1
00:00:01,010 --> 00:00:07,809
Hola a todos, en este tutorial vamos a ver un teorema muy interesante que en los libros suele estar demostrado hacia un lado

2
00:00:07,809 --> 00:00:13,490
y lo vamos a demostrar hacia los dos, que dice que dada una matriz cuadrada de orden n

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00:00:13,490 --> 00:00:20,289
se cumple que el rango de A es igual a n si y solo si su determinante es nódulo.

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00:00:21,929 --> 00:00:30,070
Bien, si empezamos de izquierda a derecha, es decir, partimos de que el rango de la matriz es n

5
00:00:30,070 --> 00:00:34,210
y queremos concluir que su determinante es no nulo.

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00:00:35,689 --> 00:00:38,250
Bien, esta es la implicación, que eso suele trabajar poco.

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00:00:38,250 --> 00:01:08,420
Si el rango de A es N, es porque podemos escalonar A hasta conseguir una matriz B triangular superior

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00:01:08,420 --> 00:01:17,590
con todos los elementos de la diagonal principal distintos de 0.

9
00:01:18,230 --> 00:01:40,489
Esta matriz B, por ser triangular superior, va a tener exactamente por determinante el producto de los elementos de su diagonal, que como eran distintos de cero, van a ser también distintos de cero.

10
00:01:40,489 --> 00:01:55,969
Pero esta matriz B se ha conseguido mediante combinaciones lineales de filas, de forma que va a tener el mismo determinante de A, es decir, no nulo.

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00:01:55,969 --> 00:01:59,750
bien, como veis es bastante sencillo

12
00:01:59,750 --> 00:02:02,250
si pasamos hacia el otro lado

13
00:02:02,250 --> 00:02:05,069
lo que queremos es concluir

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00:02:05,069 --> 00:02:08,509
que si el determinante es no nulo

15
00:02:08,509 --> 00:02:11,069
obligatoriamente el rango de A

16
00:02:11,069 --> 00:02:12,530
tiene que ser n

17
00:02:12,530 --> 00:02:16,050
pero esto es equivalente

18
00:02:16,050 --> 00:02:18,969
a demostrar

19
00:02:18,969 --> 00:02:22,270
que si el rango de A no es n

20
00:02:22,270 --> 00:02:24,569
es porque el determinante

21
00:02:24,569 --> 00:02:26,689
tiene que ser nulo

22
00:02:26,689 --> 00:02:31,969
que es más cómodo de mostrar

23
00:02:31,969 --> 00:02:34,090
así

24
00:02:34,090 --> 00:02:36,210
si el rango de A

25
00:02:36,210 --> 00:02:37,830
no es N

26
00:02:37,830 --> 00:02:40,349
tiene que ser

27
00:02:40,349 --> 00:02:42,050
menor o igual

28
00:02:42,050 --> 00:02:43,509
que N-1

29
00:02:43,509 --> 00:02:46,469
luego existe al menos

30
00:02:46,469 --> 00:02:52,169
una fila de la matriz

31
00:02:52,169 --> 00:02:55,069
llamémosla FI

32
00:02:55,069 --> 00:02:57,289
que es combinación lineal

33
00:02:57,289 --> 00:02:58,210
de las anteriores

34
00:02:58,210 --> 00:03:07,210
es de j igual a 1 hasta n de xj fj

35
00:03:07,210 --> 00:03:16,210
con la y distinta de j y con algún xj distinto de 0

36
00:03:16,210 --> 00:03:27,409
si suponemos por ejemplo x1, x2 y x3 distintos de 0

37
00:03:27,409 --> 00:03:29,469
entonces

38
00:03:29,469 --> 00:03:33,810
el determinante de mi matriz A

39
00:03:33,810 --> 00:03:36,449
que va a ser una fila 1, una fila 2

40
00:03:36,449 --> 00:03:39,689
hasta una fila J, una fila Y

41
00:03:39,689 --> 00:03:41,590
perdón, la habíamos llamado Y

42
00:03:41,590 --> 00:03:43,669
hasta una fila N

43
00:03:43,669 --> 00:03:47,009
si hacemos a la fila J

44
00:03:47,009 --> 00:03:49,930
le restamos X1 veces la fila 1

45
00:03:49,930 --> 00:03:51,750
menos X2 veces la fila 2

46
00:03:51,750 --> 00:03:54,110
menos X3 veces la fila 3

47
00:03:54,110 --> 00:03:57,349
obtenemos por las propiedades de los terminantes

48
00:03:57,349 --> 00:04:01,289
una matriz con determinante igual a la anterior

49
00:04:01,289 --> 00:04:05,370
donde en lugar de tener la fila I

50
00:04:05,370 --> 00:04:06,930
tenemos un 0

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00:04:06,930 --> 00:04:11,129
y el resto las tenemos todas igual

52
00:04:11,129 --> 00:04:13,889
por tener una fila que es todo 0

53
00:04:13,889 --> 00:04:16,490
pues este determinante también va a ser 0

54
00:04:16,490 --> 00:04:19,730
conclusión, acabamos de demostrar

55
00:04:19,730 --> 00:04:22,750
la doble implicación de que si el rango de A

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00:04:22,750 --> 00:04:26,149
es N, si, solo si

57
00:04:26,149 --> 00:04:28,029
el determinante es no nulo

58
00:04:28,029 --> 00:04:30,329
quizá desde mi punto de vista

59
00:04:30,329 --> 00:04:32,350
una de las cosas más importantes

60
00:04:32,350 --> 00:04:34,009
de los determinantes

61
00:04:34,009 --> 00:04:35,389
un saludo