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00:00:00,880 --> 00:00:21,500
En este video vamos a explicar cómo se calcula la inversa de una matriz, con el ejemplo de la matriz A, cuyas dimensiones son 3x3, a partir de la fórmula que nos dice que la inversa de una matriz es igual a la división entre la adjunta de la matriz traspuesta entre el determinante de la matriz.

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00:00:21,500 --> 00:00:24,059
Empezamos por calcular el determinante

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00:00:24,059 --> 00:00:28,379
Y ya que no puede ser cero porque si lo fuera

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00:00:28,379 --> 00:00:32,039
Significaría que no existe la inversa de esa matriz

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00:00:32,039 --> 00:00:36,179
El determinante se calcula con la regla de Sarrus

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00:00:36,179 --> 00:00:38,320
Que dividimos en dos pasos

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00:00:38,320 --> 00:00:43,740
El primer paso es multiplicar la diagonal principal

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00:00:43,740 --> 00:00:45,799
Que es cero

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00:00:45,799 --> 00:00:50,960
Multiplicar menos uno, cinco y menos uno

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00:00:50,960 --> 00:00:56,939
que es 5 y multiplicar menos 1 menos 2 y 3 que es 6

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00:00:56,939 --> 00:01:04,420
a esta suma se le resta la multiplicación que se realiza en el paso 2

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00:01:04,420 --> 00:01:08,040
que es el producto de la diagonal secundaria

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00:01:08,040 --> 00:01:15,680
más el producto de menos 1 por menos 1 por menos 3 igual a menos 3

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00:01:15,680 --> 00:01:21,459
Y el producto de menos 3 por 5 por 1 que es igual a 15

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00:01:21,459 --> 00:01:26,680
Y la resta de estos dos pasos da menos 1

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00:01:26,680 --> 00:01:32,719
Por lo que el determinante de la inversa de la matriz es menos 1

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00:01:32,719 --> 00:01:38,140
Ahora que conocemos el determinante de la matriz

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00:01:38,140 --> 00:01:40,540
Y sabemos que no es igual a 0

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00:01:40,540 --> 00:01:43,260
Podemos decir que si existe la inversa de esta matriz

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00:01:43,260 --> 00:01:44,920
Y podemos calcularla

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00:01:44,920 --> 00:02:13,800
Pasamos a calcular la junta de la matriz traspuesta, empezando por obtener la matriz traspuesta a partir de la matriz original y esta se obtiene cambiando la fila por columnas, es decir, la fila 1 de la matriz original que es 1-1-1 pasa a ser la columna 1 de la matriz traspuesta que es 1-1-1, lo mismo con la segunda y con la tercera.

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00:02:14,919 --> 00:02:29,840
Ahora que tenemos la matriz traspuesta, podemos obtener la adjunta de la matriz traspuesta con una fórmula en la cual empezamos calculando a 1,1.

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00:02:29,840 --> 00:02:48,560
Esta fórmula nos dice que multiplicamos menos 1 por el determinante de una matriz que obtenemos a partir de la traspuesta

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00:02:48,560 --> 00:02:59,219
El menos 1 tiene que estar elevado a la suma del número de fila y el número de columna en la que se encuentra el valor a calcular

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00:02:59,219 --> 00:03:08,719
Al ser, en este caso, a 1, 1 y está en la posición de la columna 1 y en la fila 1, al sumar 1 más 1, pues nos da 2.

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00:03:08,800 --> 00:03:11,599
Entonces, menos 1 está elevado al cuadrado.

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00:03:13,120 --> 00:03:27,439
Y la matriz, el determinante de la matriz se obtiene calculando la matriz, ignorando la columna 1 y la fila 1,

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00:03:27,439 --> 00:03:31,879
porque el valor está en la posición A11

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00:03:31,879 --> 00:03:38,180
entonces la matriz sería 0, 3, 5, menos 3

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00:03:38,180 --> 00:03:42,379
y el determinante se calcula multiplicando

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00:03:42,379 --> 00:03:45,960
0 por menos 3 que es 0

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00:03:45,960 --> 00:03:49,520
y que es la diagonal principal

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00:03:49,520 --> 00:03:52,520
y a eso le restamos el producto de la diagonal secundaria

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00:03:52,520 --> 00:03:54,580
5 por 3 que es 15

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00:03:54,580 --> 00:03:56,539
y 0 menos 15 es igual a 15

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00:03:56,539 --> 00:04:08,120
Y menos 1 al estar elevado al cuadrado pues queda positivo y no afecta al valor del denominante de la matriz de dimensión 2x2.

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00:04:09,479 --> 00:04:24,019
Se puede utilizar esta fórmula pero también se puede aprender esta tabla de valores de signos que está determinado así por la posición, ya que su posición es par o impar según la que esté.

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00:04:24,019 --> 00:04:28,720
y así calculamos de este modo todas las demás posiciones

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00:04:28,720 --> 00:04:32,680
ahora que finalmente tenemos la matriz adjunta

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00:04:32,680 --> 00:04:39,079
dividimos cada valor de este entre menos uno

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00:04:39,079 --> 00:04:41,399
porque es el determinante que hemos calculado

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00:04:41,399 --> 00:04:47,060
y así obtenemos la inversa de la matriz

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00:04:47,060 --> 00:04:52,180
en la que todos los valores pasan a ser positivos

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00:04:52,180 --> 00:04:55,819
al estar divididos entre menos 1

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00:04:55,819 --> 00:05:04,259
y así calculamos la inversa de la matriz