1
00:00:00,000 --> 00:00:03,779
Bueno, empezamos tema nuevo que es la analítica del plano.

2
00:00:10,279 --> 00:00:15,779
A ver, en general, la analítica es una parte de la matemática que lo que hace es

3
00:00:15,779 --> 00:00:22,219
transformar mediante un sistema de referencia, que ahora os explicaré lo que es,

4
00:00:22,820 --> 00:00:30,000
transforma elementos geométricos en elementos matemáticos

5
00:00:30,000 --> 00:00:34,340
que se pueden operar en matemáticas.

6
00:00:34,520 --> 00:00:35,399
¿Qué quiere decir eso?

7
00:00:35,500 --> 00:00:40,439
Quiere decir que la geometría, en principio, para dibujar geometría,

8
00:00:41,179 --> 00:00:45,500
tendrías que tener unas reglas, lo que sea, o un paralés,

9
00:00:46,119 --> 00:00:48,439
tendrías que dibujar, la geometría se dibuja.

10
00:00:48,880 --> 00:00:52,880
La geometría teniendo en geometría todos los elementos geométricos,

11
00:00:53,000 --> 00:00:56,340
puntos, rectas, planos, todo tipo de prismas,

12
00:00:56,340 --> 00:00:59,840
todo tipo de figuras de dos dimensiones y de tres dimensiones.

13
00:01:00,000 --> 00:01:16,859
Pues hay una parte de las matemáticas que se ocupa de convertir en número todos esos elementos geométricos, de forma que la geometría se puede estudiar de dos maneras distintas.

14
00:01:16,859 --> 00:01:45,959
Si yo quiero saber el punto de intersección de un plano con una recta, pues yo puedo dibujarlo y sacar el punto de intersección y entonces estaríamos hablando de dibujo técnico o puedo convertir eso en unas ecuaciones y calcular de forma matemática, numéricamente, por medio de ecuaciones, calcular ese punto y luego poder dibujarlo en un sistema de referencia.

15
00:01:45,959 --> 00:01:51,500
No sé si estáis entendiendo lo que digo. Más o menos, ¿no? Más o menos.

16
00:01:52,040 --> 00:02:00,540
Entonces, ¿en qué se basa la analítica? Tiene dos partes. El estudio de la analítica, una del plano y otra del espacio.

17
00:02:00,920 --> 00:02:06,640
La diferencia entre el plano y el espacio es que el plano nos movemos en dos dimensiones y el espacio en tres dimensiones.

18
00:02:06,980 --> 00:02:12,039
No es más. Bueno, empezamos con las coordenadas. Esto es para hallar esas cosas que te digo.

19
00:02:12,039 --> 00:02:32,419
Si yo quiero saber el punto de intersección de dos rectas o si quiero saber cómo un punto de una recta que es perpendicular a un plano en un sitio determinado, es decir, todas las operaciones geométricas que uno hace cuando hace dibujo lineal las convertimos en unas ecuaciones matemáticas y las resolvemos así.

20
00:02:32,419 --> 00:02:47,639
Esta es la base de todos los programas de dibujo técnico, no sé si habéis manejado alguna vez un programa de dibujo técnico, no Photoshop, sino un programa vectorizado,

21
00:02:48,159 --> 00:02:54,560
entonces ahí se basa en eso, transforma los elementos geométricos en ecuaciones y las resuelve.

22
00:02:54,560 --> 00:03:16,900
Entonces, nosotros, teóricamente, antes de estudiar analítica del plano, o sea, analítica del espacio, se estudia analítica del plano, pero en vuestro temario no entra la analítica del plano, entra directamente la analítica del espacio.

23
00:03:16,900 --> 00:03:44,949
Entonces, el estudio de la geometría en el espacio mediante ecuaciones matemáticas se basa en eso, se basa en la invención de un sistema de referencia tridimensional donde a esto se llama X, a esto se llama Y y a esto se le llama Z

24
00:03:44,949 --> 00:04:09,030
Y cualquier punto referenciado a ese sistema de coordenadas viene dado por estas distancias.

25
00:04:09,030 --> 00:04:27,290
Este punto viene dado por su distancia al eje X, que es esta distancia, su distancia al eje Y, que es esta distancia, y su distancia al eje Y, al eje S, y su altura.

26
00:04:27,589 --> 00:04:36,230
¿de acuerdo? ¿vale? ¿qué quiere decir? que un punto en un sistema de tres dimensiones

27
00:04:36,230 --> 00:04:43,089
un punto cualquiera viene definido por tres, por tres, tres, lo diré, tres coordenadas

28
00:04:43,089 --> 00:04:50,470
por ejemplo el 2, 1, 3, si yo quiero saber el 2, 1, 3 pues lo que haría sería

29
00:04:50,470 --> 00:05:12,730
sería dentro de mi sistema coordenado, cogería dos aquí, cogería uno aquí y cogería tres aquí, entonces esto haría esto, me dibujaría ese paralelo epípedo y el punto estaría aquí,

30
00:05:12,730 --> 00:05:24,310
Lo veis, es un sistema coordenado, pero que en vez de ser de dos dimensiones es de tres dimensiones.

31
00:05:25,129 --> 00:05:34,850
Bueno, entonces, para estudiar los elementos geométricos en analítica del espacio en tres dimensiones,

32
00:05:34,850 --> 00:05:37,750
el primer elemento geométrico básico es el punto.

33
00:05:37,750 --> 00:05:45,209
Como veis, un punto metido en este sistema coordenado, pues tiene tres coordenadas, la X, la Y y la Z.

34
00:05:45,350 --> 00:05:51,110
Ya sabéis que siempre, siempre esto lleva un orden, es decir, siempre primero las X, luego las Y y luego las Z.

35
00:05:51,470 --> 00:05:55,730
La Z siempre es la altura, la X es el eje de accisas y la Y es el eje de accisas.

36
00:05:56,069 --> 00:06:04,329
El siguiente estudio que tendríamos que hacer, el siguiente elemento que se estudia es la recta.

37
00:06:04,949 --> 00:06:07,149
Y el último, el plano.

38
00:06:07,750 --> 00:06:20,509
Entonces, para estudiar, para pasar del estudio de los puntos, un punto en tres dimensiones no tiene ningún problema, un punto se coloca tal y como hemos colocado este, se coloca y ya está.

39
00:06:20,509 --> 00:06:42,529
Bueno, pues para pasar del punto al estudio de la recta en el espacio, tenemos que antes estudiar unos elementos que se llaman vectores.

40
00:06:42,529 --> 00:06:51,420
Entonces, ¿qué es un vector?

41
00:06:51,420 --> 00:07:08,100
Pues mirad, un vector en el espacio es un elemento que va desde un punto, desde el origen de coordenadas a un punto A, por ejemplo

42
00:07:08,100 --> 00:07:22,189
Un vector tiene tres cosas, tiene una dimensión, es decir, tiene una longitud, tiene una dirección y tiene un sentido

43
00:07:23,250 --> 00:07:30,750
en este caso la dimensión de este vector sería esta, lo que midiese eso, la dirección es esta,

44
00:07:34,120 --> 00:07:40,199
y el sentido es este, que podría ser al contrario y ser de esta manera, ¿vale?

45
00:07:40,920 --> 00:07:49,220
Bueno, pues los vectores en el espacio vienen dados, siempre se ponen así, se escriben así, con una rayita encima,

46
00:07:49,220 --> 00:08:04,180
y vienen dados también por tres coordenadas, ABC, OX y Z, o mejor, V1, V2 y V3.

47
00:08:04,899 --> 00:08:11,939
Y estas coordenadas son las coordenadas del subpunto final, ¿de acuerdo?

48
00:08:11,939 --> 00:08:23,420
pero, ¿vale? Es decir, que en un sistema de tres dimensiones os pueden dar un punto, 2, 1, 3,

49
00:08:23,420 --> 00:08:34,220
o os pueden dar un vector, 2, 1, 3, que realmente el punto sería el que hemos calculado antes,

50
00:08:34,220 --> 00:08:55,190
1, 2, 1, 1, 2, 3, entonces esto sería así, sería así, sería este, el punto sería ese, y el vector sería este.

51
00:08:58,009 --> 00:09:06,210
¿Lo veis? Aunque aparentemente tienen las mismas coordenadas, si os están dando un punto, es un punto, nada más,

52
00:09:06,210 --> 00:09:29,970
Pero si os dan, aunque tengan las mismas coordenadas o las mismas componentes, por así decirlo, si os dicen que es un vector, lo que os están dando es la expresión matemática de este vector, que une el origen de coordenadas con el punto, el final del, o sea, ese punto, el final.

53
00:09:29,970 --> 00:09:34,029
X y Z. Supongo que te explicas, pero yo no te entiendo. No sé a qué te refieres.

54
00:09:36,210 --> 00:09:36,970
¿A qué te refieres?

55
00:09:38,350 --> 00:09:40,970
A ver, en un sistema de tres dimensiones,

56
00:09:41,789 --> 00:09:44,970
en un sistema de tres dimensiones,

57
00:09:46,809 --> 00:09:52,169
el origen de coordenadas hacia la derecha es positivo y hacia la izquierda es negativo.

58
00:09:52,289 --> 00:09:53,730
Bueno, porque los he puesto positivos.

59
00:09:55,190 --> 00:10:03,409
Pero si yo quisiera representar, si yo quiero representar el punto menos 2, 1, menos 3,

60
00:10:03,409 --> 00:10:17,389
pues entonces tendría que coger 1 y 2, menos 2 a este lado, 1 aquí, 1 aquí y menos 3 hacia abajo, ¿vale?

61
00:10:17,470 --> 00:10:22,870
Y entonces tendría que ir a hacer así, y sería este punto.

62
00:10:24,309 --> 00:10:25,330
¿Entiendes lo que te digo?

63
00:10:25,330 --> 00:10:35,950
Claro, es que los ejes coordenados, yo estoy dibujando solamente la parte positiva, pero está la parte negativa.

64
00:10:38,129 --> 00:10:39,990
La parte negativa es esta.

65
00:10:43,149 --> 00:10:47,889
Que estas son las negativas, pero yo no sabía que esta también es positiva.

66
00:10:48,769 --> 00:10:54,110
No, no, no, te estás confundiendo. Es que no podéis confundir el espacio con el plano.

67
00:10:54,110 --> 00:11:18,389
En el plano, en el plano, eso te pasa porque, espera, eso te pasa porque si tú, bueno da igual, si tú trabajas en el plano, en el plano, esto es negativo y esto es negativo, pero si no estamos trabajando en el plano, estamos trabajando en el espacio, entonces esto es positivo, esto es positivo y esto es positivo.

68
00:11:19,269 --> 00:11:25,250
Este es el eje Y, este es el eje X y este es el eje Z.

69
00:11:26,549 --> 00:11:35,909
Es como si, a ver, cuando estás trabajando con un plano, con un sistema de coordenadas plano,

70
00:11:35,909 --> 00:11:43,950
un sistema de dos ejes coordenados, este es el eje X y este es el eje Y, ¿no?

71
00:11:44,610 --> 00:11:47,129
En un sistema de dos dimensiones, un sistema plano.

72
00:11:47,129 --> 00:11:50,250
entonces, ahora lo que hacemos

73
00:11:50,250 --> 00:11:53,070
y esta, esto es positivo

74
00:11:53,070 --> 00:11:56,309
y hacia aquí negativo, esto es positivo y hacia aquí negativo

75
00:11:56,309 --> 00:11:58,730
¿vale? pues ahora

76
00:11:58,730 --> 00:12:01,669
lo que hacemos es

77
00:12:01,669 --> 00:12:04,730
si yo, esto sería un plano así

78
00:12:04,730 --> 00:12:08,090
y yo lo que hago es que lo tuerzo

79
00:12:08,090 --> 00:12:11,149
y lo pongo así, lo giro

80
00:12:11,149 --> 00:12:14,029
lo giro y lo pongo así

81
00:12:14,029 --> 00:12:16,350
entonces, estas dos líneas

82
00:12:16,350 --> 00:12:22,990
Este plano es este plano de aquí, entonces las X y las Y se me quedan aquí, ¿vale?

83
00:12:23,070 --> 00:12:26,470
Y ahora lo que hago es añadirle una tercera dimensión, que es esta.

84
00:12:26,470 --> 00:12:30,309
Ya me imagino, ya me imagino, es que esto se estudia en segundo de bachillerato,

85
00:12:30,429 --> 00:12:38,970
entonces lo que en primero de bachillerato y un poco en la ESO se estudia los sistemas de representación bidimensionales,

86
00:12:38,990 --> 00:12:42,950
los tridimensionales se utilizan muy poco, ¿vale?

87
00:12:43,929 --> 00:12:47,570
Bueno, a lo que vamos, a lo que vamos.

88
00:12:48,509 --> 00:12:59,110
Entonces, como os digo, el espacio tiene tres dimensiones, por lo tanto, cualquier punto en el espacio queda definido por la distancia a los tres ejes coordenados,

89
00:12:59,110 --> 00:13:11,649
en vez de a dos, la distancia a tres ejes coordenados, que son estos, siempre, siempre, primero la X, luego la Y y luego la Z, por supuesto, ¿vale?

90
00:13:12,309 --> 00:13:15,750
Siempre, igual que cuando trabajamos con el plano, primero la X y luego la Y.

91
00:13:15,870 --> 00:13:17,970
En este caso, la X, la Y y la Z.

92
00:13:18,389 --> 00:13:18,590
¿Vale?

93
00:13:18,669 --> 00:13:19,570
No, no, no, no.

94
00:13:19,669 --> 00:13:20,730
La Z, esta es la Y.

95
00:13:21,350 --> 00:13:22,210
Esta es la X.

96
00:13:23,750 --> 00:13:24,590
Esta es la Y.

97
00:13:25,750 --> 00:13:26,710
Y esta es la Z.

98
00:13:26,870 --> 00:13:27,990
La Z siempre es la altura.

99
00:13:29,450 --> 00:13:30,549
La altura de un cuerpo.

100
00:13:30,929 --> 00:13:35,950
O sea, si tú tienes aquí un paralelepípedo, tienes un plano aquí y lo que haces es subirlo.

101
00:13:35,950 --> 00:13:36,309
¿Vale?

102
00:13:36,429 --> 00:13:38,889
Lo subes, lo está en el plano y lo elevas.

103
00:13:39,269 --> 00:13:41,250
Entonces se convierte en una cosa de tres dimensiones.

104
00:13:41,649 --> 00:13:45,350
En el plano la Z no existe.

105
00:13:46,450 --> 00:13:48,090
Claro, la Z es la tercera dimensión.

106
00:13:49,049 --> 00:13:51,490
O sea, lo que yo hago, a ver, ¿no lo veis?

107
00:13:52,370 --> 00:13:52,850
Espacialmente.

108
00:13:53,450 --> 00:13:57,029
Tú tienes un plano, vosotros cuando trabajáis en plano trabajas así.

109
00:13:57,509 --> 00:14:03,210
Y si quieres pasarlo a tres dimensiones, lo que haces es que lo giras, lo pones así y lo subes a esta dimensión.

110
00:14:04,090 --> 00:14:07,409
Entonces, el eje XY que tienes aquí se te queda abajo.

111
00:14:08,830 --> 00:14:10,429
Por eso se te queda ahí abajo, XY.

112
00:14:10,429 --> 00:14:14,409
Y aparece la tercera dimensión que es la altura.

113
00:14:14,409 --> 00:14:18,509
Que es lo mismo como si yo tengo hasta aquí y lo voy subiendo.

114
00:14:19,610 --> 00:14:28,929
Si al mismo tiempo que subo todo esto, si me trajese la mesa para arriba,

115
00:14:29,389 --> 00:14:35,590
pues entonces estaría haciendo, pasaría de un plano a la altura, lo convierto en una cosa tridimensional.

116
00:14:35,590 --> 00:14:54,029
¿De acuerdo? Entonces exactamente igual que en el plano un punto queda definido por dos coordenadas, la X y la Y, y yo la coloco en mi sistema de coordenado, cuando estoy en tres dimensiones es exactamente igual lo que pasa en el trabajo con tres dimensiones.

117
00:14:55,029 --> 00:15:06,909
Entre las tres dimensiones son la X, la Y, la Z, la X es el eje horizontal, la Y es este, que realmente, y la Z es la altura, ancho, largo y alto.

118
00:15:07,590 --> 00:15:14,250
Eso lo entendéis todos, ¿no? Largo y ancho y alto, las tres dimensiones, de momento la cuarta dimensión todavía no la estudiamos.

119
00:15:15,269 --> 00:15:18,970
Y no sé qué he hecho, deberíamos estudiarla porque no sé qué he hecho con ella.

120
00:15:18,970 --> 00:15:26,629
Bueno, entonces, cuando se quiere estudiar geometrías, lo que se estudian son los elementos básicos de la geometría

121
00:15:26,629 --> 00:15:28,809
Y los elementos básicos de la geometría son pocos

122
00:15:28,809 --> 00:15:32,549
Luego con ellos se pueden hacer muchísimas cosas, pero son pocos

123
00:15:32,549 --> 00:15:35,889
Son el punto, la recta y el plano

124
00:15:35,889 --> 00:15:38,610
Esos son los tres elementos básicos de la geometría

125
00:15:38,610 --> 00:15:43,169
Entonces nosotros lo que vamos a estudiar es cómo mediante este sistema de referencia

126
00:15:43,169 --> 00:15:51,090
asignando a un punto unas coordenadas dentro de ese sistema de referencia

127
00:15:51,090 --> 00:15:57,409
cómo podemos llegar a convertir en matemáticas una recta, un plano

128
00:15:57,409 --> 00:16:02,350
y todo lo que puede pasar con los puntos, las rectas y los planos

129
00:16:02,350 --> 00:16:05,169
que son muchísimas cosas, ¿de acuerdo?

130
00:16:05,429 --> 00:16:10,889
Bueno, entonces ya os he dicho que un punto, lo repito, viene dado por sus tres coordenadas

131
00:16:10,889 --> 00:16:33,149
Si a mí me dicen este punto, pues yo sé que este punto está aquí. Y a ese punto se le asocia, a todo punto se le puede asociar un elemento que aparece en la analítica que es el vector.

132
00:16:33,149 --> 00:16:46,309
Un vector no es más que una vez que yo cojo un punto, si uno el origen de coordenadas con ese punto, eso es el vector, que se llama el vector director de ese punto.

133
00:16:46,750 --> 00:16:58,750
Entonces, un vector tiene unas características, un punto no tiene entidad, un punto es una posición, un punto no se mide, los puntos no se miden.

134
00:16:58,750 --> 00:17:12,549
Pero los vectores ya empiezan a poder medirse, porque tienen una longitud, es decir, un vector viene dado, matemáticamente viene dado por las coordenadas de su punto final, ¿de acuerdo?

135
00:17:13,910 --> 00:17:33,000
Pero yo puedo calcular, ese vector tiene unas características que son, tiene, un vector tiene módulo, dirección y sentido.

136
00:17:33,480 --> 00:17:51,349
¿De acuerdo? ¿Qué quiere decir que tiene módulo? Que tiene una dimensión, que mide lo que mide, unos vectores, este vector mide una cosa, este vector mide otra, este vector mide otra, este mide otra, este mide otra, ¿de acuerdo?

137
00:17:51,349 --> 00:18:13,910
¿Verdad? Un sentido, el sentido, perdón, una dirección, una dirección es lo que marca esto, de tal manera que los vectores, como tienen dirección, entre sí pueden ser paralelos, perpendiculares, formar ángulos determinados, por ejemplo, este vector y este, pues forman este ángulo.

138
00:18:14,869 --> 00:18:25,170
Como tienen dirección, unos están, entonces tienen ángulo, podríamos medir el ángulo en que están dos vectores.

139
00:18:26,089 --> 00:18:32,890
Y tiene un sentido que es dentro de la dirección, ya sabéis que en una dirección hay dos sentidos, hacia arriba y hacia abajo.

140
00:18:32,890 --> 00:18:49,230
Y el sentido nos lo da las coordenadas del vector, es decir, si el vector es hacia abajo, pues entonces tendrá la última coordenada negativa, es decir, bueno, nos da todo eso.

141
00:18:49,230 --> 00:18:57,930
¿De acuerdo? Vale, bueno, pues entonces, nos vamos esta semana y un poco de la que viene vamos a hacer todo el trabajo con vectores,

142
00:18:58,329 --> 00:19:03,390
porque si os entra bien el trabajo con vectores, luego os entrará muy bien el trabajo con rectas,

143
00:19:03,470 --> 00:19:06,509
que trabajar con rectas no es más que trabajar con vectores.

144
00:19:07,190 --> 00:19:09,849
Entonces, vamos a empezar con el estudio de los vectores.

145
00:19:14,019 --> 00:19:17,019
¿Cómo se calcula módulo de un vector?

146
00:19:17,019 --> 00:19:28,589
Dado un vector V de tres componentes, V2, V1, V2 y V3

147
00:19:28,589 --> 00:19:34,730
El módulo de un vector se escribe así, como el valor absoluto de los números

148
00:19:34,730 --> 00:19:43,170
Y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes

149
00:19:43,170 --> 00:19:50,849
es decir, que si yo me dan un vector, por ejemplo, el vector 2, 3, 0

150
00:19:50,849 --> 00:19:55,250
el módulo de este vector, lo que mide ese vector

151
00:19:55,250 --> 00:20:03,890
es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 3 al cuadrado más 0 al cuadrado

152
00:20:03,890 --> 00:20:08,910
es decir, es 4 y 9, 3, la raíz cuadrada de 3

153
00:20:08,910 --> 00:20:18,670
Y además, si esto lo dibujaseis, uno, dos, uno, dos y tres y cero, ese punto está aquí.

154
00:20:19,309 --> 00:20:22,369
Bueno, pues, x y z.

155
00:20:22,369 --> 00:20:24,450
Sí, soy yo, de todo.

156
00:20:25,869 --> 00:20:28,369
X y z.

157
00:20:29,349 --> 00:20:37,150
Sí, fijaros, si esto estuviese bien dibujado, hecha a escala con una regla bien dibujado, esta medida es justo esta.

158
00:20:37,150 --> 00:21:03,269
Yo puedo, yo puedo, es lo que os decía en geometría, si yo quiero saber cuánto mide esto, pues puedo hacerlo de dos maneras, puedo dibujarlo y medirlo, para eso está el dibujo lineal, que os enseña a dibujar todo esto, o puedo calcularlo, si yo conozco este punto, sé que el módulo de este vector es ese, ¿de acuerdo?

159
00:21:03,269 --> 00:21:23,190
¿Vale? ¿Me seguís? Bueno, más cosas, los vectores se pueden operar entre sí, se pueden operar, hacer operaciones con vectores, entonces, ¿qué operaciones se pueden hacer con los vectores?

160
00:21:23,190 --> 00:22:10,000
Se pueden sumar, restar, multiplicar por un número, se puede hacer su producto escalar, su producto vectorial y su producto mixto.

161
00:22:10,000 --> 00:22:31,829
Pero se pueden hacer más cosas que son otras operaciones que nosotros no estudiamos, porque se puede también operar los movimientos de un vector en el espacio, pero eso nosotros no lo vamos a estudiar.

162
00:22:31,829 --> 00:22:34,250
Nosotros vamos a estudiar estas operaciones.

163
00:22:35,069 --> 00:22:37,230
Entonces, ¿cómo se suman dos vectores?

164
00:22:37,950 --> 00:22:39,650
Sumando sus componentes.

165
00:22:40,769 --> 00:22:51,230
¿Cómo se restan dos vectores?

166
00:22:51,650 --> 00:22:53,190
Restando sus componentes.

167
00:22:53,990 --> 00:23:04,289
¿Cómo se multiplican por un número?

168
00:23:04,450 --> 00:23:06,369
Multiplicando todos sus componentes.

169
00:23:22,019 --> 00:23:24,720
Es decir, que si yo tengo un vector v,

170
00:23:26,000 --> 00:23:29,500
que puede ser el 1, menos 2, 3,

171
00:23:29,500 --> 00:23:43,819
y un vector W, sumar, restar y multiplicar, tengo dos vectores y el otro es el 2, 3, menos 5,

172
00:23:43,819 --> 00:24:06,099
la suma de v más v doble será otro vector, fijaros la suma de dos vectores es otro vector, que será el vector 3, 1, menos 2, sumados los componentes, ¿de acuerdo?

173
00:24:06,099 --> 00:24:08,960
las x con las x

174
00:24:08,960 --> 00:24:09,839
las x con las y

175
00:24:09,839 --> 00:24:11,740
si los resto

176
00:24:11,740 --> 00:24:15,680
pues resto sus componentes

177
00:24:15,680 --> 00:24:16,680
menos 1

178
00:24:16,680 --> 00:24:18,700
menos 5

179
00:24:18,700 --> 00:24:20,420
y 8

180
00:24:20,420 --> 00:24:24,319
flechas rectas

181
00:24:24,319 --> 00:24:27,339
antes has hecho

182
00:24:27,339 --> 00:24:29,500
como de varias

183
00:24:29,500 --> 00:24:30,359
es eso

184
00:24:30,359 --> 00:24:32,319
lo de los vectores en el espacio

185
00:24:32,319 --> 00:24:33,380
como que has hecho algunas

186
00:24:33,380 --> 00:24:34,740
intento hacer las rectas todas

187
00:24:34,740 --> 00:24:40,380
No es fácil, no es fácil, con esto es complicado

188
00:24:40,380 --> 00:24:46,319
Pero es esto, un vector se representa como una letra y arriba una flecha

189
00:24:46,319 --> 00:24:47,980
Para indicar que es un vector

190
00:24:47,980 --> 00:24:49,099
¿De acuerdo?

191
00:24:49,099 --> 00:24:53,440
Y luego si multiplicamos, yo quiero hacer por ejemplo 2V

192
00:24:53,440 --> 00:24:59,599
Entonces sería el vector 2 menos 4, 6

193
00:24:59,599 --> 00:25:02,039
¿De acuerdo?

194
00:25:02,039 --> 00:25:11,640
Bueno, esto tiene su representación geométrica, es decir, que si yo quiero sumar este vector y este vector,

195
00:25:12,440 --> 00:25:21,039
su representación geométrica es otro vector que se calcula sacando esto así, así, bueno,

196
00:25:21,039 --> 00:25:27,500
haciendo, os traeré un dibujo, un dibujo, porque a nosotros el dibujo técnico no nos interesa,

197
00:25:27,500 --> 00:25:35,559
porque nosotros no nos van a pedir ni dibujar nada ni nada, pero que sepáis que la suma de dos vectores es otro vector,

198
00:25:35,680 --> 00:25:42,640
es otro vector que se calcula, o sea, se dibuja, no sé si habéis, ¿alguien ha hecho el dibujo técnico?

199
00:25:42,779 --> 00:25:50,900
¿Habéis hecho el dibujo técnico? El dibujo técnico se dibuja la suma de vectores, se dibuja, se mide, se transporta las estas y ya está,

200
00:25:50,900 --> 00:26:11,200
y lo que se hace es crear el paralel epípedo, sí, y entonces la suma es así, la resta es otro vector también que viene hacia acá,

201
00:26:12,339 --> 00:26:21,099
lo importante que tenéis que saber es que la suma de dos vectores es un vector, que la suma, que la resta de dos vectores es otro vector

202
00:26:21,099 --> 00:26:32,640
y que la multiplicación de un vector por un número es otro vector, que tiene la misma dirección y el mismo sentido, pero el módulo multiplicado por esa cantidad, ¿de acuerdo?

203
00:26:32,720 --> 00:26:50,720
Es decir, que si yo multiplico por 2 un vector, si yo multiplico por 2 este vector y el vector v, el vector v es esto, entonces el vector 2v es como si yo lo pusiese así, de aquí a aquí, ¿de acuerdo?

204
00:26:51,099 --> 00:27:00,420
Es otro vector que tiene, y la suma de dos vectores es otro vector que no tiene la dirección de ninguno de los dos,

205
00:27:01,200 --> 00:27:08,640
es otro vector distinto, y la resta exactamente igual, es otro vector que tiene distinto, ¿de acuerdo?

206
00:27:10,519 --> 00:27:18,000
Bueno, cuando trabajáis con vectores, en los ejercicios, os pueden dar directamente un vector,

207
00:27:18,000 --> 00:27:35,400
es decir, bueno, pues dado el vector v, uno menos dos, tres, o también un vector puede venir definido por dos puntos, si yo tengo dos puntos en el espacio y los uno, eso es un vector, ¿de acuerdo?

208
00:27:35,400 --> 00:28:00,880
Entonces, este vector es exactamente el mismo para la geometría, nos da igual este vector que este, que es ese mismo pero llevado al, lo traslado al origen de coordenadas y así se convierte en un vector genérico de los que empiezan en el origen de coordenadas.

209
00:28:00,880 --> 00:28:15,640
Si me dan un vector dado por dos puntos A y B, el vector resultante, las coordenadas del vector son siempre B menos A.

210
00:28:15,640 --> 00:28:33,819
Es decir, si a mí me dicen, dado un vector que pasa por los puntos A y B, siendo A el punto 1, 3, 5 y el B el 7, menos 2, 4.

211
00:28:33,819 --> 00:29:00,380
El vector que va de A a B, este vector, sus coordenadas son 7 menos 1, menos 2 menos 3 y 4 menos 5, es decir, ese vector es el vector 6 menos 5 menos 1, ¿de acuerdo?

212
00:29:00,380 --> 00:29:29,180
¿De acuerdo? Ese vector AB que le puedo llamar, ¿de acuerdo? Un vector solamente os lo pueden dar de esas dos maneras, os dan las coordenadas del vector directamente porque os están dando este o también os pueden dar dos puntos en el espacio con sus coordenadas y deciros el vector que va de A a B y entonces vosotros sacáis las coordenadas del vector restando las dos, las dos, las componentes, siempre.

213
00:29:29,180 --> 00:29:45,000
El final menos el principio, ¿de acuerdo? El vector BA sería igual, pero tendría todas sus componentes cambiadas de signo porque va en la otra dirección, digo, en el otro sentido, no confundamos direcciones, ¿de acuerdo?

214
00:29:45,000 --> 00:30:00,259
Bueno, y ahora vamos a ver más cosas que podemos saber

215
00:30:00,259 --> 00:30:05,059
Cosas que sabemos a partir de las operaciones con vectores

216
00:30:05,059 --> 00:30:08,019
Más cosas que podemos saber

217
00:30:08,019 --> 00:30:11,960
Ahora volveremos sobre estas tres operaciones especiales de los vectores

218
00:30:11,960 --> 00:30:20,960
De eso que hemos visto, se extrae también cómo se calcula el punto medio de un segmento.

219
00:30:21,839 --> 00:30:40,789
Si yo tengo en el espacio un segmento, un trozo, y quiero saber dónde está su punto medio,

220
00:30:42,769 --> 00:30:46,490
eso, insisto, el dibujo técnico tiene una manera de hacerse.

221
00:30:46,490 --> 00:31:02,210
Analíticamente, si esto es A y esto es B y las coordenadas de A son por ejemplo A1, A2, A3 y las de B, B1, B2, B3,

222
00:31:02,210 --> 00:31:08,519
el punto medio está en la semisuma

223
00:31:08,519 --> 00:31:15,309
es decir, el punto medio del segmento partido por 2

224
00:31:15,309 --> 00:31:22,630
es decir, el punto medio está en a1 más b1 partido por 2

225
00:31:22,630 --> 00:31:27,109
a2 más b2 partido por 2

226
00:31:27,109 --> 00:31:32,569
y a3 más b3 partido por 2

227
00:31:32,569 --> 00:31:45,930
Es decir, que si yo quiero saber, dado un segmento, un segmento que tiene, o sea, que pasa, o sea, está delimitado por estos dos puntos,

228
00:31:45,930 --> 00:31:59,670
el 1, 3, 5 y el otro, el b, el 0, menos 3, 4, pues el punto medio de ese segmento será, vamos a llamarle m,

229
00:31:59,670 --> 00:32:01,190
es el punto

230
00:32:01,190 --> 00:32:02,490
un medio

231
00:32:02,490 --> 00:32:05,329
cero

232
00:32:05,329 --> 00:32:07,170
y

233
00:32:07,170 --> 00:32:08,849
un medio

234
00:32:08,849 --> 00:32:11,509
no, perdón

235
00:32:11,509 --> 00:32:12,329
nueve medios

236
00:32:12,329 --> 00:32:16,450
¿de acuerdo? ¿vale?

237
00:32:16,589 --> 00:32:18,390
y otra cosa

238
00:32:18,390 --> 00:32:21,029
importante que sacamos

239
00:32:21,029 --> 00:32:23,009
de un

240
00:32:23,009 --> 00:32:25,250
extraemos

241
00:32:25,250 --> 00:32:25,670
de

242
00:32:25,670 --> 00:32:28,930
de los vectores

243
00:32:28,930 --> 00:32:42,420
de las coordenadas de los vectores es la condición para que tres puntos estén alineados.

244
00:32:47,990 --> 00:33:06,960
Entonces, tres puntos cuando dos vectores son paralelos, si tienen sus componentes proporcionales,

245
00:33:06,960 --> 00:33:28,730
Por ejemplo, si yo quiero saber si el vector v, que es el vector 2, 3, 5, es paralelo al vector w,

246
00:33:30,170 --> 00:33:39,849
tengo que dividir 2 entre 4, 3 entre 6 y 5 entre 10.

247
00:33:41,349 --> 00:33:43,849
Y si esto me da igual, es entonces, ¿de acuerdo?

248
00:33:43,849 --> 00:33:56,430
Por lo tanto, si yo quiero saber si tres puntos están alineados en el espacio, si este es el punto A, este es el punto B y este es el punto C,

249
00:33:57,009 --> 00:34:11,369
yo lo que tengo que saber es si este vector y este vector son paralelos, es decir, que sus coordenadas sean proporcionales.

250
00:34:11,369 --> 00:34:24,769
Es decir, dado el punto A, que será, por ejemplo, el punto, el 3, el 3, 2, 1,

251
00:34:24,769 --> 00:34:40,630
B es el 4, 4 menos 2, y el C es el 4 menos 1, 6.

252
00:34:41,369 --> 00:34:55,320
Si quiero saber si esos tres puntos están alineados, yo saco el vector AB, el vector AB, que ya os he dicho que para sacar un vector,

253
00:34:55,760 --> 00:35:08,420
si me dan dos puntos, lo que tengo que hacer es restar sus componentes, sería B menos A, el vector AB sería 4 menos 3, 1, 4 menos 2, 2, y menos 2 menos 1, menos 3.

254
00:35:08,420 --> 00:35:22,679
Y el vector AC que sería C menos A que es 4 menos 3 es 1, menos 1 menos 2 menos 3 y 6 menos 1 es 5.

255
00:35:23,159 --> 00:35:35,619
Y ahora si quiero saber si esos tres puntos están alineados tendría que pasar que 1 partido por 1 sea igual a 2 partido de menos 3 y sea igual a menos 3 partido por 5.

256
00:35:35,619 --> 00:35:39,739
En este caso no lo es, luego estos tres puntos no están alineados.

257
00:35:39,800 --> 00:35:40,119
¿De acuerdo?

258
00:35:40,340 --> 00:35:46,760
Para que dos vectores sean paralelos, sus coordenadas, las coordenadas del vector tienen que ser proporcionales.

259
00:35:47,119 --> 00:35:55,119
Entonces, de aquí se sale que para que tres puntos estén alineados, los vectores que se forman estos dos,

260
00:35:55,619 --> 00:36:02,159
o sea, con estos dos puntos y con esos dos puntos, tienen que ser paralelos, es decir, sus componentes tienen que ser proporcionales.

261
00:36:02,159 --> 00:36:30,739
Entonces yo lo que se hace es, se sacan las coordenadas del vector AB, que se sacan, que se sacan, a ver dónde está, aquí, que se sacan restando las coordenadas de los puntos inicio y extremo, las del extremo menos la del inicio, y entonces saco los dos vectores y si son proporcionales sus componentes, se puede decir que esos tres puntos están alineados, ¿de acuerdo?

262
00:36:32,159 --> 00:36:45,500
¿Vale? Como comprenderéis, todo esto hay que saber, o sea, esto, si uno no sabe cuál es la fórmula del punto medio de un segmento, pues es imposible, no hay de lo que es calcular.

263
00:36:46,300 --> 00:36:54,260
Si uno no sabe cómo se sabe si los vectores son paralelos, pues no puedes saberlo, no puedes deducirlo.

264
00:36:54,579 --> 00:37:01,039
Si hay que saberse esto, entonces, ¿qué cosas hay que saberse de todo lo que hemos visto? Pues, en principio, todo.

265
00:37:01,039 --> 00:37:16,940
Entonces, repito, hay que saberse, vectores, hay que saberse que un vector tiene una dimensión, un módulo, una dirección y un sentido,

266
00:37:17,460 --> 00:37:24,920
que un vector queda definido por las coordenadas de su extremo, de su punto extremo,

267
00:37:24,920 --> 00:37:36,059
O bien, si nos dan un vector que pasa por dos puntos, pues entonces lo que hay que hacer es restar las coordenadas de esos dos puntos para sacar las coordenadas del vector.

268
00:37:36,519 --> 00:37:48,300
Por lo tanto, hay que saberse que el vector puede estar dado directamente por sus coordenadas o por dos puntos.

269
00:37:49,260 --> 00:37:53,619
Son las dos maneras, no hay otra, ¿eh? No hay otra, ¿vale?

270
00:37:53,619 --> 00:38:02,099
Entonces, si me dan las coordenadas, pues me darán el vector v1, v2, v3

271
00:38:02,099 --> 00:38:13,099
Y si me dan dos puntos a y b, el vector ab será el vector b1 menos a1

272
00:38:13,099 --> 00:38:22,260
Suponiendo que las coordenadas de los puntos a y b son las coordenadas a1, a2, a3, b1, b2, b3

273
00:38:22,260 --> 00:38:28,719
B2 menos A2 y B3 menos A3

274
00:38:28,719 --> 00:38:30,519
Esto es lo básico

275
00:38:30,519 --> 00:38:37,880
Un vector queda definido por las coordenadas de su punto extremo

276
00:38:37,880 --> 00:38:42,079
Y si me dan dos puntos para sacar las coordenadas de un vector tengo que hacer esto

277
00:38:42,079 --> 00:38:44,059
Me ven de una manera o de otra

278
00:38:44,059 --> 00:38:48,619
Yo lo que voy a tener siempre de un vector son sus tres componentes

279
00:38:48,619 --> 00:38:51,360
V1, V2 y V3

280
00:38:51,360 --> 00:39:04,900
con eso, con eso yo puedo calcular el punto medio de un segmento

281
00:39:04,900 --> 00:39:19,420
un punto medio de un segmento AB

282
00:39:19,420 --> 00:39:22,420
me dan dos puntos que forman un segmento

283
00:39:22,420 --> 00:39:26,699
y entonces el punto medio tendrá las coordenadas

284
00:39:26,699 --> 00:39:30,219
A1 más B1 partido por 2

285
00:39:30,219 --> 00:39:35,219
A2 más B2 partido por 2

286
00:39:35,219 --> 00:39:39,780
Y A3 más B3 partido por 2

287
00:39:39,780 --> 00:39:44,880
Puedo saber el módulo del vector

288
00:39:44,880 --> 00:39:46,039
Es decir, lo que mide

289
00:39:46,039 --> 00:39:48,800
Que es lo mismo que decir

290
00:39:48,800 --> 00:39:51,599
Si yo, a mí me dan dos puntos

291
00:39:51,599 --> 00:39:53,159
Yo puedo saber perfectamente

292
00:39:53,159 --> 00:39:55,280
La distancia que hay entre esos dos puntos

293
00:39:55,280 --> 00:39:57,340
Porque la distancia que hay entre esos dos puntos

294
00:39:57,340 --> 00:39:59,460
Es el módulo del vector que los une

295
00:39:59,460 --> 00:40:01,380
de seguirse en el razonamiento

296
00:40:01,380 --> 00:40:03,519
entonces si yo tengo dos puntos

297
00:40:03,519 --> 00:40:06,280
una cosa que es una cosa que se hace en geometría muchísimo

298
00:40:06,280 --> 00:40:08,079
que es medir la distancia entre dos puntos

299
00:40:08,079 --> 00:40:10,320
pues analíticamente

300
00:40:10,320 --> 00:40:12,039
si tú tienes dos puntos

301
00:40:12,039 --> 00:40:13,619
sacas el vector

302
00:40:13,619 --> 00:40:16,440
de esos dos puntos con esta fórmula

303
00:40:16,440 --> 00:40:17,860
y calculas un módulo

304
00:40:17,860 --> 00:40:19,260
¿cuál es el módulo de un vector?

305
00:40:19,400 --> 00:40:21,940
el módulo de un vector se calcula

306
00:40:21,940 --> 00:40:23,420
como la raíz cuadrada

307
00:40:23,420 --> 00:40:26,139
del cuadrado de sus tres componentes

308
00:40:26,139 --> 00:40:31,090
¿de acuerdo?

309
00:40:31,090 --> 00:41:13,539
¿Vale? ¿Qué más cosas puedo hacer? Puedo sumar, restar y multiplicar por un número dos o más vectores, ya sabemos que para sumar sumo sus componentes, para restar resto sus componentes y para multiplicar por un número multiplico por un número

310
00:41:13,539 --> 00:41:33,960
De tal manera que la suma de dos vectores es otro vector, la resta de dos vectores es otro vector y la multiplicación por un número también es un vector, ¿de acuerdo?

311
00:41:33,960 --> 00:41:37,079
o sea, aquí esa operación también la...

312
00:41:37,079 --> 00:41:40,460
luego, puedo saber si dos vectores son paralelos

313
00:41:40,460 --> 00:41:54,449
son paralelos, ¿cómo?

314
00:41:56,809 --> 00:42:00,809
serán paralelos si sus componentes son proporcionales

315
00:42:00,809 --> 00:42:16,750
y de aquí se sabe también que

316
00:42:16,750 --> 00:42:20,409
si tres puntos están alineados

317
00:42:20,409 --> 00:42:32,900
esto sin tener que dibujar absolutamente nada

318
00:42:32,900 --> 00:42:40,380
solamente con que me den las coordenadas con respecto a mi sistema de referencia

319
00:42:40,380 --> 00:42:43,719
o bien directamente de los vectores con los que estoy trabajando

320
00:42:43,719 --> 00:42:46,619
o de los puntos de su inicio y su estreno.

321
00:42:46,920 --> 00:42:47,320
¿De acuerdo?

322
00:42:48,980 --> 00:42:49,420
Vale.

323
00:42:50,420 --> 00:42:51,579
Bueno, a ver.

324
00:42:52,920 --> 00:42:54,420
Yo quiero daros ahí toda la teoría.

325
00:42:54,800 --> 00:42:58,099
Sé que vais a ir empanaos y sin entender nada, pero da lo mismo.

326
00:42:58,099 --> 00:43:02,840
Quiero que lo dejéis ahí reflejado para que mañana vengamos y empecemos con los ejercicios.

327
00:43:04,239 --> 00:43:15,000
Vamos a ver, entonces, hemos dicho, os he dicho que las operaciones que se podían hacer con los vectores,

328
00:43:15,159 --> 00:43:17,579
hemos visto sumar, restar y multiplicar por un número.

329
00:43:17,940 --> 00:43:21,099
Vamos a ver ahora tres operaciones que no se pueden hacer con los números,

330
00:43:21,360 --> 00:43:25,059
porque sumar, restar y multiplicar por un número se puede hacer con los números

331
00:43:25,059 --> 00:43:30,800
y se puede hacer con las matrices, se puede hacer con un montón de cosas, con un montón de elementos matemáticos.

332
00:43:31,420 --> 00:43:35,139
Vamos a ver ahora tres operaciones que solo se pueden hacer con vectores.

333
00:43:35,860 --> 00:43:44,079
Una cosa especial, que se han inventado para hacer con los vectores y que luego utilizaremos para resolver los problemas geométricos

334
00:43:44,079 --> 00:43:46,380
mediante operaciones matemáticas.

335
00:43:47,000 --> 00:43:52,079
La primera de ellas es el producto escalar de dos vectores.

336
00:44:03,989 --> 00:44:17,090
El producto escalar de dos vectores se escribe con un punto y el resultado es un número.

337
00:44:26,940 --> 00:44:32,900
Hasta ahora en las operaciones que habíamos hecho de suma, resta, multiplicación por un número de un vector siempre nos da otro vector.

338
00:44:33,039 --> 00:44:35,480
Bueno, pues esto no, aquí nos da un número.

339
00:44:36,900 --> 00:44:39,860
Y queda definido de la siguiente manera.

340
00:44:39,860 --> 00:44:58,159
Queda definido como el módulo de uno de los vectores por el módulo del otro vector y por el coseno del ángulo que forman entre ellos.

341
00:44:58,159 --> 00:45:06,059
De tal manera que para poder calcular el producto escalar de dos vectores,

342
00:45:06,199 --> 00:45:10,340
debería tener, bueno, puedo calcular su módulo si tengo sus coordenadas,

343
00:45:10,340 --> 00:45:16,380
puedo calcular su otro módulo, pero necesito saber el ángulo que forman para poder sacarlo.

344
00:45:16,880 --> 00:45:28,440
Hay otra manera de calcularlo, de alfa, que es igual,

345
00:45:28,440 --> 00:45:47,940
Si conozco las coordenadas de los dos puntos lo puedo calcular mediante esta, ¿vale?

346
00:45:48,559 --> 00:45:53,519
Entonces, cosas importantes o interesantes que salen del producto escalar

347
00:45:53,519 --> 00:46:03,280
Lo más importante del producto escalar es que me sirve para sacar el ángulo que forman dos vectores fáciles

348
00:46:03,280 --> 00:46:18,059
¿Por qué? Porque imaginaros que yo tengo el vector v que sea el vector 1, 3, menos 5 y omega que será el 2, 1, 0, por ejemplo.

349
00:46:18,059 --> 00:46:38,320
¿Vale? Y yo quiero saber el ángulo que forman estos, si yo dibujase esos, esos vectores, pues uno sería el 1, 3 menos 5, que sería como por aquí, el otro 2, 1, 0, que sería como por aquí.

350
00:46:38,320 --> 00:46:41,119
Y esos dos vectores forman un ángulo.

351
00:46:41,340 --> 00:46:45,159
Si yo quiero saber ese ángulo, pues podría dibujarlo y luego medir el ángulo.

352
00:46:45,639 --> 00:46:53,960
Ya sabéis que siempre, que siempre esto se puede hacer, todo esto se puede hacer también geométricamente dibujando, con el dibujo lineal.

353
00:46:53,960 --> 00:47:21,869
Pero para hacerlo con soluciones matemáticas, yo lo que hago es, si yo calculo su producto escalar, sería 1 por 2 más 3 por 1 más menos 5 por 0, teniendo los componentes del vector, yo puedo calcular el producto escalar.

354
00:47:21,869 --> 00:47:42,369
Y esto es 5, su producto escalar es 5, ¿de acuerdo? ¿Lo veis? Bueno, pero si ahora me voy a la otra fórmula, yo sé que 5, que es el producto escalar, es el módulo de v,

355
00:47:42,369 --> 00:48:01,489
El módulo de v es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 3 al cuadrado más menos 5 al cuadrado por el módulo de omega que es 2 al cuadrado más 1 al cuadrado más 0 y por el coseno del ángulo que forma.

356
00:48:01,489 --> 00:48:04,329
si yo esto lo paso dividiendo

357
00:48:04,329 --> 00:48:07,429
el coseno del ángulo alfa

358
00:48:07,429 --> 00:48:10,269
será por lo tanto el producto escalar

359
00:48:10,269 --> 00:48:16,280
que es esto, partido por los dos módulos

360
00:48:16,280 --> 00:48:21,340
con estas dos fórmulas

361
00:48:21,340 --> 00:48:24,760
yo, si yo calculo el producto escalar aquí

362
00:48:24,760 --> 00:48:29,760
con esta fórmula yo tengo sus tres componentes

363
00:48:29,760 --> 00:48:32,039
no tengo ningún problema, calculo el producto escalar

364
00:48:32,039 --> 00:48:35,059
y con ese producto escalar

365
00:48:35,059 --> 00:48:36,940
me voy a esta, yo puedo sacar

366
00:48:36,940 --> 00:48:38,960
directamente el ángulo que forman

367
00:48:38,960 --> 00:48:41,500
porque tengo, si tengo los componentes

368
00:48:41,500 --> 00:48:42,860
y tengo el producto escalar

369
00:48:42,860 --> 00:48:44,820
pues tengo, estos pasan dividiendo

370
00:48:44,820 --> 00:48:46,440
y entonces se me quedaría así

371
00:48:46,440 --> 00:48:47,880
¿de acuerdo?

372
00:48:49,340 --> 00:48:50,360
operación matemática

373
00:48:50,360 --> 00:48:53,019
simple, dos fórmulas

374
00:48:53,019 --> 00:48:55,000
y lo que se hace es

375
00:48:55,000 --> 00:48:58,920
claro, si yo lo he hecho así lo despejar

376
00:48:58,920 --> 00:49:00,860
¿vale? o sea yo

377
00:49:00,860 --> 00:49:05,639
el producto escalar es esto

378
00:49:05,639 --> 00:49:08,199
y es esto, se calcula de las dos maneras

379
00:49:08,199 --> 00:49:09,800
yo para utilizar esta

380
00:49:09,800 --> 00:49:11,960
fórmula y sacar el producto escalar

381
00:49:11,960 --> 00:49:14,239
necesito tener las componentes

382
00:49:14,239 --> 00:49:15,880
del vector para sacar

383
00:49:15,880 --> 00:49:17,860
sus módulos y el

384
00:49:17,860 --> 00:49:19,480
coseno del ángulo que forman

385
00:49:19,480 --> 00:49:21,559
pero también es verdad que lo puedo hacer

386
00:49:21,559 --> 00:49:23,860
teniendo las componentes del vector lo puedo hacer

387
00:49:23,860 --> 00:49:25,460
aquí y con esto

388
00:49:25,460 --> 00:49:27,280
si me voy aquí arriba y despejo

389
00:49:27,280 --> 00:49:28,059
saco el ángulo

390
00:49:28,059 --> 00:49:39,480
esta es una de las aplicaciones más directas que tiene el producto escalar, que es sacar el ángulo que forman dos ventolas, ¿vale?

391
00:49:39,480 --> 00:49:55,420
Y además, si el producto escalar es cero, si esto es cero, quiere decir, si v, el producto escalar es cero, ¿vale?

392
00:49:55,420 --> 00:50:11,360
Quiere decir que el coseno de alfa, el coseno del ángulo que forman es cero y por lo tanto v y omega son perpendiculares.

393
00:50:11,360 --> 00:50:26,019
Esta es otra de las aplicaciones importantísimas de estas dos aplicaciones, el cálculo del ángulo que forman y lo que se deduce si el producto escalar es 0.

394
00:50:26,119 --> 00:50:34,519
Si el producto escalar es 0 quiere decir que el coseno del ángulo que forman es 0 y el ángulo que tiene el coseno 0 es 90 grados.

395
00:50:34,519 --> 00:50:55,920
Es decir, los dos vectores son, es decir, que mediante el producto escalar podemos saber si dos vectores son perpendiculares, qué ángulo forman y además podemos encontrar, haremos ejercicios de dar un vector, buscar uno que sea perpendicular a él.

396
00:50:55,920 --> 00:50:59,639
¿Cómo consigo un vector perpendicular a uno dado?

397
00:51:00,019 --> 00:51:03,159
Pues haciendo que su producto escalar sea 6, más o menos.

398
00:51:03,780 --> 00:51:07,579
Bueno, producto vectorial.

399
00:51:08,719 --> 00:51:16,150
El producto vectorial de dos vectores es un vector.

400
00:51:17,230 --> 00:51:22,909
Se escribe v por omega y es un vector.

401
00:51:27,210 --> 00:51:31,949
Por lo tanto, tiene módulo, dirección y sentido.

402
00:51:43,929 --> 00:51:50,309
El producto escalar, igual que el producto vectorial, se puede escribir, o sea, vamos a ver.

403
00:51:51,989 --> 00:51:59,750
El producto, este vector se puede hallar, que es el resultado del producto vectorial de dos vectores,

404
00:52:00,409 --> 00:52:08,550
siempre es un vector que además es perpendicular a los dos, al plano que forman los dos.

405
00:52:08,550 --> 00:52:15,409
¿De acuerdo? Es decir, si yo tengo dos vectores, dos vectores definen un plano, ¿no?

406
00:52:15,550 --> 00:52:26,929
¿Sí o no? Está claro, los vectores definen un plano, igual que dos rectas definen un plano, igual que dos puntos, no, dos puntos no definen un plano, dos puntos definen una recta.

407
00:52:26,929 --> 00:52:37,630
Entonces, el producto escalar de estos dos vectores es un vector que es perpendicular a ese plano, es decir, es perpendicular a los dos vectores, ¿de acuerdo?

408
00:52:38,550 --> 00:53:03,860
Y su módulo, es decir, su dimensión, viene dada por el módulo de uno, por el módulo del otro, por el seno del ángulo.

409
00:53:03,860 --> 00:53:06,380
Antes se iba por el coseno y ahora es por el ángulo.

410
00:53:06,380 --> 00:53:08,320
Esta es una manera de calcularlo.

411
00:53:09,280 --> 00:53:20,300
El producto vectorial, si yo conozco el ángulo, podría calcularlo de esta manera.

412
00:53:21,039 --> 00:53:26,099
El módulo, que es un vector que es perpendicular a los dos.

413
00:53:26,579 --> 00:53:51,510
Y la otra manera de calcularlo, que es la que se utiliza habitualmente, es esta de 3.

414
00:53:51,510 --> 00:53:56,750
Que me da directamente el vector y a partir de ahí puedo calcular el ángulo.

415
00:53:57,550 --> 00:53:59,110
Puedo calcular el...

416
00:53:59,110 --> 00:54:05,070
Bueno, ¿cuál es la interpretación geométrica del producto escalar?

417
00:54:05,849 --> 00:54:07,349
Digo, del producto vectorial.

418
00:54:10,489 --> 00:54:18,389
Bueno, lo primero sabemos, sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ese plano.

419
00:54:18,389 --> 00:54:20,889
cosa que luego ya veréis

420
00:54:20,889 --> 00:54:22,550
cuando empecemos con las rectas

421
00:54:22,550 --> 00:54:24,170
eso nos va a dar la posibilidad

422
00:54:24,170 --> 00:54:27,150
de calcular una recta perpendicular a un plano

423
00:54:27,150 --> 00:54:29,110
solamente tengo que sacar

424
00:54:29,110 --> 00:54:30,570
dos vectores del plano

425
00:54:30,570 --> 00:54:32,429
y calcular su

426
00:54:32,429 --> 00:54:34,630
producto vectorial

427
00:54:34,630 --> 00:54:36,530
y me da la dirección de la recta

428
00:54:36,530 --> 00:54:37,090
directamente

429
00:54:37,090 --> 00:54:38,369
entonces

430
00:54:38,369 --> 00:54:40,809
y la otra

431
00:54:40,809 --> 00:54:43,590
interpretación geométrica

432
00:54:43,590 --> 00:54:44,769
es

433
00:54:44,769 --> 00:54:47,530
el módulo

434
00:54:47,530 --> 00:54:54,530
O sea, lo que mide esto es igual que el área de este paralelogramo.

435
00:54:55,349 --> 00:55:08,050
El paralelogramo que forma el módulo, es decir, esta medida es lo mismo, es exactamente igual que el área del paralelogramo que forman los dos vectores.

436
00:55:08,050 --> 00:55:15,230
De tal manera que si a mí me dan dos vectores y me dice cuál es el área de este paralelogramo,

437
00:55:15,429 --> 00:55:18,550
pues el área es directamente su producto vectoral.

438
00:55:18,670 --> 00:55:20,750
El módulo de, por ejemplo, un ejemplo.

439
00:55:20,750 --> 00:55:22,369
Lo voy a hacer en rojo.

440
00:55:26,210 --> 00:55:35,949
Imaginaros que a mí me dan un vector v, que es el vector, por ejemplo, el vector 3, 1, 0.

441
00:55:38,050 --> 00:55:44,590
Y un vector W, que es el vector menos 1, 4, 2.

442
00:55:45,489 --> 00:55:47,929
Y quiero saber su producto vectorial.

443
00:55:47,929 --> 00:56:03,969
Bueno, pues entonces su producto vectorial será V por omega y JK, 3, 1, 0, menos 1, 4, 2.

444
00:56:03,969 --> 00:56:18,750
Esto es 2i más 0j más 12k

445
00:56:18,750 --> 00:56:27,150
Y por otro lado tengo menos k más 0i más 6j

446
00:56:27,150 --> 00:56:40,329
Luego entonces tengo 2i más 12k más k menos 6j

447
00:56:40,329 --> 00:56:46,550
Luego tengo 2i menos 6j más 13k

448
00:56:46,550 --> 00:56:51,610
es decir, este es el vector

449
00:56:51,610 --> 00:56:53,650
v

450
00:56:53,650 --> 00:56:58,010
es el vector

451
00:56:58,010 --> 00:57:00,150
2 menos 6

452
00:57:00,150 --> 00:57:01,250
13

453
00:57:01,250 --> 00:57:03,849
así se calcula

454
00:57:03,849 --> 00:57:05,030
ese determinante

455
00:57:05,030 --> 00:57:07,489
la y, la j y la k nos dan

456
00:57:07,489 --> 00:57:09,570
la y, la j y la k

457
00:57:09,570 --> 00:57:10,949
lo que nos dan son las direcciones

458
00:57:10,949 --> 00:57:13,289
la dirección y es la del

459
00:57:13,289 --> 00:57:15,989
eje x, la j la del eje

460
00:57:15,989 --> 00:57:17,610
la del eje

461
00:57:17,610 --> 00:57:19,329
lo diría

462
00:57:19,329 --> 00:57:21,010
la del eje

463
00:57:21,010 --> 00:57:23,409
I y la K

464
00:57:23,409 --> 00:57:25,130
es la del eje hecho

465
00:57:25,130 --> 00:57:26,829
el determinante, es un determinante

466
00:57:26,829 --> 00:57:28,789
lo que he hecho ha sido este por este por este

467
00:57:28,789 --> 00:57:31,349
2I, 3 por 4 más 12K

468
00:57:31,349 --> 00:57:32,989
y J por 0 menos 1

469
00:57:32,989 --> 00:57:35,230
vale, y luego en la otra dirección

470
00:57:35,230 --> 00:57:37,690
en la otra dirección

471
00:57:37,690 --> 00:57:39,150
menos 1 por 1 por K

472
00:57:39,150 --> 00:57:40,849
menos K, 4 por 0 por I

473
00:57:40,849 --> 00:57:43,409
0I y 3 por J por 2

474
00:57:43,409 --> 00:57:45,530
6J y ahora resto esto menos esto

475
00:57:45,530 --> 00:57:47,230
2I más 12K

476
00:57:47,230 --> 00:57:49,210
menos menos k que es más k

477
00:57:49,210 --> 00:57:50,610
y menos 6j

478
00:57:50,610 --> 00:57:52,469
y ahora digo, ¿y cuántas hay?

479
00:57:52,550 --> 00:57:54,469
2j es menos 6

480
00:57:54,469 --> 00:57:55,570
y k es 13

481
00:57:55,570 --> 00:57:58,090
pues mi producto vectorial

482
00:57:58,090 --> 00:58:02,469
¿pero tú sabes hacer un determinante de 3 por 3?

483
00:58:02,610 --> 00:58:04,530
sí, pero no lo veo, ahí no lo estoy viendo

484
00:58:04,530 --> 00:58:05,869
pero hazlo

485
00:58:05,869 --> 00:58:08,730
pero que no sé, no sé por qué hay un 2

486
00:58:08,730 --> 00:58:10,150
¿por qué estoy?

487
00:58:10,250 --> 00:58:11,409
¿cómo se hace un determinante?

488
00:58:11,570 --> 00:58:12,469
¿cómo lo tengo que hacer?

489
00:58:12,769 --> 00:58:14,510
primero, así, ¿no? empieza así

490
00:58:14,510 --> 00:58:16,969
pues multiplica, multiplica esto

491
00:58:16,969 --> 00:58:19,110
Ah, que lo multiplica.

492
00:58:19,429 --> 00:58:20,690
Hombre, estoy haciendo un determinante.

493
00:58:21,110 --> 00:58:23,030
No me dices que sabes hacer un determinante.

494
00:58:23,050 --> 00:58:24,110
Sí, pero no lo estoy entendiendo.

495
00:58:25,050 --> 00:58:26,090
¿Por qué hay letras?

496
00:58:26,969 --> 00:58:29,989
Porque las letras forman parte de las matemáticas.

497
00:58:30,130 --> 00:58:35,210
J, K son las letras con las que se escriben en geometría del espacio,

498
00:58:35,329 --> 00:58:36,610
los tres direcciones del espacio.

499
00:58:36,889 --> 00:58:40,949
I es la X, J es la I y K se van.

500
00:58:41,610 --> 00:58:43,550
No es que se vayan, no es que se vayan.

501
00:58:43,550 --> 00:59:00,769
Es que cualquier vector, cualquier vector v, 2 menos 1, 3, en realidad es el vector 2i menos 1j más 3k.

502
00:59:02,849 --> 00:59:07,750
Esto es lo mismo que esto, lo que pasa que se quita, la i, j, k se quitan.

503
00:59:07,750 --> 00:59:20,050
Y cuando hacemos el determinante para calcular el producto vectorial, mantenemos la j, pero como veis al final, o sea, mantenemos las direcciones, pero luego las quito.

504
00:59:21,269 --> 00:59:30,090
¿Vale? Esto y esto es lo mismo. Esto y esto, o sea, que si en algún momento, en algún ejercicio, os diesen un vector de esta manera, saber que esta.

505
00:59:30,090 --> 00:59:34,530
Bueno, venga, y por último, producto mixto.

506
00:59:35,389 --> 00:59:38,010
Mañana haremos ejercicios y veréis que es bastante sencillo.

507
00:59:45,900 --> 00:59:49,260
El producto mixto se hace entre tres vectores.

508
00:59:59,530 --> 01:00:01,210
Es un producto escalar.

509
01:00:03,769 --> 01:00:07,590
Tened en cuenta que los vectores no se pueden multiplicar entre sí.

510
01:00:07,809 --> 01:00:09,869
Yo no os he dicho en ningún momento que se puedan multiplicar.

511
01:00:10,510 --> 01:00:14,570
O sea, las operaciones matemáticas normales que se pueden hacer con los vectores

512
01:00:14,570 --> 01:00:19,489
son sumar, restar y multiplicar con un número, no se pueden multiplicar dos vectores, los

513
01:00:19,489 --> 01:00:26,610
productos de vectores son el escalar, el vectorial y el mixto, ¿vale? No se pueden multiplicar

514
01:00:26,610 --> 01:00:35,869
los componentes de dos vectores, eso no te da nada, ¿vale? Bueno, entonces, el producto

515
01:00:35,869 --> 01:00:37,949
escalar, digo, el producto

516
01:00:37,949 --> 01:00:38,909
mixto

517
01:00:38,909 --> 01:00:41,889
es un número exactamente

518
01:00:41,889 --> 01:00:42,489
igual

519
01:00:42,489 --> 01:00:53,969
y consiste en hacer

520
01:00:53,969 --> 01:00:56,090
el producto vectorial

521
01:00:56,090 --> 01:00:57,730
de dos y con

522
01:00:57,730 --> 01:00:59,730
el resultado, el producto vectorial

523
01:00:59,730 --> 01:01:01,809
me da otro vector. Hacer luego

524
01:01:01,809 --> 01:01:03,730
el producto escalar con el

525
01:01:03,730 --> 01:01:05,670
resultado de esto. ¿De acuerdo?

526
01:01:06,090 --> 01:01:07,909
Y hay una forma rápida

527
01:01:07,909 --> 01:01:09,809
de hacerlo y es un

528
01:01:09,809 --> 01:01:12,010
número. Esto no tiene ni dirección

529
01:01:12,010 --> 01:01:13,869
ni sentido ni nada, el producto

530
01:01:13,869 --> 01:01:15,949
escalar, digo el producto

531
01:01:15,949 --> 01:01:17,909
mixto de tres vectores es

532
01:01:17,909 --> 01:01:18,889
un número

533
01:01:18,889 --> 01:01:21,690
y se me ha olvidado deciros antes una cosa importante

534
01:01:21,690 --> 01:01:22,989
bueno, y

535
01:01:22,989 --> 01:01:25,690
se calcula

536
01:01:25,690 --> 01:01:27,469
se calcula si v

537
01:01:27,469 --> 01:01:29,409
bueno

538
01:01:29,409 --> 01:01:31,409
el producto mixto

539
01:01:31,409 --> 01:01:52,349
es importantísimo

540
01:01:52,349 --> 01:01:53,989
porque si no, no sabes que es un vector

541
01:01:53,989 --> 01:01:56,150
eso es importantísimo

542
01:01:56,150 --> 01:01:58,329
pero hay que hacerlo

543
01:01:58,329 --> 01:01:59,530
es un vector

544
01:01:59,530 --> 01:02:01,750
pero antes como que has puesto

545
01:02:01,750 --> 01:02:03,650
lo de v y w como abajo

546
01:02:03,650 --> 01:02:05,230
y la i, la j, la k arriba

547
01:02:05,230 --> 01:02:06,550
porque era otra cosa

548
01:02:06,550 --> 01:02:09,849
a veces sumo, a veces resto, otras veces hago

549
01:02:09,849 --> 01:02:11,710
un logaritmo, otras veces multiplico

550
01:02:11,710 --> 01:02:13,750
otras veces hago, antes estaba haciendo

551
01:02:13,750 --> 01:02:14,889
un producto vectorial

552
01:02:14,889 --> 01:02:16,389
el producto vectorial

553
01:02:16,389 --> 01:02:19,909
se hace así, como es un vector

554
01:02:19,909 --> 01:02:22,150
en la primera fila

555
01:02:22,150 --> 01:02:23,929
el determinante es i, j, k

556
01:02:23,929 --> 01:02:25,590
que son las tres direcciones del vector

557
01:02:25,590 --> 01:02:26,309
y

558
01:02:26,309 --> 01:02:35,070
el producto mixto es un número y se hace con los números y de aquí te haces el determinante y te sale un número, ¿de acuerdo?

559
01:02:35,889 --> 01:02:44,409
Entonces, ese número, la interpretación geométrica de ese número es que el valor que sale del producto este es,

560
01:02:44,409 --> 01:02:46,170
si yo tengo tres vectores

561
01:02:46,170 --> 01:02:50,389
y hago su producto

562
01:02:50,389 --> 01:02:52,010
su producto mixto

563
01:02:52,010 --> 01:02:54,050
pues es el volumen

564
01:02:54,050 --> 01:02:56,590
de este paralelepípedo

565
01:02:56,590 --> 01:03:00,539
bueno, si lo hubiese dibujado

566
01:03:00,539 --> 01:03:00,800
bien

567
01:03:00,800 --> 01:03:03,639
¿de acuerdo?

568
01:03:03,900 --> 01:03:05,920
si yo tengo estos tres

569
01:03:05,920 --> 01:03:08,159
bueno, pues el volumen de estos sale

570
01:03:08,159 --> 01:03:10,099
es directamente el valor

571
01:03:10,099 --> 01:03:11,880
que sale de hacer su producto mixto

572
01:03:11,880 --> 01:03:17,840
evidentemente esto está fatalmente dibujado

573
01:03:17,840 --> 01:03:20,900
bueno, y entonces

574
01:03:20,900 --> 01:03:22,440
dos cosas y acabamos

575
01:03:22,440 --> 01:03:24,039
importantísimo

576
01:03:24,039 --> 01:03:26,460
si el producto, hemos dicho

577
01:03:26,460 --> 01:03:28,139
que si el producto escalar

578
01:03:28,139 --> 01:03:29,980
de dos vectores es cero

579
01:03:29,980 --> 01:03:31,639
los vectores son perpendiculares

580
01:03:31,639 --> 01:03:34,980
bueno, si el producto vectorial

581
01:03:34,980 --> 01:03:36,099
es cero

582
01:03:36,099 --> 01:03:43,340
si el producto vectorial

583
01:03:43,340 --> 01:03:44,619
es cero

584
01:03:44,619 --> 01:03:47,420
el producto vectorial de dos vectores

585
01:03:47,420 --> 01:03:53,840
es cero

586
01:03:53,840 --> 01:03:55,219
es decir, que os da

587
01:03:55,219 --> 01:03:56,440
cero, cero, cero

588
01:03:56,440 --> 01:03:59,579
entonces es que los vectores

589
01:03:59,579 --> 01:04:01,000
son paralelos

590
01:04:01,000 --> 01:04:14,630
importantísimo

591
01:04:14,630 --> 01:04:17,469
si yo quiero saber si los vectores

592
01:04:17,469 --> 01:04:19,610
son perpendiculares, hago su producto escalar

593
01:04:19,610 --> 01:04:21,489
y si me da cero, son perpendiculares

594
01:04:21,489 --> 01:04:36,650
Si quiero saber si son paralelos puedo o bien ver que sus componentes son proporcionales como habíamos dicho al principio o bien calculando su producto vectorial y si me da cero es que son paralelos.

595
01:04:36,889 --> 01:04:48,630
¿Por qué? Porque entra el seno, si esto da cero quiere decir que los dos vectores, el ángulo que forman es cero, es decir son paralelos.

596
01:04:48,630 --> 01:05:03,969
Y por último, si el producto mixto es cero, el producto de tres vectores es cero,

597
01:05:04,090 --> 01:05:07,789
quiere decir que los vectores son coplanarios.

598
01:05:08,690 --> 01:05:18,130
¿Qué son tres vectores coplanarios? A ver, alguien que lo explique.

599
01:05:19,170 --> 01:05:20,110
¿Qué es?

600
01:05:20,110 --> 01:05:26,730
que están en el mismo plano

601
01:05:26,730 --> 01:05:33,349
comparten planos

602
01:05:33,349 --> 01:05:34,269
son coplanarios

603
01:05:34,269 --> 01:05:35,530
están en el mismo plano

604
01:05:35,530 --> 01:05:37,889
al estar en el mismo plano

605
01:05:37,889 --> 01:05:40,869
lógicamente esto se vendría aquí abajo

606
01:05:40,869 --> 01:05:42,829
y ya no hay paralelepípedo posible

607
01:05:42,829 --> 01:05:44,110
por lo tanto su vector

608
01:05:44,110 --> 01:05:45,710
su producto mixto

609
01:05:45,710 --> 01:05:45,989
¿vale?

610
01:05:46,789 --> 01:05:49,909
es bastante sencillo

611
01:05:50,110 --> 01:05:52,210
Es muy sencillo, ¿eh? Lo que pasa es que hay que sabérselo.

612
01:05:52,829 --> 01:05:53,829
¿Qué problema es que hay que sabérselo?

613
01:05:53,829 --> 01:05:57,289
Al final tendría una fórmula y todo eso, sí, pero así la teoría ha sido...

614
01:05:57,289 --> 01:05:58,369
Hostia, la teoría, ¿eh?

615
01:05:58,369 --> 01:05:59,210
Ha sido toda la teoría.

616
01:06:00,329 --> 01:06:03,250
Aunque he entendido más esto que la trigonometría, tío.

617
01:06:03,889 --> 01:06:04,010
Sí.

618
01:06:04,670 --> 01:06:06,630
Trigonometría todavía se puede saber cómo se hace.

619
01:06:07,050 --> 01:06:09,389
Bueno, es que se va intentando aprender las matrices, ¿eh?

620
01:06:09,909 --> 01:06:11,650
La parte estacional de la matriz.

621
01:06:11,650 --> 01:06:13,150
Si el producto vectorial es cero...

622
01:06:13,150 --> 01:06:13,590
No, ese no.

623
01:06:13,670 --> 01:06:15,929
Sí, lo de tres pinchas que están...

624
01:06:15,929 --> 01:06:17,030
Pues imagínate cómo voy.

625
01:06:17,030 --> 01:06:47,010
Creo que es el cuarto.

626
01:06:47,030 --> 01:06:51,769
¡Qué morra, tío! ¡Qué morra, tío!

627
01:06:51,869 --> 01:06:52,349
¡Ya ves!

628
01:06:52,349 --> 01:06:53,570
¡Tiene que ser todo fácil eso!

629
01:06:55,409 --> 01:06:57,250
Mariana, que no se vaya a caer, que no se va a caer.

630
01:06:57,849 --> 01:07:00,869
Vamos, le coges la mano y me cachan.

631
01:07:00,909 --> 01:07:02,969
Que se vaya a la porta y ahí no se va a caer.

632
01:07:02,989 --> 01:07:03,969
¡Venga, se va a caer!

633
01:07:04,329 --> 01:07:08,789
Es normal que en nuestras comunidades hagan tan fácil que a mi madre no me vayan a aceptar mi familia.

634
01:07:09,489 --> 01:07:09,969
¡Hombre, tía!

635
01:07:11,050 --> 01:07:15,369
Este mismo que yo le he explicado en el proceso de llegar a la clase.

636
01:07:15,369 --> 01:07:24,250
Yo todo esto subo a las clases

637
01:07:24,250 --> 01:07:25,449
a la escritura

638
01:07:25,449 --> 01:07:26,489
o sea que tenéis que estar

639
01:07:26,489 --> 01:07:26,829
en la escritura

640
01:07:26,829 --> 01:07:33,050
La escritura es lo importante

641
01:07:33,050 --> 01:07:34,710
que es la economía y no es igual

642
01:07:34,710 --> 01:07:40,269
Una vez que hagamos los ejercicios

643
01:07:40,269 --> 01:07:41,610
veréis como irá mejor

644
01:07:41,610 --> 01:07:44,369
Venga, mañana nos vemos

645
01:07:44,369 --> 01:07:45,150
Adiós

646
01:07:45,369 --> 01:07:51,269
Hasta luego chicas y chicas