1
00:00:01,010 --> 00:00:07,589
Sí, buenos días. Vamos a comenzar hoy la unidad 6, que trata sobre geometría analítica en el plano.

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00:00:07,730 --> 00:00:12,390
Vamos a utilizar para ello este programa que tenéis aquí delante.

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00:00:12,869 --> 00:00:17,829
No he decidido no ocultarlo, para que podáis ver también las manipulaciones que hago,

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00:00:17,910 --> 00:00:25,070
por si acaso alguno de vosotros quiere aprender a utilizar este programa, que se llama Inkscape, de gráficos vectoriales.

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00:00:25,789 --> 00:00:30,769
Como decía, la unidad 6 se llama geometría analítica en el plano.

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00:00:30,769 --> 00:00:37,250
Vamos a comenzar haciendo un breve repaso histórico sobre cómo se llevó a la geometría analítica.

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00:00:38,229 --> 00:00:47,729
La geometría analítica es la unión, la combinación, el trabajo conjunto de dos disciplinas muy diferentes de la matemática.

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00:00:47,909 --> 00:00:51,450
Por un lado la geometría y por otro lado el álgebra.

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00:00:51,450 --> 00:01:06,430
Entonces, el mayor trabajo de geometría que se aportó o el mayor hito en la geometría fueron los elementos de Euclides. Euclides fue un geometra y matemático griego del siglo III a.C.

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00:01:06,430 --> 00:01:11,150
Aquí tenéis una breve reseña de sus datos.

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00:01:11,489 --> 00:01:16,129
Él estuvo activo, no hay muchos datos sobre Euclides, sobre su vida,

12
00:01:16,930 --> 00:01:26,989
pero sí que se sabe que estuvo activo y la mayor parte de su vida la pasó allí, en Alejandría, en el Antiguo Egipto.

13
00:01:26,989 --> 00:01:35,569
Y su trabajo más famoso fueron los elementos, que es el libro más importante o el más exitoso en la historia de las matemáticas

14
00:01:35,569 --> 00:01:41,409
y que es todo de geometría, o principalmente de geometría, aunque tiene parte de aritmética también.

15
00:01:42,049 --> 00:01:50,829
Tenéis aquí una de las múltiples traducciones de los elementos euclides, en concreto una al castellano, del año 1576,

16
00:01:51,650 --> 00:01:57,969
con esta portada tan bonita, está todo en internet, lo podéis recuperar, esta traducción, muchísimas otras versiones,

17
00:01:57,969 --> 00:02:05,810
Y os he hecho algunas capturas de pantalla para que veáis la importancia que tuvieron los elementos de Euclides y su actualidad.

18
00:02:05,969 --> 00:02:12,370
Porque si vosotros lo veis, parece que estáis leyendo un libro actual.

19
00:02:15,289 --> 00:02:20,689
El libro comienza con la definición de los elementos geométricos más importantes, como puede ser el punto,

20
00:02:20,689 --> 00:02:22,469
dice en concreto, punto es

21
00:02:22,469 --> 00:02:24,349
cuya parte es ninguna

22
00:02:24,349 --> 00:02:26,789
por ejemplo, línea es longitud

23
00:02:26,789 --> 00:02:28,250
que no se puede ensanchar

24
00:02:28,250 --> 00:02:29,330
como veis aquí las F

25
00:02:29,330 --> 00:02:31,990
las S las hacían que parecían F

26
00:02:31,990 --> 00:02:35,830
pero se puede entender muy bien

27
00:02:35,830 --> 00:02:37,830
línea recta es la que igualmente

28
00:02:37,830 --> 00:02:39,830
está entre sus puntos

29
00:02:39,830 --> 00:02:44,629
y así muchos otros apartados

30
00:02:44,629 --> 00:02:47,110
aquí por ejemplo, tenéis las cosas

31
00:02:47,110 --> 00:02:48,849
que a una misma son iguales

32
00:02:48,849 --> 00:02:56,409
también entre sí son iguales. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los todos serán iguales.

33
00:02:56,509 --> 00:02:58,689
Cuesta un poco leerlo, pero se entiende bien.

34
00:02:59,789 --> 00:03:04,750
La importancia de los elementos de Euclides fue muy grande porque no solamente fue un compendio

35
00:03:04,750 --> 00:03:11,729
de toda la geometría que existía hasta el momento, aportada por la cultura babilonia,

36
00:03:11,729 --> 00:03:21,509
en Mesopotamia y también todas las aportaciones del Antiguo Egipto, sino por la forma de exponerla.

37
00:03:22,050 --> 00:03:29,889
La exposición se basaba en una serie de postulados, en concreto cinco postulados, que los tenéis aquí a la derecha,

38
00:03:30,689 --> 00:03:36,469
estos cinco, y a partir de estos cinco postulados se iban deduciendo, demostrando todos los demás teoremas.

39
00:03:36,469 --> 00:03:58,889
¿Vale? Los cinco postulados de Euclides se mantuvieron intactos sin que nadie los cuestionara ni los tumbara hasta el siglo XIX, en la cual precisamente por este último quinto postulado de las rectas paralelas se vio que había un hueco y se empezaron a generar las geometrías no euclidianas, como se llaman.

40
00:03:58,889 --> 00:04:06,650
Aquí tenéis el Teorema de Pitágoras, representado en este libro de los elementos de Euclides.

41
00:04:07,870 --> 00:04:10,150
Eso sería, por un lado, lo que es la geometría.

42
00:04:10,490 --> 00:04:19,910
Y, por otro lado, la evolución del álgebra tuvo un hito muy importante también en el siglo VII de nuestra era con Al-Khwarizmi.

43
00:04:20,230 --> 00:04:23,290
Siglo VII, siglo VIII y IX.

44
00:04:23,850 --> 00:04:27,629
Con Al-Khwarizmi, que le tenéis aquí representado, una representación aproximada.

45
00:04:28,889 --> 00:04:35,930
cuyo libro más importante fue el Compendio de Cálculo por Reintegración y Comparación, que en árabe se llama Al-Gebra y Al-Muqabala.

46
00:04:36,430 --> 00:04:43,230
La palabra álgebra viene precisamente de esta expresión árabe, al-gabar o álgebra.

47
00:04:43,370 --> 00:04:46,970
No sé muy bien cómo se expresará, pero la palabra viene de aquí.

48
00:04:48,790 --> 00:04:54,389
El álgebra que hacía Al-Khwarizmi era álgebra retórica, no se utilizaban letras en ningún lugar,

49
00:04:54,389 --> 00:05:03,389
Por lo tanto, daros cuenta de lo complicado que era para él expresar las instrucciones o los procedimientos para resolver ecuaciones,

50
00:05:04,170 --> 00:05:07,389
porque era todo redactado, todo álgebra retórica.

51
00:05:09,769 --> 00:05:15,550
El álgebra de Al-Juazmi fue muy importante para la Europa, no solamente por el contenido que transmitió,

52
00:05:15,990 --> 00:05:19,730
sino por los tipos de números con los que trabajaba Al-Juazmi,

53
00:05:19,730 --> 00:05:28,269
que eran los números indios y árabes, que eran diferentes a los números romanos que se utilizaban en Europa

54
00:05:28,269 --> 00:05:34,730
y que no se dejaron de utilizar hasta el siglo XII, principalmente por la introducción que hizo Fibonacci

55
00:05:35,250 --> 00:05:39,350
y la defensa que hizo Fibonacci de los números arábicos o indios.

56
00:05:41,769 --> 00:05:48,389
Aquí tenéis algunas imágenes de ese libro, dos páginas de ese libro.

57
00:05:48,389 --> 00:05:57,069
Aquí veis que también se hacían representaciones geométricas de algunas de las ecuaciones, pero veis que no hay ninguna letra para representar ecuaciones, era todo redactado.

58
00:05:58,050 --> 00:06:07,990
Ahora voy a hacer una breve explicación muy curiosa de cuál es el origen de la X que tanto usamos en álgebra y que tiene que ver con España,

59
00:06:07,990 --> 00:06:17,550
porque uno de los primeros lugares en donde se tradujo el álgebra de Al-Khwarizmi al latín fue en España.

60
00:06:17,730 --> 00:06:26,310
Concretamente, en 1145 se tradujo en Segovia por Roberto de Chester con el título de Liber Algebra y Almukabala.

61
00:06:27,889 --> 00:06:35,329
Y los traductores se encontraban con una dificultad, y es que en los textos de Al-Khwarizmi, que veis aquí a la derecha,

62
00:06:35,329 --> 00:06:41,810
se utilizaba para la incógnita la palabra árabe shayán, que significa algo,

63
00:06:42,410 --> 00:06:50,129
y cuya inicial es esta letra, la letra árabe shin, que suena como una S líquida.

64
00:06:50,509 --> 00:06:55,069
Y ese sonido no existía, nada parecido en español ni en latín.

65
00:06:55,209 --> 00:07:00,230
Entonces se hizo una aproximación y se representó al español como shey,

66
00:07:00,449 --> 00:07:02,889
y luego se simplificó con su inicial x.

67
00:07:02,889 --> 00:07:09,829
Y también hay gente que dice que viene de la letra griega kappa o chi y que posteriormente se simplificó a la letra x.

68
00:07:10,350 --> 00:07:16,949
Por lo tanto, que sepáis que el origen de la x tiene que ver con los traductores al latín de la obra de Al-Khwarizmi

69
00:07:16,949 --> 00:07:22,589
y que su incorporación no fue por motivos didácticos, sino por motivos lingüísticos,

70
00:07:22,709 --> 00:07:28,009
porque esta palabra árabe no sabían cómo incorporarla, cómo traducirla, y esto fue una abreviación.

71
00:07:28,009 --> 00:07:38,670
Posteriormente, en el siglo XVI, los matemáticos Robert Record, en el siglo XVI, introdujo

72
00:07:38,670 --> 00:07:45,589
el signo igual y el signo más en 1557 y ahora vamos a ver, por ejemplo, en uno de sus libros

73
00:07:45,589 --> 00:07:49,389
cómo representó una de las primeras ecuaciones con letras.

74
00:07:49,389 --> 00:07:54,790
Esta ecuación de aquí quiere decir 14x, que le ponían no sé por qué dos puntos

75
00:07:54,790 --> 00:08:01,529
uno delante y otro detrás, aquí está el signo más, 14X más 15 igual a 71, ¿vale?

76
00:08:02,350 --> 00:08:07,750
Es decir, Robert Record introdujo el signo igual y el signo más,

77
00:08:07,750 --> 00:08:16,069
y la X ya se conocía desde el siglo XII por una abreviatura, una abreviación de la palabra griega shayán.

78
00:08:17,769 --> 00:08:23,810
Y luego tenemos a François Viette, o Vieta en español, como se suele decir,

79
00:08:23,810 --> 00:08:31,589
que fue uno de los grandes precursores del álgebra, el que más aportó a la notación que utilizamos actualmente,

80
00:08:32,990 --> 00:08:38,870
porque hasta entonces en las disputas que se celebraron entre Cardano, Tartaglia,

81
00:08:39,370 --> 00:08:45,009
no se utilizaban prácticamente letras, sino que se seguían resolviendo las ecuaciones de manera retórica

82
00:08:45,009 --> 00:08:54,070
y se hablaba de la cosa, y todos los cálculos y las explicaciones se realizaban de manera retórica.

83
00:08:54,210 --> 00:08:59,750
Aquí tenéis unas capturas de uno de sus libros, Inartem Analog Analiticem Isagoge,

84
00:09:00,330 --> 00:09:06,210
donde podéis ver el empleo de la secuación de las letras para representar cantidades.

85
00:09:07,789 --> 00:09:11,690
Posteriormente, el signo por, que también fue una aportación inglesa,

86
00:09:11,690 --> 00:09:15,429
de William Outred

87
00:09:15,429 --> 00:09:22,330
El signo de la multiplicación es del siglo de este matemático inglés

88
00:09:22,330 --> 00:09:25,629
que vivió entre 1574 y 1660

89
00:09:25,629 --> 00:09:29,009
Y ahora ya vamos a las aportaciones más importantes

90
00:09:29,009 --> 00:09:34,370
a la geometría analítica, es decir, el casamiento, la unión del álgebra y la geometría

91
00:09:34,370 --> 00:09:38,830
la realizaron estos tres matemáticos, dos franceses y uno holandés

92
00:09:38,830 --> 00:09:58,490
René Descartes, que nació en 1596 y murió en 1650, que era matemático y filósofo, y él sí publicó sus aportaciones o sus descubrimientos, y Pierre de Fermat, que también era un gran matemático, pero que no publicó sus aportaciones.

93
00:09:58,490 --> 00:10:07,250
y Fermat y Descartes fueron los que propusieron el empleo de las coordenadas

94
00:10:07,250 --> 00:10:12,090
que luego llevaron el nombre de coordenadas cartesianas en honor a René Descartes

95
00:10:12,090 --> 00:10:18,049
pero hay que tener en cuenta que René Descartes y Pierre de Fermat solamente se referían a un eje de coordenadas

96
00:10:18,049 --> 00:10:25,710
el que utilizó o que propuso y defendió el empleo de dos ejes perpendiculares fue este francés Franz von Schulte

97
00:10:25,710 --> 00:10:28,950
Aquí tenéis una representación de Rembrandt, nada más y nada menos.

98
00:10:30,269 --> 00:10:36,490
Una vez hecha esa introducción, podemos ir ya a lo que es nuestro tema 6.

99
00:10:36,690 --> 00:10:42,769
Aquí tenéis el libro de Teide, que es el que nosotros estamos utilizando, el que vosotros tenéis,

100
00:10:43,289 --> 00:10:48,309
y en el cual yo he ocultado algunas partes que considero menos importantes para que no nos distraigamos.

101
00:10:49,169 --> 00:10:54,070
Entonces, en este vídeo, para que no sea muy extenso, vamos a cubrir solamente los tres primeros apartados.

102
00:10:55,710 --> 00:11:03,230
del tema. En concreto vamos a hacer una introducción a lo que son los vectores, luego vamos a ver

103
00:11:03,230 --> 00:11:08,389
cómo se operan con vectores libres, con el método gráfico y posteriormente cómo se

104
00:11:08,389 --> 00:11:15,830
operan vectores con el método analítico. En primer lugar, ¿qué es un vector? Un vector

105
00:11:15,830 --> 00:11:23,090
es un segmento orientado, es decir, en Euclides y en geometría se sabe muy bien lo que es

106
00:11:23,090 --> 00:11:26,090
lo que es un segmento, que es una parte de una recta.

107
00:11:26,190 --> 00:11:29,450
Aquí tendríamos un segmento con el concepto tradicional,

108
00:11:30,350 --> 00:11:33,250
una parte de una recta que tiene una longitud.

109
00:11:35,990 --> 00:11:42,330
En geometría analítica se dice que un vector fijo es un segmento orientado,

110
00:11:42,429 --> 00:11:45,690
es decir, es un segmento pero con más información.

111
00:11:45,950 --> 00:11:49,389
Es un segmento cuyos dos puntos no son iguales.

112
00:11:49,389 --> 00:11:55,909
Aquí los puntos inicial y final de un segmento tienen un nombre.

113
00:11:56,350 --> 00:12:00,389
El primero, el origen, se llama origen y el final se llama extremo.

114
00:12:01,570 --> 00:12:10,590
Y se representa el vector por la letra del origen y por la letra del extremo y encima se le pone una pequeña flecha.

115
00:12:11,789 --> 00:12:14,029
¿Cuáles son los componentes de un vector?

116
00:12:14,029 --> 00:12:20,850
Un vector se forma o tiene un módulo, que es la longitud del segmento A, que sería esta longitud, ¿vale?

117
00:12:21,149 --> 00:12:28,029
O esta, es decir, como hemos dicho que un vector es un segmento, si aquí no le pinto ni el origen ni el extremo ni la orientación,

118
00:12:28,149 --> 00:12:33,230
la longitud de este segmento sería el módulo, ¿vale? La longitud de esta flecha sería el módulo.

119
00:12:33,750 --> 00:12:40,250
Luego tenemos una dirección. La dirección es la recta que soporta ese vector, ¿vale?

120
00:12:40,250 --> 00:12:55,389
Es decir, la dirección en el lenguaje habitual, nosotros hablamos en el lenguaje coloquial de dirección para referirnos a lo que en matemáticas llamamos sentido.

121
00:12:55,389 --> 00:13:02,450
Cuando nosotros decimos que ha habido un accidente en la carretera Madrid-Barcelona en dirección Barcelona,

122
00:13:03,210 --> 00:13:11,789
en matemáticas diríamos en sentido Barcelona o en sentido Madrid, si nos queremos referir al sentido contrario.

123
00:13:11,950 --> 00:13:20,509
La dirección en matemáticas, en geometría analítica, es la recta sobre la cual se encuentra el vector.

124
00:13:20,509 --> 00:13:24,850
Y una dirección no tiene un sentido concreto, tiene dos sentidos.

125
00:13:24,850 --> 00:13:31,009
¿Vale? La dirección es esto, es la recta en la cual se encuentra ese vector.

126
00:13:31,850 --> 00:13:39,070
Y lo que normalmente nos referimos a ello como dirección en el lenguaje coloquial es en matemáticas, en geometría analítica, el sentido.

127
00:13:39,490 --> 00:13:41,509
¿Vale? El sentido es la orientación del vector.

128
00:13:42,570 --> 00:13:50,429
Por lo tanto, el sentido AB tiene sentido, el sentido es el que va de A a B, del origen al extremo, del inicio al fin.

129
00:13:50,429 --> 00:13:52,409
¿Vale? Bien.

130
00:13:52,409 --> 00:14:04,490
Bien, luego, si el vector fijo tiene su origen en el origen de coordenadas, hablábamos de un vector de posición y definimos las coordenadas de estos vectores como las coordenadas de su extremo, que lo determinan por completo.

131
00:14:04,490 --> 00:14:22,690
Es decir, yo podría tener un vector aquí, pintado, por ejemplo, yo podría tener un vector aquí, y ese no sería un vector de posición.

132
00:14:22,909 --> 00:14:30,309
Vector de posición solamente si yo el punto, el origen, lo tengo en el origen de coordenadas, como el que tenemos aquí representado.

133
00:14:30,309 --> 00:14:42,710
Aquí tenemos el punto A43, que lo sabéis representar en coordenadas cartesianas, que por cierto voy a recordar cómo se llamaban cada uno de los orígenes, cada uno de los ejes de las coordenadas, ¿vale?

134
00:14:43,710 --> 00:14:54,330
Como sabéis, este eje de aquí es el eje de abscisas.

135
00:14:54,330 --> 00:14:59,909
Me ha quedado esto mal, abscisas, ahora lo cambiaré.

136
00:15:00,309 --> 00:15:05,070
¿Vale? Vamos a quitarle el relleno, que no queremos relleno.

137
00:15:05,549 --> 00:15:08,750
¿Vale? Abscisas, y estas son las ordenadas.

138
00:15:10,289 --> 00:15:10,889
Ordenadas.

139
00:15:12,490 --> 00:15:14,429
¿Vale? Estas son las ordenadas.

140
00:15:14,929 --> 00:15:17,509
Bien, entonces aquí tenemos el punto A43,

141
00:15:18,789 --> 00:15:24,990
y el vector de posición OA es el vector que va desde el origen de coordenadas hasta este punto.

142
00:15:25,389 --> 00:15:25,649
¿Vale?

143
00:15:26,169 --> 00:15:28,769
Parece lo mismo, pero bueno, no es exactamente lo mismo.

144
00:15:28,769 --> 00:15:31,129
Nos iremos acostumbrando conforme lo vayamos usando.

145
00:15:32,090 --> 00:15:38,629
Por otro lado, se dice que dos vectores fijos son equipolentes y tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

146
00:15:38,889 --> 00:15:45,289
Existen, por tanto, dado un vector fijo AB, infinitos vectores equipolentes AE.

147
00:15:45,289 --> 00:15:54,610
Es decir, si yo tengo este vector de aquí, el vector AB, y yo este vector, no es el vector,

148
00:15:54,610 --> 00:16:01,490
si no defino cualquier vector que tenga ese módulo, esa dirección y ese sentido,

149
00:16:01,830 --> 00:16:06,490
lo puedo aplicar en muchos sitios y todos estos vectores serían equipulentes a este vector.

150
00:16:06,850 --> 00:16:11,009
Y el conjunto de todos ellos se llama vector libre V.

151
00:16:11,950 --> 00:16:18,070
Un vector libre es un vector que se puede aplicar o que se puede considerar aplicado en cualquier punto.

152
00:16:18,490 --> 00:16:22,230
Y lo contrario es un vector fijo que está aplicado en un punto cualquiera.

153
00:16:22,230 --> 00:16:28,769
Y cada uno de estos vectores son representantes del vector libre v

154
00:16:28,769 --> 00:16:35,870
Bien, estos ejercicios no los considero muy interesantes, entonces los vamos a saltar

155
00:16:35,870 --> 00:16:40,529
Vamos a empezar ya directamente con las operaciones con vectores libres, el método gráfico

156
00:16:40,529 --> 00:16:46,149
Y aquí vamos a aprender cómo se suman y cómo se restan vectores de manera gráfica

157
00:16:46,149 --> 00:16:49,970
Y cómo se multiplican por números que llamaremos escalares

158
00:16:49,970 --> 00:17:18,450
Entonces, suma de vectores y coordenadas de un vector libre. ¿Cómo se pueden sumar dos vectores libres u y v? Para ello, como son vectores libres, nosotros los podemos mover de cualquier manera, es decir, los puedo desplazar y vamos a coger dos representantes de cada uno de ellos, de forma que se coloquen consecutivamente con el origen del segundo en el extremo del primero.

159
00:17:18,450 --> 00:17:25,410
Y el vector suma será aquel que tiene como origen el origen de u y como extremo el extremo de v, ¿vale?

160
00:17:25,509 --> 00:17:32,710
¿Esto qué quiere decir? Aquí lo tenéis representado. Yo aquí tengo el vector libre u y el vector libre v y me piden que lo sume.

161
00:17:33,029 --> 00:17:44,210
Por lo que hago es coger este vector v, me lo llevo aquí, ¿vale? Aquí lo tenéis representado, que he puesto el origen de uno de ellos en el extremo de otro de ellos.

162
00:17:44,210 --> 00:17:57,009
Entonces, el vector v me lo he llevado aquí, ¿vale? Y la suma de u más v será el vector que va del origen de u al extremo de v.

163
00:17:57,269 --> 00:18:07,710
Voy a hacer otro ejemplo, ¿vale? Voy a hacer la mano alzada, ¿vale? Vamos a sumar, por ejemplo, el vector a, que yo aquí lo tengo,

164
00:18:07,710 --> 00:18:13,150
el vector A y el vector B

165
00:18:13,150 --> 00:18:15,329
que va a ir así, hacia abajo

166
00:18:15,329 --> 00:18:19,490
un momento, lo voy a dibujar de un solo trazo

167
00:18:19,490 --> 00:18:20,789
para que me sea más fácil

168
00:18:20,789 --> 00:18:25,150
este es el vector B y este es el vector A

169
00:18:25,150 --> 00:18:26,269
¿de acuerdo?

170
00:18:26,650 --> 00:18:28,509
¿cómo se sumarían estos vectores?

171
00:18:28,650 --> 00:18:30,210
yo tengo que sumar A más B

172
00:18:30,210 --> 00:18:30,849
¿no?

173
00:18:31,650 --> 00:18:34,170
bien, pues yo me cojo B

174
00:18:34,170 --> 00:18:35,609
y me lo llevo

175
00:18:35,609 --> 00:18:40,869
me llevo el origen de B en el extremo de B

176
00:18:40,869 --> 00:18:46,369
y entonces el vector suma sería este de aquí

177
00:18:46,369 --> 00:18:50,269
voy a ponerlo en rojo para que se vea más fácil, más bonito

178
00:18:50,269 --> 00:18:54,269
el vector suma sería S

179
00:18:54,269 --> 00:18:57,369
S sería A más B

180
00:18:57,369 --> 00:18:59,289
A más B

181
00:18:59,289 --> 00:19:01,089
y se representa así

182
00:19:01,089 --> 00:19:02,150
¿vale?

183
00:19:02,990 --> 00:19:03,230
bien

184
00:19:03,230 --> 00:19:15,809
Esa es una de las maneras de sumar vectores, pero otra manera de sumar vectores de manera gráfica es mediante la regla del paralelogramo, que consiste en hacer algo muy parecido.

185
00:19:16,750 --> 00:19:25,029
Pero en vez de llevarnos el vector v al extremo del vector u, nos lo llevamos al origen y construimos un paralelogramo.

186
00:19:25,029 --> 00:19:36,029
¿Vale? Entonces, siguiendo con nuestro ejemplo, ¿cómo hubiera sido esto? ¿Vale? Yo me lo voy a copiar aquí, o lo voy a deshacer, mejor dicho. Yo esto lo voy a deshacer.

187
00:19:41,200 --> 00:19:55,220
Un poquito, tengo que coger un poquito más de práctica. ¿Vale? Entonces, aquí el vector B, en vez de llevármelo al extremo, me lo voy a llevar al origen.

188
00:19:55,220 --> 00:20:10,220
Y aquí voy a formar un paralelogramo. ¿Cómo se forma el paralelogramo? Así, de esta manera. Copio este vector ahí y copio este vector aquí, control-V.

189
00:20:10,220 --> 00:20:41,049
¿Vale? Y ahora, uniendo este origen, la diagonal de ese paralelogramo va a ser la suma A contra Z, que me he equivocado, ¿vale? Este sería A más B, es decir, hay dos maneras de hacerlo, construir un paralelogramo o construir un trenecito, una cadena de vectores.

190
00:20:41,730 --> 00:20:58,630
Aquí tendríamos A más B. Aquí no es necesario llevarse el vector exactamente, sino que basta llevarse el vector primero, dejar el vector primero y el vector segundo, y esto serían líneas discontinuas.

191
00:20:58,630 --> 00:21:01,170
Y así haríamos el paralelogramo, ¿vale?

192
00:21:03,710 --> 00:21:09,630
Bien, aquí nos están pidiendo, por ejemplo, que realicemos la suma de los vectores de manera gráfica.

193
00:21:10,750 --> 00:21:13,750
Estos dos vectores, ¿cómo se sumarían u más v?

194
00:21:14,009 --> 00:21:24,009
Voy a tapar la solución para que luego veáis que, o sea, para que la podáis ver, para que veáis que nos va a dar aproximadamente lo mismo, ¿vale?

195
00:21:24,009 --> 00:21:41,990
Nos están pidiendo que sumemos el vector u más el vector v, ¿vale? Lo voy a hacer a mano alzada aproximadamente, sería así. Este sería mi vector, vamos a cambiar el color del trazo y el relleno sin relleno, ¿vale?

196
00:21:41,990 --> 00:21:50,650
Este sería mi vector u y este sería mi vector v, que lo vamos a sumar de las dos maneras.

197
00:21:51,150 --> 00:21:55,930
Vamos a ver, primero haciendo una cadena de vectores, una sucesión de vectores.

198
00:21:56,029 --> 00:21:58,029
Lo estoy dibujando aproximadamente paralelo.

199
00:21:58,569 --> 00:22:02,750
Este sería mi vector v, ¿vale?

200
00:22:03,109 --> 00:22:08,750
Entonces ahora, por lo tanto, ya tengo hecho la cadena o el trenecito, como lo queráis llamar.

201
00:22:08,750 --> 00:22:11,250
este sería u más v

202
00:22:11,250 --> 00:22:13,950
u más v

203
00:22:13,950 --> 00:22:15,309
¿de acuerdo?

204
00:22:15,910 --> 00:22:18,990
y si lo hiciéramos por el paralelogramo

205
00:22:18,990 --> 00:22:20,890
por la regla del paralelogramo

206
00:22:20,890 --> 00:22:24,329
en vez de juntar origen con extremo

207
00:22:24,329 --> 00:22:26,190
junto orígenes

208
00:22:26,190 --> 00:22:28,809
es decir, este vector me lo llevo aquí

209
00:22:28,809 --> 00:22:30,190
¿vale?

210
00:22:30,589 --> 00:22:33,990
y ahora hago el paralelogramo

211
00:22:33,990 --> 00:22:40,460
es decir, aproximadamente sería eso

212
00:22:40,460 --> 00:22:43,619
Y este sería u más v

213
00:22:43,619 --> 00:22:50,000
Si esto es v, esto sería u más v

214
00:22:50,000 --> 00:22:53,160
Vamos a ver ahora cómo lo hace él

215
00:22:53,160 --> 00:22:55,799
Si la solución es la misma

216
00:22:55,799 --> 00:22:59,400
En primer lugar, colocamos los vectores libres

217
00:22:59,400 --> 00:23:00,660
Uno a continuación de otro

218
00:23:00,660 --> 00:23:01,799
Y después sumaremos

219
00:23:01,799 --> 00:23:04,740
Él lo ha hecho por el método de la cadena de vectores

220
00:23:04,740 --> 00:23:05,700
Por este método

221
00:23:05,700 --> 00:23:08,319
Y nosotros lo hemos hecho de las dos maneras

222
00:23:08,319 --> 00:23:09,779
Por la cadena de vectores

223
00:23:09,779 --> 00:23:16,039
y por la ley del paralogramo. Es decir, puedo juntar orígenes o puedo hacer cadena.

224
00:23:16,720 --> 00:23:22,039
Origen de 1 en el extremo del anterior. Pero veis que el resultado es el mismo.

225
00:23:22,880 --> 00:23:26,160
Resta de vectores. ¿Cómo se haría la resta de dos vectores?

226
00:23:27,579 --> 00:23:33,140
Pues lo primero que hacemos es recordar la resta que hacíamos en aritmética.

227
00:23:33,140 --> 00:23:40,119
Es decir, siempre podemos considerar que la resta de dos elementos es la suma de uno más el opuesto de otro.

228
00:23:40,700 --> 00:23:43,579
Entonces, si yo tengo un vector v, ¿cuál va a ser su opuesto?

229
00:23:44,039 --> 00:23:48,940
El opuesto es un vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección,

230
00:23:49,059 --> 00:23:54,220
porque recordad que la recta que soporta un vector es la dirección, pero el sentido opuesto.

231
00:23:54,500 --> 00:23:57,900
Entonces, si esto es v, esto es menos v, que es muy lógico.

232
00:23:57,900 --> 00:24:10,579
Y restar dos vectores u y v equivale a sumar al primero el opuesto del segundo, u menos v es u más menos v, es decir, el opuesto del segundo, de la misma forma que se explicó anteriormente.

233
00:24:10,980 --> 00:24:20,740
Entonces aquí tenemos u y v. ¿Cómo podemos restarlo? Pues hago u y v, lo invierto, lo estoy pasando a menos v.

234
00:24:20,740 --> 00:24:43,539
Esta flecha que está aquí, está apareciendo ahora aquí. Y ahora sumo estos dos vectores y los suma por el método de la cadena. Pone aquí u, donde termina u, comienza menos v y esta va a ser la resta. Este vector de aquí va a ser u menos v.

235
00:24:43,539 --> 00:25:02,200
Pero, de todos modos, hay una forma más directa y es saber que cuando tú tienes un vector y quieres hacer la resta, el vector siempre es el final menos el inicial.

236
00:25:03,000 --> 00:25:14,640
Bien, perdón, continuamos con nuestra resta de vectores.

237
00:25:14,819 --> 00:25:19,720
Hemos visto que se pueden restar vectores sumando a un vector su opuesto.

238
00:25:19,720 --> 00:25:26,779
Pero hay una forma más simplificada de restar vectores de manera gráfica y la voy a explicar aquí a continuación.

239
00:25:27,339 --> 00:25:49,539
Si yo tengo el vector A y el vector C y yo hago el vector que va de A a B, es decir, del extremo de A al extremo de C y le llamo a ese vector B, yo puedo decir que C, que el vector C, es la suma de A más B porque están haciendo una cadena, ¿no? Están seguidos.

240
00:25:49,720 --> 00:25:57,880
Es decir, el origen de B parte del extremo de A. Por lo tanto, C sería A más B.

241
00:25:58,819 --> 00:26:06,839
Y de aquí, si despejo B, el vector A pasaría restando y puedo decir que B es C menos A.

242
00:26:07,380 --> 00:26:10,339
Es decir, B es C menos A.

243
00:26:11,059 --> 00:26:17,319
Por lo tanto, siempre que tengamos un vector que va de la punta de un vector a la punta de otro vector,

244
00:26:17,319 --> 00:26:27,500
sabemos que ese vector es la resta de dos vectores, de esos dos vectores, pero ¿cuál es el que va sumando, cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?

245
00:26:28,220 --> 00:26:42,019
Bien, pues siempre es el final menos el inicial, el extremo menos el origen, es decir, B es el final, C menos A, final menos inicial.

246
00:26:42,019 --> 00:26:52,720
Siempre que haya un vector entre las dos puntas de dos vectores, ese vector va a ser la resta de los dos vectores.

247
00:26:52,720 --> 00:26:58,359
Y siempre es el final, es decir, en este caso, c menos a.

248
00:26:59,220 --> 00:27:08,980
Y si nos liamos, planteamos la ecuación en positivo y vamos a ver quién está sumando, quién es el vector c, que será la suma de a más b,

249
00:27:08,980 --> 00:27:20,099
y lo pasamos hacia el otro lado y vemos si B es C menos A o A menos C, pero siempre recordemos que es final menos inicial, ¿vale?

250
00:27:20,579 --> 00:27:25,900
Y ahora aquí viene lo mismo que yo os he dicho, pero comentado de otra manera, y es muy importante.

251
00:27:27,539 --> 00:27:35,099
Lo que pasa es que el libro lo expresa de una manera un poco complicada, dice, la suma y la resta de vectores libres nos permite obtener las coordenadas de un vector libre cualquiera.

252
00:27:35,099 --> 00:27:40,500
cualquiera. Dice, observa que según el gráfico, en el cual tenemos los ejes de coordenadas

253
00:27:40,500 --> 00:27:48,759
y tenemos un punto A, el origen de coordenadas, y otro punto B. Y trazamos el vector que va

254
00:27:48,759 --> 00:27:55,240
de A a B. El origen es A, el extremo es B. Y dice, observa que según el gráfico se

255
00:27:55,240 --> 00:28:04,000
verifica que OA, el vector que parte de O y va hasta A, más el vector AB, es igual

256
00:28:04,000 --> 00:28:18,880
Eso lo sabemos por la regla de la suma de vectores. Esto hace una cadena de vectores, un trenecito y este vector, el vector que va del origen al punto B, es la suma de OA más AB.

257
00:28:18,880 --> 00:28:36,099
Por tanto, hace lo que yo os he hecho antes. Por lo tanto, AB es OB menos OA, que pasa restando. Es decir, AB es OB menos OA. Es decir, las coordenadas de un vector libre, ¿vale?

258
00:28:36,099 --> 00:29:06,440
Él está diciendo que aquí AB es un vector libre, se obtienen restando, y ahora aquí está mal expresado en el libro, se obtienen restando a las coordenadas del extremo, es decir, a las coordenadas de B, se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen de uno cualquiera de sus representantes.

259
00:29:06,440 --> 00:29:18,099
Es decir, de manera simplificada, las coordenadas de un vector libre son siempre el final, el punto final, menos el inicial, o el extremo menos el origen.

260
00:29:18,099 --> 00:29:42,480
En nuestro caso, si las coordenadas de A son A1, B1 y las de B son A2, B2, las coordenadas del vector AB serán las del final menos las del inicial, es decir, la abscisa final A2 menos la abscisa inicial que es A1, A2 menos A1.

261
00:29:42,480 --> 00:29:53,819
Y las ordenadas de AB, es decir, la segunda coordenada de AB será la ordenada final B2 menos la ordenada inicial B1, ¿vale?

262
00:29:54,700 --> 00:30:03,700
Bien, y ahora vamos a ver cómo se calcula el módulo de un vector libre y se representa con estas barras verticales.

263
00:30:03,819 --> 00:30:10,960
¿Os acordáis? Son las mismas barras que utilizábamos para representar el valor absoluto de un número entero o de un número real, ¿vale?

264
00:30:10,960 --> 00:30:19,400
El módulo de un vector libre U se denota con estas dos barras verticales y es la longitud de su segmento.

265
00:30:19,480 --> 00:30:27,779
Cuando conocemos las coordenadas del vector U, del vector libre AB, su módulo es la raíz cuadrada de A cuadrado más B cuadrado.

266
00:30:28,119 --> 00:30:38,059
Es decir, la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado.

267
00:30:38,059 --> 00:31:04,299
¿Y por qué eso es así? Pues por el teorema de Pitágoras, sencillamente. Si nosotros tenemos un vector AB, que va desde el punto A hasta el punto B, y aquí tenemos que la diferencia de ordenadas de AB es 3, o menos 3 en valor absoluto, y 2 en horizontal, en abscisas, el módulo de AB va a ser la hipotenusa de este triángulo rectángulo.

268
00:31:04,299 --> 00:31:11,079
vale esa es la razón y esto lo tenéis que aprender muy bien esto que es recuadrado que es cómo se

269
00:31:11,079 --> 00:31:17,440
calcula las coordenadas de un vector libre que es siempre final menos inicial y el módulo de

270
00:31:17,440 --> 00:31:23,019
un vector a partir de sus coordenadas las tenéis que aprender muy bien vale bien ahora vamos a

271
00:31:23,019 --> 00:31:29,200
explicar qué es una magnitud escalar hemos empezado definiendo los vectores como un

272
00:31:29,200 --> 00:31:36,000
un segmento orientado. ¿Por qué se utilizan los vectores? Pues porque son muy importantes

273
00:31:36,000 --> 00:31:43,559
en física, porque muchas magnitudes no basta con conocer el número que las representan.

274
00:31:43,680 --> 00:31:48,079
No quedan definidas totalmente con un número, con una cantidad numérica, sino que se tiene

275
00:31:48,079 --> 00:31:55,339
que decir, se tiene que indicar una dirección y un sentido. Como por ejemplo, un desplazamiento.

276
00:31:55,339 --> 00:32:14,339
Si yo estoy en el plano cartesiano y digo me voy a desplazar 20 kilómetros, ¿eso nos dice algo? No, nos dice que nuestro punto final, si hemos ido en línea recta, estará en el extremo de una circunferencia de radio 20 kilómetros.

277
00:32:14,339 --> 00:32:19,680
pero si queremos saber el punto exacto tendremos que dar una dirección y un sentido

278
00:32:19,680 --> 00:32:26,420
lo mismo pasa con el viento, el viento no me vale decir que un viento tiene 10 metros por segundo

279
00:32:26,420 --> 00:32:29,519
o 5 metros por segundo de velocidad

280
00:32:29,519 --> 00:32:37,240
tendré que decir si está soplando del norte al sur o 15 grados este o 15 grados noroeste, etc.

281
00:32:38,119 --> 00:32:40,660
hace falta una dirección y un sentido

282
00:32:40,660 --> 00:32:57,039
Pues lo contrario de las magnitudes vectoriales son las magnitudes escalares. Las magnitudes escalares son las que quedan definidas de manera completa con un número. Por ejemplo, la masa de un cuerpo.

283
00:32:57,039 --> 00:33:01,380
si yo digo que mi masa es 80 kilos

284
00:33:01,380 --> 00:33:04,920
pues no tengo que decir en qué dirección o en qué sentido

285
00:33:04,920 --> 00:33:11,519
o por ejemplo, qué otra magnitud puede ser escalar

286
00:33:11,519 --> 00:33:16,220
la temperatura, yo digo que hace hoy una temperatura de 10 grados

287
00:33:16,220 --> 00:33:18,980
y no tengo que decir ni dirección ni sentido

288
00:33:18,980 --> 00:33:23,380
por lo tanto, magnitudes vectoriales, magnitudes escalares

289
00:33:23,380 --> 00:33:32,019
Vectores, escalares. Vectores por un lado y escalares por otro. Los escalares que son, son números, son los números a los que estamos acostumbrados.

290
00:33:32,859 --> 00:33:40,579
Y existe una aparición de vectores que es la multiplicación por escalares, ¿vale? Y es lo que vamos a explicar ahora.

291
00:33:41,259 --> 00:33:47,859
El resultado de multiplicar un vector libre u por un número real no nulo, lambda, lambda es la letra griega lambda,

292
00:33:47,859 --> 00:33:53,779
Este símbolo que yo os he puesto aquí es la letra griega lambda, que es el equivalente a nuestra L.

293
00:33:53,960 --> 00:33:56,759
Nuestra L viene de la lambda griega.

294
00:33:57,279 --> 00:34:01,839
Es un vector lambda U, es decir, yo tengo un vector libre U y lo multiplico por el vector lambda

295
00:34:01,839 --> 00:34:06,460
y voy a tener otro vector que se va a llamar lambda U.

296
00:34:07,339 --> 00:34:12,179
La flechita solamente afecta al U, no afecta a la lambda, es decir, no se pone encima.

297
00:34:12,179 --> 00:34:30,400
Y ese vector va a tener la misma dirección, el módulo de lambda u, que yo lo pongo así, ya que se escribe así, con estas dos barras verticales, va a ser el valor absoluto de lambda, porque lambda puede ser, como es un número real, puede ser positivo o negativo.

298
00:34:30,400 --> 00:34:37,340
es decir, el módulo de lambda u va a ser el valor absoluto de lambda por el módulo de u

299
00:34:37,340 --> 00:34:40,440
y el sentido va a ser el mismo que u

300
00:34:40,440 --> 00:34:44,019
si lambda es positivo y el sentido contrario

301
00:34:44,019 --> 00:34:47,440
si lambda es positivo y el sentido contrario

302
00:34:47,440 --> 00:34:52,119
entonces nos estaba pidiendo el ejercicio

303
00:34:52,119 --> 00:34:56,079
que hiciéramos menos v medios más 2u

304
00:34:56,079 --> 00:34:59,940
vale, pues entonces vamos a empezar con u

305
00:34:59,940 --> 00:35:13,840
Que lo vamos a multiplicar por 2, ¿vale? Con esta posibilidad que yo tengo aquí de estirar manteniendo la inclinación, voy a multiplicarlo por 2, entonces esto me va a llegar aquí, hasta el punto 6, ¿vale?

306
00:35:13,840 --> 00:35:37,289
Lo dejo ahí y esto va a ser mi vector 2u, ¿vale? Esto va a ser, lo voy a escribir aquí, a ver, este sería el vector 2u, ¿vale? Esto lo cambio a color rojo, ¿vale? Ese sería 2u.

307
00:35:37,289 --> 00:35:45,530
Y menos v medios sería, haciendo el mismo procedimiento, de una manera aproximada, ¿vale?

308
00:35:50,179 --> 00:36:04,380
Ahí pasaría aproximadamente a ser, si tenía la císara menos un medio, pues va a pasar a ser medio punto positivo.

309
00:36:04,380 --> 00:36:12,579
Y si tenía tres negativos, va a pasar a ser, menos suben medios, va a ser aproximadamente uno y medio positivo, ¿vale?

310
00:36:12,780 --> 00:36:15,039
Luego eso va a ser menos suben medios.

311
00:36:15,400 --> 00:36:29,809
Y luego la suma, ¿cómo se hará? Pues tendré que poner esto en la otra punta, aquí, en la punta, el otro vector.

312
00:36:30,190 --> 00:36:39,519
¿Y cuál va a ser la solución? Pues la solución va a ser esta, de aquí a aquí, ¿vale?

313
00:36:39,519 --> 00:36:47,900
Y eso le vamos a dar el color rosa para que se resalte y le vamos a poner una flecha en la punta para que se vea bien.

314
00:36:48,159 --> 00:36:49,619
Esa sería nuestra solución.

315
00:36:49,619 --> 00:37:06,320
En concreto, esa sería menos v medios, vamos a ponerlo en rosa, menos v medios más 2u, ¿vale?

316
00:37:06,760 --> 00:37:08,579
Ese sería el procedimiento, ¿vale?

317
00:37:08,579 --> 00:37:27,500
Siguiente ejercicio. Operaciones con vectores. Método analítico. ¿Qué quiere decir método analítico? Pues que vamos a utilizar sumas y restas de las componentes de cada uno de los vectores.

318
00:37:27,500 --> 00:37:34,139
Vamos a utilizar álgebra más que escuadra y cartabón y rectas paralelas.

319
00:37:34,280 --> 00:37:36,260
Lo vamos a hacer todo con álgebra.

320
00:37:37,519 --> 00:37:42,579
¿Cuáles son las operaciones con vectores que hemos visto en el apartado anterior por el método gráfico?

321
00:37:42,880 --> 00:37:45,400
La suma y la resta de vectores.

322
00:37:45,820 --> 00:37:47,800
Y por otro lado, la multiplicación por escalares.

323
00:37:48,420 --> 00:37:50,980
En el primer lugar tenemos la suma de vectores.

324
00:37:51,099 --> 00:37:56,219
Para ello tenemos que expresar cada vector con sus coordenadas cartesianas.

325
00:37:56,219 --> 00:38:20,340
Por ejemplo, si yo tengo el vector a sub 1, b sub 1 y le quiero sumar o restar otro vector que tendrá coordenadas a sub 2, b sub 2, el resultado va a ser otro vector, pongo unos paréntesis separados con una coma, en la cual la primera componente, la componente de las abscisas va a ser la suma o la resta de las primeras componentes.

326
00:38:20,340 --> 00:38:33,420
A sub 1, A sub 2, será A sub 1 más menos A sub 2, y la segunda componente será la suma o la resta, según lo que indique este signo, de las segundas componentes.

327
00:38:33,880 --> 00:38:36,460
Es decir, B sub 1, B sub 2. Luego veremos un ejemplo.

328
00:38:37,079 --> 00:38:39,039
¿Cómo se hará la multiplicación por escalares?

329
00:38:39,159 --> 00:38:47,179
Escalares, recordad, se representan normalmente con la letra griega lambda, y la lambda representa un número, ¿vale?

330
00:38:47,179 --> 00:39:03,340
Y aquí tengo mi vector lambda, que multiplica el vector a su 1, b su 1, será lambda a su 1, coma lambda b su 1, ¿vale? Bien, entonces, si yo ahora mismo me piden aquí este ejercicio que yo haga, voy a tapar las soluciones, ¿vale?

331
00:39:03,340 --> 00:39:24,510
Las soluciones, y esto es lo que yo había hecho. A ver, ¿cómo estaba hecho esto? Vale, esto lo había hecho y lo he tenido que repetir porque no había grabado el vídeo, no le había dado a grabar.

332
00:39:24,510 --> 00:39:43,309
Vale, entonces me están diciendo aquí que yo tengo el vector u, 2, 5, y el vector v, menos 1, menos 3, y el vector w, 4, menos 7, y me dicen que haga estas operaciones, ¿vale? La primera operación es u menos w, más w, o sea, u menos v, más w.

333
00:39:43,309 --> 00:39:50,010
Entonces yo aquí lo que hago es escribir las componentes de cada uno de los vectores

334
00:39:50,010 --> 00:39:54,710
El vector u es 2, 5, pues lo pongo aquí, menos, menos

335
00:39:54,710 --> 00:39:59,510
Y ahora v, ¿cuál es v? menos 1, menos 3, lo pongo

336
00:39:59,510 --> 00:40:05,449
Y w más 4, menos 7, pues esto va a ser igual a un vector

337
00:40:05,449 --> 00:40:07,710
Escribo unos paréntesis y pongo una coma

338
00:40:07,710 --> 00:40:09,309
¿Cuál va a ser la primera componente?

339
00:40:09,309 --> 00:40:16,070
pues la suma o la resta de las primeras componentes vale para que quede más claro voy a hacer esto

340
00:40:17,489 --> 00:40:27,659
voy a poner en color para que se vea mejor cuáles son las primeras componentes y eso lo vamos a

341
00:40:27,659 --> 00:40:36,159
poner por ejemplo de color rosa de color rosa hay algo aquí que se me queda por marcar

342
00:40:36,159 --> 00:40:39,800
que esto no es fácil

343
00:40:39,800 --> 00:40:46,699
entonces decir

344
00:40:46,699 --> 00:40:50,079
la primera componente del vector resultado

345
00:40:50,079 --> 00:40:54,360
es la suma o la resta de las primeras componentes

346
00:40:54,360 --> 00:40:57,440
2 menos menos 1 que pasa a más 1

347
00:40:57,440 --> 00:41:00,860
y 4, por lo tanto yo voy a tener

348
00:41:00,860 --> 00:41:03,519
2 más 1, 3 más 4, 7

349
00:41:03,519 --> 00:41:10,400
Este va a ser la primera componente. Lo voy a poner también en rosa.

350
00:41:11,079 --> 00:41:22,699
Bien, la segunda componente del vector resultado lo voy a dejar todo en azul y será 5, que es la segunda componente, menos menos 3, que pasa a ser más 3, y más menos 7, que es menos 7.

351
00:41:22,699 --> 00:41:35,480
5 y 3, 8. Menos 7, 1. Ese es el resultado. ¿Vale? El vector 7, 1. Que vemos que coincide con lo que da el libro. 7, 1. Lo tenemos ahí.

352
00:41:35,900 --> 00:41:43,980
Siguiente ejercicio. Un poco más complicado. Y que además me he equivocado antes haciéndolo en directo. Y no lo he corregido. Vamos a ver ahora dónde estaría el error.

353
00:41:43,980 --> 00:42:00,639
Me dicen 3w, pues pongo 3 veces 4 menos 7, eso está correcto, menos 5, y ahora abro corchetes y pongo u, que es 2, 5, menos 2, que multiplica v, que es menos 1, menos 3, ¿vale?

354
00:42:00,639 --> 00:42:17,440
Cierro paréntesis, cierro corchete. Y esto ahora es un escalar que multiplica a un vector 3, que multiplica a 4, menos 7, va a ser 3 por 4, 12, 3 por menos 7 es menos 21.

355
00:42:17,440 --> 00:42:29,360
Cierro paréntesis. Y ahora, menos 5 que multiplica a, y aquí voy a hacer lo primero, multiplicar este escalar por este vector, ¿vale?

356
00:42:29,940 --> 00:42:37,460
Menos 2 por menos 1 es menos 2, y 2 por menos 3 es menos 6, ¿vale?

357
00:42:37,460 --> 00:42:52,239
Bien, y ahora el siguiente paso, dejo el 12, menos 21, lo dejo igual, y el menos 5 lo voy a dejar igual, y voy a operar este vector que está dentro de los corchetes.

358
00:42:52,239 --> 00:43:18,280
Primera componente, 2 menos menos 2, va a ser 2 más 2, y la segunda componente va a ser 5 menos menos 6, que pasa a 5 más 6, ¿vale? Es decir, esto va a ser 12, menos 21, este signo lo voy a quitar de aquí porque si no va a parecer que está duplicado, menos 5, que multiplica a 2 más 2, 4, y 5 más 6, 11, ¿vale?

359
00:43:18,280 --> 00:43:49,159
Es decir, 12, menos 21, menos 5 por 4, 20, y 5 por 11, aquí está el error de antes, este era mi error, control Z, todo esto lo voy a borrar, todo esto lo borro, porque está equivocado desde ahí, ¿vale?

360
00:43:49,159 --> 00:44:25,460
Y entonces vamos a seguir, y esto es menos 20, y ahora seguimos por aquí con, vamos a seleccionar el color azul, a ver, porque no me lo coge, vale, ya tengo el color azul, y esto es menos 5 por 4, 20, y 5, y menos 5, o sea, y 5 por 11, 50 y 5, 50 y 5, ¿vale?

361
00:44:25,460 --> 00:44:41,940
Quito el relleno, que me está molestando, ¿vale? Y esto va a ser igual a qué? A 12 menos 20, menos 21, menos 55.

362
00:44:41,940 --> 00:44:54,320
Y esta que es igual, 12 menos 20 es menos 8, y menos 51 menos 55 es menos 76.

363
00:44:57,519 --> 00:45:05,239
Vamos a ver si le da lo mismo al libro, y lo hemos hecho bien, menos 8 menos 76, ¿vale?

364
00:45:05,659 --> 00:45:06,940
Luego sería correcto.

365
00:45:08,239 --> 00:45:10,679
Bien, vamos a hacer el siguiente ejercicio resuelto.

366
00:45:10,679 --> 00:45:22,139
Tengo la solución tapada, ¿vale? La tengo tapada. Nos dice, dado el vector AB de coordenadas 3, menos 2, con A, 1, 5, encuentra el punto B.

367
00:45:23,739 --> 00:45:33,340
Vamos a venirnos un poquito hacia la izquierda. Nos dicen que el vector AB es 3, menos 2, y A es 1, 5, que encontremos el punto B.

368
00:45:33,340 --> 00:45:49,320
Entonces, es muy importante recordar lo que hemos dicho antes. Muy, muy importante. Cuando yo tengo el punto AB, el vector AB, que es un vector libre, y yo conozco el origen, me están pidiendo el extremo.

369
00:45:49,320 --> 00:46:19,960
Y eso sabemos siempre que es, lo que decíamos antes, si yo aquí tengo un vector, no voy a dibujar las coordenadas, no tienen por qué ser las mismas, este es mi punto A y este es mi punto B, este es el vector OA y este es el vector OB.

370
00:46:24,320 --> 00:46:48,719
El vector AB siempre es el final menos el inicial, OB menos OA, eso es igual a AB.

371
00:46:48,719 --> 00:46:55,179
Y si alguien tiene dudas, pues que vea este triángulo compuesto así.

372
00:46:55,179 --> 00:47:11,940
Está claro que OB es la suma de OA más AB, por lo que escribimos OB es igual a OA más AB, ¿sí?

373
00:47:12,500 --> 00:47:28,639
Y aquí tenemos que despejar AB, AB es igual a OB menos OA, ¿lo veis?

374
00:47:28,639 --> 00:47:41,039
Es decir, siempre el final menos el origen, el inicial, las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, ¿vale?

375
00:47:41,300 --> 00:47:57,500
Entonces, yo aquí sé, lo voy a escribir, sustituyo 3, menos 2, es igual a OB, que es lo que yo no sé, lo desconozco, OB, perdón, perdón, perdón,

376
00:47:57,500 --> 00:48:26,250
Esto es OB menos OA, que sí que lo conozco, que es el punto, que son las coordenadas del punto 1, 5, ¿vale? Por lo tanto, OB es igual a 3, menos 3, y el punto 1, el vector 1, menos 5, que está restando, pasa sumando, más 1, 5.

377
00:48:26,250 --> 00:48:44,329
¿Y eso a qué va a ser igual? Eso va a ser igual a 3 más 1, menos 3 más 5, o lo que es lo mismo, el punto 4, 2, ¿vale?

378
00:48:44,329 --> 00:48:46,869
Vamos a ver si lo tenemos bien

379
00:48:46,869 --> 00:48:47,989
Ese ejercicio

380
00:48:47,989 --> 00:48:54,380
4, 3

381
00:48:54,380 --> 00:49:00,210
Que me he confundido yo

382
00:49:00,210 --> 00:49:02,650
Es el punto

383
00:49:02,650 --> 00:49:06,090
Bueno, es que esto es un 2

384
00:49:06,090 --> 00:49:08,570
Me he copiado mal el enunciado

385
00:49:08,570 --> 00:49:10,269
Es el punto 3 menos 2

386
00:49:10,269 --> 00:49:12,250
3 menos

387
00:49:12,250 --> 00:49:14,449
2

388
00:49:14,449 --> 00:49:15,730
¿Vale?

389
00:49:16,309 --> 00:49:18,670
Por lo tanto, eso es

390
00:49:18,670 --> 00:49:49,159
Esto es un 2, esto es un 2, f6, y esto es un 2, y esto entonces sería un 3.

391
00:49:49,159 --> 00:49:52,820
oprimir F6

392
00:49:52,820 --> 00:49:54,440
3, ¿vale?

393
00:49:55,139 --> 00:49:56,860
recopiamos la denuncia, ¿de acuerdo?

394
00:49:57,480 --> 00:49:59,420
bien, ¿cómo sería el siguiente ejercicio?

395
00:49:59,559 --> 00:50:00,679
dado el vector AB

396
00:50:00,679 --> 00:50:05,139
dado el vector AB, que es 3 menos 2

397
00:50:05,139 --> 00:50:07,639
con B menos 4, 3

398
00:50:07,639 --> 00:50:09,260
encuentra el punto A

399
00:50:09,260 --> 00:50:13,079
ahora es distinto, nos dan

400
00:50:13,079 --> 00:50:14,840
las coordenadas

401
00:50:14,840 --> 00:50:17,300
del extremo y nos piden

402
00:50:17,300 --> 00:50:18,960
las del origen, ¿vale?

403
00:50:19,159 --> 00:50:25,739
Bueno, pues vamos a sustituir hasta aquí, todo eso nos vale, ¿de acuerdo?

404
00:50:26,440 --> 00:50:34,059
Todo eso nos vale, lo que hemos puesto ahí, y nosotros sabemos que AB siempre es el final menos el inicial,

405
00:50:34,900 --> 00:50:37,119
las coordenadas del punto final menos el inicial.

406
00:50:37,119 --> 00:51:03,460
Vale, pues escribimos a, b, que es 3, 2. 3, 2 es igual a qué? 3, menos 2. 3, menos 2 es las coordenadas del punto final, que las conozco, menos 4, 3, menos las coordenadas del punto inicial, que lo escribimos como o, a.

407
00:51:03,460 --> 00:51:28,880
¿Vale? Entonces, ahora OA lo paso, que está restando en este miembro, lo paso a la izquierda sumando y me va a quedar OA es igual y este vector que está a la izquierda sumando pasa restando, es menos 4,3 menos 3, menos 2.

408
00:51:28,880 --> 00:51:44,019
Y eso va a ser igual a un vector. ¿Cuál va a ser la primera componente? Menos 4 menos 3. La segunda componente va a ser 3 menos menos 2, que pasa a 3 más 2.

409
00:51:44,019 --> 00:52:07,179
Y esto es igual a menos 7,5, ¿vale? Vamos a ver si lo tenemos bien. Menos 7,5, correcto, ¿vale? Ahora nos dice, calcula la distancia entre los puntos A, 3, 5 y B, menos 1,4, ¿vale?

410
00:52:07,179 --> 00:52:38,429
Pues entonces, para calcular la distancia sabemos que si nosotros tenemos un punto A y un punto B, la distancia que hay entre AB es el módulo del vector AB, o si queréis, en este caso daría lo mismo, hacer el módulo del vector BA, lo que más rabia nos dé.

411
00:52:38,429 --> 00:53:01,469
Entonces, vamos a calcular el vector AB. ¿Cuál es el vector AB? Pues las coordenadas del punto B, que serían menos 1, 4, siempre final menos inicial, final, porque es el punto B, menos el inicial, que es 3, 5.

412
00:53:01,469 --> 00:53:22,250
¿Y eso cuánto daría? Un vector, dibujo primero la estructura, los paréntesis y la coma, y ahora pongo menos 1 menos 3, y ahora 4 menos 5, y eso es menos 1 menos 3 es menos 4, y ahora 4 menos 5 es 1.

413
00:53:22,250 --> 00:53:41,590
Bien, ese es el vector AB. ¿Cómo calculo el módulo del vector AB? Hemos dicho que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado.

414
00:53:41,590 --> 00:54:01,429
¿Y eso cómo lo haríamos? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado, es decir, sería igual a la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado es 16 más 1, es decir, la raíz cuadrada de 17.

415
00:54:01,429 --> 00:54:29,889
Eso se dejaría así. Vamos a ver si lo tenemos bien o yo me he equivocado. Raíz cuadrada de 17. Aquí vamos a utilizar la anotación del libro, que también es correcta, es interesante. Esto es la distancia y se pone así, a, b.

416
00:54:29,889 --> 00:54:34,070
De acuerdo, otro ejercicio

417
00:54:34,070 --> 00:54:39,590
Obtén el punto medio del segmento 2, 7 y B, 4, 5

418
00:54:39,590 --> 00:54:41,210
Para esto hay que pensar un poquito

419
00:54:41,210 --> 00:54:43,670
Nos están diciendo que tenemos

420
00:54:43,670 --> 00:54:48,670
Si nosotros tenemos unos ejes de coordenadas

421
00:54:48,670 --> 00:54:51,829
Y tenemos dos puntos, el punto A y el punto B

422
00:54:51,829 --> 00:54:55,769
Que hallemos el punto medio

423
00:54:55,769 --> 00:54:57,710
¿Qué se nos puede ocurrir aquí?

424
00:54:57,710 --> 00:55:18,940
Este lo vamos a llamar el punto P. No lo he dibujado muy bien. Vamos a ponerlo más bien ahí. Este sería el punto P. ¿Cuáles serían las coordenadas del punto P? ¿Qué es lo que podemos hacer? Os dejo pensar un poco. ¿Cómo se podría hacer?

425
00:55:18,940 --> 00:55:21,800
Recordamos las cosas que sabemos hacer

426
00:55:21,800 --> 00:55:26,619
Sabemos sumar y restar vectores por el método gráfico y por el método analítico

427
00:55:26,619 --> 00:55:31,199
Estamos en el apartado analítico, vamos a utilizar el método analítico o algebraico

428
00:55:31,199 --> 00:55:36,719
Sabemos sumar y restar vectores y sabemos multiplicar por escalares

429
00:55:36,719 --> 00:55:39,340
Escalares mayores y menores que 1

430
00:55:39,340 --> 00:55:45,590
Dicho eso, ¿cuál sería la solución?

431
00:55:46,090 --> 00:55:49,889
Nosotros aquí sabemos que este sería el vector OA

432
00:55:49,889 --> 00:56:02,429
porque este es el origen de coordenadas, y este sería el vector OB, esto sería OB, y este sería el vector OA, ¿vale?

433
00:56:03,469 --> 00:56:12,389
Bien, entonces, está claro que a mí me están pidiendo el vector OB, ¿vale? Lo voy a poner aquí en rosa.

434
00:56:12,389 --> 00:56:16,389
Este es el vector que a mí me están pidiendo

435
00:56:16,389 --> 00:56:22,230
Ups, sería...

436
00:56:22,230 --> 00:56:35,170
No quiero hacerlo con la otra herramienta

437
00:56:35,170 --> 00:56:36,849
Ah, sí

438
00:56:36,849 --> 00:56:42,230
Este es el vector que a mí me están pidiendo, el vector OP

439
00:56:42,230 --> 00:56:47,440
¿Cómo se podría calcular el vector OP?

440
00:56:47,440 --> 00:56:52,800
Pues sería el vector OA más el vector AB partido por 2

441
00:56:52,800 --> 00:56:53,519
¿No?

442
00:56:54,860 --> 00:56:56,260
Vale, pues lo vamos a escribir

443
00:56:56,260 --> 00:57:15,869
Es decir, OP es igual al vector OA más un medio del vector AB

444
00:57:15,869 --> 00:57:22,429
El vector A lo conocemos porque conocemos el punto A

445
00:57:22,429 --> 00:57:27,289
El vector B lo conocemos, por lo tanto conocemos AB

446
00:57:27,289 --> 00:57:31,989
Pues ya lo tenemos todo. Es decir, vamos a calcular en primer lugar el vector AB.

447
00:57:32,929 --> 00:57:46,130
AB es siempre final menos inicial, es decir, coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto inicial del origen extremo menos origen.

448
00:57:46,929 --> 00:57:53,050
Y esto es igual a, dibujo primero la estructura, que a mí me gusta más, 4 menos 2.

449
00:57:53,050 --> 00:58:11,329
4 menos 2. Y ahora es 5 menos 7. 5 menos 7. ¿Y esto cuánto es? Esto es igual a 2, menos 2. Ese es AB. AB es eso. ¿Cuánto será un medio de AB?

450
00:58:11,329 --> 00:58:28,760
Pues lo hacemos, muy fácil, un medio de AB es igual a un medio que multiplica a 2, menos 2, es decir, que eso es igual a 1, menos 1.

451
00:58:29,980 --> 00:58:34,880
Ya conocemos un medio de AB y conocemos OA, ¿vale?

452
00:58:34,880 --> 00:58:50,130
Por lo tanto, OP es igual, lo vuelvo a escribir, OA más un medio de A.