1
00:00:00,820 --> 00:00:08,859
Vamos a hacer este ejercicio que es el típico de calcular, o sea, que nos piden estudiar la continuidad de una función dependiendo de un parámetro, ¿vale?

2
00:00:09,220 --> 00:00:11,580
En este caso nos están pidiendo calcular el valor de k.

3
00:00:12,140 --> 00:00:18,480
Bien, a ver, observamos que es una función definida a trozos y que en cada uno de los trozos la función que tenemos,

4
00:00:18,800 --> 00:00:25,059
tanto 3 menos kx cuadrado como x más 1 son polinomios, por lo tanto van a ser continuas.

5
00:00:25,219 --> 00:00:30,660
¿Cuál es el único posible punto de discontinuidad? Pues donde tenemos el cambio de un trozo a otro.

6
00:00:30,820 --> 00:00:32,100
en el x igual a menos 1.

7
00:00:33,000 --> 00:00:36,960
Vamos a poner la definición, que significa a nosotros que lo que queremos que f de x,

8
00:00:38,240 --> 00:00:52,719
uy, a ver, que f de x es continua, es continua en x igual menos 1,

9
00:00:53,299 --> 00:00:58,140
si, solo si, es decir, que tiene que verificar, pues tiene que verificar que el límite,

10
00:00:58,140 --> 00:01:04,500
cuando x tiende a menos 1 por la izquierda de mi función f de x

11
00:01:04,500 --> 00:01:11,819
tiene que ser igual al límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha de mi función

12
00:01:11,819 --> 00:01:17,620
y además tiene que coincidir con el valor de la función en el menos 1, ¿vale?

13
00:01:18,120 --> 00:01:22,260
Recordad que siempre, normalmente, salvo que la función definida a trozos

14
00:01:22,260 --> 00:01:24,739
sea una función específica para el igual,

15
00:01:24,739 --> 00:01:28,359
Si no, siempre va a estar con el menor o igual con el mayor o igual

16
00:01:28,359 --> 00:01:31,680
En este caso es x menor o igual que menos 1

17
00:01:31,680 --> 00:01:36,599
Luego eso significa que el f de menos 1 coincide con el límite

18
00:01:36,599 --> 00:01:42,200
Cuando x tiende a menos 1 por la izquierda, porque es menor o igual

19
00:01:42,200 --> 00:01:44,540
Y mi función es x más 1

20
00:01:44,540 --> 00:01:47,640
Sustituye, me queda menos 1 más 1, 0

21
00:01:47,640 --> 00:01:49,560
Vale, pues ya está

22
00:01:49,560 --> 00:01:52,859
Y ahora, a ver, este es lo primero que tenemos que ver

23
00:01:52,859 --> 00:02:03,780
y ahora lo segundo que tenemos que ver es el límite cuando x tiende a menos 1 por la derecha, ahora es de menos 3kx cuadrado.

24
00:02:04,260 --> 00:02:12,860
¿Y esto cuánto es? Pues si sustituyo la x por menos 1, me queda aquí 3, menos 1 al cuadrado es 1, por lo tanto me queda 3 menos k.

25
00:02:12,860 --> 00:02:20,500
Para que sean continuas, estos dos valores tienen que ser iguales, por lo tanto los igualo

26
00:02:20,500 --> 00:02:23,879
Y que me queda 3 menos k igual a 0

27
00:02:23,879 --> 00:02:29,080
A ver si aquí en lugar de 0 me hubiera dado menos 7, aquí pondríamos el menos 7, ¿vale?

28
00:02:29,740 --> 00:02:33,979
Que sé que siempre tendéis a igualarlo todo a 0, pero no tiene por qué

29
00:02:33,979 --> 00:02:39,979
Y ahora si resolvemos la ecuación, paso el k al otro miembro y que me queda que 3 es igual a k

30
00:02:39,979 --> 00:02:52,080
¿Vale? Por lo tanto, respondemos, si k es igual a 3, entonces f de x es continua

31
00:02:52,080 --> 00:02:57,080
Y va a ser continua en todo su dominio, va a ser continua en todo r, ¿vale?

32
00:02:57,900 --> 00:03:03,780
Este sería uno, así muy sencillito, por aquí abajo creo que he cogido algún otro

33
00:03:03,780 --> 00:03:09,819
vale, vamos a ir haciendo primero este, en este tenemos, me piden dos valores

34
00:03:09,819 --> 00:03:15,659
vamos a bajar este un poquito aquí para que hagamos dos casos

35
00:03:15,659 --> 00:03:20,379
vale, ahora me piden valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas

36
00:03:20,379 --> 00:03:23,240
vale, está un poquito apelotonada pero yo creo que se ve

37
00:03:23,240 --> 00:03:28,000
ahora que ocurre, lo que tenemos aquí, tenemos la función 3x menos a

38
00:03:28,000 --> 00:03:32,280
2x cuadrado más bx más a y 3x más 1

39
00:03:32,280 --> 00:03:36,240
las tres funciones son polinómicas, luego las tres funciones son continuas

40
00:03:36,240 --> 00:03:39,840
como yo lo que quiero es calcular dos parámetros a y b

41
00:03:39,840 --> 00:03:45,120
voy a tener que tener dos puntos, dos valores para poderlo hacer

42
00:03:45,120 --> 00:03:49,699
¿qué valores son? pues justamente donde saltan el 1 y el 2

43
00:03:49,699 --> 00:03:53,419
pues vamos estudiando cada uno de los casos por separado

44
00:03:53,419 --> 00:03:56,020
empezamos, vamos a coger con el 1

45
00:03:56,020 --> 00:04:03,550
entonces f de x continua nx igual 1, la misma definición

46
00:04:03,550 --> 00:04:21,810
Si y solo si, el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x y es igual a f de 1.

47
00:04:22,470 --> 00:04:31,670
¿Dónde tenemos el igual? Pues tenemos en la parte de aquí, cuando 1 menor o igual que x, es decir, cuando x es mayor o igual que 1, cuando me acerco por la derecha.

48
00:04:31,670 --> 00:04:53,910
Luego ahora tenemos f de 1 es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha, mi función es 2x cuadrado más bx más a, sustituyo por 1 la x y que me queda 2 más b más a.

49
00:04:53,910 --> 00:05:01,329
Ahora calculamos el otro límite, ¿cuánto será el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda?

50
00:05:01,329 --> 00:05:07,430
Mi función es 3x menos a, sustituyo la x por 1 y me queda 3 menos a

51
00:05:07,430 --> 00:05:12,389
Como lo que queremos es que estos dos valores sean exactamente igual

52
00:05:12,389 --> 00:05:21,069
De aquí obtenemos una ecuación que es 2 más b más a igual a 3 menos a

53
00:05:21,069 --> 00:05:25,649
vamos a dejar las incógnitas en un miembro y los números en otro

54
00:05:25,649 --> 00:05:29,629
y me quedaría, si paso el menos a al otro miembro

55
00:05:29,629 --> 00:05:33,649
me queda a más a, sumo y me quedan 2a más b

56
00:05:33,649 --> 00:05:38,910
y a la derecha paso el 2 a mi derecha y me queda 3 menos 2, 1

57
00:05:38,910 --> 00:05:42,250
vale, pues esta va a ser la primera ecuación

58
00:05:42,250 --> 00:05:45,670
que voy a necesitar para poder resolver

59
00:05:45,670 --> 00:05:48,329
ahora, ¿qué me dan también en el 2?

60
00:05:48,430 --> 00:05:50,750
pues hago exactamente lo mismo que acabo de hacer

61
00:05:50,750 --> 00:06:02,670
pero ahora en el 2f de x continua se me ha ido un poquito eso, vale, en x igual 2, si y solo si, que es lo que tiene que verificarse,

62
00:06:03,350 --> 00:06:17,829
que el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de la función sea igual al límite cuando x tiende a 2 por la derecha de la función y que sea igual a f de 2,

63
00:06:17,829 --> 00:06:20,569
vale, pues vamos a subir un poquito

64
00:06:20,569 --> 00:06:23,029
hacemos lo mismo

65
00:06:23,029 --> 00:06:24,910
nos fijamos

66
00:06:24,910 --> 00:06:25,990
el f de 2

67
00:06:25,990 --> 00:06:29,629
¿con quién coincide ahora?

68
00:06:30,250 --> 00:06:32,850
es para, tenemos aquí mayor o igual que 2

69
00:06:32,850 --> 00:06:33,990
luego también es por la derecha

70
00:06:33,990 --> 00:06:37,050
f de 2 va a ser igual al límite

71
00:06:37,050 --> 00:06:39,209
cuando x tiende

72
00:06:39,209 --> 00:06:40,589
a 2 por la derecha

73
00:06:40,589 --> 00:06:41,329
¿de qué función?

74
00:06:42,009 --> 00:06:43,149
de 3x más 1

75
00:06:43,149 --> 00:06:45,889
sustituyo la x por 2

76
00:06:45,889 --> 00:06:47,709
y me queda 2 por 3, 6 más 1, 7

77
00:06:48,709 --> 00:07:09,689
Calculamos el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, ahora la función es 2x cuadrado más bx más a, sustituimos, esto me queda 2 por 2 es 4, por 2 es 8, 8 más 2b más a.

78
00:07:09,689 --> 00:07:14,050
igual que antes, estos dos valores tienen que ser iguales

79
00:07:14,050 --> 00:07:17,670
por lo tanto, igualo y obtengo la ecuación

80
00:07:17,670 --> 00:07:20,910
8 más 2B más A

81
00:07:20,910 --> 00:07:24,889
igual 7, operamos

82
00:07:24,889 --> 00:07:28,050
y que me queda 2B

83
00:07:28,050 --> 00:07:33,589
bueno, vamos a ponerlo, igual, 2B más A es que el otro ha puesto primero la A

84
00:07:33,589 --> 00:07:37,490
igual a el 8, lo paso al otro miembro y me queda 7 menos 8

85
00:07:37,490 --> 00:07:44,050
menos 1. Y esta es la segunda ecuación que necesito para resolver, o sea, para calcular

86
00:07:44,050 --> 00:07:49,029
los valores de a y b. Pues nada, tenemos que resolver ese sistema. Voy para abajo, ¿vale?

87
00:07:50,209 --> 00:08:00,269
Es decir, el sistema que me queda es 2a más b igual 1, y ahora le coloco en orden a más

88
00:08:00,269 --> 00:08:10,850
2b igual a menos 1. Este es el sistema que tenemos que resolver. Bien, pues aquí, por

89
00:08:10,850 --> 00:08:20,930
ejemplo, hacemos reducción para eliminarla. Multiplico la segunda ecuación por 2. Si

90
00:08:20,930 --> 00:08:27,610
multiplico la segunda por 2 o la multiplico por menos 2 y sumo, me quedaría 2a menos

91
00:08:27,610 --> 00:08:40,590
2a se me van, y arriba me queda b menos 4b menos 3b, y aquí sería 1 menos menos es más,

92
00:08:40,710 --> 00:08:51,690
o sea, 1 más 2, 3. Por lo tanto, queda que la b es 3 partido de menos 3, es decir, menos

93
00:08:51,690 --> 00:09:04,429
1, ¿vale? Y ahora ya tenemos, bueno, vamos a ponerlo más claro, b es menos 1. Y ahora

94
00:09:04,429 --> 00:09:10,190
para calcular el valor de a, pues por ejemplo utilizo la primera ecuación y que tengo que

95
00:09:10,190 --> 00:09:17,970
a más 2b es igual a menos 1. Sustituyo la b por el valor que he obtenido y me queda

96
00:09:17,970 --> 00:09:27,850
a menos 2b, menos 2b no, menos 2, porque b vale menos 1, es igual a menos 1, luego a es

97
00:09:27,850 --> 00:09:34,889
igual, paso el menos 2 a la derecha, me queda menos 1 más 2, a es igual a 1. Vale, pues

98
00:09:34,889 --> 00:09:46,990
ahora ya contestamos. Si a es igual a 1 y b es igual a menos 1, entonces f de x es

99
00:09:46,990 --> 00:09:51,830
continua. Hemos visto que era continuo en cada uno de los cachitos de los intervalos

100
00:09:51,830 --> 00:09:57,070
y ya hemos visto que es también continua en los puntos en los que se separa luego la

101
00:09:57,070 --> 00:10:03,809
función es continua. ¿Vale? Venga, pues vamos con el último ejemplo que tengo aquí, que

102
00:10:03,809 --> 00:10:13,629
es hacer exactamente lo mismo que el ejercicio anterior. A ver qué sé. Tengo una función

103
00:10:13,629 --> 00:10:20,490
definida en tres trozos, cada uno de los trozos, aquí tengo un polinomio de grado 2, otro

104
00:10:20,490 --> 00:10:25,529
polinomio de grado 2 y un polinomio de grado 1, es decir, todas son funciones polinómicas,

105
00:10:25,690 --> 00:10:32,070
todas son continuas. ¿Problemas de continuidad? ¿En dónde se separa? En el menos 1 y en

106
00:10:32,070 --> 00:10:36,909
el 1. Pues vamos viendo las cosas por separado, vamos a ir poniendo primero. ¿Qué significa

107
00:10:36,909 --> 00:10:46,669
que f de x, vamos a imponer que f de x sea continua, queremos que sea continua en x igual

108
00:10:46,669 --> 00:10:55,269
a menos 1, menos 1. ¿Esto qué quiere decir? Pues que el límite cuando x tiende a menos

109
00:10:55,269 --> 00:11:03,149
1 por la izquierda de mi función tiene que ser igual al límite cuando x tiende a menos

110
00:11:03,149 --> 00:11:12,629
1 por la derecha de mi función y tiene que ser igual a f de menos 1. Como antes, miramos

111
00:11:12,629 --> 00:11:17,190
dónde está el igual. Pues en el igual ahora mismo está en el mayor igual, luego está

112
00:11:17,190 --> 00:11:24,750
por la derecha. Por lo tanto, f de menos 1 va a ser igual al límite cuando x tiende

113
00:11:24,750 --> 00:11:35,070
a menos 1 por la derecha y la función en este caso es 4x cuadrado más ax más b. Sustituimos

114
00:11:35,070 --> 00:11:44,809
por menos 1 y me queda 4 menos a más b. Calculamos el límite por la izquierda, cuando x tiende

115
00:11:44,809 --> 00:11:54,429
a menos 1 por la izquierda, de ax cuadrado menos 2x. Sustituimos la x por menos 1 y me

116
00:11:54,429 --> 00:12:03,090
queda a más 2. Y ahora, como antes, queremos que estos dos valores sean iguales, por lo

117
00:12:03,090 --> 00:12:12,730
tanto de aquí sacamos la ecuación 4 menos a más b igual a a más 2, pasamos las letras

118
00:12:12,730 --> 00:12:21,629
al primer miembro y me quedarían menos 2a más b igual a, paso el 4 a la derecha y me

119
00:12:21,629 --> 00:12:29,169
queda 2 menos 4 menos 2, ¿vale? Bien, pues ya tenemos la imposición de que sea continua

120
00:12:29,169 --> 00:12:40,110
en el menos 1. Pues ahora lo mismo, queremos imponer que f de x sea continua en x igual

121
00:12:40,110 --> 00:12:47,230
1. ¿Esto qué quiere decir? A ver, me ha hecho la flecha, ¿no? Esto lo que quiere decir

122
00:12:47,230 --> 00:12:53,870
es que el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de mi función tiene que ser

123
00:12:53,870 --> 00:13:01,769
igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de mi función y tiene que coincidir

124
00:13:01,769 --> 00:13:09,669
con el valor de f de 1. Pues vemos donde está el igual, el igual ahora está con el x mayor

125
00:13:09,669 --> 00:13:16,970
igual que 1 como pasaba antes, por lo tanto f de 1 va a ser igual al límite cuando x

126
00:13:16,970 --> 00:13:21,929
tiende a 1 por la derecha ya que están los mayores y el valor de la función es 3x más

127
00:13:21,929 --> 00:13:31,789
b. Sustituyo en el 1 y me da 3 más b. Calculamos el otro límite, límite, cuando x tiende

128
00:13:31,789 --> 00:13:37,129
a 1 por la izquierda, por la izquierda es menor que 1 y el valor de la función es 4x

129
00:13:37,129 --> 00:13:49,470
cuadrado más ax más b, sustituyo en el 1 y esto es 4 más a, a ver que no me escribe,

130
00:13:49,830 --> 00:13:55,950
más b. Queremos que estos dos valores sean iguales. Bueno, no lo he marcado aquí, esta

131
00:13:55,950 --> 00:14:02,830
era mi primera ecuación, ¿vale? Que quede claro. Igualamos aquí y me queda que 3 más

132
00:14:02,830 --> 00:14:13,610
b es igual a 4 más a más b, y aquí vamos a tener más suerte que en el primero, va

133
00:14:13,610 --> 00:14:19,590
a ser mucho más sencillo, porque las b se me van, si paso la b al otro miembro, más

134
00:14:19,590 --> 00:14:26,629
b y más b, se me va a quedar b menos b es 0, luego me queda 3 menos 4 igual a a, por

135
00:14:26,629 --> 00:14:38,509
lo tanto a es igual a menos uno. Nos queda mucho más sencillito y ahora lo único que

136
00:14:38,509 --> 00:14:42,250
tengo que hacer es resolver, bueno ya tengo cuánto vale a igual a menos uno, pues voy

137
00:14:42,250 --> 00:14:50,250
a esta ecuación, sustituyo la a por menos uno y me quedaría dos más b igual a menos

138
00:14:50,250 --> 00:14:55,769
dos, por lo tanto b, paso el dos al otro miembro y me quedaría que b es igual a menos cuatro.

139
00:14:56,629 --> 00:15:03,129
En este caso no tenemos que resolver el sistema porque con el segundo valor, con el valor x igual a 1,

140
00:15:03,809 --> 00:15:05,909
ya hemos obtenido un valor de la a.

141
00:15:06,809 --> 00:15:11,629
Bien, y ahora lo único que me queda es contestar a lo que me preguntaban.

142
00:15:11,629 --> 00:15:15,269
Pues, a ver que se me ha quedado eso marcado.

143
00:15:17,169 --> 00:15:25,370
Si a es igual a menos 1 y b es igual a menos 4, entonces ¿qué ocurre?

144
00:15:25,370 --> 00:15:33,110
ocurre que f de x es continua en todo su dominio, en todo R, ¿vale?

145
00:15:33,450 --> 00:15:36,129
Y ya estaría el ejercicio, veis que siempre hacemos lo mismo.