1
00:00:00,180 --> 00:00:15,080
Vamos a hacer el ejercicio 3, el apartado A. Me dicen, dada la matriz A, 1, 0, 2, 1 y B, A, B, 2, 0, determinar todos los valores de los parámetros A y B pertenecientes a los números reales para los que se verifica que A por B es igual a B por A.

2
00:00:15,580 --> 00:00:27,960
Ya sabemos que las matrices no son, o sea, el producto de matrices no es conmutativo. Por lo tanto, lo que queremos ver es calcular qué valores de los parámetros A y B hacen que estas dos matrices sí que sean conmutativas.

3
00:00:27,960 --> 00:00:46,899
Entonces lo primero que hacemos es empezamos calculando cuánto es A por B, las dos son matrices 2 por 2, por lo tanto se pueden multiplicar y el resultado va a ser otra matriz 2 por 2, pues vamos multiplicando el primer elemento,

4
00:00:46,899 --> 00:00:50,740
Primera fila por primera columna

5
00:00:50,740 --> 00:00:53,820
1 por A, A

6
00:00:53,820 --> 00:00:59,000
Más 0 por 2, 0

7
00:00:59,000 --> 00:01:02,039
Por lo tanto, ahí había puesto un más, no lo pongo

8
00:01:02,039 --> 00:01:04,540
Primera fila, segunda columna

9
00:01:04,540 --> 00:01:07,359
1 por B, B

10
00:01:07,359 --> 00:01:10,659
Más 0 por 0, 0

11
00:01:12,659 --> 00:01:15,680
Ahora nos vamos a la segunda fila por la primera columna

12
00:01:15,680 --> 00:01:22,959
2 por A, 2A, más 1 por 2, 2, es decir, más 2.

13
00:01:23,340 --> 00:01:32,439
Y segunda fila, segunda columna, 2 por B, 2B, más 1 por 0, 0.

14
00:01:32,659 --> 00:01:34,239
Luego se nos queda simplemente así.

15
00:01:34,920 --> 00:01:37,480
Ahora calculamos el otro producto, B por A.

16
00:01:37,480 --> 00:01:43,939
Ponemos la matriz B, que es la AB, 2, 0

17
00:01:43,939 --> 00:01:49,840
Por la matriz 1, 0, 2, 1

18
00:01:49,840 --> 00:01:52,760
Y multiplicamos

19
00:01:52,760 --> 00:01:55,120
Primera fila por primera columna

20
00:01:55,120 --> 00:01:56,739
A por 1, A

21
00:01:56,739 --> 00:02:00,379
Más B por 2, 2B

22
00:02:00,379 --> 00:02:05,349
Segundo elemento de la segunda fila

23
00:02:05,349 --> 00:02:06,709
A por 0, 0

24
00:02:06,709 --> 00:02:08,770
Más B por 1

25
00:02:08,770 --> 00:02:20,509
b. Nos vamos a la segunda fila, 2 por 1, 2, más 0 por 2, 0. Y el último elemento, 2

26
00:02:20,509 --> 00:02:28,069
por 0, 0, más 0 por 1, 0. Vale, pues ya tenemos calculados los dos productos. ¿Nosotros qué

27
00:02:28,069 --> 00:02:33,990
queremos? Lo que nosotros queremos es que estas dos matrices sean iguales, es decir,

28
00:02:33,990 --> 00:02:55,270
lo voy a volver a escribir para que quede más claro, que la matriz A, 2A más 2, B, 2B, sea exactamente igual a la matriz A más 2B, B, 2, 0, ¿vale?

29
00:02:56,110 --> 00:03:02,870
Para que dos matrices sean iguales, aparte de tener la misma forma, que estos lo verifican, tienen que ser iguales elemento a elemento,

30
00:03:02,870 --> 00:03:11,289
Es decir, de aquí sacamos un sistema de ecuaciones. Necesitamos que este primer elemento, el a1,1, coincida con el primer elemento de la otra matriz.

31
00:03:11,770 --> 00:03:18,610
Es decir, que a sea igual a a más 2b. Esa sería mi primera ecuación.

32
00:03:19,509 --> 00:03:25,629
El elemento 1,2 tiene que ser igual al elemento 1,2 de la otra matriz. Es decir, que b es igual a b.

33
00:03:25,629 --> 00:03:37,289
Esta no nos da ningún tipo de información, esa ecuación. El elemento 2, 1 tiene que coincidir con el elemento 2, 1, es decir, que 2a más 2 tiene que ser igual a 2.

34
00:03:37,550 --> 00:03:44,550
Y por último, el elemento 2, 2 tiene que ser igual al elemento 2, 2, es decir, 2b tiene que ser igual a 0.

35
00:03:46,539 --> 00:03:55,659
Solo tengo dos incógnitas, aunque tengo cuatro ecuaciones. Como he dicho, esta ecuación, la ecuación segunda, no me da ninguna información

36
00:03:55,659 --> 00:03:58,939
porque efectivamente b es igual a b, o sea que me puedo olvidar de ella.

37
00:03:59,460 --> 00:04:05,840
De la última ecuación que tengo, calculo el valor de b directamente, b será igual a cuánto?

38
00:04:05,939 --> 00:04:10,300
A cero partido de dos, por lo tanto, cero, ¿vale?

39
00:04:10,659 --> 00:04:16,500
Ya tengo el primer valor. De la segunda, o sea, de la penúltima ecuación, que solamente tiene aes,

40
00:04:16,939 --> 00:04:22,000
también puedo calcular el valor de a, y me queda que 2a es igual a 2 menos 2,

41
00:04:22,000 --> 00:04:33,339
o lo que es lo mismo que 2a es igual a 0, por lo tanto igual que teníamos antes, a sería 0 partido por 2, es decir, 0.

42
00:04:33,879 --> 00:04:41,139
Y como en la primera ecuación también tengo, vamos a verificar si los valores que tenemos, ya que tenemos las dos incógnitas, coinciden.

43
00:04:41,139 --> 00:04:55,120
Si yo sustituyera, por ejemplo, aquí el valor de b igual 0, ¿qué obtendría? Que a es igual a a, ¿vale? Obtendríamos que a es igual a a, cosa que es cierta, si b es igual a 0.

44
00:04:56,120 --> 00:05:08,339
O si no, simplemente lo que también podríamos ver es si al sustituir los dos valores que hemos obtenido, es decir, 0 es igual a 0 más 2 por 0, pues sí, ¿vale?

45
00:05:08,339 --> 00:05:14,259
Es decir, tenemos que verificar que efectivamente con los valores que hemos obtenido se verifican todas las ecuaciones.

46
00:05:14,879 --> 00:05:16,519
Por lo tanto, ya estaría el apartado.

47
00:05:17,699 --> 00:05:24,920
Es decir, los valores que estamos buscando para que las matrices sean conmutativas es a igual a 0 y b igual a 0.

48
00:05:27,209 --> 00:05:29,889
El apartado b era resolver un sistema matricial.

49
00:05:30,629 --> 00:05:36,290
Entonces, a ver, aquí podemos decidir eliminar la x o eliminar la y.

50
00:05:36,290 --> 00:05:47,389
Yo voy a eliminar la i porque tienen diferentes signos, pero en el fondo daría un poco lo mismo eliminar una que otra, ¿vale?

51
00:05:47,810 --> 00:05:55,470
Entonces lo único que tenemos que hacer es, para eliminar la i, a la primera ecuación la tengo que multiplicar por 3.

52
00:05:56,490 --> 00:06:02,850
Si queréis, esto siempre os digo que lo hagamos de cabeza, pero como he visto que muchos no lo habéis hecho bien, lo voy a hacer.

53
00:06:02,850 --> 00:06:08,939
Es decir, multiplico la primera por 3 y ¿qué me quedaría?

54
00:06:09,060 --> 00:06:11,920
Recordar que en una ecuación se multiplican los dos miembros.

55
00:06:12,240 --> 00:06:21,779
Me quedaría 6x más 3y y en el segundo miembro también se multiplica todo por 3.

56
00:06:22,240 --> 00:06:25,980
Y multiplicar por 3 una matriz es multiplicar a todos los elementos por 3.

57
00:06:25,980 --> 00:06:39,240
Luego me quedaría menos 3, 3 por 8, 24, 3 por 7, 21, menos 3 por 3, menos 9, 3 por 6, 18 y 3 por 12, 36.

58
00:06:40,339 --> 00:06:42,339
¿Vale? Hemos multiplicado a toda la matriz.

59
00:06:42,339 --> 00:07:03,379
La segunda ecuación la dejamos tal cual, 4x menos 3y igual a, y escribimos la matriz que teníamos, 13 menos 4 menos 21 menos 11, 12 y 14, ¿vale?

60
00:07:03,379 --> 00:07:24,240
Este es mi sistema de ecuaciones y ahora lo que voy a hacer, fijaros que estoy haciendo una reducción normal y corriente, es sumarlas, 6x más 4x, 10x, las y son 3y menos 3y, se me van, y las matrices se suman, sumamos elemento a elemento,

61
00:07:24,240 --> 00:07:52,300
Menos 3 más 13, 10, 24 menos 4, 20, 21 menos 21, 0, menos 9 menos 11, menos 20, 18 más 12, 30 y el último 36 más 14, 50.

62
00:07:54,240 --> 00:07:59,920
¿Vale? Pero lo que hemos calculado es el valor de 10x, nosotros lo que queremos calcular es el valor de la x.

63
00:08:00,500 --> 00:08:08,040
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer es, x va a ser la décima parte, es decir, multiplicar por un décimo.

64
00:08:08,839 --> 00:08:18,759
¿Vale? Si multiplicamos por un décimo a cada uno de los elementos, al multiplicar por un décimo es como multiplicar por 10,

65
00:08:18,759 --> 00:08:20,860
O sea, perdón, dividir por 10 cada uno de ellos

66
00:08:20,860 --> 00:08:21,819
¿Qué me queda?

67
00:08:22,220 --> 00:08:23,939
1, 2, 0

68
00:08:23,939 --> 00:08:26,399
Fijaos que justamente todos los números son múltiplos de 10

69
00:08:26,399 --> 00:08:29,360
Menos 2, 3, 5

70
00:08:29,360 --> 00:08:30,519
¿Vale?

71
00:08:32,720 --> 00:08:34,159
Lo he hecho directamente

72
00:08:34,159 --> 00:08:35,600
Pero entendéis, ¿verdad?

73
00:08:35,659 --> 00:08:36,879
Lo que estoy diciendo

74
00:08:36,879 --> 00:08:38,179
Lo voy a poner aquí

75
00:08:38,179 --> 00:08:40,519
Lo que he hecho ha sido que x es

76
00:08:40,519 --> 00:08:42,080
Un décimo

77
00:08:42,080 --> 00:08:44,820
Por la matriz

78
00:08:44,820 --> 00:08:47,759
10, 20, 0

79
00:08:47,759 --> 00:08:50,000
menos 20

80
00:08:50,000 --> 00:08:51,960
30, 50

81
00:08:51,960 --> 00:08:54,440
¿vale?

82
00:08:54,980 --> 00:08:57,019
es lo que he hecho, simplemente lo que pasa es que lo he hecho

83
00:08:57,019 --> 00:08:58,600
de cabeza, me he comido ese paso

84
00:08:58,600 --> 00:09:00,940
y ahora para calcular el valor de i

85
00:09:00,940 --> 00:09:03,019
¿qué hago? bueno pues yo voy a coger la primera

86
00:09:03,019 --> 00:09:04,940
ecuación, ¿por qué? pues simplemente

87
00:09:04,940 --> 00:09:07,139
porque ya está despejada

88
00:09:07,139 --> 00:09:08,960
la i, o sea no tiene coeficiente si está

89
00:09:08,960 --> 00:09:10,580
en positivo, ¿vale? cojo

90
00:09:10,580 --> 00:09:12,700
la primera ecuación, la inicial

91
00:09:12,700 --> 00:09:14,519
esta que me daban

92
00:09:14,519 --> 00:09:16,480
si yo de aquí despejo la i

93
00:09:16,480 --> 00:09:30,960
Me queda que la Y es la matriz menos 1, 8, 7, menos 3, 6, 12, y despejamos como cualquier ecuación normal y corriente.

94
00:09:31,379 --> 00:09:35,860
¿Qué tengo aquí? Un 2X. ¿Cómo pasa al otro miembro para quitarlo de ahí? Pues restándolo.

95
00:09:36,120 --> 00:09:46,080
2 por X, y ahora pongo la matriz X que acabamos de calcular. 1, 2, 0, menos 2, 3, 5.

96
00:09:46,480 --> 00:09:50,659
lo podemos hacer todo de cabeza, ¿vale?

97
00:09:50,879 --> 00:09:53,940
¿Qué me cuesta? Pues hago lo mismo que hemos hecho antes,

98
00:09:54,259 --> 00:09:56,899
pero nos debería costar, que estamos en segundo bachillerato,

99
00:09:57,000 --> 00:10:06,240
menos 1, 8, 7, menos 3, 6, 12, y a ver, otro truco, bueno, truco,

100
00:10:06,460 --> 00:10:10,840
aquí tenemos un menos 2, si yo multiplico todo por menos 2,

101
00:10:11,740 --> 00:10:15,820
lo que hago es sumarlas, porque siempre cuando restáis os hacéis más lío,

102
00:10:16,480 --> 00:10:26,200
Entonces, si yo multiplico a todo por menos 2, aquí me queda menos 2, menos 4, 0, 8, menos 6 y menos 10.

103
00:10:27,039 --> 00:10:29,419
Y ahora os va a resultar mucho más fácil sumarlo.

104
00:10:29,700 --> 00:10:36,600
Pero a ver, que estos tendríamos que ser capaces de sumarlo, o sea, de hacer la operación directamente esta de aquí,

105
00:10:36,960 --> 00:10:39,820
sin tener que hacer este cambio, ¿vale?

106
00:10:39,919 --> 00:10:45,539
Pero bueno, es preferible hacer un paso más para asegurarnos y hacerlo bien.

107
00:10:45,539 --> 00:10:59,379
Y ahora vamos sumando, menos 1, más menos 2, menos 3, 8, más menos 4, 4, 7, más 0, 7, ¿vale?

108
00:10:59,379 --> 00:11:16,940
Seguimos la segunda fila, menos 3 más 8, 5, 6 menos 6, 0, y el último elemento, 12 más menos 10, 2, ¿vale?

109
00:11:17,299 --> 00:11:27,820
Y creo que algo he hecho raro, ah, sí, no sé si os habéis dado cuenta, pero he multiplicado por menos 2, ¿no es lo que os digo?

110
00:11:27,820 --> 00:11:34,440
si es que al final, he ido multiplicando aquí, he dicho menos 1, o sea, menos 1 por 2, menos 2 menos 4,

111
00:11:34,539 --> 00:11:38,720
y al llegar aquí, directamente he multiplicado menos 2 por menos 2, y que he puesto 8.

112
00:11:39,200 --> 00:11:42,620
¿Cuánto es menos 2 por menos 2? No es 8, ¿verdad?

113
00:11:44,899 --> 00:11:50,779
Pero bueno, fijaos que siempre, yo cuando hago las cosas así, luego hay algo que me va chirriando.

114
00:11:50,779 --> 00:11:54,419
menos 2 por menos 2 es más 4

115
00:11:54,419 --> 00:11:57,759
y por lo tanto aquí es que no me sonaba que fuera

116
00:11:57,759 --> 00:12:00,539
un 5 aquí en este resultado

117
00:12:00,539 --> 00:12:03,669
¿cuánto nos va a dar ahora?

118
00:12:04,370 --> 00:12:05,330
a ver que lo mire bien

119
00:12:05,330 --> 00:12:06,929
menos 3 más 4

120
00:12:06,929 --> 00:12:09,870
ahora sí, menos 3 más 4 es 1

121
00:12:09,870 --> 00:12:12,450
y esto ya sí que me suena más

122
00:12:12,450 --> 00:12:13,750
¿vale?

123
00:12:14,389 --> 00:12:15,909
pues nada, veis que, o sea

124
00:12:15,909 --> 00:12:17,929
igual que me pasa a mí, si os lo digo muchas veces

125
00:12:17,929 --> 00:12:21,429
nos podemos equivocar y podemos fallar muchas veces

126
00:12:21,429 --> 00:12:26,269
de lo que se trata es que veamos los errores y que los sepamos rectificar.