1 00:00:00,000 --> 00:00:03,200 Aquí os presento el tema 12, distribución de probabilidad. 2 00:00:03,740 --> 00:00:05,219 Lo vamos a dividir en dos bloques. 3 00:00:05,559 --> 00:00:08,939 Por un lado, el primero es la variable de discretas, 4 00:00:09,960 --> 00:00:13,400 y por otro lado, vamos a ver qué pasa con las variables continuas. 5 00:00:14,140 --> 00:00:18,739 En esta primera parte, vamos simplemente a ver estos dos primeros apartados. 6 00:00:19,539 --> 00:00:26,140 En una posterior parte, veremos el apartado 3 y 4 para distinguirlos perfectamente. 7 00:00:26,140 --> 00:00:33,840 En el apartado 1, como bien podéis ver, hablaremos de la variable aleatoria discreta y el 2 su distribución binomial 8 00:00:33,840 --> 00:00:37,520 que es uno de los ejemplos que tenemos de variables aleatorias discretas 9 00:00:37,520 --> 00:00:42,820 En el apartado 3 hablamos de la variable aleatoria continua y en el apartado 4 de la distribución normal 10 00:00:42,820 --> 00:00:45,840 que es una de las variables aleatorias continuas de las que disponemos 11 00:00:45,840 --> 00:00:51,659 Existen muchas de cada uno de los dos tipos, pero a nosotros nos interesa trabajar simplemente estas 12 00:00:51,659 --> 00:00:59,200 Recordad que habitualmente en evao entrará o bien trabajar una distribución normal o bien trabajar una distribución normal 13 00:00:59,200 --> 00:01:07,439 Hay en algunos casos, como ya veremos cuando comenzará el apartado 4, en el cual trabajando la distribución normal con un número de parámetros muy altos 14 00:01:07,439 --> 00:01:16,500 Podemos decir que se asemeja a una distribución normal, pero eso lo dejaremos para el siguiente vídeo, la siguiente parte 15 00:01:16,500 --> 00:01:18,599 Vayamos ahora con la parte teórica 16 00:01:18,599 --> 00:01:28,870 apartado 1 variable aleatoria discreta lo voy leyendo por si tenemos alguna duda con la letra 17 00:01:28,870 --> 00:01:34,569 una distribución de probabilidad es un modelo teórico que trata de explicar el comportamiento 18 00:01:34,569 --> 00:01:43,280 de un fenómeno real y diremos que una variable aleatoria discreta x es una función que asigna 19 00:01:43,280 --> 00:01:52,950 valores numéricos a esos sucesos elementales de un espacio muestral podemos ver que nuestra 20 00:01:52,950 --> 00:02:01,489 variable de la teoría discreta se va a mover desde el conjunto E, que es nuestro espacio 21 00:02:01,489 --> 00:02:07,290 muestral, y cada uno de los a sub i es lo que llamaremos cada uno de los sucesos elementales 22 00:02:07,290 --> 00:02:18,030 que tenemos. Y a eso le vamos a asignar un número real. Veámoslo en este ejemplo. Lanzamos 23 00:02:18,030 --> 00:02:25,550 dos monedas. Vamos a decir que x es el número de caras obtenidas. El espacio muestral que 24 00:02:25,550 --> 00:02:33,650 tenemos es sacar dos caras, sacar dos cruces, sacar cara en la primera moneda y cruce en la 25 00:02:33,650 --> 00:02:40,770 segunda o sacar cruz en la primera y cara en la segunda. Como nos están preguntando por el número 26 00:02:40,770 --> 00:02:49,289 de caras obtenidas, si he sacado cara a cara he obtenido dos, si he sacado cruz cruz no he obtenido 27 00:02:49,289 --> 00:02:55,909 ninguna. Si he sacado cara cruz he obtenido una y si he sacado cruz cara he obtenido una. Es decir, 28 00:02:56,030 --> 00:03:04,979 que a esos sucesos le vamos a asociar números reales. Seguimos, avanzamos y decimos ¿qué es 29 00:03:04,979 --> 00:03:11,580 una función de probabilidad? Es la aplicación que asigna a cada valor de la variable aleatoria 30 00:03:11,580 --> 00:03:19,120 discreta, que a partir de ahora utilizaré estas siglas, pues eso, a esa variable aleatoria discreta 31 00:03:19,120 --> 00:03:24,259 x, le vamos a asignar la probabilidad que la variable tome de dicho valor. Es decir, 32 00:03:25,479 --> 00:03:31,180 que nosotros vamos a pasar esto, como es probabilidad, a un número que esté entre 0 y 1. Es decir, 33 00:03:31,419 --> 00:03:38,300 a cada x sub i le vamos a asignar una probabilidad. ¿Cómo hacemos esto? En la siguiente página 34 00:03:38,300 --> 00:03:45,599 podemos verlo. Lo pongo así para luego seguir pasando. Me dice, lanzamos dos monedas, x 35 00:03:45,599 --> 00:03:50,460 ese es el número de caras obtenidas, y lo que quiero obtener es su función de probabilidad. 36 00:03:50,699 --> 00:03:55,240 ¿Qué es lo que pasará? Que para cara a cara tendré que ver cuál es la probabilidad. 37 00:03:58,129 --> 00:04:01,129 Eso será sacar cara en la primera y sacar cara en la segunda. 38 00:04:03,009 --> 00:04:07,389 Para sacar cruz-cruz, que es sacar cruz en la primera y cruz en la segunda, 39 00:04:07,849 --> 00:04:10,270 pues tendré que hacerlo, puesto que son sucesos independientes, 40 00:04:10,849 --> 00:04:12,689 pues ver la probabilidad de cada uno de ellos. 41 00:04:12,689 --> 00:04:22,050 y luego sacar una única moneda, para eso voy a tener que sacar cara y cruz o cruz y cara. 42 00:04:22,649 --> 00:04:29,170 Recordad que cuando nosotros vamos haciendo una lectura del problema y nos aparece la palabra y, 43 00:04:29,769 --> 00:04:35,430 nos está hablando normalmente de una multiplicación y cuando aparece la palabra o, nos está hablando de una suma. 44 00:04:35,430 --> 00:04:37,629 Veamos cómo se ha resuelto este ejemplo. 45 00:04:37,629 --> 00:04:52,399 Bueno, pues como vemos, la probabilidad de que mi x valga 2, que es obtener dos caras, solamente viene reflejada por sacar cara, cara 46 00:04:52,399 --> 00:04:55,519 Lo vemos aquí, la manera de expresarlo es x igual a 2 47 00:04:55,519 --> 00:05:00,920 Y es cara en la primera, que es un medio, cara en la segunda, que es otro medio 48 00:05:00,920 --> 00:05:05,939 Un medio por un medio, porque es cara y cara, un cuarto 49 00:05:05,939 --> 00:05:12,360 Si por el contrario lo que nos está diciendo es que lo que queremos es que sea 1, es decir, sacar una cara 50 00:05:12,360 --> 00:05:18,560 Y eso se me va a dar o bien cuando tengo cara y cruz o cuando tengo cruz y cara 51 00:05:18,560 --> 00:05:21,759 Cara y cruz, un medio por un medio, un cuarto 52 00:05:21,759 --> 00:05:25,420 Cruz, cara, un medio por un medio, un cuarto 53 00:05:25,420 --> 00:05:29,939 Como quiero una condición o la otra condición, una suma 54 00:05:29,939 --> 00:05:34,519 Resultado de un cuarto más un cuarto son dos cuartos, que simplificado nos da un medio 55 00:05:34,519 --> 00:05:45,459 Cuando estamos hablando de tener cero caras, nos hemos pasado al caso de sacar cruz y sacar cruz 56 00:05:45,459 --> 00:05:49,279 Recordamos que un medio por un medio es un cuarto 57 00:05:49,279 --> 00:05:50,959 ¿Cómo podemos expresarlo? 58 00:05:51,399 --> 00:06:01,120 Bueno, pues significa que en función de probabilidad, a los valores de x, que recordamos que mi x es el número de caras obtenidas 59 00:06:01,120 --> 00:06:05,199 pues yo al lanzar dos monedas puedo obtener o bien 0, o bien 1, o bien 2. 60 00:06:06,319 --> 00:06:09,680 Si es 0, le corresponde de probabilidad, como hemos calculado arriba, un cuarto. 61 00:06:10,079 --> 00:06:12,579 Si es 1, le corresponde, como hemos calculado arriba, un medio. 62 00:06:13,180 --> 00:06:16,100 Y si es 2, le corresponde, como hemos calculado arriba, un cuarto. 63 00:06:20,839 --> 00:06:22,319 ¿Qué es lo que se va a cumplir siempre? 64 00:06:22,480 --> 00:06:28,939 Que si yo sumo todos los elementos, o sea, todas las posibilidades que existe en mi variable aleatoria discreta, 65 00:06:29,100 --> 00:06:30,879 la suma tiene que ser 1. 66 00:06:30,879 --> 00:06:42,740 Siguemos en el ejemplo anterior, si yo sumo un cuarto, un medio son tres cuartos y otro cuarto me da este 1 67 00:06:42,740 --> 00:06:49,839 Veamos otro ejemplo, lo muestro poco a poco para que lo pensemos 68 00:06:49,839 --> 00:06:55,600 Lanzamos una moneda, si sale cara ganamos un euro, si sale cruz pagamos un euro 69 00:06:55,600 --> 00:06:58,720 ¿Cuál es la función de probabilidad que mide la ganancia? 70 00:06:58,720 --> 00:07:03,480 Es decir, en este caso simplemente estamos lanzando una moneda 71 00:07:03,480 --> 00:07:08,040 Con lo cual puede ser, las opciones que tengo para mi espacio mostrado serán cara o cruz 72 00:07:08,040 --> 00:07:11,939 Y ahora lo que tenemos que ver es que le vamos a asociar un valor 73 00:07:11,939 --> 00:07:18,660 En este caso, o bien uno, es decir, ganar un euro es lo que diremos sumar uno 74 00:07:18,660 --> 00:07:23,500 O bien pagar un euro, que es lo que diremos restar uno 75 00:07:23,500 --> 00:07:26,139 Vamos a avanzar 76 00:07:26,139 --> 00:07:38,870 Ya sabéis que me gusta mucho ponerlo todo en forma de tabla. Es decir, que si mi xy da el valor 1 o el valor es menos 1, le tenemos que asignar una probabilidad. 77 00:07:41,209 --> 00:07:48,259 Si he ganado un euro, la probabilidad de eso es sacar cara y la probabilidad de cara es un medio. 78 00:07:49,439 --> 00:07:55,540 Si me sale a pagar un euro, es decir, el menos 1, su probabilidad también es un medio. ¿Por qué? 79 00:07:55,540 --> 00:08:05,980 ¿Por qué? Porque esto sale cuando nosotros hemos obtenido una cruz. 80 00:08:05,980 --> 00:08:08,560 No nos preocupemos, vamos a hacer unos cuantos ejemplos más. 81 00:08:09,339 --> 00:08:10,860 Este es un poquito ya para pensar. 82 00:08:13,740 --> 00:08:17,120 Me dan una función de probabilidad de x, ¿vale? 83 00:08:17,180 --> 00:08:21,920 En la cual, como vemos, xy puede tomar los valores menos 2 menos 1, 0, 1, 2. 84 00:08:22,259 --> 00:08:26,660 En este caso es más teórico, nos da un poquito igual los valores que tome. 85 00:08:27,079 --> 00:08:28,639 Y a eso les asigno una probabilidad. 86 00:08:28,639 --> 00:08:33,399 Ahora, el que sea un menos 2, su probabilidad es de 0,08 como veis en la tabla. 87 00:08:34,799 --> 00:08:37,620 Si es menos 1, su probabilidad es 0,32 como veis en la tabla. 88 00:08:38,679 --> 00:08:44,379 Si es 0,05, bueno, de hecho, si es 0, su probabilidad es 0,05. 89 00:08:45,039 --> 00:08:46,080 Fijaros ahora que es lo que aparece. 90 00:08:47,659 --> 00:08:54,340 Nos aparece, en este caso, como ya sabéis, como os gusta, una variable. 91 00:08:54,340 --> 00:08:58,279 Es decir, cuando la xy vale 1, resulta que no sé su probabilidad. 92 00:08:58,279 --> 00:09:16,639 Tendré que calcularla. Y cuando la xy vale 2, su probabilidad es de 0,32. Una vez que hay el valor de a, como nos está diciendo el enunciado, me están pidiendo cuál es la probabilidad de que x sea igual a 1, cuál es la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1 y cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual que menos 1. 93 00:09:16,639 --> 00:09:34,750 Después, tras unos segundos de pensar, o bien que directamente seáis capaces de parar el vídeo, intentarlo, procedo a su resolución. 94 00:09:38,210 --> 00:09:38,889 Vamos a verlo. 95 00:09:41,529 --> 00:09:43,509 Nos dice, ¿cómo calculo la A? 96 00:09:43,809 --> 00:09:49,529 Yo sé que siempre se cumple, como hemos visto arriba, que la suma de todas las probabilidades de los sucesos tiene que ser 1. 97 00:09:49,529 --> 00:09:57,450 Es decir, que si para el menos 2 sé que es 0,08, para el menos 1 sé que es 0,32, para el 0 es 0,05 98 00:09:57,450 --> 00:10:00,669 Para el 1 no tengo ni idea porque es lo que busco saber 99 00:10:00,669 --> 00:10:05,809 Y para el 2 es 0,32, si yo sumo todos esos, el resultado tiene que ser 1 100 00:10:05,809 --> 00:10:12,649 Pues sumando y despejando obtengo que mía vale 0,23 101 00:10:12,649 --> 00:10:16,649 Así puedo contestar la primera pregunta 102 00:10:16,649 --> 00:10:18,470 ¿Cuál es la probabilidad de que x sea igual a 1? 103 00:10:18,470 --> 00:10:24,549 Pues eso va a coincidir con, mirando en la tabla, que se le asigna al valor 1 104 00:10:24,549 --> 00:10:27,610 Que en este caso me devuelve 0,23, que es lo que hemos calculado 105 00:10:27,610 --> 00:10:31,110 En el siguiente me dicen, probabilidad de que x sea mayor o igual que 1 106 00:10:31,110 --> 00:10:36,169 ¿Eso qué quiere decir? Pues ahí tenemos que ver los que nos valen 107 00:10:36,169 --> 00:10:39,529 Perdona que vaya borrando un poquito para no nos liemos con las flechas 108 00:10:39,529 --> 00:10:45,990 Es decir, nosotros lo que tenemos que ver es, mayor o igual que 1 109 00:10:45,990 --> 00:10:55,470 Esto es 2. Y es la probabilidad de que x sea igual a 1 más la probabilidad de que x sea igual a 2. 110 00:10:56,230 --> 00:11:02,950 Los valores que me devuelven la tabla es 0.23 calculado anteriormente y 0.32, total 0.55. 111 00:11:05,029 --> 00:11:12,929 Para el siguiente apartado que es x menor o igual que menos 1, los números que cumplen eso, los valores son el menos 1 y el menos 2. 112 00:11:13,509 --> 00:11:18,809 Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer? Pues para el menos 1, calcular su probabilidad, 113 00:11:18,809 --> 00:11:25,110 que en este caso la tenemos anulada a la tabla, que es 0.32, y para el menos 2 también vamos a observar la tabla. 114 00:11:26,389 --> 00:11:30,830 Y este nos da 0.08. Si lo sumamos, el resultado es 0.4. 115 00:11:32,820 --> 00:11:37,320 Así que en principio, dada una tabla o una vez completada la tabla, 116 00:11:37,980 --> 00:11:42,940 somos capaces de, mirando esto, calcular las distintas probabilidades de lo que nos vaya marcando el enunciado, 117 00:11:43,120 --> 00:11:49,889 que nos tiene que dar el experimento que hemos realizado y los sucesos de los que queremos calcular su probabilidad. 118 00:11:49,889 --> 00:11:53,370 De momento, espero que sea útil. Ahora vamos a complicarlo un poquillo más, ya lo sabéis. 119 00:11:54,649 --> 00:11:58,649 Vamos a decir esta parte de teoría, que os muestro también en el ejemplo, y nos dice, 120 00:11:59,289 --> 00:12:04,250 llamamos función de distribución, hemos cambiado función de probabilidad por función de distribución. 121 00:12:04,250 --> 00:12:08,779 Voy a cambiar el color, que también me gusta más el rojo. 122 00:12:09,840 --> 00:12:11,159 Función de distribución. 123 00:12:12,019 --> 00:12:14,480 Y la vamos a llamar f sub x de xy. 124 00:12:14,840 --> 00:12:20,080 Y es una aplicación, ojo que hemos cambiado, aplicación, que asigna a cada xy, 125 00:12:21,720 --> 00:12:27,419 de la variable de la teoría discreta, la probabilidad de tomar valores menores o iguales a este xy. 126 00:12:28,860 --> 00:12:36,600 Es decir, esto es, si recordáis en estadística, bueno, si recordáis o habéis dado en algún momento cuando hacíamos las tablas de estadística, 127 00:12:37,820 --> 00:12:46,139 lo que era la frecuencia acumulada, que era el primer valor era igual, coincidiendo con la frecuencia del segundo valor, 128 00:12:46,139 --> 00:12:48,759 lo que hacíamos era sumar las dos frecuencias relativas. 129 00:12:49,240 --> 00:12:53,720 El tercer valor sumábamos las tres primeras, el cuarto valor las cuatro siguientes. 130 00:12:54,059 --> 00:12:55,039 Vamos a hacer algo parecido. 131 00:12:55,500 --> 00:13:04,240 Como definición nos dice que la función de distribución es la probabilidad de que x sea menor o igual que xy. 132 00:13:04,759 --> 00:13:10,940 Si es menor o igual, como hemos visto en el ejemplo anterior, lo que vamos a tener que hacer al final es sumar distintas probabilidades. 133 00:13:12,000 --> 00:13:13,519 Y luego, propiedades que podemos sacar de ahí. 134 00:13:13,519 --> 00:13:22,679 Si nos preguntan por la probabilidad de que x sea mayor que xy, diremos que eso es 1 menos f de xy. 135 00:13:23,879 --> 00:13:32,000 Y la probabilidad que sea x igual a xy es igual a la función de distribución de xy menos la función de distribución de xy menos 1. 136 00:13:32,299 --> 00:13:39,720 Vamos a recordar, por si acaso, tenerlo en mente, estas fórmulas que en algunos ejercicios cuando nos quieren complicar un poquito la vida, 137 00:13:39,720 --> 00:13:44,799 pues nos hacen alguna alusión teórica a lo anterior para que dudemos. 138 00:13:45,000 --> 00:13:47,659 Así que vamos a intentar interiorizar fundamentalmente esto 139 00:13:47,659 --> 00:13:50,700 y luego que sepamos esas dos consecuencias que tenemos ahí. 140 00:13:51,340 --> 00:13:52,779 Veamos este ejercicio 5. 141 00:13:55,279 --> 00:13:58,360 Lo muestro entero y luego pongo el 6 para ver si somos capaces de reproducirlo. 142 00:13:59,059 --> 00:14:01,360 Nos dice que tenemos x, que es una variable aleatoria discreta. 143 00:14:01,620 --> 00:14:05,419 No nos habla ni de qué tipo de sucesos son, ni el experimento que se ha realizado, ni nada. 144 00:14:05,779 --> 00:14:07,840 Y nos da su función de probabilidad, como veis en la tabla. 145 00:14:07,840 --> 00:14:17,340 Es decir, al 0 le corresponde una probabilidad de 0 con 1, al 1 le corresponde una probabilidad de 0 con 2, al 2 le corresponde una probabilidad de 0 con 4 y al 3 le corresponde una probabilidad de 0 con 3. 146 00:14:17,679 --> 00:14:24,759 Y me dicen, haya la función de distribución de x. Bueno, pues vamos allá. 147 00:14:26,080 --> 00:14:32,860 ¿Qué es lo primero? Me están diciendo que fx del 0, tenemos que empezar a hacerlo para el 0, para el 1, para el 2 y para el 3. 148 00:14:32,860 --> 00:14:40,899 Cogiendo la definición me dice que fx de 0 es la probabilidad cuando x es menor o igual que 0 149 00:14:40,899 --> 00:14:43,419 ¿Y eso con quién coincide? Pues solo con el 0 150 00:14:43,419 --> 00:14:46,659 Probabilidad de x igual a 0, resultado 0,1 151 00:14:46,659 --> 00:14:54,240 Si me hablan de fx de 1, diré que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 1 152 00:14:54,240 --> 00:15:00,220 ¿Y eso cuándo se da? Pues como es un menor o igual se da o bien cuando el x es 1 o bien cuando el x es 0 153 00:15:00,220 --> 00:15:10,539 Por eso sumo esas dos probabilidades. Pues este 0,3 sale de coger el 0,1, coger el 0,2 y sumarlas. 154 00:15:11,080 --> 00:15:22,919 Resultado 0,3. Si nos vamos ahora al fx del 2, que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 2, 155 00:15:23,519 --> 00:15:27,919 en ese momento lo que tengo es que sea 0, que sea 1 o que sea 2. 156 00:15:28,720 --> 00:15:34,480 Sumo esas probabilidades, si sumo 0,1, 0,2 y 0,4, mi resultado va a ser 0,7. 157 00:15:35,559 --> 00:15:42,100 Y por último, si nos vamos a fx3, diré que es la probabilidad de que x sea menor o igual que 3. 158 00:15:42,440 --> 00:15:50,799 ¿Y qué es lo que va a ser en este caso? Pues que sumemos todas las probabilidades que tengamos, es decir, desde el 3 hacia atrás. 159 00:15:51,159 --> 00:15:53,840 Es decir, probabilidad de que es igual a 3, al 2, al 1 y al 0. 160 00:15:54,299 --> 00:15:57,779 Esto, si está bien definido, mi función de probabilidad me dará 1. 161 00:15:58,519 --> 00:16:03,200 ¿Cómo paso esto a una tabla? Pues nada, pues simplemente lo que me están pidiendo es 162 00:16:03,200 --> 00:16:09,080 coge esta tabla con los valores 0, 1, 2 y 3 que aparecen en la anterior 163 00:16:09,080 --> 00:16:17,200 y automáticamente al 0 asignarle 0,1, al 1 asignarle el 0,3 que tenemos aquí, 164 00:16:18,100 --> 00:16:24,100 al 2 asignarle el 0,7 que hemos obtenido aquí y finalmente al 3 asignarle el 1. 165 00:16:24,100 --> 00:16:34,600 Pues bueno, nos dicen ahora un ejercicio que lo suyo sería que parases el vídeo e intentases hacerlo 166 00:16:34,600 --> 00:16:40,080 y me dices, sea la función de probabilidad de x, una variable aleatoria discreta, 167 00:16:41,539 --> 00:16:49,779 pues que al 0 su probabilidad es el 0,2, del 1 su probabilidad es el 0,3, del 2 su probabilidad es 0,1 y del 3 su probabilidad es 0,4. 168 00:16:49,779 --> 00:17:16,460 Y me dicen, representa esta función de probabilidad, como bien tenemos ahí, y también su función de distribución, es decir, que tendré que a partir de la tabla que me dan aquí, calcular la tabla, como habéis visto, de Cx, y luego después poder realizar la representación gráfica en dos dimensiones. 169 00:17:16,460 --> 00:17:20,920 Para del vídeo, intentadlo y yo continúo 170 00:17:20,920 --> 00:17:24,420 Primero, ¿cómo obtener fx? 171 00:17:24,559 --> 00:17:29,359 Pues nada, sabemos que al 0, en este caso, son los x menores o iguales que 0 172 00:17:29,359 --> 00:17:31,400 Solo coincide con el 0, luego es el mismo valor 173 00:17:31,400 --> 00:17:37,019 Para el 1, lo que tengo que hacer es cogerme los que son menores o iguales que el 1 174 00:17:37,019 --> 00:17:40,880 Es decir, el 0,3 y el 0,2 y sumarlos, por eso obtengo el 0,5 175 00:17:40,880 --> 00:17:47,380 Para el 2 lo que tengo que hacer es coger del 2 hacia abajo 176 00:17:47,380 --> 00:17:51,079 Porque son la probabilidad de los X que son menores o iguales que 2 177 00:17:51,079 --> 00:17:52,220 Es decir, el 2, el 1 y el 0 178 00:17:52,220 --> 00:17:55,799 Así que sumo estas tres probabilidades y obtengo el 0,6 179 00:17:55,799 --> 00:18:06,680 Y por último, para el 3 lo que tengo que hacer es coger todas las probabilidades hacia atrás 180 00:18:06,680 --> 00:18:09,940 Porque es el último, es decir, 0,4 más 0,1 más 0,3 más 0,2 181 00:18:09,940 --> 00:18:17,579 resultado 1. Una vez que tenemos, procedemos a su representación. Como es una variable, 182 00:18:17,819 --> 00:18:22,859 si vamos recordando, al ser una variable discreta, su representación gráfica simplemente serán 183 00:18:22,859 --> 00:18:28,539 unos números. Y le asignaremos el valor que tiene. El valor máximo que puede tener en 184 00:18:28,539 --> 00:18:34,819 las dos gráficas es 1. Y vemos. Si la x la quiero representar en el eje de las x y la 185 00:18:34,819 --> 00:18:38,799 probabilidad, bueno, la función de probabilidad en el eje de las y es, lo que voy a decir 186 00:18:38,799 --> 00:18:45,319 es que el 0 tiene que subir hasta 0,2, el 1 tiene que subir hasta 0,3, el 2 tiene que 187 00:18:45,319 --> 00:18:53,519 subir hasta 0,1 y el 3 tiene que subir hasta 0,4. La siguiente función, f de x, su función 188 00:18:53,519 --> 00:18:57,000 de distribución, lo que nos está diciendo al final es que el valor máximo que tiene 189 00:18:57,000 --> 00:19:04,539 es 1, ¿vale? Pero estamos hablando de menores o iguales. ¿Qué es lo que se nos genera? 190 00:19:04,599 --> 00:19:08,500 Como habéis visto, que conocéis, una función definida a trozos. ¿Qué me está diciendo? 191 00:19:08,500 --> 00:19:15,170 que para x menor o igual que 0, lógicamente no existe esa función, irá hacia atrás. 192 00:19:15,690 --> 00:19:21,150 Para el 0 vale 0,2. Por eso es por lo que ponemos el punto. 193 00:19:24,130 --> 00:19:31,049 Vamos a borrar. Como habéis visto, tenemos ahí un punto. 194 00:19:33,259 --> 00:19:40,400 Para x igual a 1 me da 0,5. Para x igual a 2 me da 0,6. Y para x igual a 3 me da 1. 195 00:19:40,819 --> 00:19:43,880 ¿Qué es lo que pasa? Como estamos hablando de cosas que son menores o iguales, 196 00:19:43,880 --> 00:19:53,960 Entonces yo sé que menor o igual que el 1, es decir, sería de siempre, para esos valores será 0,2. 197 00:19:54,759 --> 00:19:56,660 Por eso que todos van a ser 0,2. 198 00:19:57,119 --> 00:20:02,099 Y en el 1, pues tengo aquí una función definida de trozos, en el 1 su valor lo subimos para arriba. 199 00:20:03,019 --> 00:20:06,680 ¿Vale? Como es como las funciones, como la función parte entera, ahí está el tipo de funciones. 200 00:20:09,309 --> 00:20:12,349 ¿Vale? Podemos llegar a esa conclusión. 201 00:20:16,440 --> 00:20:19,500 Seguimos avanzando. Por suerte, habitualmente, esto no vais a tener que representarlo. 202 00:20:19,500 --> 00:20:23,799 Bueno, por suerte o de gracia, ¿vale? Porque como vemos tampoco es que sean unos ejercicios excesivamente complicados. 203 00:20:25,119 --> 00:20:34,619 Si seguimos avanzando, nos vamos a definición de media o esperanza, que eso nos tiene que sonar algo más. 204 00:20:35,380 --> 00:20:45,700 Llamaremos media o esperanza de una x, es decir, una variable datoria discreta, y la representaremos por la letra mu, ¿vale? 205 00:20:45,759 --> 00:20:48,640 También, efectivamente, en mu minúscula del alfabeto griego. 206 00:20:48,640 --> 00:20:55,140 A veces la podemos encontrar como una E y una X entre corchetes. Cuidado no confundir con la parte entera de X. 207 00:20:55,799 --> 00:21:00,779 Si estamos hablando de temas de probabilidad o de estadística, significa que estamos hablando de la media o esperanza. 208 00:21:01,539 --> 00:21:05,599 Entonces, ¿cuál es la definición? Para no liar, yo suelo utilizar la letra mu. 209 00:21:06,400 --> 00:21:10,119 Y su definición es, cógete la primera X y multiplícala por su probabilidad. 210 00:21:10,259 --> 00:21:12,539 Cógete la segunda X y multiplícala por su probabilidad. 211 00:21:13,160 --> 00:21:17,359 Así hasta que lleguemos al valor N y lo multiplique por su probabilidad. 212 00:21:17,359 --> 00:21:29,460 Si lo queremos poner en forma de un sumatorio, diremos que es la suma desde i igual a 1 hasta n de todos los x y por la probabilidad asignada a esos x y. 213 00:21:30,440 --> 00:21:31,839 Lo vemos en el ejemplo 7. 214 00:21:33,720 --> 00:21:34,000 ¿Vale? 215 00:21:34,920 --> 00:21:39,809 Aparte, decimos, lanzamos dos monedas. 216 00:21:40,910 --> 00:21:42,890 Si obtenemos dos caras, ganamos 3 euros. 217 00:21:43,089 --> 00:21:44,950 Si obtenemos una cara, ganamos 1 euro. 218 00:21:45,569 --> 00:21:48,230 Y si no obtenemos ninguna cara, pagamos 5 euros. 219 00:21:48,930 --> 00:21:51,230 Y me pregunta por la ganancia media del juego. 220 00:21:52,670 --> 00:21:56,190 Nosotros vamos a llamar mi X es cuánto vamos a ganar. 221 00:21:57,089 --> 00:21:57,769 Esa ganancia. 222 00:21:58,470 --> 00:22:02,069 Entonces me está diciendo, en un resumen, como tenemos aquí, un esquema más bien. 223 00:22:02,529 --> 00:22:04,809 Si saco dos caras, gano 3 euros. 224 00:22:06,109 --> 00:22:10,250 Si saco solo una cara, voy a ganar 1 euro. 225 00:22:11,029 --> 00:22:13,650 Y si no saco ninguna cara, significa que he sacado dos cruces. 226 00:22:14,230 --> 00:22:14,970 Pierdo 5 euros. 227 00:22:15,369 --> 00:22:19,410 ¿Cómo traduzco eso en la tabla de la función de probabilidad? 228 00:22:19,809 --> 00:22:25,069 Los valores que puede tomar mi XI es, como estoy hablando de ganancias, o el 3, o el 1, o el 5. 229 00:22:25,710 --> 00:22:26,670 O sea, perdón, el menos 5. 230 00:22:27,630 --> 00:22:30,029 Y ahora, ¿cuál es la probabilidad de que yo gane 3 euros? 231 00:22:30,289 --> 00:22:32,470 La probabilidad de que yo gane 3 euros es que saque dos caras. 232 00:22:32,769 --> 00:22:34,730 Significa que es un medio por un medio, un cuarto. 233 00:22:35,849 --> 00:22:36,490 Aquí lo tenemos. 234 00:22:37,130 --> 00:22:38,529 ¿Cuál es la probabilidad de que gane un euro? 235 00:22:38,930 --> 00:22:43,349 Significa que o bien he sacado cara cruz, o bien he sacado cruz cara. 236 00:22:43,349 --> 00:22:52,329 es decir, una sola cara, la probabilidad de eso que es, recordad, cara cruz es un medio por un medio, que es un cuarto, 237 00:22:52,769 --> 00:22:59,490 o, significa el más, cruz cara, que es un medio por un medio, otro cuarto, es decir, un cuarto más un cuarto, un medio. 238 00:23:00,609 --> 00:23:08,910 Y por último, el que yo pierda cinco euros, de ahí este menos cinco, la probabilidad de que pase eso que es un cuarto. 239 00:23:08,910 --> 00:23:14,869 Si yo ahora, aparte de borrarlo todo 240 00:23:14,869 --> 00:23:20,509 Si yo ahora lo que digo es, lo que quiero saber es cuál es la ganancia media del juego 241 00:23:20,509 --> 00:23:23,970 Pues lo que tengo que hacer es la formulita que nos venía arriba 242 00:23:23,970 --> 00:23:31,329 Que como hemos visto era, cógete y suma este producto, este producto y así todos los que tengas hasta ahí 243 00:23:31,329 --> 00:23:32,970 Bueno, pues lo hacemos 244 00:23:32,970 --> 00:23:34,890 iremos 3 por un cuarto 245 00:23:34,890 --> 00:23:37,230 más 1 por un medio 246 00:23:37,230 --> 00:23:39,069 menos, ¿por qué ese menos? 247 00:23:39,230 --> 00:23:40,109 porque todo aquí es menos 5 248 00:23:40,109 --> 00:23:43,029 por un cuarto, resultado, si lo sumo 249 00:23:43,029 --> 00:23:44,269 todas estas cosas me da 0 250 00:23:44,269 --> 00:23:46,150 entonces una cosa que tenemos que saber 251 00:23:46,150 --> 00:23:48,470 es que cuando vayamos a jugar un juego de azar 252 00:23:48,470 --> 00:23:49,910 diremos que un juego es justo 253 00:23:49,910 --> 00:23:53,670 cuando su ganancia media es 0 254 00:23:53,670 --> 00:23:57,109 estaremos en un juego en desventaja 255 00:23:57,109 --> 00:23:59,430 cuando su ganancia media 256 00:23:59,430 --> 00:24:00,230 es menor que 0 257 00:24:00,230 --> 00:24:02,089 y estaremos en un juego en ventaja 258 00:24:02,089 --> 00:24:05,109 cuando su ganancia media es mayor que cero 259 00:24:05,109 --> 00:24:06,549 recordad que habitualmente 260 00:24:06,549 --> 00:24:08,849 juegos de azar, casinos, etc 261 00:24:08,849 --> 00:24:12,009 en el momento en el que tenemos dinero 262 00:24:12,009 --> 00:24:13,650 lo que nos solemos encontrar 263 00:24:13,650 --> 00:24:15,769 si lo calculásemos 264 00:24:15,769 --> 00:24:18,369 es un juego en desventaja 265 00:24:18,369 --> 00:24:20,630 porque pensar que tiendas 266 00:24:20,630 --> 00:24:24,309 alguna vez suelen cerrar 267 00:24:24,309 --> 00:24:26,349 pero casinos y casas de apuestas 268 00:24:26,349 --> 00:24:27,670 jamás cierran, ¿por qué? 269 00:24:28,089 --> 00:24:29,069 porque ellos van a... 270 00:24:29,069 --> 00:24:31,230 si para nosotros tenemos una ganancia media 271 00:24:31,230 --> 00:24:33,849 negativa significa que ellos la tienen positiva 272 00:24:33,849 --> 00:24:35,789 consecuencia, siempre están ganando 273 00:24:35,789 --> 00:24:37,569 dinero, por eso es un juego en desventaja 274 00:24:37,569 --> 00:24:40,089 habitualmente, nunca nos encontraremos 275 00:24:40,089 --> 00:24:41,450 con un juego en ventaja 276 00:24:41,450 --> 00:24:47,549 seguimos avanzando 277 00:24:47,549 --> 00:24:50,569 me dicen, para que penséis 278 00:24:50,569 --> 00:24:52,329 calcular la media de x 279 00:24:52,329 --> 00:24:54,170 variable aleatoria discreta, dada por 280 00:24:54,170 --> 00:24:55,670 la siguiente tabla 281 00:24:55,670 --> 00:24:58,529 en la que podemos ver su función de probabilidad 282 00:24:58,529 --> 00:25:01,910 repito, deberíamos 283 00:25:01,910 --> 00:25:03,509 parar e intentar hacerlo 284 00:25:03,509 --> 00:25:07,779 si lo hacéis bien, y si no 285 00:25:07,779 --> 00:25:09,599 pues bueno, aquí tenemos la solución 286 00:25:09,599 --> 00:25:30,920 Y nos dice que nuestra media va a ser que nos cojamos x1 por la probabilidad de x1, x2 que es 1 por la probabilidad, por su probabilidad que es 0,2, x3 que es 2 por su probabilidad y x4 que es 3 por su probabilidad. 287 00:25:30,920 --> 00:25:41,900 Recordad que esto sería x1, x2, x3 y x4. Serían esto de aquí, el 0, el 1 y el 2. 288 00:25:45,960 --> 00:25:55,019 Bueno, pues si cogemos y realizamos ese producto, lo que obtenemos es 0 por 0 con 3, 1 por 0 con 2, 2 por 0 con 1, 3 por 0 con 4. 289 00:25:55,460 --> 00:26:01,519 Hacemos las operaciones y puedo asegurar que la media, en este caso, es 1 con 6. 290 00:26:05,089 --> 00:26:11,410 Otra definición, porque después de la media sabemos que siempre tenemos la varianza y la desviación típica, ¿no? 291 00:26:11,410 --> 00:26:13,210 Se nos va sonando como conceptos estadísticos. 292 00:26:13,809 --> 00:26:20,990 Pues llamaremos varianza de x y la representaremos con un sigma cuadrado, sigma minúscula, también letra griega, 293 00:26:21,650 --> 00:26:25,049 y esto no significa que hay que elevar al cuadrado ni nada, sino que esto es así, ¿vale? 294 00:26:25,049 --> 00:26:26,710 Siempre pondremos una s y un 2 ahí arriba. 295 00:26:26,710 --> 00:26:34,990 y diremos que esto es elevar la variable xy al cuadrado y multiplicarla por su probabilidad 296 00:26:34,990 --> 00:26:42,789 y al final una vez haciendo esa suma entera, como vemos aquí, restarle la media que hayamos obtenido al cuadrado. 297 00:26:43,089 --> 00:26:53,630 A veces que sepamos que la varianza también la podemos representar como vx igual que le pasaba a la media 298 00:26:53,630 --> 00:26:59,109 que la podemos representar como edx pues en algunos libros o algunos apuntes podemos encontrarla como vx. 299 00:27:00,309 --> 00:27:02,430 Vamos a definir también la derivación típica. 300 00:27:03,589 --> 00:27:12,039 Es decir, definimos esta derivación típica como una vez que obtengamos un número de la varianza, 301 00:27:12,400 --> 00:27:14,680 haremos su raíz cuadrada y nos quedaremos con el valor positivo. 302 00:27:15,299 --> 00:27:15,980 Simplemente eso. 303 00:27:16,440 --> 00:27:20,920 De momento no nos piden ni que interpretemos los valores ni nada, simplemente que aprendamos a calcularlos. 304 00:27:21,420 --> 00:27:21,839 Pues vamos allá. 305 00:27:23,779 --> 00:27:28,420 Me dicen, haya la varianza y la derivación típica de esta variable de la teoría discreta 306 00:27:28,420 --> 00:27:30,400 y nos la dan mediante su función de probabilidad. 307 00:27:30,940 --> 00:27:44,920 ¿Vale? Con esos valores. ¿Cómo lo haremos? Primero tenemos que calcular su media y recordad que es 0 por 0 con 1 más 1 por 0 con 2 más 2 por 0 con 4 más 3 por 0 con 3. 308 00:27:44,920 --> 00:27:49,460 Entonces, al hacerlo eso, tenemos que la media es 1,9. 309 00:27:53,130 --> 00:27:54,829 ¿Cómo obtenemos la varianza? 310 00:27:55,130 --> 00:28:13,200 Pues la varianza será que nos cojamos este primer valor y lo elevemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,1. 311 00:28:13,519 --> 00:28:19,140 Cojamos este valor, lo elevemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,2. 312 00:28:19,279 --> 00:28:21,420 Cojamos este valor, lo elevemos al cuadrado. 313 00:28:22,859 --> 00:28:26,740 Parece que va a estar complicado. 314 00:28:26,740 --> 00:28:32,539 Lo leemos al cuadrado, lo leemos... bueno, no quiero elevarse al cuadrado 315 00:28:32,539 --> 00:28:40,940 Lo veis, el 0, el 1, el 2, el 3 y el 3 lo leemos al cuadrado y lo multipliquemos por 0,3 316 00:28:40,940 --> 00:28:47,259 Repito, nos cogemos los valores de arriba, los elevamos al cuadrado y los multiplicamos por el de abajo 317 00:28:47,259 --> 00:28:49,339 Cada uno con el suyo, como podéis ver aquí 318 00:28:49,339 --> 00:28:55,180 Y al final le tenemos que restar la mu al cuadrado obtenida anteriormente 319 00:28:55,180 --> 00:28:57,900 Me dará un valor para la varianza 320 00:28:57,900 --> 00:29:01,859 Y la derivación típica es sencilla, simplemente hay que hacer la raíz cuadrada positiva de ese valor. 321 00:29:02,380 --> 00:29:07,319 En este caso nos devuelve la raíz de 0,89, nos devuelve 0,94. 322 00:29:11,500 --> 00:29:12,579 Vamos a ver este ejercicio. 323 00:29:15,680 --> 00:29:22,680 Nos dice que sea la función de probabilidad de x, lo que veis ahí, 0, 1, 2, 3, 4, su función de probabilidad. 324 00:29:23,240 --> 00:29:29,160 Nos están diciendo que la probabilidad de que x sea menor o igual que 2 es 0,75 y que sea mayor o igual que 2 es 0,75 también. 325 00:29:29,160 --> 00:29:34,420 Bien, recordad que la probabilidad de que x sea menor o igual que 2 es que sea 2, que sea 1, que sea 0. 326 00:29:35,559 --> 00:29:39,759 La probabilidad de que x sea mayor o igual que 2 es la de 2, la de 3 y la de 4. 327 00:29:40,799 --> 00:29:43,940 Y si hacemos esa suma de esos valores, me dará 0.75. 328 00:29:44,420 --> 00:29:46,779 Fijaos que tenemos a, b y c. 329 00:29:47,359 --> 00:29:53,019 De aquí voy a sacar una ecuación, de aquí voy a sacar otra ecuación, pero tenemos tres incógnitas. 330 00:29:53,640 --> 00:29:57,000 ¿Qué significa? Que necesito tres ecuaciones. 331 00:29:57,000 --> 00:30:01,420 Bien, ¿de dónde sacaré la siguiente ecuación para adivinar los valores de a, b y c? 332 00:30:02,140 --> 00:30:06,220 Pues que si sumo todos los valores de probabilidad, al final me tiene que dar 1. 333 00:30:06,779 --> 00:30:09,880 Y una vez que hayamos completado la tabla con esas variables que hemos calculado, 334 00:30:10,440 --> 00:30:15,740 ya, como hemos visto anteriormente, calculamos mu y calculamos sigma, 335 00:30:15,900 --> 00:30:18,799 es decir, la desviación típica y la variable. 336 00:30:19,279 --> 00:30:22,019 Esto ya son ejercicios para vosotros, ¿vale? Van sin solución. 337 00:30:23,640 --> 00:30:26,359 Vamos a la carta de la baraja española, ¿vale? 338 00:30:26,359 --> 00:30:39,960 Nos dicen que si sacamos sota o caballo ganamos 15 euros, que si sacamos rey o as recibimos 5 euros y pagamos 4 euros si sacamos otra carta, ¿vale? Me imagino que me preguntarán cuál es la ganancia esperada. 339 00:30:41,440 --> 00:30:50,299 Para ello, ¿qué tendremos que hacer? Primero, ver la estructura de una baraja española, ¿vale? La baraja española se divide en cuatro palos, veamos, oros, copas, espadas y bastos, 340 00:30:50,299 --> 00:30:54,140 Y dentro de cada uno de los palos, las cartas están numeradas del 1 al 7 341 00:30:54,140 --> 00:30:58,359 Y luego tenemos la sota, el caballo y el rey 342 00:30:58,359 --> 00:31:03,720 Es decir, que el palo de espadas tenemos un 1 de espadas, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6, un 7 de espadas 343 00:31:03,720 --> 00:31:08,160 Una sota de espadas, un caballo de espadas y un rey de espadas 344 00:31:08,160 --> 00:31:09,960 En total 10 cartas 345 00:31:09,960 --> 00:31:15,960 Que significa que mi baraja española está compuesta por 40 cartas 346 00:31:15,960 --> 00:31:54,049 Y esas 40 cartas, voy a borrar un poquito por aquí, esas 40 cartas están distribuidas en 10 de oros, hay 10 cartas que son de bastos, hay otras 10 de copas y hay otras 10 de espadas. 347 00:31:54,049 --> 00:31:57,990 A su vez, cada una de estas se distribuye en 348 00:31:57,990 --> 00:32:01,049 De oros hay una sota, un rey y un caballo 349 00:32:01,049 --> 00:32:08,039 Una sota, un caballo y un rey 350 00:32:08,039 --> 00:32:12,220 Y lo mismo pasa con los bastos, con las copas y con las espadas 351 00:32:12,220 --> 00:32:14,799 Bueno, pues con esta explicación de la baraja española 352 00:32:14,799 --> 00:32:20,140 Espero que seamos capaces de calcular probabilidades 353 00:32:20,140 --> 00:32:23,180 Y ver cuál es la ganancia esperada, es decir, calcular mu 354 00:32:23,180 --> 00:32:28,579 los ejercicios de urnas que también tanto os gustan. 355 00:32:30,299 --> 00:32:32,200 Tenemos tres urnas, la urna A, B y C. 356 00:32:32,400 --> 00:32:36,640 En la urna A hay dos bolas negras y cuatro bolas rojas. 357 00:32:36,940 --> 00:32:39,339 En la urna B, tres bolas negras y tres bolas rojas. 358 00:32:39,500 --> 00:32:42,579 Y en la urna C, una bola negra y cinco rojas. 359 00:32:43,240 --> 00:32:46,779 Me dicen que elegimos una urna al azar y sacamos una bola. 360 00:32:48,460 --> 00:32:50,599 Si sacamos bola roja, recibimos tres euros. 361 00:32:50,599 --> 00:32:52,640 Si sacamos bola negra, no recibimos nada. 362 00:32:52,940 --> 00:32:54,359 ¿Cuál es la ganancia esperada? 363 00:32:54,359 --> 00:32:58,380 Es decir, tendré que calcular cuál es la probabilidad de roja 364 00:32:58,380 --> 00:33:03,420 Y esto nos tiene que recordar un poquito los ejercicios anteriores 365 00:33:03,420 --> 00:33:09,779 De una bola roja en A o una bola roja en B o una bola roja en C 366 00:33:09,779 --> 00:33:15,279 Serán tres probabilidades a sumar teniendo en cuenta que no me están diciendo nada de las urnas 367 00:33:15,279 --> 00:33:21,500 Luego, significa que las urnas deben ser igual de probable que estemos en A, que estemos en B o que estemos en C 368 00:33:21,500 --> 00:33:24,740 ¿Vale? Suficiente información ya os he dado para realizarlo 369 00:33:24,740 --> 00:33:31,599 Una vez que tenemos esas probabilidades, ver cuál es la función de probabilidad y a partir de ahí su ganancia esperada. 370 00:33:37,819 --> 00:33:48,279 Me dicen ahora, las preguntas de un examen tipo test tienen tres respuestas posibles y solo una es correcta. 371 00:33:48,480 --> 00:33:50,539 Por cada acierto sumamos un punto. 372 00:33:54,460 --> 00:33:57,160 ¿Cuánto debe restar cada fallo para que se ajuste a la calificación? 373 00:33:58,539 --> 00:34:00,920 La pregunta que me están diciendo, oye, ¿qué tiene que pasar? 374 00:34:01,000 --> 00:34:06,000 Porque yo sé que para un acierto sumamos un punto, es decir, que mi xy será un punto. 375 00:34:06,000 --> 00:34:14,659 Y la probabilidad de acertar, si lo hacemos al azar, si tenemos tres respuestas posibles, pues acertar al azar es un tercio. 376 00:34:16,440 --> 00:34:19,840 ¿Cuánto debe restar cada fallo para que se ajuste a la calificación? 377 00:34:21,260 --> 00:34:25,639 Recordad que eso significa que mu tiene que ser cero. 378 00:34:25,639 --> 00:34:40,929 Y para ser 0 será 1 por la probabilidad de acertar más A, B, C, E, X, como queréis llamarlo, por la probabilidad de no acertar. 379 00:34:41,550 --> 00:34:45,429 ¿Vale? Y con eso sacaremos 1. Pensadlo un poquito. 380 00:34:49,269 --> 00:34:57,269 Bueno, hemos terminado el primer apartado. Así que nos quedamos preparados para este segundo apartado. 381 00:34:58,570 --> 00:35:00,150 Eso irá en el siguiente vídeo.