1
00:00:00,000 --> 00:00:04,520
Hola a todos. Pues mirad, hoy tengo una mala noticia que daros. Seguramente este

2
00:00:04,520 --> 00:00:10,600
sea el último vídeo que os pongo en lo que queda de

3
00:00:10,600 --> 00:00:13,680
evaluación, porque estuve hablando con la jefa de departamento y decidimos lo

4
00:00:13,680 --> 00:00:16,800
que iba a entrar y yo creo que me da tiempo a meterlo en este vídeo, pero no

5
00:00:16,800 --> 00:00:20,720
os preocupéis que intentaré que sea lo más largo posible, ¿vale? Y así no os da

6
00:00:20,720 --> 00:00:27,960
tanta pena. Mirad, ayer os dije que... bueno, en el último vídeo os dije que me

7
00:00:27,960 --> 00:00:31,840
quedaban algunas cosas por ver de las gráficas de las funciones, ¿vale? Algunas

8
00:00:31,840 --> 00:00:36,280
de las características de las funciones que no me había dado tiempo

9
00:00:36,280 --> 00:00:39,720
de ver en el vídeo anterior, ¿vale? Y una de ellas es la simetría, ¿vale? Os he puesto

10
00:00:39,720 --> 00:00:47,680
aquí cuatro gráficas, cuatro ejemplos de gráficas, y seguramente muchos de

11
00:00:47,680 --> 00:00:54,120
vosotros a simple vista... bueno, lo de simetría es una palabra que yo creo que

12
00:00:54,120 --> 00:00:57,760
no es desconocida para ninguno de vosotros y sabéis más o menos de qué va.

13
00:00:58,520 --> 00:01:04,800
Incluso puede que lo hayáis visto en otros cursos. Bueno, algo simétrico es

14
00:01:04,800 --> 00:01:13,360
algo que está como reflejado, ¿vale? Algo que podríamos suponer que es igual por

15
00:01:13,360 --> 00:01:19,520
un lado que por el otro, ¿verdad? Como las imágenes que ves en un espejo...

16
00:01:19,520 --> 00:01:23,440
No sé, lo tendrían que haber buscado en el diccionario porque seguro que ahí lo

17
00:01:23,440 --> 00:01:26,880
decían muy bien, ¿no? Pero yo creo que el concepto de simetría no es

18
00:01:26,880 --> 00:01:36,040
desconocido, ¿vale? Entonces estas gráficas seguramente hay una o varias que os

19
00:01:36,040 --> 00:01:41,840
parece que puede ser simétrica, ¿no? Que como que se puede partir por la mitad y

20
00:01:41,840 --> 00:01:45,960
lo que hay a un lado es igual que lo que hay al otro, ¿verdad? Esa sería la

21
00:01:45,960 --> 00:01:51,320
simetría más fácil que conocemos. Yo en concreto veo dos que cumplen ese

22
00:01:51,320 --> 00:01:58,680
criterio, que las partimos por la mitad y los dos lados es como si se reflejara

23
00:01:58,680 --> 00:02:04,280
en un espejo, ¿vale? La primera está muy claro porque además tenemos ya la línea

24
00:02:04,280 --> 00:02:11,320
que la parte hecha, ¿veis? Esta podríamos decir que es simétrica respecto al eje

25
00:02:11,320 --> 00:02:15,640
vertical, al eje de las... es el eje de ordenadas, ¿verdad? Fijaos que si parto

26
00:02:15,640 --> 00:02:21,240
por aquí lo que hay a este lado es como si lo viéramos a través de un

27
00:02:21,240 --> 00:02:27,280
espejo con respecto a este. Y si hemos dicho que está simétrica hay otra muy

28
00:02:27,280 --> 00:02:33,560
parecida que es esta de aquí, pero la diferencia es que ya no es simétrica

29
00:02:33,560 --> 00:02:41,360
respecto al eje de ordenadas. Ahora sería simétrica respecto a una línea que

30
00:02:41,360 --> 00:02:47,400
pasará por aquí, ¿vale? Este sería como el espejo,

31
00:02:47,400 --> 00:02:53,240
donde se refleja este lado y aparece este otro, ¿verdad?

32
00:02:53,240 --> 00:02:57,120
Otra manera de verlo es que si las doblamos por su eje de simetría

33
00:02:57,120 --> 00:03:01,320
coincidirían la línea de un lado y del otro. Imaginaos que doblamos... que doblar

34
00:03:01,320 --> 00:03:05,840
allí el papel coincidiría este lado con el otro y aquí si lo doblo por el eje de

35
00:03:05,840 --> 00:03:11,080
ordenadas también coincide, ¿vale? Ese es un tipo de simetría, ¿vale? Simetría

36
00:03:11,080 --> 00:03:15,600
axial se llama, la simetría respecto a un eje, respecto a una línea. Pero hay otro

37
00:03:15,600 --> 00:03:21,000
tipo de simetría más difícil de ver y es lo que llamamos simetría impar o

38
00:03:21,000 --> 00:03:28,480
simetría respecto a un punto, ¿vale? Y aquí hay otra función de todas estas que es

39
00:03:28,480 --> 00:03:33,040
simétrica. Seguro que también lo veis porque si tiene que ser de las otras dos

40
00:03:33,040 --> 00:03:36,920
alguna seguro que todos habéis apostado por esta. Pero es una simetría más

41
00:03:36,920 --> 00:03:44,080
difícil de ver porque aquí, vale, esto no me serviría como espejo porque si doblo

42
00:03:44,080 --> 00:03:49,520
por aquí el papel no va a coincidir y esto tampoco es el espejo porque si lo

43
00:03:49,520 --> 00:03:54,840
doblas no coincide. En realidad hay que doblar por los dos sitios a la vez.

44
00:03:54,840 --> 00:03:59,480
Esta es una función que tiene simetría impar, decimos, y es simétrica respecto a

45
00:03:59,480 --> 00:04:05,360
este punto, el origen de ordenadas. ¿Cómo podemos ver si una función, a partir de

46
00:04:05,360 --> 00:04:10,040
su gráfica, cómo podemos deducir que es una función simétrica respecto al origen

47
00:04:10,040 --> 00:04:17,160
de ordenadas, que tenga simetría impar? Pues doblando dos veces, una sobre el eje

48
00:04:17,160 --> 00:04:22,160
horizontal y otra sobre el eje vertical. Si coinciden, entonces es simétrica impar.

49
00:04:22,160 --> 00:04:26,560
Imaginaos que doblo sobre el eje horizontal, entonces la parte de arriba

50
00:04:26,560 --> 00:04:34,800
la bajo abajo. Me quedaría esto aquí. Y ahora sí que tiene, y ahora si lo volvemos

51
00:04:34,800 --> 00:04:38,800
a doblar por el eje vertical, entonces ya sí que coincide lo de este lado con lo

52
00:04:38,840 --> 00:04:44,960
de este otro. Cuando eso sucede es simetría impar. Entonces esta es...

53
00:04:44,960 --> 00:04:51,520
Vale, vamos a ver. Esto era simetría axial, esto simetría impar. Pero dentro de la

54
00:04:51,520 --> 00:04:55,560
simetría axial hay un caso particular, un caso que es el que más nos interesa, que

55
00:04:55,560 --> 00:04:59,360
es la simetría par, que es cuando es simétrica, que es esta primera, cuando es

56
00:04:59,360 --> 00:05:02,600
simétrica respecto al eje de ordenadas. O sea, nosotros los dos casos de simetría

57
00:05:02,600 --> 00:05:11,240
más importantes que vamos a estudiar es simetría par y simetría impar.

58
00:05:11,240 --> 00:05:15,080
Vale, esta también es simétrica, lo que pasa que no es uno de los tipos de

59
00:05:15,080 --> 00:05:19,160
simetría que nos van a interesar durante este tema, simetría axial, pero en este

60
00:05:19,160 --> 00:05:22,920
tema nos vamos a centrar sobre estas, estos dos tipos de simetría. ¿Por qué?

61
00:05:22,920 --> 00:05:26,760
Porque luego vamos a estudiar unas formulitas que nos permiten deducirlo

62
00:05:26,760 --> 00:05:31,000
incluso sin conocer la gráfica. ¿Vale? Deducir si una función es simétrica par

63
00:05:31,000 --> 00:05:36,000
o impar. Y estas dos diremos que no presentan simetría par ni impar. ¿Vale?

64
00:05:36,000 --> 00:05:41,480
Esta no presenta simetría en absoluto, ¿vale? Porque es una función que no tiene

65
00:05:41,480 --> 00:05:45,960
simétrica. No es simétrica.

66
00:05:48,200 --> 00:05:51,840
Esta es simetría axial, pero eso no lo vamos a estudiar de momento. Nosotros

67
00:05:51,840 --> 00:05:55,280
diremos que es simétrica par pero desplazada, pero eso lo veremos más

68
00:05:55,280 --> 00:05:58,080
adelante, ya después de la evaluación, ¿vale? Que quedarán unos días para

69
00:05:58,080 --> 00:06:03,520
ampliar un poco de materia para que no vayáis tan mal de cara al año que viene.

70
00:06:03,520 --> 00:06:09,120
¿Vale? Muy bien, pues ahora voy a ir con las fórmulas estas que os he dicho. La

71
00:06:09,120 --> 00:06:19,040
fórmula para la simetría par es esta. f de x es igual... f de menos x igual que f de x.

72
00:06:19,040 --> 00:06:26,160
Y las funciones que tienen simetría impar cumplen en cambio esto.

73
00:06:28,320 --> 00:06:32,400
¿Qué significa eso? Pues lo vamos a ver con ejemplos con números, ¿vale? Y a partir de

74
00:06:32,400 --> 00:06:37,360
estas gráficas. Bueno, en vosotros ya supongo que habréis

75
00:06:37,360 --> 00:06:41,720
practicado y sabéis averiguar el valor de una función en un punto. Yo, por

76
00:06:41,720 --> 00:06:51,320
ejemplo, si os digo ¿cuánto vale f de 1?

77
00:06:51,320 --> 00:06:58,680
Pues vendríais aquí a la gráfica y buscáis el 1 en las x

78
00:06:59,160 --> 00:07:05,640
y veis que la altura a la que está es 0. ¿Vale?

79
00:07:05,800 --> 00:07:12,720
¿Y cuánto vale...? Y ahora vamos a cambiarlo de signo a este. ¿Cuánto vale f de menos 1?

80
00:07:12,720 --> 00:07:17,320
Vamos al menos 1 y vemos que también es 0. Esto es lo que se cumple en las

81
00:07:17,320 --> 00:07:23,960
funciones que tienen simetría impar. Que la función en un punto vale lo mismo

82
00:07:23,960 --> 00:07:29,120
que en el mismo punto pero en negativo. ¿Vale?

83
00:07:29,120 --> 00:07:33,320
Y veis que eso se cumpliría para cualquier

84
00:07:34,040 --> 00:07:39,720
cualquier valor de x. ¿Vale? Imaginaos...

85
00:07:39,720 --> 00:07:50,200
Esto vamos a suponer que es 1,5. f de 1,5 me da menos 2.

86
00:07:50,200 --> 00:07:57,400
Es lo mismo que f de menos 1,5. Sí, también da menos 2. Esto se tiene que

87
00:07:57,400 --> 00:08:02,600
cumplir siempre que sea una función simétrica para. Y con las impares sucede

88
00:08:02,600 --> 00:08:10,120
algo más o menos parecido. ¿Vale? Hay alguna correspondencia entre entre los

89
00:08:10,120 --> 00:08:15,480
valores positivos y los negativos. Vamos a verlo con números también. ¿Cuánto vale

90
00:08:15,480 --> 00:08:20,680
f de 1? Vamos a la gráfica. f de 1 vale menos 1.

91
00:08:20,680 --> 00:08:26,480
Y ahora le cambiamos el signo a la x. f de menos 1 ¿Cuánto valdrá?

92
00:08:26,480 --> 00:08:32,000
Nos vamos al menos 1. Fijaos que en las funciones impares si le cambias el signo

93
00:08:32,000 --> 00:08:38,160
a la x se lo cambias también a la y. ¿Vale? Fijaos que se cumple también para

94
00:08:38,160 --> 00:08:43,200
cualquier valor. Bueno, el 0 resulta que no tiene...

95
00:08:43,200 --> 00:08:51,760
Este ejemplo a lo mejor no se ve claro pero f de 2 sería 0 y f de menos 2

96
00:08:51,760 --> 00:08:56,440
también es 0. ¿Vale? Pero es que el 0 es el único número que no tiene signo. ¿Vale?

97
00:08:56,440 --> 00:08:59,920
Si fuera cualquier otro valor se le cambiaría el signo. Pues eso es lo que

98
00:08:59,960 --> 00:09:06,920
tenéis que saber de estas dos fórmulas. Son las que os tenéis que aprender.

99
00:09:06,920 --> 00:09:14,920
¿Cómo se utilizan estas fórmulas para trabajar analíticamente? ¿Vale?

100
00:09:14,920 --> 00:09:17,920
En vez de con la gráfica de una función, con la fórmula de una función.

101
00:09:17,920 --> 00:09:26,920
Pues vamos a ver un ejemplo. Imaginaos esta función f de x igual a x a la cuarta

102
00:09:26,920 --> 00:09:35,920
Bueno, al cuadrado es más fácil. Menos 4. ¿Vale? Sin hacer la gráfica. ¿Vale?

103
00:09:35,920 --> 00:09:38,920
Podríamos dibujar la gráfica y verlo pero eso llevaría mucho trabajo.

104
00:09:38,920 --> 00:09:42,920
Tendríamos que empezar a dar bastantes puntos. ¿Cómo lo hacemos?

105
00:09:42,920 --> 00:09:47,920
Pues vamos a cambiar todas las x por menos x. Vamos a calcular f de menos x.

106
00:09:47,920 --> 00:09:54,920
¿Vale? Si cambio aquí la x por menos x voy a cambiar. Cada vez que aquí aparezca una x

107
00:09:54,920 --> 00:09:59,920
la sustituyo por menos x. Esto será menos x al cuadrado. Fijaos que como es un número negativo

108
00:09:59,920 --> 00:10:05,920
un valor negativo lo he sustituido entre paréntesis. Menos 4. ¿Vale?

109
00:10:05,920 --> 00:10:08,920
Vamos a simplificar esta expresión. Vamos a seguir desarrollándola.

110
00:10:08,920 --> 00:10:15,920
Es decir que f de menos x es igual. A ver si le damos menos x al cuadrado.

111
00:10:15,920 --> 00:10:20,920
Menos x por menos x. Menos por menos más. X por x. X al cuadrado.

112
00:10:21,920 --> 00:10:31,920
Fijaos lo que ha pasado. La fórmula de f de x ha coincidido con la fórmula de f de menos x.

113
00:10:31,920 --> 00:10:38,920
¿Veis? Es decir, esta función es simétrica.

114
00:10:38,920 --> 00:10:40,920
Oye.

115
00:10:44,920 --> 00:10:51,920
Ahora os voy a poner un ejemplo de simetría impar. A ver, no fácil.

116
00:10:56,920 --> 00:11:01,920
Bueno, esta es la más fácil que se me ha ocurrido, que es impar. Entonces hacemos lo mismo.

117
00:11:01,920 --> 00:11:08,920
Esta es la fórmula de nuestra función. Eje de x, 1 partido de x.

118
00:11:08,920 --> 00:11:15,920
¿Qué hacemos? Para saber si tiene simetría, cambiamos las x por menos x.

119
00:11:17,920 --> 00:11:24,920
¿Vale? Recordad que os he dicho que en una fracción el signo menos preferiblemente arriba o delante.

120
00:11:24,920 --> 00:11:31,920
Entonces voy a colocarlo. Da lo mismo donde lo pongas. Delante, abajo, o sea, arriba, delante o abajo.

121
00:11:31,920 --> 00:11:35,920
Preferiblemente debajo o arriba. Pero fijaos lo que ha pasado.

122
00:11:35,920 --> 00:11:43,920
La fórmula de g de menos x es exactamente igual que la de g de x.

123
00:11:43,920 --> 00:11:50,920
Lo que pasa es que con el signo menos delante. Eso es simetría impar.

124
00:11:55,920 --> 00:12:01,920
Vale, pues luego os pondré unos ejercicios para que practiquéis con esto.

125
00:12:01,920 --> 00:12:12,920
Voy a poneros otro ejemplo un poquito más difícil, porque luego a lo mejor no se os ocurre como resolver otras ecuaciones.

126
00:12:12,920 --> 00:12:20,920
Voy a llamarle h de x a 3x menos x elevado al cubo.

127
00:12:21,920 --> 00:12:29,920
El procedimiento es muy sencillo, lo de siempre. Cambiamos todas las x por menos x.

128
00:12:29,920 --> 00:12:36,920
Ojo, porque es como si fuera un valor negativo, entonces hay que hacerlo entre paréntesis.

129
00:12:36,920 --> 00:12:39,920
¿Veis? Esta x la he cambiado por menos x entre paréntesis.

130
00:12:39,920 --> 00:12:43,920
Y aquí también, donde estaba la x, menos x entre paréntesis.

131
00:12:44,920 --> 00:12:48,920
Y ahora hay que simplificar esta expresión, hay que dejarlo bonito.

132
00:12:48,920 --> 00:12:55,920
h de menos x, 3 por menos x, menos 3x.

133
00:12:55,920 --> 00:13:01,920
Y esto sería menos, y si hacemos menos x elevado al cubo, por las propiedades de las potencias,

134
00:13:01,920 --> 00:13:07,920
cuando elevas un número negativo al cubo, eso se puede poner así también.

135
00:13:07,920 --> 00:13:12,920
Eso a lo mejor lo tenéis que repasar porque seguro que se os ha olvidado a todos.

136
00:13:12,920 --> 00:13:17,920
Eso se puede poner aquí. Ahora os pongo un recordatorio.

137
00:13:17,920 --> 00:13:23,920
Entonces ahora el menos ya está fuera de la potencia, está delante, entonces esto me queda así.

138
00:13:23,920 --> 00:13:31,920
Menos 3x, y menos por menos, más x elevado al cubo.

139
00:13:34,920 --> 00:13:39,920
Si saco factor común el menos, es decir, pongo el menos delante,

140
00:13:39,920 --> 00:13:44,920
y al sacar factor común el menos tengo que dividir por menos uno tanto esto como esto,

141
00:13:44,920 --> 00:13:48,920
me queda 3x menos x elevado al cubo.

142
00:13:48,920 --> 00:13:53,920
Fijaos lo que ha sucedido después de dejarlo bonito, ordenarlo y tal.

143
00:13:53,920 --> 00:13:59,920
La función h de menos x es exactamente igual que la que tenía al principio,

144
00:13:59,920 --> 00:14:08,920
pero con un menos delante. Luego ésta es simétrica e impar.

145
00:14:08,920 --> 00:14:10,920
También, ¿vale?

146
00:14:10,920 --> 00:14:15,920
Y os voy a poner aquí una chuletilla, un recordatorio de las propiedades de las potencias,

147
00:14:15,920 --> 00:14:24,920
porque, aunque me duela decirlo, o se os olvida muy rápido, o no acabáis de aprenderlo bien,

148
00:14:24,920 --> 00:14:28,920
y si no mirad los apuntes del principio del curso, ¿vale?

149
00:14:28,920 --> 00:14:39,920
Si tenemos un número negativo, una potencia de base negativa, elevada a un exponente par,

150
00:14:39,920 --> 00:14:42,920
pues esto quedaría así.

151
00:14:42,920 --> 00:14:57,920
Esto, si n es par, y cuando la base es negativa, pero el exponente es impar, pasa esto.

152
00:14:59,920 --> 00:15:06,920
¿Vale? Acordaos de esta propiedad de las potencias, que se os olvida siempre, no la veis clara.

153
00:15:06,920 --> 00:15:10,920
No es lo mismo que el menos esté dentro del paréntesis a que esté fuera.

154
00:15:10,920 --> 00:15:12,920
¿Vale? Un ejemplo.

155
00:15:12,920 --> 00:15:20,920
Menos dos elevado a cuatro es igual que dos elevado a cuatro, que es dieciséis.

156
00:15:20,920 --> 00:15:30,920
Menos dos elevado a tres es igual a menos dos elevado a tres, es decir, menos ocho.

157
00:15:30,920 --> 00:15:32,920
¿Veis?

158
00:15:32,920 --> 00:15:35,920
Y otro ejemplo.

159
00:15:35,920 --> 00:15:43,920
Menos dos elevado a cuatro es igual a menos dieciséis.

160
00:15:43,920 --> 00:15:50,920
Porque no es lo mismo que el menos esté dentro del paréntesis, se eleva a cuatro el menos dos,

161
00:15:50,920 --> 00:15:55,920
y aquí no, aquí se eleva a cuatro el dos, y luego va el menos.

162
00:15:55,920 --> 00:15:58,920
¿Vale? Porque las potencias en matemáticas se hacen antes que las multiplicaciones.

163
00:15:58,920 --> 00:16:03,920
Es como haces tú la potencia primero, de dos elevado a cuatro, y luego lo multiplicas por menos uno.

164
00:16:03,920 --> 00:16:08,920
Ojo con la diferencia entre esto y esto también, ¿vale?

165
00:16:08,920 --> 00:16:17,920
Por favor, esto lo hemos visto muchas veces, pero como os aprendéis las cosas de aquella manera, pues os olvida enseguida.

166
00:16:17,920 --> 00:16:19,920
Pasamos ahora a otra cosilla.