1
00:00:01,970 --> 00:00:05,309
Bueno, comenzamos ahora el segundo capítulo de trigonometría plana.

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00:00:05,549 --> 00:00:08,089
En este capítulo vamos a ver la semejanza de figuras planas.

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00:00:08,810 --> 00:00:14,630
El concepto intuitivo de semejanza es tener la misma forma, aunque no el mismo tamaño.

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00:00:14,789 --> 00:00:20,670
Es decir, en este dibujo de aquí, estos tres coches son semejantes porque tienen la misma forma,

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00:00:21,390 --> 00:00:22,969
pero obviamente son de distintos tamaños.

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00:00:23,329 --> 00:00:25,769
Este es el más pequeño, este es el más grande y este es el más grande de todos.

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00:00:26,390 --> 00:00:34,710
Sin embargo, vemos que son proporcionales, por ejemplo, las ruedas, los cristales, es decir, tienen la misma forma.

8
00:00:35,310 --> 00:00:36,770
Es decir, son figuras semejantes.

9
00:00:38,270 --> 00:00:40,409
Todos los polígonos regulares son semejantes entre sí.

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00:00:41,369 --> 00:00:46,789
¿Por qué? Porque si os dais cuenta, todos tienen los lados proporcionales, por ejemplo, los cuadrados,

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00:00:46,789 --> 00:00:49,909
y los ángulos son iguales.

12
00:00:50,590 --> 00:00:57,369
Lo mismo pasa con los pentágonos regulares, que los ángulos son iguales en las dos figuras semejantes

13
00:00:57,369 --> 00:00:59,590
y los lados son todos proporcionales.

14
00:01:00,929 --> 00:01:02,670
Lo mismo pasa, por ejemplo, en este dodecaono.

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00:01:05,180 --> 00:01:10,700
Llamamos razón de semejanza a la relación que existe entre las longitudes de los lados de dos polígonos semejantes.

16
00:01:10,799 --> 00:01:12,760
Por ejemplo, el caso más sencillo es en cuadrados.

17
00:01:13,659 --> 00:01:19,200
Si comparamos este cuadrado aquí con este cuadrado aquí, vemos que este tiene el lado 2 cm de longitud,

18
00:01:19,200 --> 00:01:21,500
este de aquí tiene 4 centímetros de longitud.

19
00:01:22,000 --> 00:01:28,079
Entonces la razón de semejanza es el cociente entre la longitud del lado de este cuadrado

20
00:01:28,079 --> 00:01:30,939
y la longitud del lado de este cuadrado, es decir, 4 partido de 2.

21
00:01:31,420 --> 00:01:34,019
La razón de semejanza entre estos dos cuadrados es 2.

22
00:01:34,579 --> 00:01:37,859
Si tomamos este cuadrado de aquí respecto del primero,

23
00:01:38,459 --> 00:01:43,099
la razón de semejanza va a ser el lado de este de aquí, que son 6 centímetros,

24
00:01:43,640 --> 00:01:45,560
dividido entre el lado de este de aquí, que es 2.

25
00:01:45,560 --> 00:01:49,280
Es decir, la razón de semejanza va a ser 3.

26
00:01:50,159 --> 00:01:56,180
¿Qué ocurre en el caso de las áreas?

27
00:01:57,319 --> 00:01:58,980
Tomemos los mismos cuadrados de antes.

28
00:01:59,180 --> 00:02:05,000
Si yo calculo el área de este cuadrado de aquí, es lado por lado, 2 por 2, 4 centímetros cuadrados.

29
00:02:05,599 --> 00:02:11,520
Si yo calculo el área de este cuadrado de aquí, 4 por 4, 16 centímetros cuadrados.

30
00:02:12,500 --> 00:02:17,300
¿Qué pasa? ¿Qué relación hay entre las áreas de los dos cuadrados que tengo aquí?

31
00:02:17,680 --> 00:02:24,840
Pues 16 partido de 4 es 4, es decir, la razón de semejanza entre las longitudes de los lados elevado al cuadrado,

32
00:02:25,180 --> 00:02:30,780
porque en el caso de las áreas tenemos dos dimensiones, el área se calcula como lado por lado.

33
00:02:31,780 --> 00:02:36,659
¿Qué ocurriría con este de aquí? Pues exactamente lo mismo, si calculamos el área, 6 por 6 es 36,

34
00:02:36,659 --> 00:02:45,860
y lo dividimos entre este de aquí, entre el área de este de aquí, tendríamos 9, que es justo la razón de semejanza entre los dos cuadrados,

35
00:02:45,979 --> 00:02:49,639
entre las longitudes de los lados de los dos cuadrados, elevado al cuadrado.

36
00:02:50,580 --> 00:02:59,840
Vamos a ver aquí más claro. El área es lado por lado. Como la razón de semejanza es la relación que existe entre los dos lados,

37
00:02:59,840 --> 00:03:06,520
el lado de este de aquí es r por el e1. Si yo calculo el área de este segundo cuadrado

38
00:03:06,520 --> 00:03:13,960
es lado por lado, pero sustituimos el valor del lado por su valor, que es la razón de

39
00:03:13,960 --> 00:03:19,039
semejanza respecto del primero por la longitud del primero. Si agrupamos, vemos que esto

40
00:03:19,039 --> 00:03:24,400
es igual a la razón de semejanza entre los dos cuadrados elevado al cuadrado, porque

41
00:03:24,400 --> 00:03:31,780
tenemos R por R aquí y L1 por L1 es el área del primer cuadrado. Es decir, que si nos dan el área

42
00:03:31,780 --> 00:03:40,020
de un cuadrado, por ejemplo este de aquí nos dicen que es 5 y que este tiene los lados tres veces más

43
00:03:40,020 --> 00:03:51,400
grande que este de aquí, el área de este será 3 al cuadrado por 5 que es el área de este. Este es el

44
00:03:51,400 --> 00:03:57,520
ejemplo que acabo de poner. Si el área de este cuadrado aquí es 5 centímetros cuadrados, si el

45
00:03:57,520 --> 00:04:03,759
lado de este de aquí es tres veces más grande que el lado del primero, el área va a ser

46
00:04:03,759 --> 00:04:10,400
la razón de semejanza al cuadrado, tres al cuadrado, por el área del primero, por los

47
00:04:10,400 --> 00:04:17,050
cinco. ¿Qué ocurre en el caso de volúmenes? Pues en volúmenes estamos multiplicando siempre

48
00:04:17,050 --> 00:04:21,850
para calcular el volumen en tres dimensiones, con lo cual en este caso la razón de semejanza

49
00:04:21,850 --> 00:04:27,670
va a estar elevada al cubo. Es decir, si a mí me dan el volumen del primer cubo, yo

50
00:04:27,670 --> 00:04:33,970
puedo calcular el del segundo multiplicando el volumen del primero por la razón de semejanza

51
00:04:33,970 --> 00:04:39,939
del segundo al cubo. Lo mismo con este de aquí. Si yo tengo el volumen de este de aquí,

52
00:04:40,540 --> 00:04:47,180
lo podría calcular el de este de aquí como la razón de semejanza al cubo por el volumen

53
00:04:47,180 --> 00:04:52,300
del primero. Veamos un ejercicio, el 7 del libro, que nos dice que en una esfera tiene

54
00:04:52,300 --> 00:04:59,920
un volumen de 7.5 centímetros cúbicos y que calculemos el volumen de una esfera cuyo

55
00:04:59,920 --> 00:05:07,639
radio es el doble que el de la primera. Entonces, haciendo semejanza, llegaríamos a que el

56
00:05:07,639 --> 00:05:14,899
volumen es la razón de semejanza al cubo, 2 al cubo, que es 8, por el volumen del primero

57
00:05:14,899 --> 00:05:25,009
que es 7.5. Triángulos semejantes. Obviamente todos los triángulos equilateros son semejantes

58
00:05:25,009 --> 00:05:29,889
entre sí. ¿Por qué? Porque tienen los lados iguales y los ángulos iguales, que son de

59
00:05:29,889 --> 00:05:34,509
60 grados. Es decir, como hemos dicho antes, que todos los polígonos regulares son semejantes

60
00:05:34,509 --> 00:05:40,610
entre sí. ¿Qué ocurre con los triángulos que no son equiláteros? Pues los triángulos

61
00:05:40,610 --> 00:05:45,129
que no son equiláteros son semejantes entre sí si tienen los ángulos iguales y los lados

62
00:05:45,129 --> 00:05:50,730
son proporcionales 2 a 2. Es decir, este lado es proporcional a este, este de aquí es proporcional

63
00:05:50,730 --> 00:05:58,220
a este y este de aquí es proporcional a este. ¿Cuáles son los criterios de semejanza en

64
00:05:58,220 --> 00:06:03,420
triángulos? Pues dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales, obviamente,

65
00:06:04,079 --> 00:06:10,800
si tienen los tres ángulos iguales, si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido

66
00:06:10,800 --> 00:06:16,459
entre ellos es igual o si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido entre ellos

67
00:06:16,459 --> 00:06:21,639
es proporcional. Veamos este ejemplo de aquí. Estos dos triángulos serían semejantes si

68
00:06:21,639 --> 00:06:26,480
los tres lados de este son proporcionales a los tres lados de este, o bien si los tres

69
00:06:26,480 --> 00:06:33,360
ángulos de este triángulo son iguales a los ángulos de este triángulo, o bien estos

70
00:06:33,360 --> 00:06:38,720
dos lados de aquí son proporcionales a estos de aquí y el ángulo comprendido entre los

71
00:06:38,720 --> 00:06:48,740
lados que estamos comparando es igual, si dos ángulos son iguales y el lado que está

72
00:06:48,740 --> 00:06:53,060
comprendido entre los ángulos que estamos comparando son proporcionales

73
00:06:53,060 --> 00:06:58,759
estos son los criterios de semejanza de los de los triángulos