1 00:00:01,010 --> 00:00:15,390 Vamos a ver este ejercicio. Nos dicen sea f de x igual a x cubo más bx cuadrado más cx más d, un polinomio que cumple f de 1 igual 0, f prima de 0 igual 2 y tiene dos extremos relativos para x igual 1 y x igual 2. 2 00:00:16,109 --> 00:00:21,670 Y me piden determinar los valores de a, b, c y d y luego decir si los extremos relativos son máximos o mínimos. 3 00:00:22,050 --> 00:00:27,329 Es el típico ejercicio en el que me dan una función con parámetros y una serie de condiciones que cumple 4 00:00:27,329 --> 00:00:33,950 y a partir de esas condiciones tenemos que ser capaces de sacar ecuaciones y resolverlas para poder calcular los valores. 5 00:00:34,670 --> 00:00:42,409 Entonces, a ver, si nos damos cuenta, nos están dando un dato completo, f de 1 es igual a 0, ya me lo están dando, 6 00:00:42,409 --> 00:00:49,929 f' de 0 igual a 2 ya me lo están dando, pero me están hablando de que tiene dos extremos relativos para x igual a 1 y x igual a 2. 7 00:00:49,929 --> 00:00:53,030 ¿Qué significa que sean extremos relativos? 8 00:00:53,429 --> 00:00:56,490 Pues un número, o sea un valor de x es un extremo relativo 9 00:00:56,490 --> 00:00:59,530 Si la derivada primera en ese punto es 0 10 00:00:59,530 --> 00:01:03,030 ¿Vale? Eso es lo que tiene que ocurrir para que sean extremos relativos 11 00:01:03,030 --> 00:01:08,349 ¿Vale? Pues vamos a poner todas las condiciones que tengo 12 00:01:08,349 --> 00:01:11,569 Tenemos que f de 1 sea 0 13 00:01:11,569 --> 00:01:15,969 Que f' de 0 sea 2 14 00:01:15,969 --> 00:01:20,650 y lo que acabamos de decir, para que sea extremo relativo en x igual 1 15 00:01:20,650 --> 00:01:24,870 lo que tiene que ocurrir es que f' de 1 sea 0 16 00:01:24,870 --> 00:01:32,090 y para que el 2 sea otro extremo relativo lo que tiene que ocurrir es que f' de 2 sea también 0 17 00:01:32,090 --> 00:01:36,250 ¿Vale? Esto sería mi sistema de ecuaciones 18 00:01:36,250 --> 00:01:41,049 Vamos a calcular aquí a la derecha cuánto es, bueno, voy a reescribir 19 00:01:41,049 --> 00:01:59,349 f de x es ax cubo más bx cuadrado más cx más d, f' de x es 3ax cuadrado más 2bx más c 20 00:01:59,349 --> 00:02:04,650 y voy a calcular también la derivada segunda que lo vamos a necesitar para el apartado b 21 00:02:04,650 --> 00:02:15,370 Y este sería 6ax más 2b, ¿vale? Voy a dejar aquí a la derecha los datos que necesito, o sea, los valores de las funciones. 22 00:02:15,629 --> 00:02:28,250 Y ahora vamos a ir sustituyendo. f de 1 igual a 0, bueno, pues sustituyo en la función y esto sería a más b más c más d igual a 0, ¿vale? 23 00:02:28,250 --> 00:02:31,849 Si la x es 1, se quedan solamente los coeficientes. 24 00:02:32,129 --> 00:02:40,710 La derivada en 0, pues sustituyo y obtengo 3a por 0 es 0, más 2b por 0 es 0, más c, y esto tiene que ser 2. 25 00:02:41,210 --> 00:02:44,409 Luego aquí acabo de sacar ya uno de los valores. 26 00:02:45,090 --> 00:02:56,050 La derivada primera en 1, bueno, pues esto serían 3a más 2b, más c, que ya voy a poner el valor, es decir, más 2, tiene que ser 0. 27 00:02:56,050 --> 00:03:10,569 y la última sería la derivada en 2, es decir, 2 al cuadrado es 4 por 3, 12a, más 2 por 2, 4b, más c, es decir, más 2, igual a 0. 28 00:03:11,009 --> 00:03:12,669 Y este es mi sistema de ecuaciones. 29 00:03:13,969 --> 00:03:19,349 Voy a utilizar las dos últimas ecuaciones porque solamente tienen a y b para calcular el valor de a y b. 30 00:03:19,349 --> 00:03:30,270 Y luego, utilizando la primera, vamos a calcular el valor de d despejándolo, porque el valor de d sería menos a menos b menos c, que ya sabemos que es 2. 31 00:03:30,909 --> 00:03:34,289 Una vez que tengamos el valor de a y b, pues ya sustituiremos arriba. 32 00:03:35,250 --> 00:03:44,650 Para hacer la reducción, bueno, pues voy a dejar la primera ecuación igual, 3a más 2b, voy a poner el término independiente a la derecha, igual a menos 2. 33 00:03:44,650 --> 00:03:50,210 y la última ecuación, la cuarta, la voy a simplificar entre 2 34 00:03:50,210 --> 00:03:56,530 y me quedaría 6a más 2b igual a menos 1. 35 00:03:57,990 --> 00:03:59,569 He dividido todo entre 2. 36 00:04:00,789 --> 00:04:05,469 Y ahora si yo resto las dos ecuaciones, 3 menos 6 me quedaría menos 3a, 37 00:04:06,250 --> 00:04:09,830 2b menos 2b es 0 y aquí me quedaría menos 2 menos menos 1, 38 00:04:10,330 --> 00:04:12,430 sería menos 2 más 1, es decir, menos 1. 39 00:04:12,430 --> 00:04:20,290 De donde obtenemos que la A vale menos 1 entre menos 3, es decir, un tercio 40 00:04:20,290 --> 00:04:23,670 Ya tengo el valor de A 41 00:04:23,670 --> 00:04:26,490 Para calcular el valor de B, ¿qué hacemos? 42 00:04:26,490 --> 00:04:31,089 Pues por ejemplo, despejamos en la primera ecuación 43 00:04:31,089 --> 00:04:37,889 Y que me queda, que la B es menos 2 menos 3 por A, 3 por un tercio 44 00:04:37,889 --> 00:04:43,009 sería 1 entre el coeficiente de b que era 2 45 00:04:43,009 --> 00:04:46,610 y aquí que me queda menos 3 medios 46 00:04:46,610 --> 00:04:50,269 luego ya tenemos también calculado el valor de b 47 00:04:50,269 --> 00:04:53,189 y como os hemos dicho para calcular el valor de c 48 00:04:53,189 --> 00:04:55,670 voy a venir aquí abajo, o sea el valor de d 49 00:04:55,670 --> 00:05:01,449 obtenemos que la d es menos a, es decir menos un tercio 50 00:05:01,449 --> 00:05:04,449 menos b que sería más 3 medios 51 00:05:04,449 --> 00:05:07,069 menos 2 52 00:05:07,069 --> 00:05:11,730 Tiramos de calculadora o de cálculo mental mínimo común múltiplo 6 53 00:05:11,730 --> 00:05:16,750 Y esto sería menos 2 más 9 menos 6 por 2, 12 54 00:05:16,750 --> 00:05:23,110 Luego esto sería menos 14 más 9, es decir, menos 5 sextos 55 00:05:23,110 --> 00:05:28,589 Y con esto ya tendríamos los cuatro valores, el apartado A 56 00:05:28,589 --> 00:05:32,290 Ya tenemos determinado el valor de A, de B, de C y de D 57 00:05:32,290 --> 00:05:38,910 Ahora para el apartado B, me preguntan si esos puntos son máximos o mínimos 58 00:05:38,910 --> 00:05:41,050 Bueno, pues vamos a ver cómo me quedaría la función 59 00:05:41,050 --> 00:05:44,470 O sea, esto que acabo de hacer es el apartado A 60 00:05:44,470 --> 00:05:47,449 Para el apartado B, vamos a escribir la función 61 00:05:47,449 --> 00:05:54,569 Me quedaría f de x, sería la a es un tercio, luego sería un tercio de x cubo 62 00:05:54,569 --> 00:05:58,629 La b es menos, la b la he perdido, menos tres medios 63 00:05:58,629 --> 00:06:02,209 Menos 3 medios de x cuadrado 64 00:06:02,209 --> 00:06:04,389 Más c, la c es 2 65 00:06:04,389 --> 00:06:05,870 Más 2x 66 00:06:05,870 --> 00:06:08,230 Y la d es menos 5 sextos 67 00:06:08,230 --> 00:06:08,649 ¿Vale? 68 00:06:09,970 --> 00:06:12,029 Pero nosotros ¿Qué es lo que necesitamos? 69 00:06:12,350 --> 00:06:14,149 He puesto aquí la función f 70 00:06:14,149 --> 00:06:17,230 Pero sustituyendo lo que nos interesa 71 00:06:17,230 --> 00:06:19,189 Para ver si son máximos o mínimos 72 00:06:19,189 --> 00:06:20,509 Es la derivada segunda 73 00:06:20,509 --> 00:06:22,329 La derivada segunda de x 74 00:06:22,329 --> 00:06:23,470 Que la hemos calculado antes 75 00:06:23,470 --> 00:06:25,050 Sería 6 por a 76 00:06:25,050 --> 00:06:27,569 6 tercios que es 2 77 00:06:27,569 --> 00:06:33,149 2x más 2b, es decir, menos 3. 78 00:06:33,769 --> 00:06:37,230 Este sería el valor de la derivada segunda sustituyendo los valores. 79 00:06:37,689 --> 00:06:40,370 Y ahora, a partir de esto, ¿qué es lo que tengo que calcular? 80 00:06:41,430 --> 00:06:44,910 Pues para el primer punto que teníamos, por el x igual 1, 81 00:06:45,430 --> 00:06:47,410 sustituyo ¿cuánto es f segunda de 1? 82 00:06:48,509 --> 00:06:51,490 Pues 2 menos 3 menos 1, menor que 0, 83 00:06:51,490 --> 00:06:57,110 lo que significa que x igual 1 es un máximo relativo. 84 00:06:57,569 --> 00:07:08,709 ¿Vale? Y sustituyo lo mismo en la derivada segunda, el valor 2, y sería 2 por 2, 4, menos 3, 1, mayor que 0. 85 00:07:08,709 --> 00:07:15,310 Por lo tanto, x igual 2 es un mínimo relativo. 86 00:07:16,569 --> 00:07:22,050 A ver, que se me ha quedado un poco raro. ¿Vale? Pues este sería un problema bastante típico de examen y de PAU.