1
00:00:00,000 --> 00:00:07,000
Bueno, ya lo que nos queda prácticamente es pelearnos con problemas, ¿vale?

2
00:00:07,000 --> 00:00:12,000
Os voy a resolver dos tipos de problemas que salen con bastante frecuencia,

3
00:00:12,000 --> 00:00:17,000
pero bueno, los demás que os caigan pueden ser de cualquier tipo.

4
00:00:17,000 --> 00:00:26,000
Pero todo, para resolverlos, siempre más o menos se siguen los mismos pasos, ¿vale?

5
00:00:26,000 --> 00:00:32,000
Que suelen consistir en ver triángulos y poquito a poco ir resolviéndolos, ¿vale?

6
00:00:32,000 --> 00:00:49,000
Imaginaos que nos piden que calculemos el área de un dodecagono regular

7
00:00:50,000 --> 00:00:56,000
de lado 16 centímetros, ¿vale?

8
00:00:56,000 --> 00:00:59,000
Lo primero, un dodecagono.

9
00:00:59,000 --> 00:01:04,000
Un dodecagono regular es un polígono regular,

10
00:01:04,000 --> 00:01:09,000
quiere decir que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales,

11
00:01:09,000 --> 00:01:12,000
y además son 12.

12
00:01:12,000 --> 00:01:15,000
Y eso yo no sé dibujar, ¿vale?

13
00:01:15,000 --> 00:01:18,000
Yo no sé dibujar un dodecagono regular.

14
00:01:18,000 --> 00:01:24,000
Me saldría fatal. Voy a intentarlo, pero sin muchas ganas porque sé que me va a salir mal.

15
00:01:24,000 --> 00:01:29,000
Es que ni me atrevo. Ni me atrevo.

16
00:01:29,000 --> 00:01:32,000
No, no lo voy a dibujar.

17
00:01:32,000 --> 00:01:35,000
Voy a dibujar algo más sencillo que un dodecagono.

18
00:01:35,000 --> 00:01:38,000
Un octógono.

19
00:01:41,000 --> 00:01:43,000
Un octógono, más o menos.

20
00:01:43,000 --> 00:01:45,000
Un octógono es que me esté saliendo muy bien.

21
00:01:45,000 --> 00:01:48,000
Imaginaos si me pongo a hacer el dodecagono.

22
00:01:48,000 --> 00:01:50,000
Bueno.

23
00:01:52,000 --> 00:01:55,000
Un octógono, ¿vale?

24
00:01:55,000 --> 00:01:58,000
Tengo que tener claro que no es esto lo que tengo que resolver.

25
00:01:58,000 --> 00:02:00,000
Tengo que resolver un dodecagono, pero bueno,

26
00:02:00,000 --> 00:02:03,000
el octógono a lo mejor me ayuda a entender el otro problema.

27
00:02:07,000 --> 00:02:09,000
¿Por dónde empiezo aquí?

28
00:02:09,000 --> 00:02:11,000
Ni idea.

29
00:02:12,000 --> 00:02:14,000
Me piden el área.

30
00:02:14,000 --> 00:02:18,000
Vale. Tengo que saber la fórmula del área de un dodecagono.

31
00:02:18,000 --> 00:02:22,000
Me da la casualidad que el área de un dodecagono, de un octógono, de un hexágono,

32
00:02:22,000 --> 00:02:25,000
de todos los polígonos regulares es la misma.

33
00:02:25,000 --> 00:02:30,000
Área es perímetro por apotema dividido entre dos.

34
00:02:30,000 --> 00:02:32,000
Vale.

35
00:02:32,000 --> 00:02:35,000
Vale. Eso lo sé.

36
00:02:35,000 --> 00:02:37,000
P es perímetro.

37
00:02:38,000 --> 00:02:42,000
A, apotema.

38
00:02:42,000 --> 00:02:47,000
O sea que si yo consigo el perímetro y el apotema del dodecagono,

39
00:02:47,000 --> 00:02:50,000
lo tengo.

40
00:02:50,000 --> 00:02:52,000
Bueno, el perímetro es fácil.

41
00:02:52,000 --> 00:02:54,000
Son doce lados.

42
00:02:54,000 --> 00:02:58,000
Y sabemos lo que mide los lados.

43
00:02:58,000 --> 00:03:00,000
Ojo, esto va bien.

44
00:03:00,000 --> 00:03:03,000
Doce por dieciséis.

45
00:03:04,000 --> 00:03:07,000
El perímetro de lo que yo busco.

46
00:03:07,000 --> 00:03:11,000
Doce por dieciséis.

47
00:03:11,000 --> 00:03:15,000
Ciento noventa y dos centímetros.

48
00:03:15,000 --> 00:03:18,000
Solo me falta la apotema.

49
00:03:18,000 --> 00:03:20,000
La apotema...

50
00:03:20,000 --> 00:03:23,000
¿Qué es la apotema? ¿Os acordáis?

51
00:03:23,000 --> 00:03:28,000
Pues la apotema es una línea que en los polígonos regulares va desde el centro

52
00:03:28,000 --> 00:03:35,000
hasta la mitad de uno cualquiera de sus lados.

53
00:03:35,000 --> 00:03:39,000
La apotema es así.

54
00:03:39,000 --> 00:03:42,000
La apotema es así.

55
00:03:45,000 --> 00:03:47,000
¿Cómo averiguar esto?

56
00:03:47,000 --> 00:03:50,000
Pues buscando triángulos, que estamos en el tema de trigonometría.

57
00:03:50,000 --> 00:03:51,000
Hay que buscar triángulos.

58
00:03:51,000 --> 00:03:54,000
Triángulos que nos puedan ayudar a resolver esto.

59
00:03:54,000 --> 00:03:57,000
Los triángulos que me vienen a la cabeza.

60
00:03:57,000 --> 00:04:06,000
Lo más fácil sería unir el centro con alguno de los vértices.

61
00:04:08,000 --> 00:04:09,000
¿Sí?

62
00:04:09,000 --> 00:04:15,000
Esto me puede ayudar, porque además fijaos que se han formado triángulos rectángulos,

63
00:04:15,000 --> 00:04:18,000
que son los más fáciles de resolver y para los cuales sabemos muchas fórmulas.

64
00:04:18,000 --> 00:04:21,000
Teorema de dictadoras, teorema de los catetos, teorema de la altura.

65
00:04:21,000 --> 00:04:23,000
Sabemos las razones trigonométricas.

66
00:04:23,000 --> 00:04:28,000
Los triángulos rectángulos para nosotros casi no tienen ningún misterio.

67
00:04:28,000 --> 00:04:30,000
Pero es que esta no es la figura que yo quiero.

68
00:04:30,000 --> 00:04:32,000
Esto es un octógono.

69
00:04:32,000 --> 00:04:36,000
Yo quiero un dodecágono.

70
00:04:36,000 --> 00:04:38,000
¿Cuál sería la diferencia?

71
00:04:38,000 --> 00:04:42,000
Pues la diferencia es que como tiene muchos más lados,

72
00:04:45,000 --> 00:04:47,000
tiene muchos más lados,

73
00:04:47,000 --> 00:04:50,000
los triangulitos estos que se forman son más pequeños.

74
00:04:51,000 --> 00:04:57,000
Y además cambian también los ángulos que se forman aquí.

75
00:04:57,000 --> 00:05:05,000
Porque fijaros que en un octógono, ¿cuántos triángulos de estos tengo?

76
00:05:06,000 --> 00:05:08,000
Pues supongo que serán ocho.

77
00:05:09,000 --> 00:05:13,000
Claro, son ocho porque cada triángulo va con un lado.

78
00:05:13,000 --> 00:05:16,000
En un dodecágono son doce.

79
00:05:16,000 --> 00:05:19,000
¿Y este ángulo cuánto será?

80
00:05:19,000 --> 00:05:24,000
Pues la vuelta entera son 360 grados.

81
00:05:24,000 --> 00:05:28,000
La vuelta entera, una circunferencia, son 360 grados.

82
00:05:28,000 --> 00:05:33,000
Y cada uno de estos triangulitos, el pico, será 360 entre 8.

83
00:05:33,000 --> 00:05:39,000
Entonces, en el dodecágono, que son 12, son 360 entre 12.

84
00:05:39,000 --> 00:05:45,000
Pues bueno, aunque no sepa dibujar el dodecágono, porque me saldría un churro,

85
00:05:45,000 --> 00:05:48,000
lo que sí que puedo dibujar, más o menos,

86
00:05:48,000 --> 00:05:53,000
me puedo imaginar cómo es uno de estos quesitos que se forma.

87
00:05:53,000 --> 00:05:58,000
Y además sé cuánto mide esto, que es 360 entre 12.

88
00:06:01,000 --> 00:06:03,000
Treinta.

89
00:06:04,000 --> 00:06:09,000
Pero yo lo quiero partido por la mitad, porque lo que estoy buscando es la apotema, que es esto.

90
00:06:09,000 --> 00:06:12,000
Vale, entonces es 15 y 15.

91
00:06:13,000 --> 00:06:16,000
¿Qué más cosas sabemos?

92
00:06:16,000 --> 00:06:19,000
De hecho, el triángulo isósceles este no me interesa.

93
00:06:19,000 --> 00:06:22,000
El que me interesa es medio triángulo isósceles.

94
00:06:22,000 --> 00:06:25,000
¿Por qué? Porque el isósceles es isósceles.

95
00:06:25,000 --> 00:06:28,000
Pero no es rectángulo.

96
00:06:28,000 --> 00:06:32,000
Y lo que quiero es la mitad, que esto mide 15.

97
00:06:32,000 --> 00:06:35,000
Esto mide...

98
00:06:35,000 --> 00:06:38,000
A ver, esto medía 16.

99
00:06:38,000 --> 00:06:43,000
Cada lado medía 16. Esto mide entonces 16.

100
00:06:43,000 --> 00:06:45,000
Esto mide 8.

101
00:06:45,000 --> 00:06:49,000
Esto es rectángulo, que me viene súper bien.

102
00:06:49,000 --> 00:06:52,000
Esto es lo que quiero averiguar.

103
00:06:54,000 --> 00:06:57,000
Esto no tengo ni idea de lo que mide.

104
00:06:58,000 --> 00:07:01,000
No tengo ni idea de lo que mide esto.

105
00:07:02,000 --> 00:07:05,000
No tengo ni idea de lo que mide esto.

106
00:07:06,000 --> 00:07:09,000
Pero conozco este ángulo.

107
00:07:09,000 --> 00:07:12,000
Esto es un triángulo rectángulo.

108
00:07:12,000 --> 00:07:15,000
Y sé las razones trigonométricas.

109
00:07:15,000 --> 00:07:18,000
Este ángulo. ¿Qué conocemos de este ángulo?

110
00:07:18,000 --> 00:07:24,000
Este que es cateto opuesto al ángulo.

111
00:07:24,000 --> 00:07:26,000
Este que es cateto contiguo.

112
00:07:26,000 --> 00:07:28,000
La hipotenusa ni idea. Ni idea.

113
00:07:28,000 --> 00:07:30,000
La hipotenusa no sabemos nada.

114
00:07:30,000 --> 00:07:44,000
Sabemos que el seno de cualquier ángulo es cateto opuesto entre hipotenusa.

115
00:07:44,000 --> 00:07:51,000
El coseno es cateto contiguo entre hipotenusa.

116
00:07:52,000 --> 00:08:02,000
Y la tangente de cualquier ángulo es cateto opuesto entre cateto contiguo.

117
00:08:05,000 --> 00:08:08,000
A ver, de la hipotenusa ni idea.

118
00:08:09,000 --> 00:08:12,000
Pero los catetos sí que tenemos algo de información.

119
00:08:12,000 --> 00:08:15,000
Uno es el que queremos averiguar y otro lo conocemos.

120
00:08:15,000 --> 00:08:20,000
De las tres fórmulas, ¿cuál es la que más nos interesa utilizar?

121
00:08:20,000 --> 00:08:23,000
Porque hay gente que se rayaría mucho.

122
00:08:23,000 --> 00:08:27,000
Pero yo creo que la que nos interesa en este problema.

123
00:08:27,000 --> 00:08:30,000
En otros a lo mejor nos interesa otra, pero nos interesa esta.

124
00:08:30,000 --> 00:08:40,000
La tangente del ángulo de 15 grados, este, es cateto opuesto 8 entre la hipotenusa.

125
00:08:41,000 --> 00:08:44,000
Si despejamos aquí, este pasa multiplicando, este dividiendo.

126
00:08:44,000 --> 00:08:49,000
A es igual a 8 entre la tangente de 15 grados.

127
00:08:49,000 --> 00:08:51,000
A es igual...

128
00:08:53,000 --> 00:08:54,000
Lo hago.

129
00:08:55,000 --> 00:09:00,000
8 entre la tangente de 15.

130
00:09:00,000 --> 00:09:04,000
Me aseguro que la calculadora está en grados, que si no...

131
00:09:05,000 --> 00:09:08,000
Me da 2,86...

132
00:09:09,000 --> 00:09:17,000
No, perdón, 29,86 centímetros.

133
00:09:17,000 --> 00:09:19,000
Ya tengo todo lo que necesito.

134
00:09:21,000 --> 00:09:29,000
A es igual a 192 por 29,86 partido de 2.

135
00:09:30,000 --> 00:09:32,000
O sea que...

136
00:09:47,000 --> 00:09:57,000
2.866,22 centímetros cuadrados, porque las áreas se miden en unidades cuadradas.

137
00:09:59,000 --> 00:10:05,000
Bueno, la trigonometría es una parte de las mates súper importante para muchas profesiones

138
00:10:05,000 --> 00:10:10,000
y para muchos problemas que se han tenido que resolver a lo largo de la historia.

139
00:10:10,000 --> 00:10:17,000
Una cosa para la que se ha utilizado la trigonometría es para medir alturas de edificios, de montañas.

140
00:10:17,000 --> 00:10:22,000
Claro, tú quieres medir la altura de una montaña, no te vas con el metro...

141
00:10:22,000 --> 00:10:25,000
Bueno, uno que se suba y otro aguantando...

142
00:10:25,000 --> 00:10:27,000
No, no.

143
00:10:28,000 --> 00:10:40,000
Lo que se hace son una serie de cálculos de ángulos y después de triángulos se calculan las alturas.

144
00:10:40,000 --> 00:10:45,000
Se triangula y eso es lo que hacen los topógrafos y la gente que hace mapas.

145
00:10:45,000 --> 00:10:50,000
Una cosa parecida es de lo que habla este problema, que también es un problema que sale bastante.

146
00:10:50,000 --> 00:10:53,000
Este es de los más difíciles que hay.

147
00:10:53,000 --> 00:10:59,000
Los otros con un poco de práctica, aunque sean diferentes, os pueden salir.

148
00:10:59,000 --> 00:11:02,000
Pero este por lo menos hay que verlo una vez.

149
00:11:02,000 --> 00:11:06,000
Entonces, mirad, nos piden que calculemos la altura de un edificio.

150
00:11:06,000 --> 00:11:10,000
Claro, tú el edificio lo mismo, no te vas a ir con un metro.

151
00:11:10,000 --> 00:11:15,000
Y bueno, tírame la cuerda desde arriba.

152
00:11:15,000 --> 00:11:18,000
Eso es muy complicado.

153
00:11:18,000 --> 00:11:25,000
Tenemos un edificio alto y la manera de medirlo podría ser así.

154
00:11:25,000 --> 00:11:28,000
Queremos saber la altura del edificio.

155
00:11:28,000 --> 00:11:39,000
Medimos a cierta distancia un ángulo de 28 grados, desde donde estamos mirando hasta la parte más alta del edificio.

156
00:11:39,000 --> 00:11:45,000
Pero si nos acercamos 20 metros, que eso es fácil de medir, el ángulo cambia.

157
00:11:45,000 --> 00:11:50,000
El ángulo ahora es más grande y es de 40 grados.

158
00:11:50,000 --> 00:11:57,000
Esto no sabemos lo que mide, pero sabemos que nos hemos acercado 20 metros.

159
00:11:57,000 --> 00:12:05,000
Y esto lo vamos a llamar h, la altura del edificio.

160
00:12:05,000 --> 00:12:10,000
Aquí parece que hay poca información. A ver cómo vamos a resolver esto.

161
00:12:10,000 --> 00:12:14,000
Bueno, pues habrá que ir haciendo el problema más pequeñito.

162
00:12:14,000 --> 00:12:20,000
¿Qué se os ocurre? Pues hasta la altura ya tendría que venir a la cabeza el primer paso.

163
00:12:20,000 --> 00:12:24,000
Y el primer paso es encontrar ahí triángulos.

164
00:12:24,000 --> 00:12:27,000
Y yo miro y directamente veo dos triángulos.

165
00:12:27,000 --> 00:12:31,000
Pero no estoy seguro de que esos dos triángulos sean con los que más nos interesa trabajar.

166
00:12:31,000 --> 00:12:46,000
Así que no nos precipitemos, miremos bien el dibujo y vamos a pensar qué triángulos son interesantes para poder resolver este ejercicio.

167
00:12:46,000 --> 00:12:52,000
A mí, por ejemplo, me gusta mucho este triángulo porque es rectángulo.

168
00:12:53,000 --> 00:13:01,000
Y por otra razón, porque tengo bastante información sobre él.

169
00:13:01,000 --> 00:13:05,000
Esto mide 40, esto mide h y esto mide x.

170
00:13:05,000 --> 00:13:08,000
Lo único que no sabemos es la hipotenusa.

171
00:13:08,000 --> 00:13:12,000
¿Y cuál es el otro triángulo que vamos a utilizar?

172
00:13:12,000 --> 00:13:19,000
Pues mucha gente me apunta este, pero es que este es un triángulo complicado.

173
00:13:19,000 --> 00:13:22,000
Es mejor coger este, más grande.

174
00:13:22,000 --> 00:13:29,000
Entonces voy a usar también este porque me pasa lo mismo.

175
00:13:29,000 --> 00:13:37,000
Conozco esto, conozco más o menos esto y esto lo conozco también.

176
00:13:37,000 --> 00:13:47,000
Y ahora vamos a pensar como antes qué razones trigonométricas, como son triángulos rectángulos, nos interesa utilizar.

177
00:13:47,000 --> 00:13:52,000
El seno de alfa es cateto opuesto entre hipotenusa.

178
00:13:52,000 --> 00:14:00,000
El coseno de alfa es cateto contigo entre hipotenusa.

179
00:14:00,000 --> 00:14:07,000
Y la tangente de alfa es cateto opuesto entre cateto contigo.

180
00:14:07,000 --> 00:14:14,000
Este ángulo que conocemos, cateto opuesto y cateto contigo, nos interesa la tangente.

181
00:14:14,000 --> 00:14:20,000
Este ángulo que conocemos, cateto opuesto y cateto contigo, también la tangente.

182
00:14:20,000 --> 00:14:23,000
Planteamos las ecuaciones.

183
00:14:23,000 --> 00:14:29,000
Tangente de 40 grados es igual a h entre x.

184
00:14:29,000 --> 00:14:40,000
Tangente de 28 grados es igual a h entre 20 más x.

185
00:14:41,000 --> 00:14:43,000
¿Qué tenemos aquí?

186
00:14:43,000 --> 00:14:46,000
Esto lo conocemos, que lo podemos calcular con la calculadora.

187
00:14:46,000 --> 00:14:49,000
Esto también lo conocemos por la misma razón.

188
00:14:49,000 --> 00:14:54,000
Tenemos dos incógnitas y dos ecuaciones, un sistema.

189
00:14:54,000 --> 00:15:03,000
Es un sistema no lineal, pero lo sabemos resolver.

190
00:15:03,000 --> 00:15:11,000
h es igual a x por la tangente de 40 grados.

191
00:15:11,000 --> 00:15:15,000
Queremos resolver h.

192
00:15:21,000 --> 00:15:25,000
Si despejamos de aquí x y lo sustituimos aquí, tenemos una fórmula para h.

193
00:15:25,000 --> 00:15:27,000
Voy a intentarlo.

194
00:15:27,000 --> 00:15:35,000
Tangente de 28 grados por 20 más x, paso esto al otro lado multiplicando, es igual a h.

195
00:15:35,000 --> 00:15:41,000
Llegados a este punto creo que lo más fácil es aplicar igualación.

196
00:15:41,000 --> 00:15:45,000
Aquí tengo despejada la x, o sea, la x y la h.

197
00:15:45,000 --> 00:15:47,000
Aquí también puedo igualar las dos.

198
00:15:47,000 --> 00:16:00,000
Entonces me queda que x por la tangente de 40 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20 más x.

199
00:16:00,000 --> 00:16:03,000
Las dos h son iguales.

200
00:16:03,000 --> 00:16:06,000
Entonces quito paréntesis.

201
00:16:06,000 --> 00:16:20,000
x por la tangente de 40 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20 más la tangente de 28 grados por x.

202
00:16:20,000 --> 00:16:26,000
Los que tienen x van a un lado, los que no tienen x al otro.

203
00:16:26,000 --> 00:16:47,000
Entonces x por la tangente de 40 grados menos x por la tangente de 28 grados es igual a la tangente de 28 grados por 20.

204
00:16:48,000 --> 00:17:03,000
Saco factor común la x y me queda que x por la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados es igual a 20 por la tangente de 28 grados.

205
00:17:03,000 --> 00:17:08,000
Y ahora lo que multiplica la x pasa al otro lado dividiendo.

206
00:17:08,000 --> 00:17:24,000
x es igual a 20 por la tangente de 28 grados partido de la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados.

207
00:17:24,000 --> 00:17:30,000
Pero la x no la piden para nada.

208
00:17:30,000 --> 00:17:35,000
Ya podríamos calcularla con la calculadora y averiguamos el valor.

209
00:17:35,000 --> 00:17:40,000
Pero como nos piden la h, la voy a sustituir aquí.

210
00:17:40,000 --> 00:18:01,000
Y me queda que h es igual a todo esto por la tangente de 40 grados, 20 por la tangente de 28 grados, por la tangente de 40 grados, dividido entre la tangente de 40 grados menos la tangente de 28 grados.

211
00:18:02,000 --> 00:18:06,000
Todo esto habrá gente a la que le asuste.

212
00:18:06,000 --> 00:18:11,000
Si os asusta, un truco es ir resolviendo desde el principio con la calculadora.

213
00:18:11,000 --> 00:18:15,000
Tangente de 40 grados te sale un numerito, tangente de 28 grados un numerito.

214
00:18:15,000 --> 00:18:18,000
Y vais trabajando con numeritos y entonces aquí os queda más sencillo.

215
00:18:18,000 --> 00:18:21,000
¿Cuál es la ventaja de hacerlo como lo estoy haciendo yo?

216
00:18:21,000 --> 00:18:27,000
Que los cálculos los haces al final, los puedes meter en la calculadora directamente y el resultado es mucho más exacto.

217
00:18:28,000 --> 00:18:35,000
Lo ideal sería hacerlo así, pero claro, requiere más concentración a la hora de despejar y de hacer las operaciones.

218
00:18:35,000 --> 00:18:38,000
Yo lo hago así y entonces me da un resultado más exacto.

219
00:18:38,000 --> 00:18:43,000
20 por, veis que voy a poner todo directamente y no voy a perder ningún decimal.

220
00:18:43,000 --> 00:18:54,000
Tangente de 28 por tangente de 40, dividido, y ojo al dividir porque es una resta y hay que ponerlo entre paréntesis.

221
00:18:54,000 --> 00:19:03,000
Partido de tangente de 40 menos tangente de 28.

222
00:19:03,000 --> 00:19:05,000
Cierro paréntesis.

223
00:19:05,000 --> 00:19:07,000
Pin, pin, pin, pin.

224
00:19:07,000 --> 00:19:15,000
29,03 metros de altura tiene el edificio.