1
00:00:01,080 --> 00:00:04,519
Hola, bueno, os voy a realizar este problema.

2
00:00:05,280 --> 00:00:14,480
Haya la ecuación de la recta que pasa por el punto A, 1-4 y forma un ángulo de 60 grados con la recta R, x-y igual a 1.

3
00:00:14,939 --> 00:00:23,079
Para hacer este problema primero vamos a entender que, como puedo sacar el ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes.

4
00:00:23,079 --> 00:00:27,899
antes de todo esto tenéis que entender que si yo tengo

5
00:00:27,899 --> 00:00:35,460
un vector, un vector libre

6
00:00:35,460 --> 00:00:37,799
lo voy a poner aquí en el origen de coordenadas

7
00:00:37,799 --> 00:00:44,119
ese vector tiene una componente

8
00:00:44,119 --> 00:00:48,200
x, la que sea, que solemos llamarla v sub x

9
00:00:48,200 --> 00:00:52,460
una componente y, la que sea

10
00:00:52,460 --> 00:00:55,439
que solemos llamarla vi, al final

11
00:00:55,439 --> 00:00:59,100
esta componente me da cuánto sube

12
00:00:59,100 --> 00:01:04,120
y esta componente de aquí me dice cuánto se mueve a derecha o izquierda

13
00:01:04,120 --> 00:01:07,599
vale, si quiero considerar este ángulo de aquí

14
00:01:07,599 --> 00:01:13,700
ese ángulo que me forma ese vector con el eje de las X

15
00:01:13,700 --> 00:01:20,060
me doy cuenta de que la tangente de ese ángulo

16
00:01:20,060 --> 00:01:23,340
sería igual al cateto opuesto

17
00:01:23,340 --> 00:01:30,060
que veis que coincide con la componente Y del vector, o sea, lo que hemos llamado VI,

18
00:01:30,859 --> 00:01:39,480
partido del cateto contiguo, que en este caso mide lo mismo que la componente X del vector.

19
00:01:40,180 --> 00:01:49,680
Por lo tanto, esta expresión me da cuenta que coincide con la pendiente de una recta

20
00:01:49,680 --> 00:01:53,620
si ese VI y VX fuera su vector director

21
00:01:53,620 --> 00:01:57,500
¿verdad? o sea, si el vector director de la recta

22
00:01:57,500 --> 00:02:00,359
fuera el vector VX

23
00:02:00,359 --> 00:02:07,349
VI, resulta que su pendiente sería igual a la tangente

24
00:02:07,349 --> 00:02:11,129
del ángulo que forma esa recta con el eje horizontal

25
00:02:11,129 --> 00:02:15,330
¿verdad? con el eje de las X. Vale, una vez que tenemos eso claro

26
00:02:15,330 --> 00:02:19,389
vamos a ver que ocurre si yo ahora lo que tengo son dos rectas

27
00:02:19,389 --> 00:02:24,000
y ahora tengo aquí dos rectas

28
00:02:24,000 --> 00:02:28,909
esos son mis ejes

29
00:02:28,909 --> 00:02:33,860
y dos rectas

30
00:02:33,860 --> 00:02:35,819
por ejemplo R

31
00:02:35,819 --> 00:02:43,280
y por ejemplo la recta S

32
00:02:43,280 --> 00:02:47,639
cada una de esas rectas

33
00:02:47,639 --> 00:02:50,400
tendrá un ángulo

34
00:02:50,400 --> 00:02:55,430
formando un ángulo distinto

35
00:02:55,430 --> 00:03:01,340
con la horizontal

36
00:03:01,340 --> 00:03:03,840
a este de aquí

37
00:03:03,840 --> 00:03:07,759
lo voy a llamar alfa R

38
00:03:07,759 --> 00:03:12,319
puesto que es el ángulo que forma la recta R con la horizontal

39
00:03:12,319 --> 00:03:15,300
me da igual que lo miréis aquí, que lo miréis aquí

40
00:03:15,300 --> 00:03:17,219
se ve que ese ángulo es el mismo, ¿verdad?

41
00:03:17,219 --> 00:03:20,659
y luego tendría todo este ángulo

42
00:03:20,659 --> 00:03:29,099
sería este ángulo, lo voy a llamar alfa S

43
00:03:29,099 --> 00:03:34,120
que es el ángulo que forma la recta S con la horizontal

44
00:03:34,120 --> 00:03:40,259
Bueno, todo esto yo quería ver el ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes

45
00:03:40,259 --> 00:03:43,500
O sea, ¿cuál es ese ángulo que me está interesando a mí ver?

46
00:03:44,319 --> 00:03:47,319
Este, que voy a llamar simplemente alfa

47
00:03:47,319 --> 00:03:52,680
¿Vale? Ese es el ángulo que están formando la recta R con la recta S

48
00:03:52,680 --> 00:03:53,539
¿De acuerdo?

49
00:03:54,060 --> 00:03:56,719
Bueno, pues aquí si me doy cuenta

50
00:03:56,719 --> 00:04:03,639
Resulta que yo puedo obtener alfa, este ángulo naranja

51
00:04:03,639 --> 00:04:09,800
haciendo alfa S menos alfa R

52
00:04:09,800 --> 00:04:15,810
vale, pues juntando estas dos informaciones

53
00:04:15,810 --> 00:04:20,110
la de la tangente y la de las

54
00:04:20,110 --> 00:04:24,110
que puedo obtener el ángulo que forman dos rectas

55
00:04:24,110 --> 00:04:27,709
restando los ángulos que forman con respecto a la horizontal

56
00:04:27,709 --> 00:04:33,769
resulta que la tangente de ese ángulo alfa

57
00:04:33,769 --> 00:04:42,730
será igual a la tangente de alfa S menos alfa R

58
00:04:42,730 --> 00:04:48,860
y esto con las fórmulas de la trigonometría

59
00:04:48,860 --> 00:04:56,800
sabemos que es igual a la tangente de alfa S

60
00:04:56,800 --> 00:05:00,019
menos la tangente de alfa R

61
00:05:00,019 --> 00:05:06,779
entre 1 más el producto de las dos tangentes

62
00:05:06,779 --> 00:05:14,680
como habíamos dicho

63
00:05:14,680 --> 00:05:19,439
que la tangente era igual que la pendiente

64
00:05:19,439 --> 00:05:22,600
claro, la tangente igual que la pendiente de cada recta

65
00:05:22,600 --> 00:05:25,600
por lo tanto, esta ecuación

66
00:05:25,600 --> 00:05:28,779
me quedaría como

67
00:05:28,779 --> 00:05:35,660
que la tangente del ángulo que forman estas dos rectas

68
00:05:35,660 --> 00:06:00,819
será igual a la pendiente de S menos la pendiente de R partido de 1 más la pendiente de S por la pendiente de R

69
00:06:00,819 --> 00:06:06,279
pues esta es la fórmula que vamos a utilizar en este problemita

70
00:06:06,279 --> 00:06:09,319
en este problemita me dicen que el ángulo que forman

71
00:06:09,319 --> 00:06:14,920
vale 60 grados, voy a ver la pendiente que tiene la recta R

72
00:06:14,920 --> 00:06:18,620
que recuerdo que la recta R es x menos y igual a 1

73
00:06:18,620 --> 00:06:27,709
me la copio aquí, la recta R es x menos y igual a 1

74
00:06:27,709 --> 00:06:34,290
por lo tanto sería fácil de esta ecuación sacar la ecuación general

75
00:06:34,290 --> 00:06:39,990
simplemente habría que mover el 1 de lado

76
00:06:39,990 --> 00:06:43,850
y esto está en forma general

77
00:06:43,850 --> 00:06:48,290
en forma general os recuerdo que la información que me da

78
00:06:48,290 --> 00:06:52,810
es cuál es el vector normal, el vector normal es el vector 1 menos 1

79
00:06:52,810 --> 00:06:56,250
una vez que conozco su vector normal

80
00:06:56,250 --> 00:07:00,490
yo puedo sacar su vector director haciendo un vector perpendicular

81
00:07:00,490 --> 00:07:04,449
a este, habría que cambiar la componente x con la y

82
00:07:04,449 --> 00:07:07,589
y a una de las dos componentes se le cambia el signo

83
00:07:07,589 --> 00:07:15,509
Por lo tanto, podría decir que el vector director, el director de esta recta R, es el vector 1, 1.

84
00:07:15,930 --> 00:07:21,009
Voy a llamar S a la recta solución que estoy buscando.

85
00:07:26,470 --> 00:07:35,290
Entonces, solución de esta recta, sé que pasa por el punto A, que me lo han dado y vale 1 menos 4,

86
00:07:35,290 --> 00:07:40,370
y sé que forma un ángulo de 60 grados

87
00:07:40,370 --> 00:07:48,189
o sea, el ángulo entre DR y DS

88
00:07:48,189 --> 00:07:53,529
este angulito son 60 grados

89
00:07:53,529 --> 00:07:57,209
vale, bueno

90
00:07:57,209 --> 00:08:02,209
me interesa de esta de aquí, de la R

91
00:08:02,209 --> 00:08:04,089
me interesa también saber su pendiente

92
00:08:04,089 --> 00:08:08,029
la pendiente de la recta R vemos que vale 1

93
00:08:08,029 --> 00:08:11,949
porque sería VI entre VX

94
00:08:11,949 --> 00:08:13,930
por lo tanto igual a 1

95
00:08:13,930 --> 00:08:19,769
vale, ya tengo la pendiente de R

96
00:08:19,769 --> 00:08:22,750
y aquí en la fórmula esta de la tangente

97
00:08:22,750 --> 00:08:27,290
tengo todos los datos menos la pendiente de S

98
00:08:27,290 --> 00:08:29,850
que la voy a calcular ahora mismo

99
00:08:29,850 --> 00:08:33,409
digo que la tangente de alfa

100
00:08:33,409 --> 00:08:36,029
que lo conozco, son 60 grados, me lo han dicho

101
00:08:36,029 --> 00:08:40,669
es igual a la pendiente de S, no lo sé, la quiero calcular

102
00:08:40,669 --> 00:08:45,129
menos la pendiente de R, si lo sé, vale 1

103
00:08:45,129 --> 00:08:49,789
la he calculado antes, igual a 1 más la pendiente de S

104
00:08:49,789 --> 00:08:52,870
que vuelve a ser un dato desconocido

105
00:08:52,870 --> 00:08:57,049
por la pendiente de R

106
00:08:57,049 --> 00:09:19,000
ahora simplemente tengo que despejar de aquí la pendiente de S

107
00:09:19,000 --> 00:09:25,620
os recuerdo que la tangente de 60 es igual a raíz de 3

108
00:09:25,620 --> 00:09:33,919
esto que estoy poniendo aquí es el denominador que lo he cambiado de lado

109
00:09:33,919 --> 00:09:37,799
igual a MS menos 1

110
00:09:37,799 --> 00:09:43,519
vale, si multiplico me queda raíz de 3

111
00:09:43,519 --> 00:09:51,399
perdona, mr lo conozco, esto vale 1

112
00:09:51,399 --> 00:09:53,559
esto es dato

113
00:09:53,559 --> 00:09:57,320
esto lo conozco que vale 1

114
00:09:57,320 --> 00:10:07,730
vale, multiplico raíz de 3 por 1 y raíz de 3 por ms

115
00:10:07,730 --> 00:10:13,559
igual a ms menos 1

116
00:10:13,559 --> 00:10:22,580
sigo despejando, cambiaría las ms a un lado y los términos independientes al otro

117
00:10:22,580 --> 00:10:27,600
y sacando factor común ms me queda raíz de 3 menos 1

118
00:10:27,600 --> 00:10:33,279
todo ello por ms igual a menos 1 menos raíz de 3

119
00:10:33,279 --> 00:10:42,980
así que ms sería igual a menos 1 menos raíz de 3

120
00:10:42,980 --> 00:10:46,620
partido de raíz de 3

121
00:10:46,620 --> 00:10:48,899
menos 1

122
00:10:48,899 --> 00:10:52,580
que esto como no nos gusta que se quede así

123
00:10:52,580 --> 00:10:58,960
lo vamos a racionalizar

124
00:10:58,960 --> 00:11:03,440
multiplicando y dividiendo por el conjugado

125
00:11:03,440 --> 00:11:07,059
y aquí abajo me queda

126
00:11:07,059 --> 00:11:09,639
suma por diferencia, diferencia de cuadrados

127
00:11:09,639 --> 00:11:13,559
por lo tanto me quedaría raíz de 3 al cuadrado

128
00:11:13,559 --> 00:11:18,019
menos 1 al cuadrado

129
00:11:18,019 --> 00:11:23,299
y aquí arriba tendría que hacer la multiplicación de todos por todos

130
00:11:23,299 --> 00:11:27,059
me quedaría menos raíz de 3 menos 1

131
00:11:27,059 --> 00:11:30,039
he multiplicado el menos 1 por todo lo de aquí

132
00:11:30,039 --> 00:11:32,759
y ahora menos raíz de 3 por todo lo de aquí

133
00:11:32,759 --> 00:11:37,960
menos raíz de 3 por raíz de 3 es menos raíz de 3 al cuadrado

134
00:11:37,960 --> 00:11:40,059
que se me va la raíz con el cuadrado

135
00:11:40,059 --> 00:11:45,399
y menos raíz de 3 por 1 me queda menos raíz de 3

136
00:11:45,399 --> 00:11:50,419
así que lo que me quedaría sería

137
00:11:50,419 --> 00:11:55,100
abajo me queda 3 menos 1 que es igual a 2

138
00:11:55,100 --> 00:12:03,460
y arriba me quedaría menos 2 raíz de 3 menos 4

139
00:12:03,460 --> 00:12:09,840
simplifico entre 2 arriba y abajo y me queda menos raíz de 3

140
00:12:09,840 --> 00:12:14,820
menos 2, vale, eso es lo que vale

141
00:12:14,820 --> 00:12:18,840
la pendiente de S, una vez que tengo la pendiente de S

142
00:12:18,840 --> 00:12:23,120
puedo calcular la ecuación

143
00:12:23,120 --> 00:12:28,789
de la recta, porque

144
00:12:28,789 --> 00:12:32,990
será del tipo, por ejemplo, vamos a hacer

145
00:12:32,990 --> 00:12:36,370
la ecuación explícita que sería

146
00:12:36,370 --> 00:12:40,690
I igual a MX más N, vale, pero la M

147
00:12:40,690 --> 00:12:42,809
de la recta S, no de otra

148
00:12:42,809 --> 00:12:46,730
¿vale? entonces aquí solo me faltaría calcular la N

149
00:12:46,730 --> 00:12:50,110
puesto que la X y la Y sé por qué sustituirla

150
00:12:50,110 --> 00:12:53,429
puesto que pasa por el punto 1 menos 4

151
00:12:53,429 --> 00:12:58,529
¿vale? pues cuando X valga 1 y tiene que valer menos 4

152
00:12:58,529 --> 00:13:00,330
pues en la Y pongo menos 4

153
00:13:00,330 --> 00:13:05,210
en la M pongo menos raíz de 3 menos 2

154
00:13:05,210 --> 00:13:09,850
por X que vale 1

155
00:13:09,850 --> 00:13:14,049
más n, si despejamos de aquí la n

156
00:13:14,049 --> 00:13:18,789
me queda menos 4 más raíz de 3

157
00:13:18,789 --> 00:13:20,929
más 2 igual a n

158
00:13:20,929 --> 00:13:27,809
por lo tanto n es igual a

159
00:13:27,809 --> 00:13:31,389
menos 2 más raíz de 3

160
00:13:31,389 --> 00:13:35,450
por lo tanto la recta que buscamos es igual

161
00:13:35,450 --> 00:13:40,149
a menos raíz de 3 menos 2

162
00:13:40,149 --> 00:13:48,590
por x más raíz de 3 menos 2

163
00:13:48,590 --> 00:13:52,169
esto es la n que le he dado la vuelta para poner delante el positivo

164
00:13:52,169 --> 00:13:53,909
y detrás el negativo

165
00:13:53,909 --> 00:13:59,330
esta es la ecuación de la recta que forma un ángulo de 60 grados

166
00:13:59,330 --> 00:14:04,110
con la que me habían dado, esta es la recta que yo he llamado S