1
00:00:04,080 --> 00:00:07,620
Bueno, hoy vamos a ver derivadas de funciones trigonométricas sencillas.

2
00:00:07,780 --> 00:00:09,679
Y bueno, vamos a empezar con la función seno.

3
00:00:10,599 --> 00:00:15,400
Si tenemos una función igual a seno de f de x, su derivada y prima,

4
00:00:15,800 --> 00:00:25,579
su derivada y prima, pues es f prima de x por coseno de f de x, ¿vale?

5
00:00:25,879 --> 00:00:31,780
Pues venga, f prima de x será igual a, derivada de la función,

6
00:00:31,780 --> 00:00:41,759
La derivada de x cuadrado menos 1 es 2x por el coseno de la función sin derivar, por el coseno de x cuadrado menos 1.

7
00:00:42,119 --> 00:00:46,380
Y ya estaría. Simplemente aplicamos la fórmula, la regla de derivación.

8
00:00:48,520 --> 00:00:58,340
Si f de x es igual a la tangente de x cuadrado menos 1, pues la derivada de la tangente de f de x, pues es f' de x por la secante cuadrado de la función sin derivar.

9
00:00:58,340 --> 00:01:16,920
Pues venga, f' de x será igual a la derivada de x cuadrado menos 1, que es 2x por la secante cuadrado de la función sin derivar, x cuadrado menos 1, ¿vale?

10
00:01:16,920 --> 00:01:31,200
Bien, si recordamos del año pasado, la secante cuadrada es igual a 1 más la tangente cuadrada, entonces también se puede poner como 2x por 1 más tangente cuadrada de la función sin derivar, ¿vale?

11
00:01:31,200 --> 00:01:52,670
pero bueno, así valdría. 4. f de x igual a la cosecante de 2x menos x cuadrado. Bien, la derivada de la cosecante de f de x es igual a menos la derivada de la función

12
00:01:52,670 --> 00:02:00,310
por la cosecante de la función sin derivar por la cotangente de la función sin derivar.

13
00:02:00,310 --> 00:02:13,710
Por lo tanto, f' de x será igual a menos la derivada de 2x menos x cuadrado, que es 2 menos 2x,

14
00:02:13,710 --> 00:02:27,159
por la cosecante, cosecante de la función sin derivar, cosecante de la función sin derivar,

15
00:02:27,159 --> 00:02:36,659
que es 2x menos x cuadrado, por la cotangente de la función sin derivar, 2x menos x cuadrado.

16
00:02:37,360 --> 00:02:43,060
Bueno, esto y esto no es lo mismo, pero lo único que hemos hecho aquí es cambiar de signo, ¿vale?

17
00:02:43,060 --> 00:03:07,400
Así estaría bien, pero vamos, si multiplicamos todo por menos, pues nos quedaría como tenemos arriba, lo dejamos así. Arco coseno de x cuadrado menos 2. El arco coseno de una función tiene por derivada la derivada de la función partido por la raíz de 1 menos la función sin derivar al cuadrado y todo con signo negativo, ¿vale?

18
00:03:07,400 --> 00:03:27,919
Bien, pues lo hacemos. f' de x será igual a la derivada de la función, que es 2x, partido por la raíz cuadrada de 1 menos la función sin derivar al cuadrado, x cuadrado menos 2 al cuadrado, y todo con signo negativo, cambiado de signo.

19
00:03:27,919 --> 00:03:33,080
Para el arco seno de una función, pues es lo mismo, pero con signo positivo.

20
00:03:35,810 --> 00:03:41,509
Coseno cuadrado de x cuadrado menos 1, es el coseno al cuadrado de una función.

21
00:03:42,069 --> 00:03:45,569
Aquí tenemos que utilizar la y va del coseno, la y va del coseno de f de x,

22
00:03:46,150 --> 00:03:50,090
pues es igual a menos f' de x por el seno de la función.

23
00:03:51,349 --> 00:03:54,330
Y por otro lado, tenemos que utilizar la y va de una función potencial.

24
00:03:54,330 --> 00:04:02,129
Si y es igual a f de x elevado a n, pues y' es n por f de x elevado a n menos 1 por f' de x.

25
00:04:02,349 --> 00:04:04,250
Y aquí tenemos una función potencial.

26
00:04:04,870 --> 00:04:13,849
Fijaos, f de x es igual a coseno de x cuadrado menos 1 elevado todo al cuadrado.

27
00:04:14,330 --> 00:04:18,449
Esta expresión que tenemos aquí y esta son equivalentes.

28
00:04:18,449 --> 00:04:35,870
Y bueno, pues vamos a hacer la derivada f' de x será igual al exponente que es 2 por el coseno de x cuadrado menos 1 elevado a una unidad menos elevado a 1 por la derivada del coseno de x cuadrado menos 1, la derivada de lo de dentro que tenemos aquí, ¿no?

29
00:04:36,589 --> 00:04:41,610
Bien, la derivada de esto es igual a menos derivada de x cuadrado menos 1, que es 2x.

30
00:04:41,610 --> 00:04:48,649
La derivada del coseno es el seno de la función sin derivar x cuadrado menos 1, ¿vale?

31
00:04:49,490 --> 00:04:51,149
Menos 2x por esto.

32
00:04:51,990 --> 00:05:01,209
Por lo tanto, f' de x, pues, será igual a menos 4x, 2 por menos 2x, menos 4x,

33
00:05:01,209 --> 00:05:05,009
coseno de x cuadrado menos 1

34
00:05:05,009 --> 00:05:09,649
por el seno de x cuadrado menos 1.

35
00:05:11,189 --> 00:05:11,750
Bien.

36
00:05:13,250 --> 00:05:13,810
Continuamos.

37
00:05:14,209 --> 00:05:17,310
Cotangente cuadrado de 2x.

38
00:05:18,629 --> 00:05:19,189
Bien.

39
00:05:19,509 --> 00:05:21,269
La derivada de la cotangente de f de x

40
00:05:21,269 --> 00:05:25,689
es menos f' de x por la cosecante cuadrada de f de x.

41
00:05:26,189 --> 00:05:28,930
Acordaos que para la derivada de la tangente

42
00:05:28,930 --> 00:05:35,910
era f' de x por la secante cuadrado. Ahora es la cosecante cuadrado.

43
00:05:36,829 --> 00:05:40,029
Bien, y aquí tenemos también, en esta función, hay una función potencial.

44
00:05:40,810 --> 00:05:43,889
O sea, tenemos esta expresión, igual a f de x elevado a n.

45
00:05:44,550 --> 00:05:49,490
Su derivada es n por f de x elevado a n menos 1 por la derivada de la función.

46
00:05:49,490 --> 00:06:02,990
Bien, por lo tanto, f de x es igual a la cotangente de 2x elevado todo al cuadrado. Esto y esto es equivalente.

47
00:06:02,990 --> 00:06:32,459
Por lo tanto f' de x es igual a 2 cotangente de 2x elevado a 1 unidad menos elevado a 1 por la derivada de la cotangente que es menos derivada de 2x que es 2 por la derivada de la cotangente es la cosecante cuadrado de la función sin derivar de 2x.

48
00:06:32,459 --> 00:06:48,800
Pues f' de x será igual a 2 por menos 2 menos 4 cotangente de 2x por la cosecante cuadrado de 2x, ¿vale?

49
00:06:49,160 --> 00:06:59,199
No es necesario dar este paso, este paso lo doy para que veáis más claramente que se trata de una función potencial, podríamos hacerlo directamente a partir de esto, ¿vale?

50
00:06:59,199 --> 00:07:13,060
Bien, secante de x cuadrado menos x. La derivada de la secante de f de x es f' de x por la secante de f y por la tangente de f de x.

51
00:07:14,160 --> 00:07:23,500
Por la secante de f de x, secante de f de x, secante de f de x por la tangente de f de x.

52
00:07:23,500 --> 00:07:47,740
Bien, pues venga, lo hacemos f' de x, f' de x será igual a la derivada de la función, que es 2x menos 1, por la secante de la función sin derivar, x cuadrado menos x, por la tangente de la función sin derivar, x cuadrado menos x.

53
00:07:47,740 --> 00:07:56,199
Para la cosecante, pues es lo mismo, pero cambiado de signo y con la cosecante de f de x y la cotangente de f de x.

54
00:07:56,860 --> 00:08:02,439
Bien, arco tangente de x cuadrado menos 1.

55
00:08:03,279 --> 00:08:11,680
La derivada del arco tangente de f de x, pues es la derivada de la función partido por 1 más la función sin derivar al cuadrado.

56
00:08:11,680 --> 00:08:27,139
Entonces, bueno, pues f' de x será igual a derivada de x cuadrado menos 1, derivada de esto, 2x partido por 1 más la función sin derivar elevado al cuadrado, ¿vale?

57
00:08:27,360 --> 00:08:31,959
Y así se puede quedar, no hace falta desarrollar el cuadrado. Así está muy sencilla.

58
00:08:32,720 --> 00:08:37,759
Bien, f de x igual a la raíz de la tangente de x.

59
00:08:38,679 --> 00:08:43,139
Bien, aquí tenemos que utilizar el hecho de que la tangente de x es derivada de la secante cuadrada de x.

60
00:08:43,879 --> 00:08:51,740
Y recordar que la derivada de la raíz de f de x, pues es derivada de la función partido por dos veces la raíz de la función sin derivar.

61
00:08:52,000 --> 00:09:01,870
Por lo tanto, f' de x es igual a derivada de la función.

62
00:09:02,309 --> 00:09:04,950
Es una raíz, ¿no? Derivada de la función. ¿Cuál es la derivada de la tangente?

63
00:09:04,950 --> 00:09:26,169
la secante cuadrado de x partido por dos veces la raíz de la función sin derivar, dos veces la raíz de la tangente de x, tangente de x, ¿vale?

64
00:09:26,169 --> 00:09:31,210
Secante cuadrado de x partido por 2 raíz de tangente de x, ¿vale? Y así se quedaría.

65
00:09:31,870 --> 00:09:38,649
Y por último, ya para terminar este vídeo, vamos a ver la derivada del neperiano de la tangente de x.

66
00:09:38,929 --> 00:09:45,129
Recordar que la derivada del neperiano es la derivada de la función partido por la función sin derivar.

67
00:09:45,610 --> 00:09:50,309
La derivada de la tangente, la acabamos de ver hace un momento, la derivada de la tangente de x es la secante cuadrada de x.

68
00:09:50,309 --> 00:10:16,179
Por lo tanto, f' de x será igual a derivada de la función, derivada de la tangente secante cuadrado de x, secante cuadrado de x, partido por la función sin derivar, partido por la tangente de x, ¿vale?

69
00:10:16,179 --> 00:10:28,480
Se podría poner así, también se podría poner pues como lo tenemos aquí, sabemos que la secante cuadrada es 1 más tangente cuadrada de x partido por la tangente de x, ¿vale?

70
00:10:29,059 --> 00:10:39,919
Bien, pues ya hemos terminado este vídeo de derivadas de funciones muy sencillas, haremos luego otro con derivadas un poquito más complicadas de funciones trigonométricas.