogonal y base ortonormal.

76
00:08:10,720 --> 00:08:16,899
Se dice que una base es ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre sí.

77
00:08:18,000 --> 00:08:28,519
Veremos luego que la condición de ortogonalidad entre vectores es que su producto escalar sea igual a cero.

78
00:08:28,519 --> 00:08:40,509
La base ortonormal es una base que es ortogonal, pero que además los vectores tienen módulo unidad.

79
00:08:41,309 --> 00:08:50,330
Es decir, dos condiciones, que sean ortogonales y que el módulo de cada uno de ellos sea igual a uno.

80
00:08:50,990 --> 00:08:59,750
La base canónica es la que vamos a utilizar generalmente para decir las coordenadas de los vectores.

81
00:09:00,090 --> 00:09:02,789
Es la que usualmente estamos acostumbrados.

82
00:09:03,049 --> 00:09:09,490
Fijaros que los vectores que forman la base canónica son el vector 1, 0 y el vector 0, 1.

83
00:09:09,870 --> 00:09:13,269
Lo anotamos con las letras I latina y J.

84
00:09:14,370 --> 00:09:17,070
Es una base ortonormal. ¿Por qué?

85
00:09:17,769 --> 00:09:21,990
Porque el ángulo formado por esos dos vectores es de 90 grados.

86
00:09:22,149 --> 00:09:27,289
Como veremos después, el producto escalar de esos dos vectores es 0.

87
00:09:27,289 --> 00:09:35,730
Y por otro lado, los vectores que forman la base son de módulo unidad, vectores unitarios.

88
00:09:36,289 --> 00:09:38,289
Por eso es ortonormal.

89
00:09:39,090 --> 00:09:47,330
En esta construcción geogebra veis la base canónica formada por los vectores I y J.

90
00:09:47,830 --> 00:09:51,629
Y el vector 1, 0, J el vector 0, 1.

91
00:09:51,629 --> 00:09:58,629
Cualquier vector OP del plano lo puedo expresar como combinación lineal de ellos

92
00:09:58,629 --> 00:10:13,320
Y en este caso, pues fijaros que, por ejemplo, el vector OP, pues la combinación lineal sería 4i más 2j

93
00:10:13,320 --> 00:10:21,000
Es decir, las coordenadas de ese vector respecto de la base canónica serían 4 y 2

94
00:10:21,000 --> 00:10:46,539
En este otro ejemplo pues tenemos el vector OP cuyas coordenadas respecto de la base serían , porque OP se obtiene multiplicando el vector Y por , y el vector J por 4