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00:00:12,210 --> 00:00:17,489
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,489 --> 00:00:21,989
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,989 --> 00:00:26,710
de la unidad PR5 dedicada a la teoría de muestras y las distribuciones en el muestreo.

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00:00:28,109 --> 00:00:35,060
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 3.

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00:00:47,350 --> 00:00:52,070
En este ejercicio se nos indica que en una cierta población una característica X mayúscula

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00:00:52,070 --> 00:00:54,429
se distribuye mediante una distribución normal.

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00:00:55,570 --> 00:01:00,990
Tomando muestras de tamaño en igual a 100, se determina que la probabilidad de que la media muestral x barra

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00:01:00,990 --> 00:01:07,890
sea menor o igual que 75 es 0,58 y la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 80 es 0,04.

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00:01:08,390 --> 00:01:15,430
Con esta información se nos pide hallar la media y la desviación típica de las distribuciones de x y de x con barra.

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00:01:15,430 --> 00:01:22,230
De la distribución de X sabemos que es normal y nos faltaría hallar la media y la desviación típica.

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00:01:22,409 --> 00:01:26,290
X es la distribución de una única medida.

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00:01:27,109 --> 00:01:33,329
Elegimos, en este caso, una persona de esta población, medimos la característica X

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00:01:33,329 --> 00:01:38,650
y queremos conocer la media y la desviación típica de la distribución de esa X, una única medida.

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00:01:39,489 --> 00:01:41,590
En el caso de X barra es algo diferente.

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00:01:41,590 --> 00:01:50,329
Lo que estamos haciendo es ir tomando muestras de tamaño en igualación y calcular la media aritmética de las 100 medidas de esta característica.

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00:01:50,769 --> 00:01:59,629
Y se nos pide determinar la media y la desviación típica de la distribución de esa media aritmética, la media muestral, con muestras de tamaño en igualación.

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00:02:00,870 --> 00:02:10,449
Lo primero que tenemos que hacer es relacionar las distribuciones de x, la variable de una única medida, y x barra la media aritmética de muestras de tamaño 100.

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00:02:11,189 --> 00:02:15,770
De x sabemos que sigue una distribución normal con media muy de desviación típica sigma,

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00:02:16,129 --> 00:02:18,889
por hipótesis y porque nos lo han dado en el enunciado.

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00:02:19,590 --> 00:02:24,930
La variable aleatoria media muestral va a seguir una distribución que va a ser también normal,

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00:02:25,710 --> 00:02:30,210
con media la de x y desviación típica que va a ser la de x

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00:02:30,210 --> 00:02:35,129
dividido entre la red cuadrada del tamaño de la muestra, en este caso entre la red cuadrada de 100.

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00:02:35,129 --> 00:02:47,210
Así que la media muestral va a seguir una distribución también normal con media la misma que la de x y haciendo la operación de desviación típica la de x entre 10.

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00:02:47,930 --> 00:03:04,409
Si quisiéramos tipificar esta variable, la de la media aritmética, la media muestral, lo que tenemos que hacer es definir una variable z que será la media muestral menos su media mu dividido entre su desviación típica sigma partido por 10.

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00:03:04,409 --> 00:03:10,090
Y esta Z va a seguir una distribución normal estándar con medida 0 y desviación típica 1.

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00:03:11,789 --> 00:03:17,789
Con esto en mente vamos a ver qué son los datos del enunciado, cuáles son los datos que tenemos y con los que vamos a poder operar.

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00:03:18,389 --> 00:03:26,229
Lo que tenemos es que la probabilidad de que la medida muestral sea menor o igual que 75 es 0,58. Esto lo podemos escribir de esta manera.

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00:03:27,669 --> 00:03:31,710
Para poder utilizar la tabla de la distribución normal estándar lo que necesitamos es tipificar.

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00:03:31,710 --> 00:03:44,210
En el suceso vamos a, en los dos miembros, restar la media de la distribución de X barra y vamos a dividir entre su despección típica, la media, mu, la despección típica, sima, partido por 10, como veis.

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00:03:44,449 --> 00:03:52,949
Y lo que va a quedar es, en el miembro de la izquierda, la variable normal estándar, Z, X barra menos mu, dividido entre la despección típica, dividido entre 10.

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00:03:53,650 --> 00:03:57,909
Y a la derecha tenemos este 75 menos mu, entre sima, dividido entre 10.

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00:03:58,330 --> 00:04:01,550
Y la probabilidad de este suceso es igual a 0,58.

33
00:04:01,710 --> 00:04:08,250
Dado que la probabilidad la conocemos y nos estamos preguntando por cuál será la abstisa que le corresponde

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00:04:08,250 --> 00:04:12,530
de una cola de la izquierda, vamos a leer en la tabla de la distribución normal

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00:04:12,530 --> 00:04:17,029
Vamos a ver valores de probabilidad que sean iguales a 0,58

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00:04:17,029 --> 00:04:18,709
Justo este no lo vamos a encontrar

37
00:04:18,709 --> 00:04:23,750
El más próximo, como indico aquí, es 0,5793

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00:04:24,009 --> 00:04:28,410
que se corresponde con la probabilidad de que z, normal estándar, sea menor o igual que 0,20

39
00:04:29,009 --> 00:04:34,870
Si consideramos que este 0,58 es suficientemente próximo a 0,5793, que lo es,

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00:04:35,509 --> 00:04:41,569
lo que vamos a inferir es que 75 menos mu dividido entre sigma entre 10 va a ser igual a este 0,20,

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00:04:41,689 --> 00:04:45,509
esta abscisa que hemos leído en la tabla de la distribución normal, como veis aquí.

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00:04:46,410 --> 00:04:50,490
Si operamos y reorganizamos términos, llegamos a la expresión equivalente,

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00:04:51,050 --> 00:04:54,149
mu tiene que ser igual a 75 menos 2 partido por sigma.

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00:04:55,009 --> 00:04:57,889
Esta conclusión es a la que llegamos con el primer dato.

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00:04:58,410 --> 00:05:04,069
Si vamos al segundo, la probabilidad de que la media aritmética sea mayor que 80 es igual a 004.

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00:05:04,949 --> 00:05:07,209
Eso se traduce en esta expresión que tenemos aquí.

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00:05:07,990 --> 00:05:09,449
Vamos a operar de forma análoga.

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00:05:09,829 --> 00:05:12,569
Vamos a tipificar la variable dentro del suceso.

49
00:05:13,269 --> 00:05:16,350
Pero antes de eso, lo que vamos a hacer es darnos cuenta de un detalle.

50
00:05:16,449 --> 00:05:18,709
Aquí tenemos media mayor o igual que 80.

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00:05:18,810 --> 00:05:23,829
En la tabla de la distribución normal tenemos las colas de la izquierda, x menor o igual que.

52
00:05:24,370 --> 00:05:27,790
Así que lo primero que vamos a hacer es considerar el suceso contrario.

53
00:05:28,410 --> 00:05:32,430
Si la probabilidad de que la media aritmética sea mayor o igual que 80 es 0,04,

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00:05:32,430 --> 00:05:38,889
la probabilidad del suceso contrario, que sea menor o igual que 80, será 1 menos esta, o sea 0,96.

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00:05:39,290 --> 00:05:42,170
Ahora sí, como dije hace un momento, vamos a tipificar.

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00:05:43,009 --> 00:05:49,529
Vamos a, en el suceso, restar la media y dividir entre la desviación típica de la distribución de la media aritmética.

57
00:05:50,490 --> 00:05:56,129
Y lo que tendremos es z, que será x barra menos mu, dividido entre sigma, dividido entre 10,

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00:05:56,730 --> 00:06:01,970
Variable normal estándar menor o igual que este 80 menos mu dividido entre sigma dividido entre 10.

59
00:06:03,470 --> 00:06:12,649
Igual que ocurría en el caso anterior, vamos a buscar este 0,96 dentro de las probabilidades de la tabla de la distribución normal estándar.

60
00:06:12,910 --> 00:06:21,750
0,96 exacto no lo voy a encontrar, pero sí encuentro 0,9599, que es a mi modo de ver suficientemente próximo.

61
00:06:22,170 --> 00:06:28,269
La abscisa que corresponde es 1,75. La probabilidad de que z sea menor o igual que 1,75 es esta.

62
00:06:28,970 --> 00:06:35,970
De aquí infiero que la abscisa 80 menos mu dividido entre sigma entre 10 va a ser igual a este 1,75.

63
00:06:37,230 --> 00:06:44,350
Igualmente, operando y despejando, obtengo la expresión mu igual a 80 menos 17,5 dividido entre sigma.

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00:06:45,189 --> 00:06:54,689
Con ninguna de las dos condiciones he podido calcular por separado mu o sigma, que son las incógnitas que tengo en este momento.

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00:06:55,050 --> 00:06:59,290
Pero tengo dos ecuaciones que contienen esas dos incógnitas mu y sigma.

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00:06:59,829 --> 00:07:04,589
Así que lo que necesito hacer es resolver el sistema de ecuaciones formado por ambas.

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00:07:05,550 --> 00:07:08,189
Se pueden emplear distintas alternativas.

68
00:07:08,189 --> 00:07:12,889
tal y como he escrito las ecuaciones, lo más directo es igualar estas dos expresiones

69
00:07:12,889 --> 00:07:19,949
algebraicas para mu y obtener una ecuación para sigma que resulta ser igual a 3,1. Una vez que

70
00:07:19,949 --> 00:07:23,689
tengo el valor de sigma puedo sustituir en una cualquiera de estas, lo he hecho en la primera,

71
00:07:24,250 --> 00:07:31,870
para calcular el valor de mu que resulta ser 74,35. Así que la variable aleatoria x mayúscula va a

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00:07:31,870 --> 00:07:39,170
seguir una distribución normal con media mu la que acabo de calcular 74,35 y desviación típica sigma

73
00:07:39,170 --> 00:07:44,810
igual a 3,1 que es la que acabo de calcular. En cuanto a la media aritmética con muestras de

74
00:07:44,810 --> 00:07:52,649
tamaño 100, deduje hace unos minutos que iba a seguir una distribución normal con media mu igual

75
00:07:52,649 --> 00:08:00,189
que la de x, o sea 74,35 y desviación típica que iba a ser la de x dividido entre la red cuadrada

76
00:08:00,189 --> 00:08:04,170
del tamaño de la muestra, cuadrada de 100, o sea, este 10 que tengo aquí.

77
00:08:04,689 --> 00:08:08,509
De tal forma que, operando, descubro que la media aritmética,

78
00:08:09,129 --> 00:08:11,730
la media muestral, como esta es de tamaño n igual a 100,

79
00:08:12,230 --> 00:08:15,910
va a seguir una distribución normal con media la misma mu que la de x,

80
00:08:16,089 --> 00:08:21,509
74,35, y desviación típica sigma entre 10, que va a ser 0,31.

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00:08:24,410 --> 00:08:29,970
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:08:30,689 --> 00:08:34,830
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:08:35,649 --> 00:08:40,389
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

84
00:08:40,990 --> 00:08:42,350
Un saludo y hasta pronto.