1 00:00:00,000 --> 00:00:20,120 Pues vamos a seguir con el estudio de movimientos relativamente sencillos. 2 00:00:20,839 --> 00:00:28,920 En particular, tenemos aquí un ejemplo de movimiento que inició el progreso de la mecánica moderna. 3 00:00:29,699 --> 00:00:35,820 El movimiento planetario, que no sólo fue descrito como un movimiento acelerado, 4 00:00:36,520 --> 00:00:40,060 sino que además dio pie al descubrimiento de la fuerza de la gravedad. 5 00:00:40,060 --> 00:00:49,820 Inicialmente, podemos aproximar el movimiento planetario a un movimiento circular uniforme. 6 00:00:49,820 --> 00:00:56,179 Como sabemos, lo único que hay en este movimiento uniforme es la velocidad angular, porque la 7 00:00:56,179 --> 00:01:02,939 velocidad lineal, que en el dibujo vemos como un vector verde, va variando de dirección. 8 00:01:02,939 --> 00:01:08,500 Por lo tanto, tenemos una aceleración centrípeta, que es la que vemos como un vector rojo. 9 00:01:09,340 --> 00:01:23,920 Como bien entendió Newton, a esta aceleración centrípeta, que multiplicada por la masa del planeta se convierte en una fuerza centrípeta, se le opone una fuerza centrífuga. 10 00:01:24,659 --> 00:01:35,579 Esta fuerza centrífuga es una fuerza inercial, es decir, la tendencia que tiene el móvil a seguir su dirección de velocidad en un determinado punto. 11 00:01:35,579 --> 00:01:39,140 Lo vamos a comprobar con el siguiente vídeo. 12 00:01:41,719 --> 00:01:46,799 Tenemos representada la fuerza gravitatoria de atracción entre la estrella y el planeta 13 00:01:46,799 --> 00:01:51,000 y la velocidad que en un determinado punto lleva este planeta. 14 00:01:54,680 --> 00:02:01,099 Vemos que el planeta se mantiene en su órbita justamente porque su fuerza centrífuga 15 00:02:01,099 --> 00:02:04,480 es compensada con la fuerza de atracción gravitatoria. 16 00:02:06,780 --> 00:02:11,360 Veamos qué pasa si desaparece esta fuerza gravitatoria. 17 00:02:11,360 --> 00:02:32,949 Pues lo que esperábamos, que el planeta sale de su órbita y se aleja indefinidamente con movimiento rectilíneo uniforme como es su tendencia inercial. 18 00:02:33,669 --> 00:02:37,349 Y ahora nos toca a nosotros hacer algún pequeño cálculo. 19 00:02:38,449 --> 00:02:42,629 A ver si conseguimos poner en órbita un satélite alrededor de la Tierra. 20 00:02:43,789 --> 00:02:50,210 Necesitamos recordar la fuerza de gravitación que estableció nuestro amigo Newton. 21 00:02:50,610 --> 00:03:01,009 La tenemos aquí, una fuerza de atracción directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 22 00:03:01,870 --> 00:03:09,650 La constante de proporcionalidad tiene un valor de 6,67 por 10 a la menos 11 en unidades del sistema internacional, 23 00:03:09,650 --> 00:03:16,229 que, como sabemos, nos produce el valor de la aceleración gravitacional 24 00:03:16,229 --> 00:03:19,889 que normalmente utilizamos en caídas libres de cuerpos 25 00:03:19,889 --> 00:03:25,550 utilizando estas constantes, la masa de la Tierra y su radio. 26 00:03:27,610 --> 00:03:31,550 Sería interesante que lo comprobarais vosotros con lápiz y papel. 27 00:03:32,650 --> 00:03:37,949 O mejor, que calculéis la aceleración no sobre la superficie terrestre 28 00:03:37,949 --> 00:03:45,750 si no pongamos a unos 400 kilómetros de altitud, que es una órbita baja, 29 00:03:46,469 --> 00:03:50,169 pero bueno, es donde está, por ejemplo, la Estación Espacial Internacional. 30 00:03:51,189 --> 00:03:54,030 Yo lo he hecho y este es el resultado que obtengo. 31 00:03:54,590 --> 00:04:01,449 Todavía una aceleración bastante importante, 9,53 metros por segundo cuadrado. 32 00:04:01,449 --> 00:04:09,250 Entonces, ¿por qué vemos a los astronautas en situación de prácticamente gravedad nula? 33 00:04:09,909 --> 00:04:15,590 Y sobre todo, ¿por qué no se cae la estación espacial si pesa unas cuantas toneladas? 34 00:04:16,509 --> 00:04:22,329 La explicación está en lo que hemos visto anteriormente en la simulación por ordenador. 35 00:04:22,329 --> 00:04:32,250 Esto es que la aceleración normal, por el hecho de ser un movimiento circular, compensa a la fuerza gravitatoria. 36 00:04:33,129 --> 00:04:38,509 Si recordamos, esta es la fórmula deducida para la aceleración normal. 37 00:04:39,850 --> 00:04:48,629 Así que podemos calcular la velocidad a la que tenemos que poner en órbita nuestro cohete o supuesta estación espacial 38 00:04:48,629 --> 00:04:53,389 para que a sub g se ha compensado con a sub n. 39 00:04:54,610 --> 00:04:57,009 Os dejo que comprobéis el resultado. 40 00:04:58,529 --> 00:05:01,990 Y para quien quiera divertirse un poco más con estos cálculos, 41 00:05:02,990 --> 00:05:08,810 les dejo que calcule la altura a la que tiene que estar un satélite 42 00:05:08,810 --> 00:05:11,189 para que resulte geoestacionario. 43 00:05:11,189 --> 00:05:15,069 Es decir, que su velocidad angular sea exactamente igual 44 00:05:15,069 --> 00:05:18,610 que la velocidad angular que tenemos en la superficie terrestre. 45 00:05:19,329 --> 00:05:25,910 Repito, hay que calcular la altura para que ocurra lo mismo que en este caso, 46 00:05:26,389 --> 00:05:31,930 que la aceleración gravitatoria sea compensada con la aceleración normal. 47 00:05:33,449 --> 00:05:37,069 Y ahora que ya somos expertos en movimiento circular uniforme, 48 00:05:38,529 --> 00:05:43,170 podemos ver con un poco de detalle el movimiento armónico simple. 49 00:05:43,170 --> 00:05:47,149 que viene siendo esto que veis aquí 50 00:05:47,149 --> 00:05:52,670 un movimiento de vaivén o de vibración 51 00:05:52,670 --> 00:05:55,850 vemos ahí los dos vectores, velocidad y aceleración 52 00:05:55,850 --> 00:06:01,209 y como la aceleración va siempre dirigida hacia el centro 53 00:06:01,209 --> 00:06:05,290 y aumenta conforme el móvil se aleja de él 54 00:06:05,290 --> 00:06:09,050 matemáticamente lo expresamos de esta manera 55 00:06:09,050 --> 00:06:14,449 Y recordemos la nomenclatura que utilizamos en el movimiento armónico simple. 56 00:06:15,050 --> 00:06:21,850 Decimos que la máxima elongación o la máxima separación del punto de equilibrio la llamaremos amplitud. 57 00:06:23,149 --> 00:06:27,670 Y situamos el origen de ordenadas en el punto de equilibrio. 58 00:06:28,870 --> 00:06:35,610 En un laboratorio, un movimiento armónico simple es fácil de conseguir con un muelle elástico. 59 00:06:35,610 --> 00:06:53,089 Este tiene su punto de equilibrio cuando le colguemos un peso y si ejercemos una fuerza, digamos, hacia abajo, el móvil tenderá a subir porque el muelle tiene una fuerza de recuperación, porque estamos diciendo que es elástico. 60 00:06:53,089 --> 00:07:01,949 Esta elasticidad la estudió Hooke hace ya más de tres siglos y concluyó que la fuerza de 61 00:07:01,949 --> 00:07:10,069 recuperación del muelle es proporcional justamente a lo que hemos llamado elongación, o sea, 62 00:07:10,069 --> 00:07:16,970 la separación del punto de equilibrio, que como vemos es perfectamente coherente con lo que 63 00:07:16,970 --> 00:07:24,970 acabamos de ver respecto de la aceleración. Basta con recordar la segunda ley de Newton que nos dice 64 00:07:24,970 --> 00:07:32,470 que la fuerza es proporcional a la aceleración. De modo que tenemos que la constante de recuperación 65 00:07:32,470 --> 00:07:38,470 del muelle, que podemos medir fácilmente colocándole los pesos como hemos visto que hizo 66 00:07:38,470 --> 00:07:47,370 Esta constante K es justamente el producto de la masa por la constante entre aceleración y 67 00:07:47,370 --> 00:07:56,980 elongación en un movimiento vibratorio. Podemos jugar un poco con masas y constantes de recuperación 68 00:07:56,980 --> 00:08:05,899 de un muelle en este laboratorio virtual accesible por internet. Tenemos un muelle con una determinada 69 00:08:05,899 --> 00:08:26,639 constante que podemos variar, le colocamos un peso, vemos cómo oscila y vemos como si ese 70 00:08:26,639 --> 00:08:36,559 peso aumenta de masa la oscilación cambia de frecuencia. Quizás lo veamos mejor con esta 71 00:08:36,559 --> 00:08:44,000 ilustración en la que comparamos efectivamente dos muelles con la misma constante pero uno con una 72 00:08:44,000 --> 00:08:52,620 masa cinco veces superior a la del otro. Observamos que efectivamente el que tiene menos masa 73 00:08:52,620 --> 00:09:06,679 colgando tiene una mayor frecuencia. Y esto lo entendemos perfectamente porque la constante 74 00:09:06,679 --> 00:09:13,240 de la aceleración acabamos de ver que es inversamente proporcional a la masa, como 75 00:09:13,240 --> 00:09:18,340 acabamos de escribir. K es igual al producto de masa por la constante de la aceleración. 76 00:09:18,340 --> 00:09:27,039 Por lo tanto, como K ha de ser constante para cualquier muelle, a mayor masa, disminuirá la constante de aceleración. 77 00:09:27,200 --> 00:09:28,820 Por lo tanto, disminuirá la aceleración. 78 00:09:37,720 --> 00:09:45,379 Así que tenemos dos métodos para medir la constante de retracción de un muelle. 79 00:09:45,980 --> 00:09:53,779 Uno sería estático, colgando pesos, como hizo Hooke, y este otro que es dinámico, midiendo la constante de aceleración. 80 00:09:53,779 --> 00:09:59,340 Pero, ¿qué es esta constante? Quiero decir, físicamente, ¿qué es? 81 00:10:00,100 --> 00:10:08,779 Para averiguarlo, recurrimos a la semejanza que tiene el movimiento oscilatorio con el movimiento circular uniforme. 82 00:10:13,970 --> 00:10:25,970 Recordemos que un movimiento armónico simple puede describirse matemáticamente como la proyección sobre el diámetro de un móvil el movimiento circular uniforme. 83 00:10:25,970 --> 00:10:39,289 uniforme. Ambos con el mismo periodo, evidentemente. Y es intuitivo que cuanto más velozmente 84 00:10:39,289 --> 00:10:46,690 gire el móvil sobre el círculo, mayor aceleración tendrá que tener su proyección, el movimiento 85 00:10:46,690 --> 00:10:53,990 armónico simple. De modo que esta constante de aceleración tiene que ver con la frecuencia 86 00:10:53,990 --> 00:10:57,950 en el movimiento circular al que estamos recurriendo. 87 00:10:59,009 --> 00:11:04,830 Sabiendo trigonometría, podríamos averiguar perfectamente esta relación 88 00:11:04,830 --> 00:11:13,090 entre la frecuencia angular y la aceleración lineal del movimiento armónico simple. 89 00:11:23,600 --> 00:11:29,059 Efectivamente, la función de la proyección es la función seno, 90 00:11:29,059 --> 00:11:37,940 en concreto seno de omega t, siendo omega la velocidad angular del movimiento circular que se está proyectando. 91 00:11:38,519 --> 00:11:46,779 La función seno es una función trigonométrica y aplicándola como ecuación de movimiento 92 00:11:46,779 --> 00:11:50,980 con la igualdad que hemos reducido anteriormente, 93 00:11:52,419 --> 00:11:56,720 identificamos el valor de la famosa constante de aceleración, 94 00:11:56,720 --> 00:12:01,220 que es justamente el cuadrado de la velocidad angular 95 00:12:01,220 --> 00:12:04,879 que también recibe el nombre de frecuencia angular 96 00:12:04,879 --> 00:12:08,559 porque recordemos que el movimiento armónico simple 97 00:12:08,559 --> 00:12:10,440 es un movimiento periódico 98 00:12:10,440 --> 00:12:13,340 y como tal tiene una frecuencia 99 00:12:13,340 --> 00:12:17,779 que es el número de veces que el móvil va y vuelve 100 00:12:17,779 --> 00:12:21,059 a mismo punto con la misma velocidad por unidad de tiempo 101 00:12:21,059 --> 00:12:26,139 mientras que omega es una velocidad angular 102 00:12:26,139 --> 00:12:36,759 Y recordemos que esto de asociar movimiento armónico simple a un movimiento circular es una pura ilucuración matemática. 103 00:12:37,620 --> 00:12:47,200 Antes de pasar a las aplicaciones prácticas del tema de los muellecitos, vamos a recapitular un poco lo que tenemos hasta ahora. 104 00:12:47,200 --> 00:12:55,539 Para empezar, podemos calcular cuál será la aceleración máxima, que como sabemos 105 00:12:55,539 --> 00:12:58,519 ocurre en los puntos extremos del recorrido. 106 00:12:58,519 --> 00:13:02,519 Ahí está, en valor absoluto, claro. 107 00:13:02,519 --> 00:13:09,120 Para calcular la velocidad máxima, recurrimos al argumento de la proyección de movimiento 108 00:13:09,120 --> 00:13:15,559 circular uniforme y nos damos cuenta de que la velocidad es máxima justo cuando el móvil 109 00:13:15,559 --> 00:13:22,440 pasa por el punto de equilibrio. Y en ese preciso momento, el móvil que va sobre la 110 00:13:22,440 --> 00:13:30,360 circunferencia tiene una velocidad paralela a la proyección. Por lo tanto, es el único 111 00:13:30,360 --> 00:13:36,179 momento en el que los dos vectores de velocidades, el de móvil sobre el círculo y el de móvil 112 00:13:36,179 --> 00:13:43,179 de proyección o movimiento armónico simple coinciden. Así que basta con recordar la 113 00:13:43,179 --> 00:13:48,220 fórmula que liga velocidad lineal con velocidad angular en un movimiento 114 00:13:48,220 --> 00:13:54,580 circular. Así que para el movimiento armónico simple escribimos esta velocidad máxima 115 00:13:54,580 --> 00:14:01,000 así. Y en cuanto a los parámetros de movimiento periódico pues son los mismos 116 00:14:01,000 --> 00:14:06,580 como hemos dicho anteriormente. Esta es la frecuencia y como sabemos su 117 00:14:06,580 --> 00:14:14,820 inverso es el periodo. Con todo esto y sabiendo que la constante de la tracción del mueble se 118 00:14:14,820 --> 00:14:22,019 puede calcular por métodos dinámicos y estáticos, tenemos ya bastantes herramientas para ejercitarnos 119 00:14:22,019 --> 00:14:29,820 en el movimiento armónico simple. Hay varios métodos para calcular o medir masas en un 120 00:14:29,820 --> 00:14:34,820 determinado punto en el que no haya gravedad, por ejemplo en la Estación Espacial Internacional. 121 00:14:34,820 --> 00:14:48,639 Pues bien, basta con hacer vibrar un muelle, como el de la figura, que nos sirvió para introducir este tema, y aplicar la ecuación anteriormente deducida. 122 00:14:50,850 --> 00:14:58,690 La frecuencia angular la medimos indirectamente, porque lo que medimos realmente es el periodo de oscilación, 123 00:14:58,690 --> 00:15:07,730 y la constante de retracción o bien la sabemos de antemano o simplemente la calculamos como ICO-HUG, 124 00:15:08,049 --> 00:15:16,929 solo que en este caso, como no estamos en campo gravitatorio, tendríamos que aplicar cualquier otra fuerza para estirar el muelle. 125 00:15:16,929 --> 00:15:20,029 Puede ser una fuerza magnética, por ejemplo. 126 00:15:20,889 --> 00:15:26,230 Sabremos que la elongación será proporcional a la fuerza aplicada 127 00:15:26,230 --> 00:15:37,669 Y la constante de proporcionalidad será la K que tenemos en la fórmula de arriba, que es la que aplicamos para medir la masa en estas condiciones de ingravidez. 128 00:15:39,610 --> 00:15:47,110 Pues bueno, esto es todo lo que podemos dar en este curso sobre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple.