1
00:00:00,620 --> 00:00:04,500
En este vídeo vamos a aprender sobre distribuciones de probabilidad discretas.

2
00:00:04,960 --> 00:00:07,940
Hablaremos de función de probabilidad, de función de distribución,

3
00:00:08,539 --> 00:00:12,279
de los parámetros de una distribución discreta y de la distribución binomial.

4
00:00:13,500 --> 00:00:19,579
Una función de probabilidad es una función que a cada elemento del espacio muestral le asigna un valor.

5
00:00:20,859 --> 00:00:22,000
Y lo escribiremos así.

6
00:00:23,379 --> 00:00:28,339
Por ejemplo, en el experimento de tirar un dado de cuatro caras dos veces y sumar los resultados,

7
00:00:28,339 --> 00:00:33,939
tenemos el siguiente espacio muestral. Hemos colocado en la primera fila el resultado del

8
00:00:33,939 --> 00:00:40,460
dado 1 y en la primera columna el resultado del dado 2. Y vamos a llamar x a la variable

9
00:00:40,460 --> 00:00:45,659
aleatoria que representa el resultado del experimento. Por tanto, la probabilidad de

10
00:00:45,659 --> 00:00:52,880
que x, o sea, la suma de los puntos sea 2, es 1 partido por 16, porque el 2 aparece solo

11
00:00:52,880 --> 00:00:59,359
una vez entre los 16 resultados posibles. La probabilidad de que x sea 3 es 2 partido

12
00:00:59,359 --> 00:01:08,719
de 16, porque el 3 aparece dos veces, exactamente igual con 4, 5, 6, 7 y 8, que si lo queremos

13
00:01:08,719 --> 00:01:16,060
poner como función, hacemos que f de 2 sea 1 partido por 16, f de 3 2 partido por 16,

14
00:01:16,299 --> 00:01:21,319
etc. Y le damos forma de función a trozos como las funciones a trozos que nosotros conocemos

15
00:01:21,319 --> 00:01:27,900
y tiene este aspecto. Y a partir de aquí ya podemos representarla. Esta es la representación

16
00:01:27,900 --> 00:01:35,319
gráfica de la función de probabilidad. Entonces f de x es la función de probabilidad de la variable

17
00:01:35,319 --> 00:01:42,200
x y como la función es discreta, es decir, sólo toma valores en los números naturales, entonces

18
00:01:42,200 --> 00:01:49,140
diremos que la variable aleatoria x es discreta. Una función de probabilidad tiene las siguientes

19
00:01:49,140 --> 00:01:54,260
propiedades. En primer lugar, la función toma siempre valores entre 0 y 1, lo cual es lógico

20
00:01:54,260 --> 00:02:00,219
porque se trata de probabilidades. Y en segundo lugar, la suma de todos los valores de la función

21
00:02:00,219 --> 00:02:07,180
siempre tiene que ser 1. En nuestro caso particular tenemos esta función de probabilidad y efectivamente

22
00:02:07,180 --> 00:02:14,659
todos los valores, 1 partido por 16, 2 partido por 16, son todos entre 0 y 1. Y además, si sumamos

23
00:02:14,659 --> 00:02:21,500
todas las probabilidades, f de 2 más f de 3 hasta f de 8, tenemos esa suma que efectivamente

24
00:02:21,500 --> 00:02:29,629
da 1. Una función de distribución a partir de una función de probabilidad es una función

25
00:02:29,629 --> 00:02:37,069
que indica la probabilidad de que la variable aleatoria x sea menor o igual que un valor

26
00:02:37,069 --> 00:02:44,770
dado y la representaremos así. Y también la podemos entender como la suma de las probabilidades

27
00:02:44,770 --> 00:02:54,389
de todos los puntos menores o iguales que x sub i y la representaremos así y diremos que la variable

28
00:02:54,389 --> 00:03:00,310
aleatoria x se distribuye con la función de distribución f de x y lo representaremos así x

29
00:03:00,310 --> 00:03:08,449
virgulilla f de x. En nuestro ejemplo tenemos que f mayúscula, es decir, la función de distribución

30
00:03:08,449 --> 00:03:16,250
para 2 coincide con la función de probabilidad para 2, 1 partido por 16, f mayúscula de 3 es f

31
00:03:16,250 --> 00:03:24,930
minúscula de 2 más f minúscula de 3, para 4, para 5, para 6, para 7 y para 8, que debe dar 1,

32
00:03:25,129 --> 00:03:33,560
porque la suma de todas las probabilidades debe dar 1. La función con función a trozos tiene esa

33
00:03:33,560 --> 00:03:42,199
pinta, que se puede representar, y la representación gráfica tiene este aspecto. Los parámetros de una

34
00:03:42,199 --> 00:03:49,259
distribución son valores que resumen los datos de una variable aleatoria. Y vamos a ver tres. En

35
00:03:49,259 --> 00:03:59,460
primer lugar la media, después la varianza y por último la desviación típica. La media se representa

36
00:03:59,460 --> 00:04:05,280
como el nombre de la variable, en este caso x, con un palote arriba o con la letra griega mu y es la

37
00:04:05,280 --> 00:04:10,960
suma de cada valor por su probabilidad y lo que representa es el valor promedio que tomará la

38
00:04:10,960 --> 00:04:18,339
variable x. La varianza se representa con una v o con la letra sigma al cuadrado y es la suma de

39
00:04:18,339 --> 00:04:23,480
las distancias de x sub i respecto de la media al cuadrado multiplicado por su probabilidad,

40
00:04:23,920 --> 00:04:27,920
aunque nosotros utilizaremos esta otra fórmula que es mucho más operativa. Lo que representa

41
00:04:27,920 --> 00:04:32,699
la varianza es el promedio de desviación de los datos respecto de la media, es decir,

42
00:04:32,839 --> 00:04:37,720
cómo deseparados están los datos respecto de la media. Por último, la desviación típica

43
00:04:37,720 --> 00:04:42,459
no es más que la raíz cuadrada de la varianza. ¿Por qué utilizamos la desviación típica

44
00:04:42,459 --> 00:04:47,019
en lugar de la varianza? Pues porque la desviación típica tiene las mismas unidades que los

45
00:04:47,019 --> 00:04:52,100
datos. Es decir, si los datos se están midiendo en kilos, la desviación típica se mide en

46
00:04:52,100 --> 00:04:57,060
kilos. Si los datos están midiendo puntos en un dado, la desviación típica se mide

47
00:04:57,060 --> 00:05:03,620
en puntos en un dado. En nuestro ejemplo tenemos que x se distribuye con esa función de probabilidad.

48
00:05:06,990 --> 00:05:12,410
Calculamos la media. La media es la suma de x sub i por p sub i, es decir, cada valor

49
00:05:12,410 --> 00:05:18,910
por su probabilidad, o sea, 2 por 1 partido por 16, más 3 por 2 partido por 16, etc.

50
00:05:19,509 --> 00:05:22,870
Hacemos esa operación y nos da 5. Por lo tanto, la media es 5.

51
00:05:22,970 --> 00:05:29,009
Es decir, al hacer este experimento, lo que se espera es que la suma de los puntos sea un 5.

52
00:05:30,189 --> 00:05:34,350
Hacemos la desviación típica. La desviación típica es la raíz cuadrada de esa expresión,

53
00:05:34,649 --> 00:05:39,970
que es el cuadrado de cada punto por su probabilidad, todo sumado y restado el cuadrado de la media.

54
00:05:39,970 --> 00:05:46,709
y eso me da la raíz de 2,5, que es 1,5811.

55
00:05:47,189 --> 00:05:50,970
Por tanto, la desviación típica es 1,5811 puntos.

56
00:05:53,930 --> 00:05:56,769
Te propongo que intentes hacer todo esto con este ejercicio.

57
00:06:01,740 --> 00:06:04,379
Pausa el vídeo porque las soluciones vienen a continuación.

58
00:06:07,189 --> 00:06:08,170
Estas son las soluciones.

59
00:06:08,889 --> 00:06:11,370
Función de probabilidad, espacio muestral, representación.

60
00:06:12,649 --> 00:06:14,490
Función de distribución, representación.

61
00:06:15,490 --> 00:06:17,029
Y los parámetros.

62
00:06:17,029 --> 00:06:22,930
La media es 7, la valencia es 5,83 y la desviación típica 2,415.

63
00:06:24,230 --> 00:06:28,810
La distribución binomial es un caso típico de distribución discreta.

64
00:06:31,930 --> 00:06:38,129
Es una distribución discreta que consiste en hacer una cantidad n de experimentos de éxito-fracaso

65
00:06:38,129 --> 00:06:45,829
en los que la probabilidad de éxito es p de e igual a p y la probabilidad de fracaso es q, es decir, 1 menos p.

66
00:06:45,829 --> 00:06:50,839
Y la distribución binomial se define con dos parámetros.

67
00:06:51,060 --> 00:06:54,120
Por un lado el número de intentos y por otro lado la probabilidad de éxito.

68
00:06:54,680 --> 00:06:56,639
Y la vamos a representar así, BNP.

69
00:06:57,800 --> 00:07:02,180
La media de una distribución binomial se calcula multiplicando N por P

70
00:07:02,180 --> 00:07:06,120
y la varianza se calcula multiplicando N por P y por Q.

71
00:07:06,779 --> 00:07:10,759
Por lo tanto, la desviación típica es la raíz cuadrada de N por P y por Q.

72
00:07:11,379 --> 00:07:14,660
Todo esto se puede demostrar, pero no es objetivo de este curso demostrar que esto es así.

73
00:07:16,160 --> 00:07:20,879
En la distribución binomial, la probabilidad de obtener K éxitos y N menos K fracasos

74
00:07:20,879 --> 00:07:27,980
será la probabilidad de tener primero k éxitos y luego el resto hasta n fracasos, o sea, n menos k.

75
00:07:28,399 --> 00:07:32,279
Como son sucesos independientes, podemos multiplicar todas las probabilidades.

76
00:07:32,839 --> 00:07:37,579
Es decir, multiplicamos la probabilidad de k veces y la probabilidad de fracaso n menos k veces.

77
00:07:38,300 --> 00:07:43,660
Lo ponemos en forma de potencia y como p, la probabilidad de éxito, es p

78
00:07:43,660 --> 00:07:47,319
y la probabilidad de fracaso es 1 menos p, nos queda esa fórmula.

79
00:07:47,319 --> 00:07:52,040
pero k éxitos y n menos k fracasos pueden ocurrir de muchas maneras

80
00:07:52,040 --> 00:07:53,279
así que esto hay que ordenarlo

81
00:07:53,279 --> 00:07:58,680
multiplicamos por tanto por las diferentes ordenaciones de k éxitos y n menos k fracasos

82
00:07:58,680 --> 00:08:01,220
es decir, el número combinatorio n sobre k

83
00:08:01,220 --> 00:08:04,019
por lo tanto, en una distribución binomial

84
00:08:04,019 --> 00:08:09,920
la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es n sobre k

85
00:08:09,920 --> 00:08:13,879
por p elevado a k por 1 menos p elevado a 1 menos k

86
00:08:13,879 --> 00:08:17,199
vamos a ver todo esto con un problema de ejemplo

87
00:08:19,720 --> 00:08:23,220
Una mutación genética está presente en 2 de cada 5 personas.

88
00:08:23,759 --> 00:08:25,220
Hacemos un estudio en 9 personas.

89
00:08:25,740 --> 00:08:28,779
¿Cuántas personas de ese grupo se espera que tengan la mutación?

90
00:08:29,420 --> 00:08:32,700
Bueno, pues esto es un ejemplo de distribución binomial

91
00:08:32,700 --> 00:08:39,720
que se distribuye con una binomial de 9 intentos y probabilidad 2 quintos, es decir, 0,2.

92
00:08:40,240 --> 00:08:43,799
Como nos preguntan cuántas personas se espera que la tengan,

93
00:08:44,419 --> 00:08:45,960
lo que nos están pidiendo es la media.

94
00:08:45,960 --> 00:08:50,120
Y la media es n por p, es decir, 9 por 0,2, 1,8.

95
00:08:50,419 --> 00:08:54,679
O sea, se espera que aparezca la mutación en una o dos personas.

96
00:08:57,159 --> 00:09:00,659
¿Cuál es la probabilidad de que haya cuatro personas que presentan la mutación?

97
00:09:01,539 --> 00:09:06,580
Bueno, pues llamamos éxito a presentar la mutación y fracaso a no presentarla.

98
00:09:07,259 --> 00:09:13,980
Si tenemos cuatro éxitos, tenemos cinco fracasos, es decir, E, E, E, E, F, F, F, F, F.

99
00:09:13,980 --> 00:09:26,460
La probabilidad de ese suceso, es decir, 4 éxitos y 5 fracasos, es 0,2 multiplicado 4 veces y 0,8 multiplicado 5 veces, porque son sucesos independientes.

100
00:09:26,559 --> 00:09:29,899
Es decir, 0,2 a la 4 por 0,8 a la 5.

101
00:09:31,139 --> 00:09:35,840
Pero, claro, 4 éxitos y 5 fracasos pueden aparecer de muchas maneras.

102
00:09:36,360 --> 00:09:42,399
Es decir, pueden aparecer de 126 maneras, que es 9 sobre 4 o 9 sobre 5, que es lo mismo.

103
00:09:42,399 --> 00:09:47,539
Esto se hace con el número combinatorio 9 sobre 4, me da 126

104
00:09:47,539 --> 00:09:57,779
Y por lo tanto la probabilidad de que x sea exactamente igual a 4 es 9 sobre 4 por 0,2 elevado a 4 por 0,8 elevado a 5

105
00:09:57,779 --> 00:10:01,080
Es decir, 0,0661

106
00:10:01,080 --> 00:10:06,759
Si no queremos hacer los cálculos con la calculadora, podemos buscar en las tablas de la binomial

107
00:10:06,759 --> 00:10:12,179
Las tablas de la binomial están en cualquier libro y están también en internet y tienen más o menos ese aspecto

108
00:10:12,179 --> 00:10:19,779
Para buscar una probabilidad en la tabla de la binomial, lo primero que hacemos es localizar el número de intentos, en nuestro caso 9.

109
00:10:20,419 --> 00:10:24,200
Después localizamos la probabilidad, en nuestro caso 0,2.

110
00:10:24,960 --> 00:10:29,340
Y ahora buscamos el número de aciertos que queremos tener, en nuestro caso 4.

111
00:10:29,940 --> 00:10:39,120
Donde se cruzan el número de aciertos con la probabilidad es la probabilidad que estamos buscando, en este caso 0,0661, que es exactamente lo que teníamos antes.

112
00:10:39,120 --> 00:10:44,580
Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 6 personas con la mutación?

113
00:10:44,759 --> 00:10:51,860
Bueno, pues la probabilidad de que haya más de 6 personas es la probabilidad de que haya 7, de que haya 8 y de que haya 9

114
00:10:51,860 --> 00:10:57,340
Hacemos todos los cálculos de cada uno de los casos y ese es el resultado

115
00:10:57,340 --> 00:11:01,759
Igual que antes, si no queremos tirar de calculadora, podemos volver a mirar en la tabla

116
00:11:01,759 --> 00:11:07,080
Buscamos el número de intentos, buscamos la columna de nuestra probabilidad, 0,2

117
00:11:07,080 --> 00:11:12,039
y seleccionamos todos los valores que cumplen con el caso que estamos viendo,

118
00:11:12,139 --> 00:11:15,480
es decir, que sea más grande que 6, que son esos tres de ahí.

119
00:11:15,940 --> 00:11:18,919
Si los sumamos, pues efectivamente nos da exactamente lo mismo.

120
00:11:20,019 --> 00:11:23,159
Os dejo ahora aquí con dos preguntas que podéis intentar vosotros.

121
00:11:25,659 --> 00:11:28,500
Pausa del vídeo porque las soluciones van a aparecer a continuación.