1
00:00:00,000 --> 00:00:07,000
En este vídeo mostramos un ejercicio de aplicación directa de las definiciones de razones trigonométricas.

2
00:00:08,000 --> 00:00:10,000
Veamos lo que nos dice el ejercicio.

3
00:00:11,000 --> 00:00:17,000
Dado el siguiente triángulo, hallar todas las razones trigonométricas de los ángulos alfa y beta.

4
00:00:18,000 --> 00:00:20,000
Primero vamos a ver cuál es el triángulo.

5
00:00:21,000 --> 00:00:29,000
Este es nuestro triángulo. En este caso el ángulo de 90 grados está aquí, en una posición distinta a las definiciones que hemos dado.

6
00:00:30,000 --> 00:00:34,000
Con lo cual nos sirve para practicarlas con el triángulo en otra posición.

7
00:00:36,000 --> 00:00:39,000
Aquí está el ángulo alfa. Aquí está el ángulo beta.

8
00:00:43,000 --> 00:00:46,000
Este es uno de los datos del problema. Este cateto mide 4 centímetros.

9
00:00:46,000 --> 00:00:50,000
Y este es otro de los datos del problema. Este otro cateto mide 3 centímetros.

10
00:00:52,000 --> 00:00:55,000
No conocemos el valor de la hipotenusa y por tanto tendremos que calcularla.

11
00:00:56,000 --> 00:00:58,000
La solución del ejercicio pasa entonces...

12
00:00:59,000 --> 00:01:04,000
Lo primero que tenemos que hacer es calcular cuánto mide la hipotenusa.

13
00:01:05,000 --> 00:01:07,000
¿Cómo vamos a hacerlo? Pues usando el Teorema de Pitágoras.

14
00:01:09,000 --> 00:01:13,000
El Teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es 3.

15
00:01:13,000 --> 00:01:17,000
El Teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

16
00:01:18,000 --> 00:01:21,000
Por tanto, 4 al cuadrado más 3 al cuadrado será igual a h al cuadrado.

17
00:01:23,000 --> 00:01:28,000
De manera que h al cuadrado será igual a 16 más 9.

18
00:01:29,000 --> 00:01:38,000
Y por tanto, h será igual a la raíz cuadrada de 25, es decir, 5 centímetros.

19
00:01:39,000 --> 00:01:43,000
Estamos trabajando siempre con longitud, por lo tanto, la raíz cuadrada positiva.

20
00:01:44,000 --> 00:01:50,000
De manera que h, la hipotenusa, mide 5 centímetros en este triángulo rectángulo.

21
00:01:52,000 --> 00:01:57,000
A partir de aquí solamente lo único que tenemos que hacer es ir aplicando las fórmulas, conocerlas.

22
00:01:58,000 --> 00:02:04,000
Si no las recordamos debemos tenerlas al lado y simplemente vamos a ir aplicándolas.

23
00:02:09,000 --> 00:02:11,000
Empezamos por el ángulo alfa.

24
00:02:12,000 --> 00:02:23,000
El seno de alfa será igual, recordemos, cateto opuesto, lo que mida el cateto opuesto alfa, es decir, 4 centímetros,

25
00:02:24,000 --> 00:02:31,000
dividido entre lo que mida la hipotenusa, es decir, 5 centímetros, 4 entre 5.

26
00:02:32,000 --> 00:02:41,000
El coseno de alfa será igual, cateto contiguo alfa, es decir, 3 centímetros,

27
00:02:42,000 --> 00:02:47,000
dividido entre 5 centímetros que mide la hipotenusa.

28
00:02:48,000 --> 00:03:00,000
Para la tangente tenemos que dividir el valor del cateto opuesto alfa entre lo que mide el cateto contiguo.

29
00:03:02,000 --> 00:03:04,000
Por lo tanto, 4 tercios.

30
00:03:05,000 --> 00:03:09,000
Para la secante de alfa recordar que la secante es la enversa del coseno,

31
00:03:10,000 --> 00:03:15,000
por lo tanto solamente tenemos que intercambiar numerador con denominador en la fracción 3 quintos.

32
00:03:16,000 --> 00:03:19,000
Nos quedaría entonces 5 tercios.

33
00:03:20,000 --> 00:03:26,000
De la misma manera la cosecante es la inversa del seno y por tanto 5 cuartos.

34
00:03:26,000 --> 00:03:36,000
Y por último, para alfa, la cotangente de alfa, miramos la tangente e intercambiamos numerador con denominador 3 cuartos.

35
00:03:37,000 --> 00:03:44,000
Recordemos que todos estos valores son adimensionales, es decir, no tienen dimensiones, no son centímetros, no son metros,

36
00:03:45,000 --> 00:03:47,000
es simplemente un número sin dimensiones.

37
00:03:48,000 --> 00:03:52,000
Y por lo demás se pueden aplicar todo lo que sabemos de números, es decir,

38
00:03:52,000 --> 00:04:02,000
el resultado de una fracción, si el resultado es exacto, podemos tomar el decimal y si no es exacto tendremos que conformarnos con una aproximación.

39
00:04:03,000 --> 00:04:08,000
Nosotros lo dejamos así porque simplemente lo que tendremos es aplicar directamente las fórmulas.

40
00:04:09,000 --> 00:04:12,000
Vamos ahora a por el otro ángulo, a por beta.

41
00:04:12,000 --> 00:04:29,000
Para el ángulo beta tendríamos seno de beta sería igual a cateto opuesto a beta ahora, que sería 3, 3 centímetros, dividido entre lo que mide la hipotenusa, 5.

42
00:04:30,000 --> 00:04:41,000
Para el coseno de beta sería cateto contiguo a beta, 4 entre lo que mide la hipotenusa, 5.

43
00:04:42,000 --> 00:04:51,000
Para la tangente de beta, cateto opuesto, 3, dividido entre lo que mide el cateto contiguo a beta.

44
00:04:54,000 --> 00:05:03,000
Vamos ahora ya por la secante, la secante es la inversa del coseno, por lo tanto intercambiamos numerador con denominador en la fracción, 5 cuartos.

45
00:05:04,000 --> 00:05:13,000
Para la cosecante, ya sabemos, 5 tercios y por último para la cotangente de beta, 4 tercios.

46
00:05:16,000 --> 00:05:23,000
Es importante observar ahora que algunas razones del ángulo alfa y del ángulo beta son iguales.

47
00:05:23,000 --> 00:05:32,000
Por ejemplo el seno de alfa es igual que el coseno de beta, el coseno de alfa es igual que el seno de beta,

48
00:05:33,000 --> 00:05:43,000
La tangente de alfa es igual que la cotangente de beta, secante de alfa y cosecante de beta son también iguales, cosecante de alfa es igual que secante de beta,

49
00:05:44,000 --> 00:05:48,000
y la cotangente de alfa es igual que la tangente de beta.

50
00:05:48,000 --> 00:05:59,000
Esto no es casual, no es casualidad que ocurra esto, y va a pasar siempre en cualquier triángulo o rectángulo, va a ocurrir siempre,

51
00:06:00,000 --> 00:06:07,000
porque estos ángulos son complementarios, es decir, suman 90 grados o pi medios radianes, entonces siempre va a ocurrir eso,

52
00:06:08,000 --> 00:06:16,000
puesto que el cateto contiguo de un ángulo es el cateto opuesto del otro, de manera que por eso se produce esta situación y esto va a ocurrir siempre.

53
00:06:17,000 --> 00:06:25,000
En el caso de que estemos trabajando, como más adelante veremos, con ángulos en una circunferencia, pues también va a ocurrir,

54
00:06:26,000 --> 00:06:36,000
aunque ya no trabajemos sobre un triángulo o rectángulo, siempre que tengamos dos ángulos que sumen 90 grados o pi medios radianes, es decir, ángulos complementarios, va a ocurrir esto.