1 00:00:00,620 --> 00:00:09,339 Hola chicos, ¿qué tal? Os voy a explicar cómo utilizar las ecuaciones paramétricas de una recta para calcular la intersección entre una recta y un plano. 2 00:00:09,519 --> 00:00:19,699 Esta es una de sus aplicaciones más interesantes porque, como sabéis, si yo quiero calcular la intersección entre una recta y un plano de otra forma, 3 00:00:20,239 --> 00:00:23,980 pues las cuentas son largas. Si no, de todas formas, luego lo veo con un ejemplo. 4 00:00:23,980 --> 00:00:34,060 Pero ya veréis, imaginaos, tengo aquí una recta, la recta R que viene dada en forma vectorial por un punto posición y un vector director y tengo tres planos. 5 00:00:34,140 --> 00:00:41,460 Vamos a calcular la intersección de esta recta R con cada uno de estos tres planos, veréis que pasan tres cosas distintas. 6 00:00:41,460 --> 00:00:53,420 Para ello, pues mirad, yo esta ecuación vectorial puedo considerarla como, pues en realidad, un punto móvil, ¿verdad? 7 00:00:53,759 --> 00:00:59,020 Si yo sumo las coordenadas del punto con el vector, me queda lo siguiente. 8 00:00:59,020 --> 00:01:15,180 Y estas ecuaciones yo las puedo interpretar como las coordenadas de un punto que depende del parámetro lambda, con lo cual en realidad es un punto que se mueve alrededor de la recta. 9 00:01:15,180 --> 00:01:25,980 ¿Qué es lo que voy a hacer aquí? Pues lo único que voy a hacer, fijaos, muy sencillo, va a ser sustituir esas coordenadas de ese punto móvil en cada uno de los tres planos 10 00:01:25,980 --> 00:01:32,579 y vamos a intentar calcular la única incógnita que nos va a quedar, que va a ser nuestra lambda. 11 00:01:33,040 --> 00:01:43,260 Entonces vamos con ello y ya veréis que esto ataja un montón nuestro problema, de manera que yo voy a calcular en primer lugar, empecemos por r intersección pi sub 1. 12 00:01:43,260 --> 00:01:52,840 ¿Qué vamos a hacer? Ya digo, pues 1 más 2 lambda sería la x, menos 1 más lambda sería la y y 1 más lambda sería la z. Pues venga, vamos allá. 13 00:02:04,450 --> 00:02:11,530 Hemos sustituido en el plano pi sub 1 y ahora ¿qué hay que hacer? Simplificar la única incógnita, ya digo, es nuestro parámetro lambda. 14 00:02:12,009 --> 00:02:22,069 ¿Qué nos queda? Pues 1 menos 1 más 1 es 1, 2 lambda más lambda más lambda, 4 lambda, 4 lambda igual a 1, en este caso nos ha quedado. 15 00:02:23,009 --> 00:02:34,650 Eso quiere decir que la lambda, 4 lambda, vale 0, con lo que la lambda vale, cuidadito por aquí, 0 partido por 4, es decir, 0. 16 00:02:34,650 --> 00:02:46,409 Con lo cual, si la lambda vale 0, yo ya sé exactamente qué punto de la recta es el que pertenece a nuestro plano. 17 00:02:46,530 --> 00:02:51,590 Vamos a comprobarlo. Sería simplemente sustituir la L por lambda en esta ecuación. 18 00:02:51,590 --> 00:02:59,590 Es decir, que el punto en cuestión sería, sustituyendo aquí la alanda por 0, pues el punto 1, menos 1, 1. 19 00:02:59,750 --> 00:03:04,569 Es decir, ese es el punto que es la intersección de nuestra recta con el plano. 20 00:03:05,009 --> 00:03:11,210 Con lo que, en este caso, pues la recta R y el plano se van a cortar en este punto P. 21 00:03:11,430 --> 00:03:12,870 La recta se corta con el plano. 22 00:03:13,629 --> 00:03:18,169 Daos cuenta, precisamente, que este punto era el punto posición porque nos ha dado la alanda 0. 23 00:03:18,310 --> 00:03:20,169 Aquí la alanda no tiene por qué dar 0. 24 00:03:20,169 --> 00:03:30,569 Y si sustituimos el punto en el plano, fijaos, 1 menos 1, 0, más 1 igual a 1. Es decir, es que este punto posición de la recta estaba dentro del plano. Por eso ha salido así. 25 00:03:31,189 --> 00:03:39,189 Vamos a ver ahora qué pasaría si hago lo mismo con este plano 2, es decir, r intersección pi sub 2. 26 00:03:39,189 --> 00:03:56,039 Si yo sustituyo las ecuaciones de la recta dentro del plano, me quedan 3 que multiplica a 1 más 2 lambda, más 2 que multiplica a menos 1 más lambda, menos 8 que multiplica a 1 más lambda. 27 00:03:56,039 --> 00:04:19,259 Y eso tiene que ser igual a 1. Y si yo hago la cuenta, fijaos, 3 menos 2 menos, o sea, más 1, menos 8, menos 7 si no me equivoco, y ahora 3 por 2, 6 lambda, 2 por lambda, 6 lambda más 2 lambda, 8 lambda, menos 8 lambda, pues queda 0 lambda, igual a 1. 28 00:04:19,259 --> 00:04:45,620 Es decir, menos 7 igual a 1 lo que es imposible. Esto es del todo imposible con lo cual no hay solución. Si no hay solución, ¿qué va a querer decir? Pues que la recta no se corta con el plano. Es decir, que la recta y el plano son paralelos. Recta y plano paralelos. No hay solución, son paralelos. 29 00:04:45,620 --> 00:05:14,319 Bien, y la última, vamos con la última de nuestras, la última de nuestras intersecciones, vamos a calcular la intersección de nuestra recta ER, vamos a copiarla por aquí, está con, a ver, vamos a cogerla entera, aquí está, esta es la recta y el plano 3 es x menos y menos z igual a 1, vamos a ver qué pasa. 30 00:05:14,319 --> 00:05:22,930 total R intersección sub 3 31 00:05:22,930 --> 00:05:25,149 tendré que sustituir en el plano 32 00:05:25,149 --> 00:05:27,149 X menos Y menos Z igual a 1 33 00:05:27,149 --> 00:05:29,730 estas ecuaciones, lo mismo que antes 34 00:05:29,730 --> 00:05:41,220 y entonces ahora hacemos las cuentas y me queda 35 00:05:41,220 --> 00:05:43,500 1 más 1 menos 1 36 00:05:43,500 --> 00:05:48,930 2 lambda menos lambda menos lambda 37 00:05:48,930 --> 00:05:55,819 y aquí pues 2 lambda otra vez con menos lambda menos lambda 38 00:05:55,819 --> 00:05:57,100 otra vez me da 0 lambda 39 00:05:57,100 --> 00:06:00,620 1 más 1, 2, menos 1, 1 40 00:06:00,620 --> 00:06:04,959 es decir, que me queda 1 igual a 1 41 00:06:04,959 --> 00:06:07,060 1 igual a 1 siempre es cierto 42 00:06:07,060 --> 00:06:10,459 luego, para cualquier valor de lambda 43 00:06:10,459 --> 00:06:17,459 el punto pertenece al plano 44 00:06:17,459 --> 00:06:20,600 es decir, que está ocurriendo que la recta está contenida 45 00:06:20,600 --> 00:06:23,220 dentro de este plano pi sub 3 46 00:06:23,220 --> 00:06:27,379 porque todos los puntos de la recta son solución al intentar calcularlos 47 00:06:27,379 --> 00:06:30,459 porque aquí nos ha quedado una identidad, 1 igual a 1 48 00:06:30,459 --> 00:06:41,360 Es decir, que de esta manera tan sencilla es posible no sólo calcular la intersección entre una recta y un plano, sino distinguir cuál de los tres casos es. 49 00:06:41,420 --> 00:06:47,560 Es decir, lo que se llama en matemáticas estudiar la posición relativa entre la recta y el plano. 50 00:06:48,240 --> 00:06:58,660 Fijaos que si yo quisiese calcular la intersección entre una recta dada en forma cartesiana, imaginaos que yo tengo una ecuación de una recta que no está en paramétricas. 51 00:07:01,540 --> 00:07:06,480 Imaginaos, yo tengo aquí esta recta, que si hubiese tenido la recta R, dada por estas tres ecuaciones, 52 00:07:07,040 --> 00:07:10,100 y otro plano, que esté dado por su ecuación. 53 00:07:10,579 --> 00:07:13,879 2x menos y, yo que sé, más z igual a 8. 54 00:07:14,459 --> 00:07:19,339 Imaginaos que os dan eso y queréis calcular la posición relativa a la intersección, 55 00:07:19,819 --> 00:07:22,279 os piden que calculeis la intersección entre la recta y el plano. 56 00:07:22,779 --> 00:07:26,279 Pues, ¿qué tendríamos que hacer? Resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 57 00:07:26,279 --> 00:07:28,959 para intentar buscar el punto intersección. 58 00:07:29,360 --> 00:07:35,000 ¿Qué ocurre? Pues que es bastante más latoso que todo esto, como sabéis, resolver un sistema 3x3. 59 00:07:35,459 --> 00:07:45,480 Quizá incluso os convenga, antes de resolver el sistema 3x3, pasar esto a paramétricas y aplicar este procedimiento. 60 00:07:45,480 --> 00:07:50,279 Quizá es más sencillo utilizar las paramétricas. 61 00:07:50,839 --> 00:07:55,060 Pero bueno, eso lo dejo a vuestra lección. Ahora os toca trabajar a vosotros. 62 00:07:55,519 --> 00:07:56,000 ¡Hasta luego!