1
00:00:02,290 --> 00:00:07,750
Hola, venga, en este vídeo vamos a estudiar la potencia de matrices, ¿vale?

2
00:00:08,169 --> 00:00:16,410
Ya sabéis desde que sois pequeños, desde la primaria, que la potencia se define en matemáticas

3
00:00:16,410 --> 00:00:22,449
una potencia con el producto repetido de un mismo factor tantas veces como me indica el exponente, ¿de acuerdo?

4
00:00:23,010 --> 00:00:28,050
Entonces, la potencia de una matriz no es más que el producto repetido de una misma matriz

5
00:00:28,050 --> 00:00:33,789
tantas veces por sí misma como me indique el exponente que me dan, ¿de acuerdo?

6
00:00:34,670 --> 00:00:40,829
Como yo para multiplicar matrices necesito que el número de filas coincida con el número de columnas,

7
00:00:40,829 --> 00:00:43,710
solo podré hacer potencias de matrices cuadradas, ¿vale?

8
00:00:44,170 --> 00:00:50,689
Porque así, de esta manera, cuando yo escriba el producto repetido, ¿de acuerdo?

9
00:00:50,689 --> 00:00:58,189
cuadrado, pues, claro, podré efectuarlo porque el número de columnas de la primera matriz

10
00:00:58,189 --> 00:01:03,189
coincidirá con el número de filas de la segunda, ¿vale? Entonces, pues nada, simplemente recordando

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00:01:03,189 --> 00:01:08,150
el concepto de potencia como producto repetido, o sea, a mí me indican, me piden que dada

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00:01:08,150 --> 00:01:13,849
una matriz A, en este caso de orden 2, me piden que haga al cuadrado, pues nada, escribo

13
00:01:13,849 --> 00:01:21,450
dos veces la matriz con la operación multiplicación y comienzo a hacer las operaciones. 1 por

14
00:01:21,450 --> 00:01:28,250
1 es 1, más 2 por 3 es 6, 1 más 6 tendríamos por aquí 7. Como segundo elemento, el elemento

15
00:01:28,250 --> 00:01:39,010
que aquí sería el elemento 2, 1, tendríamos 1 por 2 es 2, más 2 es 4, 3 por 1 es 3, más

16
00:01:39,010 --> 00:01:49,109
3, 6 y 3 por 2, 6 más 1, 7. ¿De acuerdo? ¿Vale? Esta sería, bueno, esto sería al

17
00:01:49,109 --> 00:01:54,170
cuadrado, ¿vale? Si por ejemplo me piden que calcule al cubo, ¿vale? Pues bueno, sería

18
00:01:54,170 --> 00:02:12,310
escribir tres veces el producto de estas matrices, ¿de acuerdo? Y como hemos dicho, bueno, vale,

19
00:02:12,310 --> 00:02:17,629
una vez que lo tenemos escrito, pues nada, simplemente comenzamos a operar. Ya tenemos

20
00:02:17,629 --> 00:02:23,430
calculado uno de los productos, ¿vale? porque lo hemos hecho en el paso anterior

21
00:02:23,430 --> 00:02:26,090
entonces simplemente no vamos a volver a repetir la operación

22
00:02:26,090 --> 00:02:30,870
sino que consideramos, bueno, que ya lo tenemos

23
00:02:30,870 --> 00:02:34,469
hecho, ¿vale? y pues nada, simplemente

24
00:02:34,469 --> 00:02:40,360
bueno, para que veáis de dónde sale

25
00:02:40,360 --> 00:02:44,259
esa primera matriz y simplemente nos quedaría

26
00:02:44,259 --> 00:02:48,219
multiplicar por la otra, ¿vale? tendríamos 7 por 1

27
00:02:48,219 --> 00:02:54,360
7 más 12, 7 más 12 si no me equivoco es 19, me equivocaré muchas veces, os pido disculpas

28
00:02:54,360 --> 00:03:02,919
de antemano. 7 por 2, 14 más 4, 18, sería el segundo valor, 6 por 1, 6 más 21 sería

29
00:03:02,919 --> 00:03:12,620
27 por aquí y por último 12 más 7 que sería de nuevo 19. Ese sería el resultado de elevar

30
00:03:12,620 --> 00:03:20,780
la matriz original al cubo. Vamos a ver ahora un tipo de ejercicios que salen bastante,

31
00:03:20,960 --> 00:03:28,000
mirad, se llaman ejercicios de generalización, van a ser ejercicios en los que nos van a

32
00:03:28,000 --> 00:03:35,419
dar una matriz a priori sencilla, que va a parecer muy facilita y nos van a pedir calcular

33
00:03:35,419 --> 00:03:39,680
el término general de su potencia. Vamos a ver cómo se hace

34
00:03:39,680 --> 00:03:44,060
esto. El enunciado,

35
00:03:44,099 --> 00:03:47,180
aunque aquí no lo he copiado, sería data... A ver, os lo escribo.

36
00:04:30,439 --> 00:04:33,540
Vamos a ver ahora otro ejemplo de

37
00:04:33,540 --> 00:04:37,839
unos ejercicios que suelen salir bastante, que son ejercicios de generalización.

38
00:04:38,819 --> 00:04:41,319
Acabamos de ver cómo se halla la potencia de una matriz,

39
00:04:41,800 --> 00:04:45,500
pero hay veces que nos van a dar matrices que tienen así una pinta bastante sencilla,

40
00:04:45,500 --> 00:04:49,860
con muchos unos, ceros o elementos bastante sencillos, ¿vale?

41
00:04:50,860 --> 00:04:55,879
Números a priori bajitos, en el que nos van a pedir cuál es la potencia enésima, ¿vale?

42
00:04:56,000 --> 00:04:58,519
O sea, un término general de la potencia.

43
00:04:59,100 --> 00:05:07,220
¿Cómo calculamos esto? Pues haciendo, comenzando, comenzaremos hallando la segunda, la tercera potencia, ¿vale?

44
00:05:07,459 --> 00:05:12,839
Hay veces que, bueno, si puede que nos haga falta ya vea la cuarta también, ¿vale?

45
00:05:12,839 --> 00:05:20,579
o como se llame la matriz, pero en este proceso tendremos que observar qué sucede, ¿vale?

46
00:05:20,779 --> 00:05:26,199
¿Qué pinta tiene ese resultado que me está saliendo y qué cosas podemos concluir?

47
00:05:26,420 --> 00:05:32,279
A ver, antes parece que me estoy adelantando un poco a lo que va a salir, pero bueno, vais a ver que no es difícil, ¿vale?

48
00:05:32,939 --> 00:05:39,279
Dada esta matriz, pues nada, primero me piden hallar B, o sea, bueno, para poder hallar B sub B elevado a N.

49
00:05:39,279 --> 00:05:52,040
Bien, comenzamos hallando b al cuadrado, ¿vale? Tendríamos 1 como primer término, ¿vale? Como segundo tendríamos 1 por 1 más 1 por 1 que sería 2, ¿de acuerdo?

50
00:05:53,180 --> 00:06:06,680
1 por 1 aquí, no, a ver, perdón, 0 por 1 y 1 por 0, aquí tendríamos el valor 0 y luego 0 por 1 es 0 más 1 por 1 que sería 1, ¿vale? Este sería el resultado de elevar b al cuadrado, ¿de acuerdo?

51
00:06:07,399 --> 00:06:09,779
Vamos ahora a calcular b al cubo.

52
00:06:10,240 --> 00:06:11,379
Vamos a ver qué pinta tiene.

53
00:06:11,920 --> 00:06:15,959
b al cubo, pues ya sabéis que sería escribir tres veces la matriz b.

54
00:06:17,579 --> 00:06:21,959
Bueno, y como yo sé que primero voy a tener que multiplicar b por b y ese resultado ya lo tengo,

55
00:06:22,680 --> 00:06:23,800
pues simplemente lo escribo.

56
00:06:24,420 --> 00:06:27,560
Esto sería b por b y ahora vuelvo a escribir b, ¿vale?

57
00:06:27,639 --> 00:06:30,040
Y hago esta multiplicación.

58
00:06:30,040 --> 00:06:35,019
Venga, sabéis que como primer término, producto de la primera fila por la primera columna.

59
00:06:35,019 --> 00:06:57,300
1 por 1 es 1 más 2 por 0 que es 0, 1 más 0 es 1, 1 por 1 es 1 más 2 por 1 que es 2, 1 más 2 es 3, 0 por 1 es 0 y 1 por 0 es 0, aquí llevaríamos un 0 y por último 0 por 1 es 1 y 1 por 1 es 1, perdón 0 por 1 es 0, 0 por 1 es 0 más 1 por 1 que es 1, ¿de acuerdo?

60
00:06:57,300 --> 00:07:04,519
Este sería el resultado de la matriz B al cubo, de multiplicar la matriz B tres veces por sí misma

61
00:07:04,519 --> 00:07:18,819
Mirad, en el momento que hemos calculado dos resultados, no sé vosotros, pero esto empieza a tener aquí pinta de que hay cosas que podríamos adivinar

62
00:07:18,819 --> 00:07:22,300
Si nos pidieran, por ejemplo, calcular B a la cuarta

63
00:07:22,300 --> 00:07:32,079
¿No? Daos cuenta que estas dos matrices, lo que tienen por aquí es que primer término, o sea, lo que son los términos de la diagonal, ¿vale? Son siempre 1.

64
00:07:33,500 --> 00:07:39,240
El término que está en la posición 2, 1 siempre es 0.

65
00:07:39,240 --> 00:07:58,910
Y por último, el término que está en la posición 1, 2, cuando hemos elevado al cuadrado es un 2 y cuando hemos elevado al cubo es un 3.

66
00:07:59,430 --> 00:08:03,110
Daos cuenta que coincide con el exponente, ¿de acuerdo?

67
00:08:03,110 --> 00:08:30,389
Por tanto, ¿qué puedo yo deducir de aquí? Puedo generalizar, ¿vale? Y afirmar la pinta que va a tener b elevado a n, que no es otra, que bueno, pues los dos valores de la diagonal principal serán 1, el valor del término 2,1 será 0 y aquí tendremos el mismo valor que teníamos en el exponente, como el exponente es n, ¿vale?

68
00:08:30,389 --> 00:08:32,909
pues esta es la pinta que tiene la matriz

69
00:08:32,909 --> 00:08:34,769
la matriz

70
00:08:34,769 --> 00:08:36,629
B elevado a N