1
00:00:04,660 --> 00:00:13,900
En este vídeo vamos a utilizar la ley de Gauss para calcular el campo generado por un cilindro infinito que tiene una densidad de carga ρ.

2
00:00:14,740 --> 00:00:22,500
Esta figura que vemos aquí es una sección diametral del cilindro, es decir, hemos cogido el cilindro y lo hemos cortado justamente por el centro.

3
00:00:24,179 --> 00:00:30,120
Tenemos un radio del cilindro R y pues esa densidad de carga ρ.

4
00:00:30,120 --> 00:00:36,899
¿Qué significa esta densidad de carga? Recordamos que esto es la carga total del cilindro entre el volumen.

5
00:00:37,439 --> 00:00:42,479
Como estamos diciendo que esto es un cilindro infinito, pues su volumen será infinito, pero su carga también.

6
00:00:43,140 --> 00:00:48,240
Por lo tanto, este cociente, esta Q entre esta V, será una constante.

7
00:00:50,060 --> 00:00:56,240
Pues bien, nosotros en este problema vamos a fijarnos, primero vamos a escribirnos la ley de Gauss,

8
00:00:56,240 --> 00:01:08,310
que es lo que vamos a utilizar, ley de Gauss, que recordamos que lo que dice es que el flujo a través de una superficie cerrada

9
00:01:08,310 --> 00:01:16,819
es la carga que encierra esta superficie entre epsilon sub cero.

10
00:01:17,840 --> 00:01:24,340
Muy bien, entonces vamos a calcular primero la primera integral y la compararemos con esta carga interior,

11
00:01:24,340 --> 00:01:30,879
pero esto lo vamos a hacer en dos casos. Fijémonos que este problema tiene simetría cilíndrica.

12
00:01:31,299 --> 00:01:40,829
Vamos a apuntar aquí, simetría cilíndrica, simetría cilíndrica. ¿Por qué tiene simetría cilíndrica?

13
00:01:41,670 --> 00:01:47,730
Pues tiene simetría cilíndrica porque si nos movemos en esta dirección no nos cambia el problema

14
00:01:47,730 --> 00:01:52,109
porque como el cilindro es infinito, pues aunque esté más arriba o más abajo,

15
00:01:52,109 --> 00:01:56,829
sigo teniendo infinito hacia arriba infinito hacia abajo y si nos movemos en esta dirección

16
00:01:56,829 --> 00:02:04,609
tampoco la única dirección que nos afecta es la dirección radial si cambia el problema si giro

17
00:02:04,609 --> 00:02:12,210
así por eso no tenemos simetría esférica también cambia el problema si me muevo en esta o en esta

18
00:02:12,210 --> 00:02:18,210
por lo tanto cartesiana tampoco sin embargo si tenemos simetría cilíndrica por eso vamos a elegir

19
00:02:18,210 --> 00:02:24,310
superficies que sean cilíndricas pero no puedo elegir una superficie que encierre todo el

20
00:02:24,310 --> 00:02:28,490
cilindro porque esto es un cilindro infinito por lo tanto no lo puedo encerrar en una superficie

21
00:02:28,490 --> 00:02:35,389
cerrada entonces lo que voy a hacer es coger un cilindro que no sea infinito vamos a fijarnos

22
00:02:35,389 --> 00:02:41,389
en dos casos al igual que con la esfera vamos a suponer que tenemos un cilindro como este de

23
00:02:41,389 --> 00:02:53,360
color verde, que sería un cilindro con un radio mayor que el del cilindro inicial, con

24
00:02:53,360 --> 00:02:59,180
un radio R, y como es un cilindro que está cerrado, tiene una tapa por encima, una tapa

25
00:02:59,180 --> 00:03:06,240
por debajo, tiene el lateral y tenemos que establecer una cierta altura que le vamos

26
00:03:06,240 --> 00:03:07,780
a llamar Y.

27
00:03:07,780 --> 00:03:30,620
Por otro lado, vamos a considerar el caso en el que tengamos un cilindro chiquitito con un radio más pequeño, va a tener la misma altura Y, podría tener otra realmente, veremos que eso nos da igual, y va a tener una R minúscula que en el caso rojo va a ser más pequeña que el radio del cilindro que consideramos.

28
00:03:31,379 --> 00:03:49,319
Fijémonos que en el caso verde estamos considerando, si cierro por aquí y cierro por aquí, la carga interior será la que corresponda a este trozo de aquí.

29
00:03:50,280 --> 00:03:59,080
Mientras que en el caso rojo no será todo el cilindro, sino que será la misma altura, pero solo esta parte de dentro del cilindro rojo.

30
00:03:59,080 --> 00:04:11,240
Muy bien, ya tenemos nuestras superficies cilíndricas. Vamos a hablar sobre el campo. El campo que puede generar este cilindro tiene que ser obligatoriamente de dirección radial.

31
00:04:11,240 --> 00:04:13,939
cojamos por ejemplo este punto de aquí

32
00:04:13,939 --> 00:04:17,240
si yo cojo este punto de aquí el campo tiene que ser

33
00:04:17,240 --> 00:04:20,379
como este, no podría ser así

34
00:04:20,379 --> 00:04:23,939
porque eso significaría que tenemos más carga en un lado

35
00:04:23,939 --> 00:04:26,740
que en el otro, si es así

36
00:04:26,740 --> 00:04:29,740
pues tendremos más carga positiva abajo o más carga negativa arriba

37
00:04:29,740 --> 00:04:31,100
para que sea de esta manera

38
00:04:31,100 --> 00:04:35,100
tampoco puede ser hacia acá

39
00:04:35,100 --> 00:04:39,000
porque eso nos daría una asimetría angular

40
00:04:39,000 --> 00:04:55,959
Debido a la simetría cilíndrica el campo sólo puede ser en dirección radial, podría ser también hacia adentro si la carga del cilindro fuese negativa, pero nosotros vamos a suponer que es positiva y si es negativa con ponerle un signo menos nos cambiará esta dirección, perdón, este sentido del campo.

41
00:04:55,959 --> 00:04:59,019
por lo tanto ahora que tenemos nuestro campo

42
00:04:59,019 --> 00:05:03,920
aquí vamos a pensar en este diferencial de superficie

43
00:05:03,920 --> 00:05:07,240
y es que ahora tenemos tres diferenciales de superficie distintos

44
00:05:07,240 --> 00:05:09,819
tendremos uno para la tapa superior

45
00:05:09,819 --> 00:05:11,800
uno para la tapa inferior

46
00:05:11,800 --> 00:05:13,779
y uno para el lateral

47
00:05:13,779 --> 00:05:17,139
entonces vamos a dividir esta integral cerrada

48
00:05:17,139 --> 00:05:19,339
en tres integrales que no son cerradas

49
00:05:19,339 --> 00:05:21,540
pero como esta integral no deja de ser una suma

50
00:05:21,540 --> 00:05:24,180
vamos a dividirlas y las vamos a sumar

51
00:05:24,180 --> 00:05:28,399
y tendremos la misma integral. Esta integral cerrada para la superficie

52
00:05:28,399 --> 00:05:32,319
completa del cilindro del campo producto escalar

53
00:05:32,319 --> 00:05:36,360
con diferencial de s va a ser igual

54
00:05:36,360 --> 00:05:39,480
a la integral en el lateral

55
00:05:39,480 --> 00:05:44,439
ya no le pongo el circulito porque el lateral no es una superficie

56
00:05:44,439 --> 00:05:48,339
cerrada porque ya no tiene las tapas. Producto diferencial

57
00:05:48,339 --> 00:05:51,300
de s va a ser

58
00:05:51,300 --> 00:06:17,720
Perdón, más la integral en la etapa superior del campo producto escalar con diferencial de S, en esta parte de aquí, más la integral en la etapa inferior del campo producto escalar con diferencial de S, que sería en esta etapa de debajo.

59
00:06:17,720 --> 00:06:20,360
vamos a ver cada uno de estos casos

60
00:06:20,360 --> 00:06:25,839
en la parte del lateral el vector diferencial de superficie

61
00:06:25,839 --> 00:06:29,620
es un vector que ya sabemos que es

62
00:06:29,620 --> 00:06:33,139
perpendicular a esta cara y hacia afuera

63
00:06:33,139 --> 00:06:36,300
observamos que es paralelo al campo

64
00:06:36,300 --> 00:06:39,879
este campo daría la vuelta junto con el cilindro

65
00:06:39,879 --> 00:06:41,560
y este diferencial de S también

66
00:06:41,560 --> 00:06:44,040
por lo tanto a lo largo de todo el lateral

67
00:06:44,040 --> 00:06:48,480
esto de aquí siempre van a ser paralelos

68
00:06:48,480 --> 00:06:51,920
por lo tanto lo podremos escribir como el producto de los módulos

69
00:06:51,920 --> 00:06:55,879
sin embargo en la etapa superior y en la etapa inferior

70
00:06:55,879 --> 00:06:58,639
el campo es el mismo, el campo será también así

71
00:06:58,639 --> 00:07:03,500
campo, en la etapa inferior así

72
00:07:03,500 --> 00:07:08,540
campo, mientras que el vector diferencial de superficie

73
00:07:08,540 --> 00:07:10,360
en la etapa superior será así

74
00:07:10,360 --> 00:07:15,939
diferencial de superficie y en la etapa inferior será así

75
00:07:15,939 --> 00:07:19,819
diferencial de superficie. Observamos que son vectores

76
00:07:19,819 --> 00:07:22,759
perpendiculares, forman 90 grados

77
00:07:22,759 --> 00:07:28,120
ambos. Por lo tanto el producto escalar que lleva un coseno

78
00:07:28,120 --> 00:07:31,560
de 90 grados será 0. En este caso esto es 0

79
00:07:31,560 --> 00:07:36,319
y esto es 0. Por lo tanto esta integral

80
00:07:36,319 --> 00:07:39,899
en la superficie cerrada del cilindro se nos ha convertido en un

81
00:07:39,899 --> 00:07:47,579
en una integral en la superficie lateral. Además, como el campo solamente puede depender

82
00:07:47,579 --> 00:07:53,560
de la distancia al eje por la simetría, por la simetría cilíndrica, y a lo largo de

83
00:07:53,560 --> 00:07:57,399
la superficie lateral, en las tapas no, pero las tapas nos dan igual, a lo largo de las

84
00:07:57,399 --> 00:08:05,300
superficies lateral el campo solo depende de r y r es constante, podremos sacar este

85
00:08:05,300 --> 00:08:14,129
campo fuera de la integral y obtendremos que esta integral es este campo que depende de

86
00:08:14,129 --> 00:08:28,269
r por ds pero puede salir fuera la integral sobre la superficie lateral del cilindro y

87
00:08:28,269 --> 00:08:33,490
esta integral de diferencial de superficie es la integral sobre la superficie lateral es decir es

88
00:08:33,490 --> 00:08:38,850
la superficie lateral de este cilindro la superficie lateral es la longitud de la

89
00:08:38,850 --> 00:08:50,730
circunferencia que es 2 pi r por la altura y es decir este resultado es el campo por 2 pi r

90
00:08:51,850 --> 00:08:59,809
y es esta superficie lateral del cilindro en el caso rojo es exactamente lo mismo porque

91
00:08:59,809 --> 00:09:05,769
fijémonos que aquí en ningún momento hemos hablado de que r fuese mayor o menor que la

92
00:09:05,769 --> 00:09:13,049
R del cilindro. Por lo tanto este resultado para la parte izquierda nos vale tanto para el caso verde

93
00:09:13,049 --> 00:09:22,370
en un campo exterior como para el caso rojo en un caso interior. Vamos a hacer entonces ahora la

94
00:09:22,370 --> 00:09:29,350
parte derecha, la carga interior en el caso verde. La carga interior en el caso verde cuando R es

95
00:09:29,350 --> 00:09:32,169
mayor que el radio del cilindro

96
00:09:32,169 --> 00:09:38,200
esta carga interior será

97
00:09:38,200 --> 00:09:44,080
la densidad de carga por el volumen interior

98
00:09:44,080 --> 00:09:47,700
¿vale? despejando de aquí, este volumen interior

99
00:09:47,700 --> 00:09:51,519
hemos dicho que sería esto de aquí, esta superficie

100
00:09:51,519 --> 00:09:55,759
que es la superficie del cilindro por la altura

101
00:09:55,759 --> 00:09:58,820
que nosotros estamos considerando por esta Y, por lo tanto

102
00:09:58,820 --> 00:10:08,879
esto será la densidad de carga por pi r grande al cuadrado que es el radio del cilindro por y

103
00:10:08,879 --> 00:10:16,779
si ahora esto lo sustituimos donde dice carga interior y lo igualamos con esta parte izquierda

104
00:10:16,779 --> 00:10:23,740
obtendremos que el campo en módulo la dirección ya la hemos asumido como esta de aquí que es una

105
00:10:23,740 --> 00:10:33,759
dirección radial, el campo en módulo multiplicado por 2 pi r y será esta

106
00:10:33,759 --> 00:10:41,700
densidad de carga por pi r al cuadrado y por y, tal como nos dice aquí.

107
00:10:42,120 --> 00:10:47,039
Podemos simplificar y se nos va pi y se nos va y. Es muy importante que se nos

108
00:10:47,039 --> 00:10:51,759
vaya y porque fijémonos que y es de la superficie que nosotros hemos elegido y

109
00:10:51,759 --> 00:10:57,980
Y si nosotros estamos eligiendo esta superficie, esta superficie no debe de afectar porque si ahora elijo otra no puede cambiar el resultado.

110
00:11:00,330 --> 00:11:15,340
Finalmente el campo nos queda, este 2 y esta r pasan dividiendo, pues nos queda ρr al cuadrado, me falta un ε0 que divide aquí que me lo he olvidado,

111
00:11:15,340 --> 00:11:24,059
que es este épsilon sub cero, rho r al cuadrado, dividido entre 2 épsilon sub cero r.

112
00:11:24,399 --> 00:11:34,970
Fijémonos que todo esto es constante y lo único que cambia es la distancia a la que nos encontramos del cilindro, del centro del cilindro, del eje.

113
00:11:36,370 --> 00:11:45,789
Vamos al caso rojo. En el caso rojo, el radio de nuestro cilindro que nos hemos imaginado es más pequeño que el radio del cilindro.

114
00:11:45,789 --> 00:11:51,549
Eso significaría que yo le he hecho un agujero pequeñito al cilindro, he entrado hasta aquí y ¿qué campo estoy sintiendo aquí dentro?

115
00:11:52,350 --> 00:11:59,590
Pues bien, ahora la carga interior no va a ser el mismo caso que antes que habíamos cogido toda la superficie del cilindro,

116
00:11:59,690 --> 00:12:07,629
sino que voy a coger solo esta superficie de aquí, que es primero la densidad por el volumen interior,

117
00:12:07,629 --> 00:12:13,529
que hemos dicho que va a ser pi, ahora es r pequeña al cuadrado, por la altura i.

118
00:12:13,529 --> 00:12:22,649
La altura y vuelve a ser esta de aquí, pero como hemos cogido solo esta superficie, por eso ponemos la r pequeña.

119
00:12:23,370 --> 00:12:41,429
En este caso, si despejamos de la misma manera, el campo en función de r por 2pi r griega va a ser r por pi por r cuadrado y por y.

120
00:12:41,429 --> 00:13:02,909
Ahora puedo simplificar este pi, puedo simplificar una r y puedo simplificar esta i de tal manera que ahora el campo va a ser, me he vuelto a dejar el epsilon sub cero, va a ser rho dividido entre 2 epsilon sub cero por r.

121
00:13:02,909 --> 00:13:10,149
En este caso, todo esto de aquí es constante y tenemos proporcional a R.

122
00:13:10,649 --> 00:13:30,909
Si ahora quisiésemos el vector campo eléctrico, simplemente deberíamos multiplicar el vector campo eléctrico, será el módulo, que usaremos el verde o el rojo en función de donde estemos, por este vector radial que iría alejándose del eje del cilindro.

123
00:13:30,909 --> 00:13:48,909
Podemos analizar estos resultados y lo que veremos es que si pintamos el módulo del campo en función de la distancia al eje tendremos aquí el cilindro

124
00:13:48,909 --> 00:13:52,730
y lo que vamos a observar es que

125
00:13:52,730 --> 00:13:56,970
este es una constante por R, es decir, crece linealmente

126
00:13:56,970 --> 00:14:01,409
y cuando R vale 0, el campo vale 0, por lo tanto partimos de aquí

127
00:14:01,409 --> 00:14:03,769
y alcanzaremos un valor máximo

128
00:14:03,769 --> 00:14:10,700
y lo haremos linealmente, mientras que

129
00:14:10,700 --> 00:14:15,200
cuando alcancemos ese valor máximo, si nos seguimos alejando, vamos a decaer

130
00:14:15,200 --> 00:14:20,120
como 1 sobre R

131
00:14:20,120 --> 00:14:31,259
que es este valor de aquí. Podemos observar que es diferente del caso de la esfera. En el caso de la esfera teníamos uno sobre r cuadrado,

132
00:14:31,379 --> 00:14:41,610
le caíamos un poco más rápido, era como así. ¿Por qué? Pues bien, porque esto es infinito. Si esto es infinito, aunque yo me vaya muy lejos,

133
00:14:41,710 --> 00:14:47,370
voy a seguir viendo mucho cilindro tanto por arriba como por abajo. ¿Cómo puedo tener un cilindro infinito?

134
00:14:47,370 --> 00:15:10,639
A lo mejor no tengo un cilindro infinito, sino que tengo un cilindro muy muy largo, muy muy largo, muy muy largo, sí, y yo estoy a unas distancias más o menos pequeñas, esta r, es pequeña en comparación con esta altura que tiene el cilindro.

135
00:15:10,639 --> 00:15:14,980
y por lo tanto yo lo que veo es que es muy muy largo hacia arriba y muy muy largo hacia abajo

136
00:15:14,980 --> 00:15:22,259
en este tipo de casos podremos utilizar estas aproximaciones y será mucho más sencillo el cálculo del campo generado

137
00:15:22,259 --> 00:15:25,740
porque lo podremos utilizar, podremos utilizar el teorema de Gauss

138
00:15:25,740 --> 00:15:30,639
y así es como calculamos el campo creado por un cilindro infinito