1
00:00:00,110 --> 00:00:11,369
Pues vamos con el producto de matrices. Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

2
00:00:12,570 --> 00:00:19,370
Y la dimensión de la matriz resultante es el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda.

3
00:00:19,370 --> 00:00:27,050
Esto que está dicho tan largo es mucho más fácil de entender con la expresión que ponemos aquí.

4
00:00:27,050 --> 00:00:40,729
Si quiero multiplicar dos matrices A y B, las dimensiones de A es m por n y la dimensión de B n por p, tiene que coincidir este número con este.

5
00:00:42,090 --> 00:00:51,049
Y la dimensión de la matriz resultante es la de los extremos, el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda.

6
00:00:51,710 --> 00:00:59,810
Ya empieza la cosa a complicarse un poquito, porque ya no es una operación que se puede hacer siempre, ya va a haber condiciones.

7
00:01:00,530 --> 00:01:06,549
Bueno, ya sabemos cuándo se pueden multiplicar dos matrices, pero ¿cómo se multiplican?

8
00:01:06,549 --> 00:01:14,189
Bueno, pues cada elemento de la matriz C, C sub ij, se calcula de esta manera, con esta fórmula que hay aquí.

9
00:01:14,189 --> 00:01:30,030
Aquí lo que dice es que multiplico la fila para obtener el elemento c sub i j, lo hago multiplicando la fila i por la columna j.

10
00:01:30,569 --> 00:01:33,790
Voy multiplicando elemento a elemento y sumando cada resultado.

11
00:01:33,790 --> 00:01:43,930
Os voy a explicar con este ejemplo y con un método que es con el que yo aprendí y que creo que es bastante útil.

12
00:01:44,189 --> 00:01:50,370
dice, calcula C igual a A por B, siendo A esta matriz y B esta.

13
00:01:50,870 --> 00:01:56,750
Entonces, para multiplicar dos matrices, lo primero que hemos dicho es que tenemos que ver si se pueden multiplicar.

14
00:01:57,129 --> 00:02:03,909
Pues primero comprobamos cómo las dimensiones de A es 2 por 3, la de B 3 por 2,

15
00:02:04,370 --> 00:02:11,530
cómo coincide este 3 con este 3, pues se puede multiplicar y el resultado será 2 por 2.

16
00:02:11,530 --> 00:02:16,169
Bueno, pues ya hemos comprobado que se puede multiplicar

17
00:02:16,169 --> 00:02:21,430
Ahora calculamos la dimensión de la matriz resultante, lo que hemos dicho, 2 por 2

18
00:02:21,430 --> 00:02:26,550
Y sus elementos serán C1, 1, C1, 2, C2, 1 y C2, 2

19
00:02:26,550 --> 00:02:28,590
Y ahora vamos a calcular cada elemento

20
00:02:28,590 --> 00:02:32,650
Bueno, pues esto a mí me enseñaron a hacerlo con dos manos

21
00:02:32,650 --> 00:02:38,289
El índice de la mano izquierda señala la primera fila de la matriz A

22
00:02:38,289 --> 00:02:55,569
Y el índice de la mano derecha señala la primera columna de la matriz B de esta manera. 5 por 4 más menos 3 por 0 más 4 por 1 y eso es exactamente lo que pone aquí.

23
00:02:55,569 --> 00:03:08,449
Bueno, pues eso da 24. Vamos con el c sub 1, 2. C sub 1, 2, este elemento es de la fila 1 y la columna 2.

24
00:03:08,449 --> 00:03:26,750
Pues entonces, igual que antes con los dos índices, hago 5 por 2 más menos 3 por 5 más 4 por 3, que es lo que pone aquí, y este elemento da 7.

25
00:03:26,750 --> 00:03:49,909
Bueno, y de la misma manera se hacen el resto de elementos de la matriz resultante. Vemos que C sub 2 1 sería 0 por 4 más 1 por 0 más 2 por 1 queda 2 y C sub 2 2 sería la segunda fila por la segunda columna, elemento al elemento 0 por 2 más 1 por 5 más 2 por 3 igual a 11.

26
00:03:49,909 --> 00:03:58,889
Y ya en último lugar escribimos la matriz C, ya tenemos los cuatro elementos, pues los colocamos, C es 24, 7, 2, 11.

27
00:03:59,449 --> 00:04:07,909
Lo que veis es un poco complicado al principio y muy fácil de hacer y muy fácil de equivocarse, por eso hay que ser muy metódico.

28
00:04:07,909 --> 00:04:20,290
Bueno, pues continuamos. Una vez que hemos visto cuándo se pueden multiplicar matrices y cómo se multiplican, vemos las propiedades de la multiplicación de matrices.

29
00:04:20,790 --> 00:04:30,649
Bueno, pues aquí empiezan ya las cosas a ser un poco especialitas, porque resulta que en general el producto de matrices en general no es conmutativo.

30
00:04:30,649 --> 00:04:38,670
Es decir, a por b no tiene por qué ser igual a b por a. Eso no ocurre con los números porque 3 por 4 es igual a 4 por 3.

31
00:04:39,089 --> 00:04:48,110
Pues en las matrices puede ocurrir. Cuando sí se cumple, se dice que las matrices son conmutables. Cuando no se cumple, pues son no conmutables.

32
00:04:49,209 --> 00:04:55,769
La propiedad asociativa es exactamente igual que la de la suma de matrices o la de la multiplicación de números.

33
00:04:55,769 --> 00:05:02,430
puedo obtener el mismo resultado multiplicando el resultado de A por B por C

34
00:05:02,430 --> 00:05:07,029
o multiplicando A por el resultado de multiplicar B por C.

35
00:05:07,610 --> 00:05:13,410
El elemento neutro de la multiplicación, pues ya hemos visto que era la matriz identidad.

36
00:05:15,209 --> 00:05:17,449
Y si no lo hemos visto, pues lo vemos ahora.

37
00:05:17,649 --> 00:05:20,949
Hemos visto la matriz identidad, que es una matriz cuadrada, ¿vale?

38
00:05:20,949 --> 00:05:26,730
y que esta es una matriz diagonal y los valores de los elementos de la diagonal son unos.

39
00:05:27,490 --> 00:05:38,250
Bueno, pues si lo que hago es, sabemos que el elemento neutro de la multiplicación es aquel que deja al elemento que quiero multiplicar como estaba.

40
00:05:38,629 --> 00:05:44,829
Es decir, si quiero multiplicar algo por A y que me dé A, ese sería el elemento neutro.

41
00:05:44,829 --> 00:05:50,689
Bueno, pues si multiplico por la izquierda sería la matriz identidad de orden M, es decir, M filas y M columnas.

42
00:05:50,949 --> 00:05:53,410
Eso suponiendo que A es una matriz de n por m.

43
00:05:54,750 --> 00:06:04,649
Si lo que hago es multiplicar por la derecha, ahora el orden de la matriz identidad es n, es decir, el número de columnas de A.

44
00:06:04,649 --> 00:06:15,889
Y estas dos matrices, si son las matrices identidad, me dejan la matriz invariable, porque eso se llama elemento neutro, que no hace nada.

45
00:06:15,889 --> 00:06:27,750
Bueno, el elemento inverso. Pongo una flecha aquí y aquí porque son dos cosas muy importantes y muy diferentes a lo que hemos visto hasta ahora con otros conjuntos y con otras operaciones.

46
00:06:28,529 --> 00:06:45,269
Entonces, en este caso, el elemento inverso sabemos que se llama elemento inverso al elemento simétrico de la multiplicación, es decir, el elemento que al multiplicar por un elemento me da lugar al elemento neutro.

47
00:06:45,269 --> 00:06:57,009
Hemos visto que en la suma el elemento inverso era el opuesto. La matriz opuesta de A es la que al sumarle A da la matriz nula, que es el elemento neutro de la suma.

48
00:06:57,470 --> 00:07:03,709
Ahora estamos con la multiplicación. El elemento neutro de la multiplicación es la matriz identidad.

49
00:07:04,209 --> 00:07:11,829
Bueno, pues la matriz que he multiplicado por A me da la matriz identidad, es su inversa y se escribe como A elevado a menos uno.

50
00:07:11,829 --> 00:07:14,730
Bueno, pues resulta que no siempre existe.

51
00:07:15,269 --> 00:07:27,970
Y aquí empieza a haber problemas. No siempre existe y todavía no estamos preparados para aprender a calcular si una matriz inversa existe o no y a calcular esa matriz inversa.

52
00:07:27,970 --> 00:07:30,589
Lo vamos a ver más adelante en el siguiente tema.

53
00:07:31,870 --> 00:07:41,370
Bueno, y luego sabéis que cuando definimos dos operaciones suma y resta en los números, luego definimos la propiedad distributiva que junta las dos operaciones,

54
00:07:42,189 --> 00:07:44,949
he dicho suma y resta creo y quería decir suma y multiplicación.

55
00:07:45,269 --> 00:07:54,649
Bueno, pues en este caso, al ser en general no conmutativo el producto, la distributiva tiene que ser de dos maneras, por la izquierda y por la derecha.

56
00:07:55,209 --> 00:08:04,449
Cuando es por la izquierda, quiere decir que A multiplica por la izquierda a una suma. Bueno, pues hago la propia distributiva A por B más A por C.

57
00:08:05,329 --> 00:08:12,170
Y por la derecha sería que A está multiplicando por la derecha de la suma. Pues sería B por A más C por A.

58
00:08:12,170 --> 00:08:16,110
Espero que esto no tenga dificultades y si no, lo vemos despacio.

59
00:08:17,149 --> 00:08:21,769
Bueno, más cosas curiosas de la multiplicación de matrices.

60
00:08:24,490 --> 00:08:34,389
Sabemos con los números que si yo multiplico A por un número y eso es igual a A por otro número, es que B y C son iguales.

61
00:08:34,509 --> 00:08:38,090
Bueno, pues en la multiplicación de matrices no siempre ocurre.

62
00:08:38,870 --> 00:08:48,570
esto lo decimos de esta manera, el producto no es simplificable, es decir, no puedo tachar aquí la A y la A y me queda B igual a C.

63
00:08:48,870 --> 00:08:55,990
Y esto es lo que indico con esta expresión de aquí, A por B igual a por C no implica que B sea igual a C.

64
00:08:56,889 --> 00:09:03,590
La implicación en el otro sentido sí que se cumple, si B es igual a C, entonces A por B es igual a A por C,

65
00:09:03,590 --> 00:09:17,129
pero en el sentido en que lo estamos viendo puede darse el caso de que yo tenga que una matriz A por una B sea igual a una matriz A por una matriz C

66
00:09:17,129 --> 00:09:19,370
y que B y C no sean iguales.

67
00:09:20,370 --> 00:09:27,210
Evidentemente tiene que haber muchos ceros en la matriz A para que todos esos productos y sumas que tengo que hacer para multiplicar matrices

68
00:09:27,210 --> 00:09:35,210
me vayan anulando cosas de manera que al final esos productos sean iguales sin necesidad de que B y C sean iguales.

69
00:09:36,330 --> 00:09:43,629
Bueno, simplemente esto lo tenemos que tener en cuenta para cuando hagamos ecuaciones que no podemos tachar la A en los dos miembros.

70
00:09:44,409 --> 00:09:50,809
Y luego los divisores de cero. A ver, otra cosa muy curiosa que ocurre con las matrices.

71
00:09:50,809 --> 00:09:55,929
Entonces, el producto de dos matrices no nulas puede ser la matriz nula.

72
00:09:56,190 --> 00:09:57,190
Eso no ocurre con los números.

73
00:09:57,809 --> 00:10:03,129
Si yo tengo que un número A por un número B es igual a cero, seguro que A o B son cero.

74
00:10:03,649 --> 00:10:10,470
Bueno, pues aquí puede ocurrir que no, que A o B sean distintos de cero,

75
00:10:11,210 --> 00:10:16,450
aunque ya sabemos que tendrán ceros por ahí para que toda esa fórmula larga

76
00:10:16,450 --> 00:10:23,110
que usamos para calcular los elementos en la multiplicación de matrices me vayan anulando

77
00:10:23,110 --> 00:10:29,029
cosas de manera que al final me quede la matriz nula. Pero bueno, lo importante, a veces puedo

78
00:10:29,029 --> 00:10:36,289
multiplicar dos matrices no nulas y que me dé la matriz nula. Bueno, pues esto en cuanto a

79
00:10:36,289 --> 00:10:43,230
multiplicación de matrices y vamos a ver ahora la potencia de matrices. El concepto de potencia es

80
00:10:43,230 --> 00:10:52,850
el mismo que en los números. A elevado a n es una forma abreviada de poner la multiplicación

81
00:10:52,850 --> 00:11:00,649
de A por sí misma n veces. La potencia de matrices solo se puede hacer con matrices

82
00:11:00,649 --> 00:11:05,450
cuadradas, evidentemente, porque como nos va cambiando el orden, como tengamos distinto

83
00:11:05,450 --> 00:11:14,330
orden, al final no conseguimos un producto que se pueda hacer. La única manera que se

84
00:11:14,330 --> 00:11:19,110
puede hacer es que siempre la matriz sea cuadrada y siempre el orden resultante sea n por n.

85
00:11:20,730 --> 00:11:27,889
Bueno, pues del concepto de potencia de matrices sale este concepto súper interesante y aquí

86
00:11:27,889 --> 00:11:34,850
ya mucha atención porque ya llegamos a ejercicios tipo de BAU. Las matrices cíclicas son unas

87
00:11:34,850 --> 00:11:43,129
matrices muy especiales cuyas potencias se repiten con regularidad. Es decir, A es una matriz cíclica

88
00:11:43,129 --> 00:11:51,009
si a partir de cierto momento, cuando yo voy calculando potencias sucesivas, al cuadrado, al cubo, a la cuarta, a la quinta,

89
00:11:51,509 --> 00:11:58,370
llega un momento en que me sale la matriz identidad. Si me sale la matriz identidad, vuelvo a empezar a multiplicar otra vez.

90
00:11:58,370 --> 00:12:10,289
Y entonces esto se repite, con lo cual hay un periodo que nos va a simplificar el cálculo de potencias muy altas.

91
00:12:10,710 --> 00:12:13,269
Vamos a verlo con un ejemplo que a lo mejor no me estoy explicando bien.

92
00:12:13,870 --> 00:12:18,929
Tengo la matriz A, ¿vale? Esta matriz es cuadrada de 3 por 3, orden 3.

93
00:12:19,570 --> 00:12:23,669
Y me dicen, dada esta matriz A, calcula A elevado a 257.

94
00:12:24,570 --> 00:12:37,309
Evidentemente no hay que multiplicar A por A por A 257 veces, eso es lo que tienen las matrices cíclicas, que llega un momento en que ya no tengo que seguir porque ya sé lo que va a ocurrir.

95
00:12:38,049 --> 00:12:52,370
Bueno, pues entonces, para calcular una potencia alta de una matriz, y ya os digo que esto sí cae a veces en los ejercicios de BAU, lo primero que hago es calcular las potencias sucesivas de A hasta que obtenga la matriz identidad.

96
00:12:53,090 --> 00:13:00,230
Bueno, pues tengo A, tengo A cuadrado, que multiplico, como ya hemos visto, A por A, y me da esta matriz.

97
00:13:00,889 --> 00:13:11,529
Bueno, pues luego hago A al cubo, que sería A al cuadrado por A, hago esta multiplicación y resulta que me encuentro con que me sale la matriz identidad.

98
00:13:11,529 --> 00:13:16,350
Pues ya no sigo. ¿Por qué? Y ahora quito el rotulador, que si no, no lo podemos.

99
00:13:16,350 --> 00:13:37,139
¿Por qué? El segundo paso es coger la potencia que me han dicho que calcule, 257, dividirlo entre 3, que es la potencia en la que he encontrado la matriz identidad, y a eso le llamo periodo.

100
00:13:37,139 --> 00:13:43,840
Divido entre 3 y el cociente me da 85, pero eso no me importa. A mí lo que me importa es el resto.

101
00:13:45,240 --> 00:14:01,379
Entonces, en tercer lugar, puedo deducir que a elevado a 257 es lo mismo que a al cuadrado, porque a partir de a al cubo se vuelve a repetir cuarta, quinta, sexta, séptima, octava, novena, con periodo 3.

102
00:14:01,379 --> 00:14:05,019
entonces a elevado a 257 es lo mismo que a al cuadrado

103
00:14:05,019 --> 00:14:06,600
y a al cuadrado ya lo había calculado

104
00:14:06,600 --> 00:14:07,460
pues ya está

105
00:14:07,460 --> 00:14:10,919
pues hasta aquí la clase de hoy