1 00:00:00,180 --> 00:00:15,279 Vamos a ver la iniciación al cálculo integral. Esto solamente va a ser una especie de pincelada, unos conceptos muy sencillos de lo que es el cálculo integral que es muy importante dentro de las matemáticas. 2 00:00:15,279 --> 00:00:27,239 Como digo siempre, todos aquellos que vayáis a hacer económicas, empresariales o una mezcla de estas carreras tendréis que ver bastantes más integrales y bastantes más métodos. 3 00:00:27,800 --> 00:00:32,119 Pero entrada es un tema que aunque es nuevo, tampoco es tan complicado. 4 00:00:34,729 --> 00:00:39,829 Vamos a ver primero qué es eso de una integral indefinida. 5 00:00:41,149 --> 00:00:44,789 Integrar es el proceso recíproco de derivar. 6 00:00:44,789 --> 00:00:53,229 Si yo tengo la función f de x igual a 5x cubo y derivo, su derivada sería 15x cuadrado 7 00:00:53,229 --> 00:00:57,509 Pues integrar es justo el proceso contrario 8 00:00:57,509 --> 00:01:01,250 Si a mí me dan 15x cuadrado, tengo que buscar de qué función viene 9 00:01:01,250 --> 00:01:04,510 Y para ello veremos una serie de métodos para hacerlo 10 00:01:04,510 --> 00:01:08,709 Pero hay un problema 11 00:01:08,709 --> 00:01:16,010 Que si os fijáis, todas las funciones f que aparecen abajo, su derivada también es 15x al cuadrado 12 00:01:16,010 --> 00:01:21,430 porque la derivada de la constante que va detrás de 5x al cubo siempre es cero. 13 00:01:28,150 --> 00:01:31,950 Vamos a ver la anotación que usaremos cuando utilicemos las integrales. 14 00:01:33,170 --> 00:01:36,609 Esta es la expresión de lo que sería una integral. 15 00:01:37,890 --> 00:01:42,670 Esa especie de S alargada es el signo de integración 16 00:01:42,670 --> 00:01:47,010 y viene de una deformación del símbolo de sumatorio 17 00:01:47,010 --> 00:01:51,609 y tiene cierta relación con la suma, por eso tiene esa forma también. 18 00:01:51,930 --> 00:02:02,189 Este término de ahí leemos como integral de f de x diferencial de x. 19 00:02:03,409 --> 00:02:11,169 f de x es la función, el integrando, que vamos a obtener su primitiva. 20 00:02:13,659 --> 00:02:19,620 Y ese de x lo leemos como diferencial de x e indica cuál es la variable de la función que se integra. 21 00:02:19,620 --> 00:02:26,960 Este año realmente ese diferencial no usa mucho y es más como una especie de anotación que ponemos siempre 22 00:02:26,960 --> 00:02:35,840 pero en matemáticas superiores sí que es importante saber si es una X, una Y o qué variable es la que estoy integrando 23 00:02:35,840 --> 00:02:42,340 Y por último una vez que yo hago la integral me dará un resultado 24 00:02:42,340 --> 00:02:48,500 el que sea que es la F mayúscula que aprenderemos a calcular mediante las tablas 25 00:02:48,500 --> 00:02:52,460 y en las integrales indefinidas siempre nos va a aparecer esa c. 26 00:02:53,180 --> 00:03:00,060 Esa c es la constante de integración, la que veíamos antes que diferenciaba unas integrales de otras 27 00:03:00,060 --> 00:03:04,139 en el ejemplo anterior de las 5x al cubo. 28 00:03:04,819 --> 00:03:10,060 Y puede tomar cualquier valor numérico pero nosotros la vamos a poner siempre como esa c mayúscula. 29 00:03:15,939 --> 00:03:19,479 Vamos a ver ahora lo que son las integrales definidas. 30 00:03:20,080 --> 00:03:26,500 Una idea intuitiva de qué es lo que llevó a la integral de Riemann. 31 00:03:27,379 --> 00:03:31,719 Esto lo usaremos en la segunda parte del tema. 32 00:03:35,060 --> 00:03:43,520 Bueno, la primera necesidad que han tenido los matemáticos cuando tenían una función es encontrar el área que hay bajo la curva. 33 00:03:44,319 --> 00:03:53,000 Cuando yo estoy hallando un área, pues sabemos calcular las áreas de las figuras básicas geométricas, los cuadrados, los triángulos... 34 00:03:53,000 --> 00:03:57,759 De hecho hay otras figuras que no sabemos calcularla y lo que hacemos es descomponerlas en figuras conocidas. 35 00:03:58,520 --> 00:04:00,400 Pues esa fue la idea que tuvo Riemann. 36 00:04:00,400 --> 00:04:09,060 Si yo tengo una curva y quiero saber qué área hay bajo esa curva entre el x sub 0 y el x4, entre dos valores cualquiera, 37 00:04:09,599 --> 00:04:13,300 lo que puedo hacer es aproximarla por un cuadrado, por un rectángulo. 38 00:04:13,520 --> 00:04:34,160 De forma que cada rectángulo su área sería la base, el trocito de ese intervalo y su altura justo coincidiría con el valor de la función en un punto de ese rectángulo, que podría ser el del medio, podría ser una esquina, podría ser otro. 39 00:04:34,920 --> 00:04:48,180 Si os fijáis, de esta forma el área tendríamos una primera aproximación que sería esos cuatro rectángulos hallando su base por su altura. 40 00:04:53,139 --> 00:04:59,379 Pero si yo quiero ajustarlo todavía más, lo que puedo hacer es esos rectángulos hacerlos más estrechitos. 41 00:04:59,819 --> 00:05:06,540 De esta forma fijaros que cada vez me aproximo más a la figura y siguen siendo rectángulos. 42 00:05:06,540 --> 00:05:12,259 Esta vez la base es más estrecha y entonces la altura la puedo ajustar mejor. 43 00:05:12,680 --> 00:05:28,759 Si sigo haciendo cada vez más estrechos los rectángulos, cada vez me aproximaré más a la función que quiero calcular su área. 44 00:05:31,600 --> 00:05:34,279 La longitud de la base es x. 45 00:05:34,279 --> 00:05:48,480 Si la hacemos muy pequeña nosotros utilizamos la terminología de diferencial de x que es una longitud muy pequeña de x y de ahí viene el que nosotros vamos a usar en las integrales. 46 00:05:48,480 --> 00:05:56,009 Fijaros, aquí tengo la función 47 00:05:56,009 --> 00:06:02,930 Ya no he hecho intervalos, sino que simplemente quiero hallar el área entre a y b 48 00:06:02,930 --> 00:06:10,310 Pues la forma de hacerlo sería mediante una integral definida 49 00:06:10,310 --> 00:06:18,310 Que sería la integral del área limitada entre la función que la tenemos pintada en rojo 50 00:06:19,310 --> 00:06:24,329 El eje de las x y las rectas verticales 51 00:06:24,329 --> 00:06:35,339 A y B. Y la forma que tendríamos de representarlo es esta. Fijaros que la novedad es que en el 52 00:06:35,339 --> 00:06:44,300 simbolito de la integral aparecen dos numeritos pequeños que son los índices de integración. A es 53 00:06:44,300 --> 00:06:50,019 el límite inferior de la integración y B es el límite superior, que significa de dónde a dónde 54 00:06:50,019 --> 00:07:00,569 vamos a integrar. Es decir, hemos pasado de lo que veíamos anterior de Riemann de tener cuadraditos 55 00:07:00,569 --> 00:07:05,470 muy pequeños, si eso lo hiciésemos cada vez más pequeño, con una serie de cálculos 56 00:07:05,470 --> 00:07:10,990 más complejos que superan el contenido de segundo de bachillerato, llegamos a que si 57 00:07:10,990 --> 00:07:16,949 cada vez hacemos los intervalos más pequeñitos, lo que obtenemos es esta integral que también 58 00:07:16,949 --> 00:07:18,910 aprenderemos a calcular estos días.