1
00:00:00,500 --> 00:00:05,440
Hola chicas, hola chicos. En un vídeo anterior hemos visto en qué consistía el

2
00:00:05,440 --> 00:00:08,640
concepto de dominio de definición y hemos aprendido a calcular el dominio de

3
00:00:08,640 --> 00:00:12,679
definición de algunas funciones, en concreto de las funciones polinómicas, de

4
00:00:12,679 --> 00:00:16,920
las funciones racionales y de las funciones irracionales. En este vídeo voy

5
00:00:16,920 --> 00:00:21,300
a seguir explicando cómo se calcula el dominio de definición de algunas otras

6
00:00:21,300 --> 00:00:25,019
funciones. Y vamos a empezar con las funciones exponenciales.

7
00:00:25,019 --> 00:00:51,390
Exponenciales. Funciones exponenciales. ¿Vale? ¿Qué son las funciones exponenciales? Bueno, pues las funciones exponenciales, en general, las más sencillas son aquellas que son de la forma un número elevado a x, ¿vale? O también podría ser un número elevado a otra función, ¿vale? Para simplificar voy a poner también que sería un número elevado a un polinomio.

8
00:00:51,390 --> 00:01:20,709
Los ejemplos sencillos de funciones polinómicas pues sería la función 2 elevado a x o también una función que vamos a utilizar mucho este año, la voy a llamar g en vez de llamarla f para llamarla de una forma distinta, la función g sería la función e elevado a x que es una función que utilizaremos mucho pero también será una función exponencial, la voy a llamar h, la función por ejemplo 5 elevado a x al cuadrado más 7.

9
00:01:21,390 --> 00:01:27,349
aclarar que aquí la base siempre tiene que ser un número mayor que cero, ¿vale?

10
00:01:27,370 --> 00:01:31,709
En las funciones exponenciales exige que la base sea un número mayor que cero.

11
00:01:31,790 --> 00:01:33,670
La base nunca puede ser un número negativo.

12
00:01:34,989 --> 00:01:39,450
Bueno, entonces, la pregunta es, ¿qué funciones puedo sustituir?

13
00:01:39,629 --> 00:01:42,230
Perdón, ¿qué números puedo sustituir en la x en este caso?

14
00:01:42,370 --> 00:01:46,549
Bueno, pues fijaros que una base positiva yo la puedo elevar a cualquier número.

15
00:01:46,549 --> 00:01:51,250
Da lo mismo que el número al que yo lo eleve sea positivo, negativo, irracional.

16
00:01:51,250 --> 00:02:10,370
Voy a poner unos ejemplos. En el caso de, por ejemplo, si cojo la función f, está muy claro que yo puedo calcular 2 elevado a 5, ¿vale? Pero también podría calcular 2 elevado a menos 3, ya sabéis que esto significa, esto sería un octavo, perdón, ¿vale?

17
00:02:10,370 --> 00:02:38,889
También podría calcular, por ejemplo, f de 5 tercios, ¿vale? Esto sería 2 elevado a 5 tercios y esto sabéis que significa la raíz cúbica de 2 elevado a 5, etcétera, etcétera, ¿vale? Yo puedo sustituir cualquier número. Con lo cual, el dominio de definición de las funciones exponenciales son todos los números reales. Muy sencillo, ¿vale? Yo puedo sustituir una función exponencial cualquier número y no tiene más dificultad.

18
00:02:39,830 --> 00:02:46,770
Bueno, entonces, vamos a ver otro tipo de funciones que sí son un poquito más interesantes, que son las funciones logarítmicas.

19
00:02:47,150 --> 00:03:02,840
Bueno, ¿qué es una función logarítmica? Pues toda aquella función que sea del tipo logaritmo en base a de otra función, para simplificar vamos a poner polinomios.

20
00:03:02,840 --> 00:03:12,099
Por ejemplo, sería la función logaritmo decimal de x al cuadrado menos 9, por ejemplo.

21
00:03:12,319 --> 00:03:17,400
O otro ejemplo sería la función logaritmo neperiano de x menos 3.

22
00:03:18,180 --> 00:03:19,840
Esos serían ejemplos de funciones logarítmicas.

23
00:03:20,620 --> 00:03:25,639
Bueno, entonces, ¿se puede calcular el logaritmo de cualquier número?

24
00:03:25,819 --> 00:03:29,080
Pues la respuesta es no, no puedo calcular el logaritmo de cualquier número.

25
00:03:29,080 --> 00:03:32,620
Sabéis que solo existen los logaritmos de números positivos, ¿vale?

26
00:03:32,840 --> 00:03:58,099
Entonces, ¿cuál va a ser el dominio de definición de este tipo de funciones? Pues serán todos aquellos números que hacen que este polinomio coja un valor positivo, tenga un valor positivo, ¿vale? Entonces, vamos a ponerlo formalmente, en este caso el dominio de definición sería el conjunto de todos los números reales, ¿vale? X pertenece al conjunto de los números reales y ¿qué tiene que cumplir? Pues que el polinomio sea mayor que cero.

27
00:03:58,099 --> 00:04:03,759
fijaros que esto es muy parecido a lo que pasaba con las funciones irracionales de índice par

28
00:04:03,759 --> 00:04:07,020
lo único que en las funciones irracionales aquí poníamos un igual

29
00:04:07,020 --> 00:04:09,979
¿vale? porque el argumento de una raíz puede ser cero

30
00:04:09,979 --> 00:04:13,039
y aquí no ponemos un igual porque el logaritmo de cero no existe

31
00:04:13,039 --> 00:04:16,300
¿vale? no me puede salir un cero dentro del logaritmo

32
00:04:16,300 --> 00:04:22,759
entonces por ejemplo para la función f ¿vale? pues para calcular la definición de esta función f

33
00:04:22,759 --> 00:04:26,079
del logaritmo de x al cuadrado menos 9 pues tendríamos que resolver

34
00:04:26,079 --> 00:04:40,040
Lo que tendríamos que hacer es resolver esa inequación. Las soluciones de esa inequación es el dominio de definición de esa función. Es una inequación de segundo grado. Hay muchas maneras de resolver una inequación de segundo grado.

35
00:04:40,040 --> 00:04:47,079
la manera más habitual que vamos a utilizar este curso, porque es la más rápida, es aplicar un teorema,

36
00:04:47,240 --> 00:04:51,259
que se llama el teorema de Bolsano, que veremos más adelante, pero que es muy sencillo simplemente.

37
00:04:52,800 --> 00:04:56,600
Vamos a calcular cuáles son los valores que hacen que la función valga cero,

38
00:04:57,839 --> 00:05:05,699
la función de la que queremos calcular el signo, en este caso las soluciones me salen más o menos tres,

39
00:05:05,699 --> 00:05:12,199
y con esos valores vamos a formar los intervalos de la recta real, ¿vale?

40
00:05:12,240 --> 00:05:18,259
Me saldría desde menos infinito hasta menos 3, de menos 3 a 3 y de 3 a infinito, ¿vale?

41
00:05:18,300 --> 00:05:23,139
Ya sabéis, fijaros que una ecuación de segundo grado es una parábola, ¿vale?

42
00:05:23,180 --> 00:05:27,779
Entonces fijaros, la parábola cuando pasa de ser positiva a ser negativa, ¿vale?

43
00:05:27,839 --> 00:05:33,540
Fijaros, tiene que cortar el eje x, estos son los valores que me han salido, en este caso sería menos 3 y 3, ¿vale?

44
00:05:33,540 --> 00:05:36,319
Esos son los valores donde la función puede cambiar de signo.

45
00:05:37,420 --> 00:05:45,519
Entonces, simplemente lo que hago es sustituir un número, cualquiera, da lo mismo el que sea, de ese intervalo y ver qué signo tiene la función, ¿vale?

46
00:05:45,540 --> 00:05:48,199
Y en todo el intervalo la función tendrá el mismo signo.

47
00:05:48,259 --> 00:05:53,519
Por ejemplo, entre menos infinito y 3 está el menos 4, entre menos infinito y menos 3 está el menos 4.

48
00:05:53,519 --> 00:06:00,860
Yo sustituyo el menos 4 en el polinomio, me sale menos 4 al cuadrado, 16, menos 9 es 7, 7 es positivo, ¿vale?

49
00:06:00,860 --> 00:06:03,420
Luego en todo ese intervalo la función va a ser positiva.

50
00:06:03,579 --> 00:06:09,699
Cualquier otro número del intervalo que yo sustituya en x al cuadrado menos 7 me va a dar un resultado positivo.

51
00:06:11,000 --> 00:06:14,959
Sustituyo un número del segundo intervalo, por ejemplo el 0, el 0 está entre menos 3 y 3,

52
00:06:15,199 --> 00:06:19,040
evidentemente sustituyo el 0 y me da menos 9, me sale negativo.

53
00:06:19,420 --> 00:06:25,879
Luego cualquier número de ese intervalo que yo sustituya en el polinomio x al cuadrado menos 9 me va a dar un resultado negativo.

54
00:06:25,879 --> 00:06:43,459
Y si sustituyo el número del tercer intervalo, por ejemplo el 4, pues me vuelve a salir positivo, lo sustituyo en el polinomio. Con lo cual, fijaros, ¿cuáles son los intervalos en los que el polinomio sale positivo? En el intervalo menos infinito menos 3 y en el intervalo 3 infinito.

55
00:06:43,459 --> 00:06:48,519
Luego, ¿cuál sería el dominio de definición, en este caso, de esta función de aquí?

56
00:06:48,699 --> 00:06:51,819
Recordad que estamos calculando el dominio de definición de esta función de aquí.

57
00:06:52,459 --> 00:07:01,540
Pues sería el intervalo menos infinito menos 3 y además, que eso se pone con el símbolo de unión, el intervalo 3 infinito.

58
00:07:01,879 --> 00:07:05,959
Ese sería el dominio de definición de la función.