1
00:00:00,240 --> 00:00:11,419
El teorema fundamental del cálculo dice que si yo defino la función f de x como la integral entre 0 y x de f de t diferencial de t,

2
00:00:12,140 --> 00:00:17,719
es decir, yo defino esta función como el área que hay entre 0 y x de esta otra función.

3
00:00:17,719 --> 00:00:25,800
Bueno, pues resulta que si f es continuo en la intervala b, la derivada de esta función, la derivada de f' es,

4
00:00:26,519 --> 00:00:31,000
la derivada de f, bueno, la derivada de f mayúscula es f minúscula, ¿vale?

5
00:00:31,839 --> 00:00:36,640
Entonces aquí tiene que quedar claro que yo defino esta función de esta manera, esto es el área entre 0 y x.

6
00:00:37,479 --> 00:00:42,520
Pues esta función es una primitiva de f de x.

7
00:00:43,320 --> 00:00:52,420
La forma de demostrarlo, bueno, pues yo sé que la derivada de x es el límite cuando h tiende a 0 de f de x más h menos f de x partido por h, ¿no?

8
00:00:53,219 --> 00:01:04,260
f de x más h es, bueno, antes de eso, el 1 partido por h lo saco aquí, factor común, y ahora f de x más h es la integral entre 0 y x más h,

9
00:01:04,260 --> 00:01:07,900
porque f de x más h sería poner aquí más h

10
00:01:07,900 --> 00:01:12,859
es la integral entre 0 y x más h de f de t diferencial de t

11
00:01:12,859 --> 00:01:14,560
¿cuánto es f de x?

12
00:01:15,379 --> 00:01:18,400
la integral entre 0 y x de f de t diferencial de t

13
00:01:18,400 --> 00:01:19,239
¿vale?

14
00:01:19,900 --> 00:01:20,980
y ahora fíjense que esto

15
00:01:20,980 --> 00:01:25,540
esto es el área entre 0 y x más h

16
00:01:25,540 --> 00:01:27,540
o sea, si esta es la función

17
00:01:27,540 --> 00:01:30,680
es el área entre 0 y x más h

18
00:01:30,680 --> 00:01:32,680
o sea, todo esto

19
00:01:33,640 --> 00:01:37,620
Y esto otro es el área entre 0 y x.

20
00:01:38,200 --> 00:01:44,260
Si a todo esto, que es el área entre 0 y x más h, le quito el área entre 0 y x, ¿qué me queda?

21
00:01:44,780 --> 00:01:45,760
Me queda esto de aquí.

22
00:01:46,760 --> 00:01:47,579
¿Y eso qué es?

23
00:01:48,099 --> 00:01:53,920
Eso es el área entre x y x más h de f de t diferencial de t.

24
00:01:53,920 --> 00:02:00,790
Este trozo es la integral entre x y x más h de f de t diferencial de t.

25
00:02:00,790 --> 00:02:20,800
Bien, ahora, por el teorema del valor medio del cálculo integral, yo sé que esto es igual a f de un punto, f de un punto, no es f' es f, por x más h menos x, x más h menos x.

26
00:02:20,800 --> 00:02:26,219
¿Vale? Esto es este teorema de aquí

27
00:02:26,219 --> 00:02:27,759
¿De acuerdo?

28
00:02:29,020 --> 00:02:31,379
Entre a y b, como ahí era entre x y x más h

29
00:02:31,379 --> 00:02:33,840
Pues aquí me quedaría x más h menos x

30
00:02:33,840 --> 00:02:35,180
Y aquí me queda f de c

31
00:02:35,180 --> 00:02:41,080
Entonces tendríamos que

32
00:02:41,080 --> 00:02:44,300
En vez de poner todo esto de aquí

33
00:02:44,300 --> 00:02:47,460
Yo puedo poner x más h menos x por f de c

34
00:02:47,460 --> 00:02:51,800
x más h menos x es h

35
00:02:51,800 --> 00:02:53,099
con esta h fuera

36
00:02:53,099 --> 00:02:55,639
y me queda el límite cuando tiende a 0 de f de c

37
00:02:55,639 --> 00:02:57,699
pero vamos a ver que pasa con esta c

38
00:02:57,699 --> 00:02:58,979
esta c

39
00:02:58,979 --> 00:03:01,280
es un punto que está entre

40
00:03:01,280 --> 00:03:03,780
x y x más h

41
00:03:03,780 --> 00:03:06,159
cuando la h tiende a 0

42
00:03:06,159 --> 00:03:07,939
este intervalo se hace

43
00:03:07,939 --> 00:03:09,840
tan pequeño tan pequeño que ese c

44
00:03:09,840 --> 00:03:12,300
tiende a x

45
00:03:12,300 --> 00:03:14,120
con lo cual puedo poner

46
00:03:14,120 --> 00:03:14,919
f de x

47
00:03:14,919 --> 00:03:17,960
y queda demostrado que la derivada de esa función

48
00:03:17,960 --> 00:03:19,840
es f de x