1
00:00:00,590 --> 00:00:06,370
Hola chicas, hola chicos. Bueno, vamos a hacer un primer ejercicio de cálculo práctico de áreas

2
00:00:06,370 --> 00:00:10,429
entre funciones y eje o x, ¿vale?

3
00:00:10,789 --> 00:00:14,250
Y le vamos a resolver este problema. Dice, haya el área comprendida entre la curva

4
00:00:14,250 --> 00:00:22,530
y igual a x al cubo menos x, el eje x y las rectas x igual a 0 y x igual a 2, ¿vale?

5
00:00:22,929 --> 00:00:29,350
Bueno, nos piden el área entre una función, el eje x, en un determinado intervalo, ¿vale?

6
00:00:29,350 --> 00:00:31,230
Comprendido entre estas dos rectas, ¿vale?

7
00:00:31,329 --> 00:00:35,450
Entonces, bueno, lo primero que se le puede ocurrir a uno es, pues nada, muy sencillo

8
00:00:35,450 --> 00:00:41,689
Hago la integral entre 0 y 2 de x al cubo menos x diferencial de x

9
00:00:41,689 --> 00:00:43,429
Eso es lo primero que se nos puede ocurrir, ¿no?

10
00:00:43,630 --> 00:00:47,350
Bueno, pues en general esto no es lo correcto, ¿vale?

11
00:00:47,409 --> 00:00:48,490
Y vamos a ver por qué no

12
00:00:48,490 --> 00:00:51,490
Puede ser que sí, pero en general no va a ocurrir eso

13
00:00:51,490 --> 00:00:53,689
¿Por qué? Porque mirad, imaginad

14
00:00:53,689 --> 00:00:57,030
Estos son los ejes, ¿vale?

15
00:00:57,030 --> 00:01:00,570
Yo tengo que calcular el área entre 0 y 2, ¿vale?

16
00:01:00,689 --> 00:01:06,010
Bueno, pues imaginar que entre 0 y 2 la función hiciera así, por ejemplo, ¿vale?

17
00:01:06,170 --> 00:01:12,010
Tengo una función que entre 0 y 2 en parte del intervalo está por encima del eje x

18
00:01:12,010 --> 00:01:14,829
y en parte del intervalo está por debajo del eje x.

19
00:01:15,189 --> 00:01:20,849
Entonces, fijaros, el área que me están pidiendo sería este de aquí, este y este trozo de aquí.

20
00:01:21,450 --> 00:01:22,370
Entonces, ¿qué ocurre?

21
00:01:22,370 --> 00:01:30,629
Fijaros, cuando yo calculo la integral a esta parte de aquí, a este área que le voy a llamar el área 1, la va a considerar positiva, ¿vale?

22
00:01:30,689 --> 00:01:37,409
Pero al calcular la integral, este trozo de aquí lo va a considerar como negativo, ¿vale?

23
00:01:37,489 --> 00:01:45,870
De tal manera que si yo calculo directamente la integral entre 0 y 2, el resultado que me va a dar es la suma de estas dos áreas pero con su signo, ¿vale?

24
00:01:45,870 --> 00:01:50,670
O sea que lo que va a hacer efectivamente es restarlas y eso no es lo que quiero, ¿vale?

25
00:01:50,670 --> 00:01:55,629
Me va a dar como resultado la resta de esas dos áreas en vez de su suma, y eso no es lo que quiero, ¿vale?

26
00:01:56,269 --> 00:02:01,909
Entonces, antes de hacer la integral, tengo que detectar esta situación, ¿y cómo detecto esto?

27
00:02:02,030 --> 00:02:08,569
Pues tengo que ver si la función corta el eje x, esto va a pasar cuando la función en el intervalo de integración que me den,

28
00:02:08,669 --> 00:02:12,009
en este caso entre 0 y 2, corta el eje x, ¿vale?

29
00:02:12,270 --> 00:02:18,210
Entonces, si corta el eje x, imaginaros que esto es, pues no sé, un medio, ¿vale?

30
00:02:18,210 --> 00:02:43,550
Si corta el eje x, ¿qué es lo que voy a hacer? Pues dividir la integral en dos partes, ¿vale? Voy a calcular la integral entre 0 y 1 medio, la integral entre 1 medio y 1, por ejemplo, o entre 2, ¿vale? Voy a dividir el intervalo en dos partes y voy a tomar el valor absoluto de la integral porque realmente lo que me interesa, ¿de acuerdo? No es el signo con que me sale la integral, sino el número que me da, que ese es efectivamente el valor del área, ¿vale?

31
00:02:43,550 --> 00:02:49,289
Entonces, ¿cómo vamos a hacer para calcular esto?

32
00:02:49,289 --> 00:02:54,949
Bueno, pues lo primero que vamos a tener que hacer siempre es ver si esta función corta el eje x en el intervalo que nos dan.

33
00:02:56,030 --> 00:03:05,289
Entonces, primero calculamos los puntos de corte de la función con el eje x.

34
00:03:08,939 --> 00:03:13,500
Entonces, recordad que para calcular los puntos de corte hay que hacer y igual a cero.

35
00:03:13,819 --> 00:03:17,560
Los puntos donde la función vale cero, esos son los puntos de corte con el eje x.

36
00:03:17,979 --> 00:03:19,599
Es decir, igualamos la función a cero.

37
00:03:19,599 --> 00:03:39,099
Y en este caso es muy sencillo, esta ecuación se resuelve sacando factor común y de aquí nos queda x al cuadrado igual a 0, nos sale x igual a 0, eso no hay problema porque lo que nos está diciendo es que corta el eje x justo en uno de los límites de integración que nos están dando, pero eso no es problema, ¿vale?

38
00:03:39,099 --> 00:04:08,360
Y de aquí me sale que x es igual a 1 y fijaros, esto sí que es un problema, ¿vale? Porque me sale que corta el eje x entre los dos límites de integración, ¿vale? Entonces, fijaros, vamos a intentar dibujar esto otra vez, voy a borrar este dibujo, ¿vale? Es decir, la función que me están dando, que yo tengo que calcular el área entre 0 y 2, corta en el 1, ¿vale?

39
00:04:08,360 --> 00:04:11,780
En uno de estos tramos puede ir por arriba y en estos por abajo

40
00:04:11,780 --> 00:04:15,639
No hace falta que lo calculemos, ahora vamos a ver por qué, porque nos va a salir directamente

41
00:04:15,639 --> 00:04:19,459
Lo que sí sé es que voy a tener que dividir entonces la integral en dos partes

42
00:04:19,459 --> 00:04:25,420
Voy a tener que calcular por un lado la integral entre 0 y 1 y por otro lado la integral entre 1 y 2

43
00:04:25,420 --> 00:04:32,699
¿Vale? Bueno, si representáis gráficamente la función vais a ver que sale una cosa así, ¿vale?

44
00:04:32,699 --> 00:04:44,500
Con lo cual, fijaros, lo que nos están pidiendo es calcular esto, ¿vale? Eso de ahí, y la integral nos va a salir negativa y esta positiva, ¿vale?

45
00:04:44,759 --> 00:04:50,319
Pero esto vais a ver que no hace falta saberlo, ¿vale? Porque nos va a salir directamente al calcular la integral.

46
00:04:51,079 --> 00:04:57,259
Entonces, dos, ahora ya sabemos que el área que vamos a calcular lo vamos a tener que dividir en dos partes, ¿vale?

47
00:04:57,259 --> 00:05:05,779
Vamos a tener que hacer por un lado la integral entre 0 y 1, que es el punto que nos sale intermedio en el que la función corta el eje x, ¿vale?

48
00:05:09,730 --> 00:05:14,189
Y como no sabemos con qué signo no va a salir, pues ponemos el valor absoluto.

49
00:05:14,269 --> 00:05:20,290
Si nos sale positivo, pues cogemos ese valor y si nos sale negativo, le cambiamos el signo, ¿vale?

50
00:05:20,410 --> 00:05:28,569
Entonces, poniendo este valor absoluto ya hace falta que no tengamos que averiguar por dónde la función va positiva, va por encima del eje x y por dónde va por debajo del eje x.

51
00:05:28,569 --> 00:05:32,649
Tomando el valor absoluto lo arreglamos, nos va a salir bien seguro

52
00:05:32,649 --> 00:05:39,120
Bueno, entonces tenemos que calcular esas dos integrales

53
00:05:39,120 --> 00:05:42,100
Como veis hay que dividir la integral en dos partes distintas

54
00:05:42,100 --> 00:05:47,079
Bueno, entonces esto si lo escribimos un poco con un poco más de detalle

55
00:05:47,079 --> 00:05:54,980
Sería la integral entre 0 y 1 de x al cubo menos x diferencial de x

56
00:05:54,980 --> 00:05:59,779
más el valor absoluto de la integral entre 1 y 2

57
00:05:59,779 --> 00:06:03,660
de x al cubo menos x diferencial de x

58
00:06:03,660 --> 00:06:04,600
¿vale?

59
00:06:06,000 --> 00:06:07,439
bueno, entonces

60
00:06:07,439 --> 00:06:09,699
fijaros, esto sería

61
00:06:09,699 --> 00:06:15,819
el valor absoluto, la primera integral me saldría aplicando la regla de Barrow

62
00:06:15,819 --> 00:06:18,680
la primitiva en 1 menos la primitiva en 0

63
00:06:18,680 --> 00:06:22,079
¿vale? y a esto le sumo del valor absoluto

64
00:06:22,079 --> 00:06:36,600
Aplico ahora la regla de Barrow para esta función, me quedaría la primitiva en 2 menos la primitiva en 1, ¿vale? Y lo que vamos a hacer, perdón, el valor absoluto, ¿vale? Y lo que vamos a hacer ahora es calcular la primitiva, ¿vale?

65
00:06:36,600 --> 00:06:52,560
Si yo calculo la integral de x al cubo menos x diferencial de x, pues esto me da x a la cuarta partido por 4 menos x al cuadrado partido por 2, ¿vale? Esto sería la primitiva.

66
00:06:52,899 --> 00:07:02,800
Queremos calcular una de las primitivas, ¿vale? No nos hace falta calcular todas, por eso no pongo la constante, ¿vale? Este cálculo de arriba va a salir lo mismo con cualquier primitiva que pusiera, ¿vale?

67
00:07:02,800 --> 00:07:12,860
Vale, en estos ejercicios, ya digo, no pongo la constante porque lo que quiero es, no quiero todas las primitivas, con tener una me basta, entonces cojo la más sencilla que es la que no tiene la constante.

68
00:07:12,860 --> 00:07:18,560
Bueno, y ahora voy a evaluar la integral en estos puntos de aquí, ¿vale?

69
00:07:18,639 --> 00:07:22,240
La primitiva, vamos a ver cuánto vale la primitiva en 0, ¿vale?

70
00:07:22,259 --> 00:07:25,379
Si yo sustituyo los dos términos me sale en 0, ¿vale?

71
00:07:25,420 --> 00:07:27,660
Con lo cual esto vale 0, ¿vale?

72
00:07:27,740 --> 00:07:34,420
Fijaros, la primitiva en 1 me sale 1 cuarto menos 1 medio, ¿vale?

73
00:07:34,420 --> 00:07:40,759
Tengo que sumar esas dos fracciones, me quedaría 1 cuarto menos 2 cuartos, esto sale menos 1 cuarto

74
00:07:40,759 --> 00:07:58,240
y la primitiva en 2, sale 2 a la cuarta partido por 4, menos 2 al cuadrado partido por 2, vale, 2 a la cuarta es 16, 16 entre 4, menos 4 entre 2, es decir, esto sale 4 menos 2, 2.

75
00:07:58,240 --> 00:08:17,060
Con lo cual, fijaros, ahora esto me quedaría el valor absoluto de f de 1 menos un cuarto menos f de 0, 0. ¿Veis? Esta parte de aquí, la primitiva sale negativa, sale menos un cuarto, ¿vale? Porque el área está por debajo del eje x.

76
00:08:17,060 --> 00:08:21,279
Veis que no hace falta dibujarlo ni saberlo porque aquí sale que la Y es negativa

77
00:08:21,279 --> 00:08:24,680
Y con eso ya sabemos que la gráfica está por debajo del eje X

78
00:08:24,680 --> 00:08:32,779
¿Vale? Más el valor absoluto de F de 2, que es 2, menos F de 1, que es menos 1 cuarto

79
00:08:32,779 --> 00:08:35,620
¿Vale? Quedaría menos menos 1 cuarto

80
00:08:35,620 --> 00:08:40,159
¿Vale? Con lo cual, fijaros, el valor primero me sale 1 cuarto

81
00:08:40,159 --> 00:08:44,919
Esto de aquí sale 1 cuarto más, y esto me sale 2 más 1 cuarto

82
00:08:44,919 --> 00:08:47,500
2 más 1 cuarto, ¿vale?

83
00:08:47,600 --> 00:08:51,919
Y sumamos esto, esto serían 2 cuartos, 1 cuarto y 1 cuarto, 2 cuartos

84
00:08:51,919 --> 00:08:56,799
Que es 1 medio, 1 medio y 2 son 5 medios, ¿vale?

85
00:08:56,899 --> 00:09:00,899
Eso es lo que daría, y este sería el resultado, eso es lo que daría ese área, ¿vale?

86
00:09:01,059 --> 00:09:03,919
Bueno, entonces, lo importante de este tipo de ejercicios

87
00:09:03,919 --> 00:09:08,639
Tenemos primero que comprobar dónde corta la función al eje X

88
00:09:08,639 --> 00:09:10,759
Y tomando esos puntos, ¿vale?

89
00:09:10,820 --> 00:09:14,519
Todos los puntos donde corta la función que estén dentro del intervalo de integración

90
00:09:14,519 --> 00:09:18,000
tenemos que dividir la integral en varias partes

91
00:09:18,000 --> 00:09:20,039
y con eso se calcula el área

92
00:09:20,039 --> 00:09:21,539
un saludo