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00:00:05,339 --> 00:00:20,960
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:20,960 --> 00:00:25,559
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,559 --> 00:00:29,839
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos.

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00:00:31,780 --> 00:00:39,600
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones cuadráticas.

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00:00:40,719 --> 00:00:52,500
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones cuadráticas, que son aquellas que, como podemos

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00:00:52,500 --> 00:00:57,840
ver tienen por expresión algebraica un polinomio de segundo grado. Habitualmente se representará

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00:00:57,840 --> 00:01:04,760
y igual a a por x al cuadrado más b por x más c. El coeficiente principal a tiene que ser distinto

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00:01:04,760 --> 00:01:09,739
de cero porque si lo fuera tendríamos una función lineal o bien una función constante. En cuanto a

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00:01:09,739 --> 00:01:15,739
c va a ser la ordenada en el origen. Esta es una forma de representar algebraicamente las funciones

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00:01:15,739 --> 00:01:22,019
cuadráticas. Una forma alternativa es aquella a la que llegaríamos completando cuadrados. Utilizando

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00:01:22,019 --> 00:01:27,620
estos términos ax cuadrado más bx y podríamos llegar a una expresión algebraica como esta que

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00:01:27,620 --> 00:01:37,040
tenemos aquí y igual a a por x menos xv al cuadrado más yv y vemos que la variable independiente se

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00:01:37,040 --> 00:01:44,000
encuentra únicamente aquí dentro de este cuadrado. Este a es el mismo a de la primera expresión

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00:01:44,000 --> 00:01:50,180
algebraica, el coeficiente principal de antes. En cuanto a xv se podría determinar como menos b

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00:01:50,180 --> 00:01:56,540
partido por 2a y a este yv que se corresponde con el valor de la función cuando x es igual a xv

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00:01:56,540 --> 00:02:03,900
sería c menos b cuadrado partido por 4a. La representación gráfica de cualquier función

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00:02:03,900 --> 00:02:10,620
cuadrática es una parábola dependiendo de cuál sea el signo del coeficiente principal. Si a es

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00:02:10,620 --> 00:02:14,979
positivo tiene el vértice hacia abajo y las ramas hacia arriba mientras que si a es negativo tiene

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00:02:14,979 --> 00:02:20,319
el vértice hacia arriba y las ramas hacia abajo. Y no en vano he hablado de vértice y es que este

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00:02:20,319 --> 00:02:28,319
xv e iv se corresponden con las coordenadas x e y del vértice. De ahí la anotación. De ahí que

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00:02:28,319 --> 00:02:33,800
esta representación algebraica sea especialmente importante, puesto que estamos poniendo de

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00:02:33,800 --> 00:02:39,620
manifiesto cuál es la posición del vértice de la parábola. Es el extremo relativo y es uno de los

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00:02:39,620 --> 00:02:45,360
puntos más importantes de ella. En cuanto a las características más importantes de

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00:02:45,360 --> 00:02:50,240
estas funciones, las tenemos listadas a continuación. Su dominio, como corresponde a cualquier función

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00:02:50,240 --> 00:02:55,460
polinómica, es toda la recta real. En cuanto a la imagen, depende del valor del coeficiente

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00:02:55,460 --> 00:03:00,680
principal. Si es positivo, será desde la y del vértice hasta más infinito, intervalo

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00:03:00,680 --> 00:03:06,180
cerrado. Si es negativo, el coeficiente principal será desde menos infinito hasta la y del

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00:03:06,180 --> 00:03:11,400
vértice. Este extremo también cerra. En cuanto a los puntos de corte con los ejes, bien, el punto

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00:03:11,400 --> 00:03:16,599
de corte con el eje de las y tiene como ordenada y igual a c, como habíamos dicho anteriormente,

30
00:03:16,740 --> 00:03:21,300
el término independiente se corresponde con la ordenada del origen cuando tenemos esta forma de

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00:03:21,300 --> 00:03:26,860
representar algebraicamente la función. Y en cuanto a los puntos de corte con el eje de las x, se van

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00:03:26,860 --> 00:03:32,780
a calcular igualando ax cuadrado más bx más c a cero. Y tenemos esta expresión que es la

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00:03:32,780 --> 00:03:39,379
tradicional, la conocida, para una ecuación de segundo grado. En cuanto a la monotonía,

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00:03:39,900 --> 00:03:46,080
depende del coeficiente principal. Si es positivo, sabemos que es una parábola con las ramas hacia

35
00:03:46,080 --> 00:03:50,680
arriba. El primer trozo de la función hasta alcanzar el vértice es una función decreciente

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00:03:50,680 --> 00:03:55,400
y a partir de ahí, desde el vértice hacia más infinito, la función será creciente. Justamente

37
00:03:55,400 --> 00:04:00,900
al contrario, si es negativo, en este caso tenemos una parábola con las ramas hacia abajo, el primer

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00:04:00,900 --> 00:04:05,719
tramo desde menos infinito hasta la x del vértice va a ser una función creciente y a partir de ahí

39
00:04:05,719 --> 00:04:11,360
hasta más infinito será una función decreciente. Esta función va a tener un único extremo relativo

40
00:04:11,360 --> 00:04:18,139
que es el vértice. La abscisa, la localización en x del vértice es x del vértice igual a menos b

41
00:04:18,139 --> 00:04:24,779
partido por 2a como hemos visto anteriormente. La imagen se calcularía sustituyendo esta x del

42
00:04:24,779 --> 00:04:30,759
vértice en la ecuación de la función. Dependiendo de cómo sea el coeficiente principal se tratará de

43
00:04:30,759 --> 00:04:35,519
un mínimo o de un máximo. Si a es positivo, es una parábola con las ramas hacia arriba, el vértice es

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00:04:35,519 --> 00:04:41,319
un mínimo. Si a es negativo, es una parábola con las ramas hacia abajo, el vértice será un máximo.

45
00:04:42,639 --> 00:04:48,579
En cuanto a la curvatura, depende una vez más del signo del coeficiente principal. Si a es positivo

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00:04:48,579 --> 00:04:52,980
y es una parábola con las ramas hacia arriba, tiene este aspecto como si se tratara del símbolo

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00:04:52,980 --> 00:04:59,519
de unión. Tenemos una función que es convexa en todo su dominio, en toda la recta real. Mientras

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00:04:59,519 --> 00:05:05,040
que si A es negativo, tenemos una función que es una parábola con las ramas hacia abajo,

49
00:05:05,259 --> 00:05:10,699
se parece al símbolo de la intersección y en ese caso tenemos una función que es cóncava,

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00:05:10,779 --> 00:05:17,100
cóncava en todo su dominio, en toda la recta real. Y tenemos que tener cuidado porque convexo

51
00:05:17,100 --> 00:05:23,319
y cóncavo son términos que no están unívocamente definidos. Dependiendo del matemático con

52
00:05:23,319 --> 00:05:29,500
el que estemos hablando, de cuál sea su campo de especialización, es posible que en un

53
00:05:29,500 --> 00:05:34,339
cóncavo y convexo a lo contrario que nosotros. Esa es la razón por la cual siempre que hablemos

54
00:05:34,339 --> 00:05:39,819
de cóncavo y convexo acompañaremos el término con esta pequeña representación para que quede

55
00:05:39,819 --> 00:05:46,680
bien claro acerca de a qué nos estamos refiriendo. En cuanto a las asíntotas, las parábolas no tienen,

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00:05:46,939 --> 00:05:50,720
van a ser funciones continuas en todo su dominio, en toda la recta real, como todas las funciones

57
00:05:50,720 --> 00:05:56,199
polinómicas, y algo muy importante es que las parábolas son simétricas con respecto de la

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00:05:56,199 --> 00:06:01,879
recta vertical que pasa por el vértice. De tal forma que si a la hora de hacer la representación

59
00:06:01,879 --> 00:06:06,160
gráfica tenemos una de las ramas de la parábola desde el vértice hacia la derecha o hacia la

60
00:06:06,160 --> 00:06:11,079
izquierda, podemos completar el dibujo de la parábola teniendo en cuenta que va a ser el

61
00:06:11,079 --> 00:06:18,620
reflejo especular de la otra que tenía. Vamos a estudiar un par de ejemplos. Se nos pide que

62
00:06:18,620 --> 00:06:24,500
estudiemos y representemos las siguientes funciones y vamos a comenzar con esta función a de x igual

63
00:06:24,500 --> 00:06:30,819
a 2x al cuadrado menos 4x más 1. Lo primero que queremos hacer es buscar cuál es esa expresión

64
00:06:30,819 --> 00:06:36,000
algebraica alternativa en donde aparece manifiesto el ax y la y del vértice. Vamos a completar

65
00:06:36,000 --> 00:06:41,139
cuadrados. Para ello vamos a hacer lo siguiente. Partimos de la expresión inicial 2x cuadrado

66
00:06:41,139 --> 00:06:47,699
menos 4x menos 1 y vamos a comenzar extrayendo como factor común de los dos primeros términos

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00:06:47,699 --> 00:06:53,339
de aquellos que contienen la x el coeficiente principal, que en este caso es 2. Así que

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00:06:53,339 --> 00:06:56,480
Tomamos estos dos primeros términos y sacamos el factor común 2.

69
00:06:57,379 --> 00:06:59,500
Y lo tenemos aquí, 2, factor común d.

70
00:07:00,500 --> 00:07:04,540
Bueno, si a 2x cuadrado le extraigo el 2, me queda solo x al cuadrado, claro.

71
00:07:05,279 --> 00:07:09,420
Y aquí a menos 4x, si le extraigo un 2, me va a quedar menos 2x.

72
00:07:09,620 --> 00:07:12,379
Esto entre paréntesis y el menos 1 que tenía anteriormente.

73
00:07:13,019 --> 00:07:16,060
2 por, entre paréntesis, x cuadrado menos 2x.

74
00:07:17,259 --> 00:07:20,459
Siempre vamos a hacer esto para tener aquí una x al cuadrado.

75
00:07:20,459 --> 00:07:28,420
Ahora, lo que tenemos dentro de los paréntesis queremos que sea el cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta.

76
00:07:28,660 --> 00:07:33,199
En este caso que tengo x al cuadrado menos 2x va a ser el cuadrado de una resta.

77
00:07:34,339 --> 00:07:41,060
La identidad notable para el cuadrado de una resta me dice que aquí debería haber tres términos, igual si fuera el cuadrado de una suma debería haber tres términos.

78
00:07:41,300 --> 00:07:47,939
Y me falta precisamente el término que no lleva x. x al cuadrado menos 2x, me falta un término sin x.

79
00:07:48,759 --> 00:07:54,339
Bien, fijaos, x al cuadrado menos 2x, esto va a ser el cuadrado del primero,

80
00:07:54,439 --> 00:07:58,079
porque yo voy a querer poner x más algo al cuadrado, x menos algo al cuadrado.

81
00:07:58,860 --> 00:08:03,920
Esto va a ser siempre más o menos, dependiendo, el doble del primero por el segundo.

82
00:08:04,600 --> 00:08:11,560
Como aquí tengo 2 por x, x es el primer término, el 2 es por el doble, el segundo va a ser 1.

83
00:08:12,000 --> 00:08:16,399
De tal forma que voy a acabar expresando esto como x menos 1 al cuadrado.

84
00:08:17,040 --> 00:08:26,379
Si fuera así, tendría que tener x al cuadrado, menos 2 por 1 por x, menos 2x, y luego más 1 al cuadrado, que es más 1, ese más 1 me falta.

85
00:08:27,220 --> 00:08:33,620
Bien, voy a completar cuadrados, voy a completar añadiendo dentro del paréntesis más 1 y menos 1.

86
00:08:34,340 --> 00:08:39,299
Tengo que añadir más 1 y menos 1 para que la igualdad se mantenga. Sumo 1, resto 1, no estoy haciendo ningún cambio.

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00:08:39,940 --> 00:08:42,820
Pero haciéndolo así, si me quedo solo con los tres primeros términos,

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00:08:43,200 --> 00:08:46,039
x cuadrado menos 2x más 1 es el cuadrado de una resta.

89
00:08:46,120 --> 00:08:47,639
Son los términos de una identidad notable.

90
00:08:48,559 --> 00:08:53,100
Voy a aislar esos tres términos, este menos 1 que he añadido aquí al final del todo como coda,

91
00:08:53,559 --> 00:08:57,279
lo voy a sacar fuera del paréntesis, con cuidado de que tengo un 2 multiplicando.

92
00:08:57,799 --> 00:09:02,320
Me voy a quedar con 2 por, dentro del paréntesis, x cuadrado menos 2x más 1,

93
00:09:02,820 --> 00:09:06,019
y voy a sacar fuera del paréntesis menos 1 por 2, como vemos aquí.

94
00:09:06,019 --> 00:09:10,840
al final menos 2 por 1 menos 1 es este menos 3 que tengo aquí

95
00:09:10,840 --> 00:09:17,539
y en cuanto a x al cuadrado menos 2x más 1 es la identidad notable x menos 1 al cuadrado

96
00:09:17,539 --> 00:09:21,919
fijaos x menos 1 al cuadrado sería x al cuadrado el cuadrado del primero

97
00:09:21,919 --> 00:09:24,480
más 1 que sería el cuadrado del segundo

98
00:09:24,480 --> 00:09:28,299
menos porque tengo un menos el doble del primero por el segundo

99
00:09:28,299 --> 00:09:30,860
2 por x y por 1 que es este 2x que tenía

100
00:09:31,720 --> 00:09:39,820
Así pues, adx, que es 2x cuadrado menos 4x menos 1, equivale a 2 por x menos 1 al cuadrado menos 3.

101
00:09:40,759 --> 00:09:44,440
Leo directamente cuál es la posición del vértice de esta parábola.

102
00:09:45,000 --> 00:09:49,840
Y es el punto 1 menos 3. Este punto que tengo aquí, el vértice de la parábola.

103
00:09:50,759 --> 00:09:56,139
Como el coeficiente principal es positivo, sé que es una parábola con las ramas hacia arriba, así que el vértice es un mínimo.

104
00:09:56,879 --> 00:10:14,960
En cuanto a cómo pintar la función, podría hacer una tabla de valores, sustituir valores, lo más inteligente es a uno de los lados del vértice, puesto que lo que ocurre en el otro es el reflejo especular, así que directamente calculo uno de los puntos y puedo pintar el simétrico en el otro, al otro lado de la recta vertical que pasa por el vértice.

105
00:10:15,820 --> 00:10:20,860
una alternativa es utilizar directamente este valor del coeficiente principal, este 2.

106
00:10:21,840 --> 00:10:25,639
Si a partir del vértice me muevo una unidad hacia la derecha o hacia la izquierda,

107
00:10:25,720 --> 00:10:29,720
puesto que es una función simétrica, la función se va a encontrar hacia arriba o hacia abajo

108
00:10:29,720 --> 00:10:32,500
tantas unidades como me indique el coeficiente principal.

109
00:10:32,899 --> 00:10:36,799
Hacia arriba porque el coeficiente principal es positivo en este caso y tengo un 2.

110
00:10:36,799 --> 00:10:40,320
Así que desde el vértice si me muevo una unidad hacia la derecha,

111
00:10:40,779 --> 00:10:42,980
tengo que pintar la función dos unidades hacia arriba.

112
00:10:42,980 --> 00:10:49,019
igualmente si me hubiera desplazado una unidad hacia la izquierda. Si en lugar de una unidad me

113
00:10:49,019 --> 00:10:54,159
moviera dos unidades hacia la derecha o hacia la izquierda a partir del vértice, lo que tengo que

114
00:10:54,159 --> 00:11:01,159
hacer es moverme hacia arriba o hacia abajo. En este caso sería 2 al cuadrado por este valor. 2

115
00:11:01,159 --> 00:11:07,000
al cuadrado es 4, por este 2, 8. Así que me tengo que mover dos unidades hacia la derecha a partir

116
00:11:07,000 --> 00:11:14,240
del vértice y a partir de aquí contar 8 unidades hacia arriba. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Este

117
00:11:14,240 --> 00:11:19,399
punto que tengo aquí, el punto 3, 5, es un punto de la parábola. Igualmente, si me muevo dos unidades

118
00:11:19,399 --> 00:11:24,960
hacia la izquierda y subo ocho unidades, me encuentro con este punto de la parábola, que será

119
00:11:24,960 --> 00:11:35,259
el punto menos 1, 5. En cuanto al resto de características de la función, bien, pues el dominio es

120
00:11:35,259 --> 00:11:39,879
toda la recta real. La imagen, puesto que la coeficiente principal es positivo, es desde la

121
00:11:39,879 --> 00:11:44,899
ley del vértice, que en este caso es menos 3, hacia arriba, hacia más infinito, con este extremo cerrado.

122
00:11:45,659 --> 00:11:50,659
Los puntos de corte con los ejes los puedo determinar bien analíticamente o bien gráficamente.

123
00:11:51,460 --> 00:11:55,740
En este caso, el punto de corte con el eje de las y es ese punto 0, menos 1.

124
00:11:55,980 --> 00:11:58,700
El menos 1 se corresponde con este término independiente.

125
00:11:59,620 --> 00:12:06,320
En cuanto a los puntos de corte con el eje de las x, se determinan resolviendo la ecuación 2x cuadrado menos 4x menos 1 igual a 0.

126
00:12:06,919 --> 00:12:10,200
Lo que obtengo son estos valores que tengo aquí.

127
00:12:10,200 --> 00:12:28,600
El punto 1 menos raíz de 3 partido por 2, 0. Y el punto 1 más raíz de 3 partido por 2, 0. Fijaos que ambos puntos son simétricos con respecto a esta recta que pasa por el vértice. Me estoy moviendo una unidad y un poquito hacia la derecha, una unidad y un poquito hacia la izquierda.

128
00:12:29,600 --> 00:12:38,679
Puesto que es una parábola con las ramas hacia arriba, es decreciente desde menos infinito hasta la x del vértice y creciente desde la x del vértice hacia más infinito.

129
00:12:39,080 --> 00:12:47,340
El vértice, el punto 1 menos 3, es un mínimo, puesto que el coeficiente principal es positivo, es una función convexa en todo su dominio, en toda la recta real,

130
00:12:48,019 --> 00:12:57,320
siendo una función polinómica es continua en todo su dominio, en toda la recta real, y es simétrica con respecto de la recta vertical que pasa por el vértice.

131
00:12:57,320 --> 00:13:01,419
Así que es simétrica con respecto a la recta x igual a 1.

132
00:13:02,539 --> 00:13:08,039
Vamos a hacer lo mismo con la otra función b de x igual a menos x al cuadrado menos 6x menos 4.

133
00:13:08,159 --> 00:13:08,779
La tenemos aquí.

134
00:13:09,720 --> 00:13:15,860
Igualmente vamos a buscar expresar esta función poniendo de manifiesto la posición del vértice.

135
00:13:16,620 --> 00:13:19,039
Vamos a completar cuadrados. Vamos a hacer lo mismo de antes.

136
00:13:19,879 --> 00:13:24,059
Me fijo en la expresión algebraica, me fijo en los dos primeros términos que son los que contienen x

137
00:13:24,059 --> 00:13:28,179
y voy a sacar de factor común el coeficiente principal, que en este caso es menos 1.

138
00:13:29,039 --> 00:13:32,299
Si a menos x cuadrado extraigo el signo menos, me queda x al cuadrado.

139
00:13:32,820 --> 00:13:37,039
Si a menos 6x le extraigo el signo menos como factor común, me queda más 6x.

140
00:13:37,379 --> 00:13:41,620
Así que tengo menos, entre paréntesis, x cuadrado más 6x y este menos 4.

141
00:13:42,960 --> 00:13:47,759
x cuadrado más 6x dentro del paréntesis va a ser el cuadrado del primero

142
00:13:47,759 --> 00:13:50,840
y el doble del primero por el segundo en una identidad notable,

143
00:13:51,259 --> 00:13:54,200
Que en este caso va a ser el cuadrado de una suma, puesto que aquí tengo un más.

144
00:13:55,200 --> 00:14:02,100
Dado que 6x es el doble del primero por el segundo, y 6 es 2 por 3, el segundo tiene que ser 3.

145
00:14:02,860 --> 00:14:12,000
Así que 3 al cuadrado es 9. Voy a buscar expresar esto completando cuadrados de tal forma que sea el cuadrado de una suma de la siguiente manera.

146
00:14:12,480 --> 00:14:18,879
En el paréntesis escribiré x al cuadrado más 6x, que ya lo tenía, más 9, menos 9.

147
00:14:19,419 --> 00:14:22,440
Más 9 y menos 9 se cancelan, estoy manteniendo la igualdad.

148
00:14:22,919 --> 00:14:27,860
Y la razón de añadir aquí este 9 es porque así tengo el cuadrado del primero, x al cuadrado,

149
00:14:28,480 --> 00:14:31,759
el cuadrado del segundo, estoy pensando en el 3, 3 al cuadrado es 9,

150
00:14:31,759 --> 00:14:38,240
y el doble del primero por el segundo, 2 por x y por 3, 2 por 3 es este 6 que tengo aquí, de ahí saqué el 9.

151
00:14:39,059 --> 00:14:44,879
Igual que antes, este menos 9 que tengo aquí lo voy a extraer fuera, cuidado con este menos que tengo delante,

152
00:14:44,879 --> 00:15:01,879
Y lo que voy a tener es menos, dentro del paréntesis, x cuadrado más 6x más 9, fuera del paréntesis, menos por menos, más 9 y el menos cuadro que tenía anteriormente, 9 menos 4 es este 5 y x cuadrado más 6x más 9 es la identidad notable x más 3 al cuadrado.

153
00:15:02,580 --> 00:15:11,879
Y aquí estoy viendo cuál es la posición del vértice. La x del vértice es menos 3, la y del vértice es 5. El vértice es el punto menos 3, 5, este que tengo aquí dibujado.

154
00:15:11,879 --> 00:15:16,940
dibujado. Necesito completar cuadrados para encontrar el vértice. Podría haber utilizado

155
00:15:16,940 --> 00:15:21,940
la fórmula x del vértice igual a menos b partido por 2a y directamente a partir de esta expresión

156
00:15:21,940 --> 00:15:29,539
menos b sería 6 partido por 2a que sería menos 2, la x del vértice es menos 3. En cuanto a la y del

157
00:15:29,539 --> 00:15:35,179
vértice calculo el valor de la función, sustituyo b de menos 3 y encontraría el valor 5. Podría

158
00:15:35,179 --> 00:15:42,159
hacer una cosa o la otra. Una vez que tengo el vértice puedo pintar el resto de la parábola

159
00:15:42,159 --> 00:15:47,799
con la tabla de valores, igual que antes, lo inteligente es tomar valores o a la derecha o a la izquierda del vértice

160
00:15:47,799 --> 00:15:51,840
y aprovechar la simetría de la función para, calculado un punto, dibujar el simétrico.

161
00:15:52,539 --> 00:15:56,919
Otra posibilidad es utilizar el coeficiente principal, que en este caso es menos 1.

162
00:15:57,700 --> 00:16:01,039
Si a partir del vértice me desplazo una unidad a la izquierda o a la derecha,

163
00:16:01,519 --> 00:16:04,799
la función en este caso baja porque el coeficiente principal es negativo,

164
00:16:05,100 --> 00:16:07,620
una unidad porque el coeficiente principal es menos 1.

165
00:16:08,399 --> 00:16:18,179
Así que una unidad hacia la derecha, una unidad hacia abajo, aquí tengo el punto, menos 2, 4, una unidad hacia la izquierda, una unidad hacia abajo y aquí tengo el punto, menos 4, 4.

166
00:16:18,860 --> 00:16:29,940
Si en lugar de una me muevo dos unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, lo que tendré que hacer es calcular 2 al cuadrado por menos 1.

167
00:16:30,340 --> 00:16:34,779
2 al cuadrado es 4, por menos 1 es menos 4. Me tengo que bajar 4 unidades.

168
00:16:35,539 --> 00:16:41,139
Desde el vértice, una, dos unidades hacia la derecha, bajo cuatro unidades, una, dos, tres, cuatro.

169
00:16:41,279 --> 00:16:42,919
Y aquí tengo el punto menos uno, uno.

170
00:16:43,200 --> 00:16:45,860
Y subsimétrico, el punto menos cinco, uno.

171
00:16:46,779 --> 00:16:52,120
Ya que estamos, y si en lugar de una o dos unidades me desplazo tres unidades a derecha o izquierda,

172
00:16:52,120 --> 00:16:56,580
lo que tengo que hacer es calcular tres al cuadrado por el coeficiente principal.

173
00:16:57,179 --> 00:17:01,240
Tres al cuadrado es nueve, el coeficiente principal es menos uno, nueve por menos uno es menos nueve.

174
00:17:01,879 --> 00:17:10,980
Fijaos, tres unidades hacia la derecha, una, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve unidades hacia abajo, tengo el punto cero menos cuatro.

175
00:17:12,200 --> 00:17:21,680
En cuanto a las características de la función, su dominio es toda la recta real, como buena función polinómica, dado que el coeficiente principal es negativo.

176
00:17:22,119 --> 00:17:28,700
La imagen va desde menos infinito hasta la y del vértice, que en este caso es cinco, con este extremo cerrado.

177
00:17:29,299 --> 00:17:33,180
Los puntos de corte con los ejes se pueden determinar gráficamente o analíticamente.

178
00:17:33,960 --> 00:17:38,339
El punto de corte con el eje de las y se corresponde a la ordenada con este valor menos 4,

179
00:17:38,440 --> 00:17:41,980
es la ordenada del origen, así que corta en el punto 0, menos 4.

180
00:17:42,900 --> 00:17:46,900
Y en cuanto a los cortes con el eje de las x, los vamos a determinar resolviendo la ecuación

181
00:17:46,900 --> 00:17:49,779
menos x cuadrado menos 6x menos 4 igual a 0.

182
00:17:50,000 --> 00:17:56,839
Empleamos la fórmula y obtenemos para las abscisas los valores menos 3 menos raíz de 5 y menos 3 más raíz de 5.

183
00:17:57,579 --> 00:18:02,160
Vemos que es simétrico con respecto de la línea vertical que pasa por el vértice.

184
00:18:02,319 --> 00:18:05,380
Dos unidades y un poquito a la derecha, dos unidades y un poquito hacia la izquierda.

185
00:18:06,519 --> 00:18:13,539
En este caso, siendo el coeficiente principal negativo, la función es creciente desde menos infinito hasta la x del vértice

186
00:18:13,539 --> 00:18:16,700
y decreciente desde la x del vértice hasta más infinito.

187
00:18:17,259 --> 00:18:21,319
El vértice es un máximo relativo, el punto menos 3, 5, como vemos aquí.

188
00:18:22,319 --> 00:18:27,339
Como el coeficiente principal es negativo, esta función es cóncava en todo su dominio, en toda la recta real.

189
00:18:27,779 --> 00:18:30,740
Por supuesto, es continua en toda la recta real por ser una función polinómica.

190
00:18:31,539 --> 00:18:37,140
Y es simétrica con respecto a la línea recta vertical que pasa por el vértice.

191
00:18:37,299 --> 00:18:41,900
Así que es simétrica con respecto a la recta vertical x igual a menos 3.

192
00:18:44,319 --> 00:18:50,640
Mencionaba anteriormente que en el caso en el que se nos pida representar gráficamente la función a partir de la expresión algebraica,

193
00:18:51,400 --> 00:18:58,839
Podríamos operar indistintamente con la expresión polinómica habitual, por ejemplo en el caso de b, menos x al cuadrado menos 6x menos 4,

194
00:18:59,299 --> 00:19:09,279
o bien completar cuadrados con un poco de trabajo y al final operar con esta expresión en la cual tenemos de manifiesto la posición del vértice,

195
00:19:09,500 --> 00:19:15,359
que en este caso, teniendo menos x más 3 al cuadrado más 5, sería el punto menos 3, 5.

196
00:19:16,259 --> 00:19:26,079
Completar cuadrados lleva un poco de tiempo y entonces en ciertas ocasiones preferimos, por no hacer esto, utilizar la expresión algebraica que se nos hubiera dado, que sería esta.

197
00:19:26,819 --> 00:19:37,240
Insisto en que podemos encontrar el vértice con la fórmula x del vértice igual a menos b partido por 2a y la y del vértice sustituyendo en la función para calcular cuál es la ordenada que le corresponde.

198
00:19:38,240 --> 00:19:49,859
Bien, pues en el caso en el que a partir de la representación gráfica, si nos pide que encontremos cuál es la expresión algebraica, necesariamente vamos a utilizar esta segunda opción.

199
00:19:50,220 --> 00:19:58,980
Porque los elementos característicos que vamos a poder leer claramente en la gráfica van a ser uno de ellos el vértice y el otro lo que hemos llamado factor de forma.

200
00:19:59,720 --> 00:20:05,000
Y puesto que vamos a encontrar el vértice claramente, ¿qué mejor expresión que aquella en la que tenemos el vértice?

201
00:20:05,819 --> 00:20:13,420
Aquí, por ejemplo, si nos dieran la representación gráfica, veríamos claramente que el vértice es este punto de coordenadas menos 3, 5.

202
00:20:14,279 --> 00:20:21,279
Igual que en el caso anterior, vuelvo hacia atrás, podríamos ver muy claramente que el vértice es este punto con coordenadas 1, menos 3.

203
00:20:21,380 --> 00:20:27,220
Pues bien, ahí tenemos ya dos de los parámetros que tenemos que sustituir en la ecuación de la parábola.

204
00:20:27,220 --> 00:20:35,039
dentro del paréntesis restando la x del vértice y fuera del paréntesis sumando la y del vértice.

205
00:20:35,720 --> 00:20:41,019
Aquí que el vértice es 1, menos 3, en el paréntesis pondré x menos 1 y por fuera menos 3.

206
00:20:41,460 --> 00:20:49,779
En este otro caso, que el vértice es el punto menos 3, 5, dentro del paréntesis pondré x más 3 y fuera del paréntesis más 5.

207
00:20:50,319 --> 00:20:55,019
¿Qué nos faltaría por determinar el coeficiente principal? Eso que hemos llamado factor de forma.

208
00:20:55,019 --> 00:21:08,359
Bien, si yo veo que esto es una parábola, lo único que necesito hacer es, a partir del vértice, moverme una unidad hacia la derecha o hacia la izquierda y contar cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo tenemos que desplazarnos para encontrar la función.

209
00:21:09,160 --> 00:21:18,220
Si tenemos que movernos hacia arriba, el coeficiente principal será positivo, si es hacia abajo será negativo y el valor se corresponderá con cuántas unidades me tengo que desplazar.

210
00:21:18,220 --> 00:21:27,200
Por ejemplo, en este caso, si a partir del vértice me muevo una unidad hacia la derecha, veo que tengo que descender una unidad para encontrarme con la función.

211
00:21:27,480 --> 00:21:29,980
Bien, pues en ese caso el coeficiente principal es menos uno.

212
00:21:30,759 --> 00:21:38,900
En el ejemplo anterior, si desde el vértice me muevo una unidad hacia la derecha, veo que tengo que subir dos unidades para encontrarme con la función.

213
00:21:39,299 --> 00:21:45,500
Pues bien, en ese caso el coeficiente principal es más dos, más porque he ido hacia arriba y dos porque he ascendido dos unidades.

214
00:21:45,500 --> 00:21:55,299
Con eso, solo con ver el vértice y cuánto tengo que ascender o descender para encontrarme la función cuando me desplazo desde él una unidad a derecha o a izquierda,

215
00:21:55,839 --> 00:21:59,140
tengo los tres parámetros con los cuales puedo escribir la ecuación de la función.

216
00:21:59,759 --> 00:22:06,240
En este caso, ya que estoy con el apartado A, habría escrito 2 por x menos 1 al cuadrado menos 3.

217
00:22:06,240 --> 00:22:08,920
Y esta sería ya la ecuación de la parábola.

218
00:22:08,920 --> 00:22:17,960
Si quisiera expresarla en la forma polinómica habitual, porque me gustara o porque me lo pidieran, lo único que tenía que hacer es desarrollar el cuadrado y agrupar términos.

219
00:22:18,440 --> 00:22:28,380
Haría este camino hacia arriba y me encontraría con la expresión 2x cuadrado menos 4x menos 1, en el caso en el que me la pidieran o en el caso en el que para mí fuera mejor.

220
00:22:28,380 --> 00:22:40,339
En este caso, lo mismo. Una vez que he decidido que el coeficiente principal es menos 1, escribiría la ecuación y igual a menos 1 por x más 3 al cuadrado más 5.

221
00:22:40,759 --> 00:22:49,799
Y si quisiera expresarlo en la forma polinómica habitual, desarrollaría el cuadrado y agruparía términos para encontrarme con la expresión menos x cuadrado menos xx menos 4.

222
00:22:49,799 --> 00:22:58,279
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

223
00:22:59,019 --> 00:23:03,119
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

224
00:23:03,940 --> 00:23:08,700
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

225
00:23:09,240 --> 00:23:10,640
Un saludo y hasta pronto.