1 00:00:02,669 --> 00:00:07,469 Bien, vamos a empezar este segundo vídeo trabajando el tema de funciones. 2 00:00:08,009 --> 00:00:13,089 Retomamos la idea que habíamos trabajado en el vídeo anterior respecto de lo que era una función. 3 00:00:13,789 --> 00:00:20,410 Recordemos que era una correspondencia entre dos conjuntos, un conjunto inicial y un conjunto final, 4 00:00:20,870 --> 00:00:25,949 pero que verificaba cumplía un requisito importante y es que a un elemento del conjunto inicial 5 00:00:25,949 --> 00:00:29,929 le hacemos corresponder un único elemento del conjunto final. 6 00:00:29,929 --> 00:00:32,009 Esta cuestión era importante, ¿de acuerdo? 7 00:00:32,670 --> 00:00:39,750 Pero bueno, me remonto al vídeo anterior para que lo repaséis. 8 00:00:40,130 --> 00:00:48,250 Veamos mediante algún ejemplo, vamos a ver mediante un ejemplo, por ejemplo, esta idea, ¿no? 9 00:00:48,250 --> 00:00:57,609 Vamos a ver, supongamos que tenemos relacionando kilos de gramos de peras con el precio de las peras. 10 00:00:57,609 --> 00:01:04,969 Tú vas a una tienda y quieres relacionar estos dos parámetros, o estas dos variables, A y B. 11 00:01:06,129 --> 00:01:10,890 Entonces, supongamos que dos kilos de peras cuestan tres euros, pues teníamos esta tabla, ¿verdad? 12 00:01:11,730 --> 00:01:20,890 Podríamos construir esta idea, ¿no? Es decir, a un elemento de un kilo le hacemos corresponder 1,5 euros. 13 00:01:20,890 --> 00:01:28,230 porque claro, si 2 kilos cuestan 3 euros, pues 1 kilo costará la mitad que es 1,5 14 00:01:28,230 --> 00:01:33,269 a 2 kilogramos de peras le hacemos corresponder 3 euros 15 00:01:33,269 --> 00:01:37,109 y así sucesivamente construiríamos esta tabla, ¿de acuerdo? 16 00:01:38,950 --> 00:01:47,159 Observamos, decía que, observamos que podemos organizar esta información 17 00:01:47,159 --> 00:01:52,939 mediante un diagrama de conjuntos de esta manera 18 00:01:52,939 --> 00:01:57,319 tal y como vimos en la anterior ocasión y en el anterior vídeo 19 00:01:57,319 --> 00:02:05,140 y nos referimos a una función mediante esta notación o esta simbología 20 00:02:05,140 --> 00:02:13,699 sería una función que va desde el conjunto inicial A al conjunto final B 21 00:02:13,699 --> 00:02:23,340 Y de una manera genérica o general utilizaremos esta anotación para hacer referencia a una función. 22 00:02:24,240 --> 00:02:35,780 Bien, podemos observar que esta situación de la vida cotidiana se puede expresar mediante este concepto de función. 23 00:02:35,780 --> 00:02:44,960 Vamos a ver, una vez que ya hemos formalizado la idea de función, vamos a ver unas nociones básicas 24 00:02:44,960 --> 00:02:50,740 Por ejemplo, que es una variable independiente, veremos 25 00:02:50,740 --> 00:02:58,439 Veremos que es la variable dependiente, veremos que es la imagen de un valor de la variable 26 00:02:58,439 --> 00:03:02,360 Y veremos que es la antiimagen, el dominio y el recorrido 27 00:03:02,360 --> 00:03:08,599 que son nociones o conceptos fundamentales para el trabajo con funciones. 28 00:03:10,460 --> 00:03:21,539 Veamos el concepto, veamos, la variable independiente son los diferentes valores que podemos encontrar en el conjunto inicial. 29 00:03:21,539 --> 00:03:37,740 En este caso, pues la variable independiente sería estos elementos, el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 serían los elementos de la variable independiente. 30 00:03:39,780 --> 00:03:55,909 Bien, y de esta manera podemos designar el conjunto de la variable independiente. 31 00:03:55,909 --> 00:04:04,550 Es el conjunto de elementos del conjunto inicial. Son los elementos del conjunto inicial. 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 32 00:04:05,370 --> 00:04:20,029 Fijaros que en nuestros ejemplos, por ejemplo en el anterior, podemos observar, vamos a ver en el ejemplo que tenemos de la relación entre el conjunto de kilogramos, 33 00:04:20,029 --> 00:04:27,790 entre los kilogramos de peras y su precio podemos encontrar pues que la variable independiente sería 34 00:04:27,790 --> 00:04:35,689 pues todos los elementos del conjunto inicial 1 2 3 4 5 y 6 en este caso pero que podrían ser 35 00:04:35,689 --> 00:04:43,069 más que en realidad hacen referencia a los kilogramos de peras porque porque es el precio 36 00:04:43,069 --> 00:04:54,410 el que depende de los kilogramos de peras y no los kilogramos de peras y veamos así pues el concepto de variable dependiente 37 00:04:54,410 --> 00:05:01,750 que son los diferentes valores que pertenecen al conjunto final o sea en este caso todos estos elementos que son 38 00:05:01,750 --> 00:05:13,089 Se pueden escribir de esta manera mediante el conjunto cuyos elementos son menos uno, cero, dos, tres, cuatro, siete y nueve. 39 00:05:13,089 --> 00:05:41,610 Estos elementos dependen del conjunto, depende del conjunto inicial porque en este sentido los elementos de este conjunto dependen, son escogidos, digamos, dependiendo del elemento del conjunto inicial que esté asignado a él. 40 00:05:43,089 --> 00:05:51,790 Veámoslo en este ejemplo que trabajábamos, en el que relacionábamos los kilos de peras con el precio. 41 00:05:52,110 --> 00:06:06,410 Pues evidentemente el precio, el conjunto final, sus elementos serían, como hemos dicho, la variable dependiente, que es el precio. 42 00:06:06,410 --> 00:06:26,050 ¿Por qué? Porque en este caso el precio depende de los kilogramos de peras que hayamos comprado. Evidentemente, el precio será diferente dependiendo, y por eso es la variable dependiente, dependiendo del número de kilogramos que hayamos comprado. 43 00:06:26,050 --> 00:06:33,029 Veamos ahora un concepto sumamente importante, muy importante, el concepto de imagen. 44 00:06:33,850 --> 00:06:36,709 Esto es el concepto básico de una función. 45 00:06:37,490 --> 00:06:50,550 La imagen de un valor concreto de la variable es el elemento del conjunto final con el que está relacionado. 46 00:06:51,589 --> 00:06:54,930 Es fácil la idea, es decir, de hecho es fundamental. 47 00:06:54,930 --> 00:07:10,329 Por ejemplo, en este caso, este elemento, el elemento menos 1 del conjunto final, es la imagen del elemento 2 del conjunto inicial, porque es desde donde hay que salir para llegar a él, simplemente. 48 00:07:10,329 --> 00:07:17,709 Es decir, la imagen del 2 sería menos 1, porque es el elemento que hemos asociado al 2. 49 00:07:18,569 --> 00:07:25,269 Por ejemplo, en este caso, la imagen del 6 sería el 0, del 5 el 4, etc. 50 00:07:25,750 --> 00:07:35,310 Podemos observar en el gráfico, como decimos aquí, que la imagen del 2, 51 00:07:35,310 --> 00:07:38,709 de este elemento del conjunto inicial 52 00:07:38,709 --> 00:07:44,089 es el valor menos uno 53 00:07:44,089 --> 00:07:47,209 de este elemento del conjunto final. 54 00:07:48,509 --> 00:07:51,509 Se dice la imagen a través de la función, 55 00:07:51,889 --> 00:07:53,230 por especificar un poco más. 56 00:07:53,810 --> 00:07:58,389 Bien, pues esta idea, de manera simbólica, 57 00:07:59,170 --> 00:08:01,769 la representamos de esta manera, 58 00:08:02,149 --> 00:08:03,930 mediante esta notación matemática, 59 00:08:03,930 --> 00:08:14,170 Que leemos del siguiente modo, la imagen del elemento que está aquí, el 2, por f es igual a menos 1. 60 00:08:15,149 --> 00:08:26,160 También lo leemos como f de 2 es igual a menos 1. 61 00:08:26,160 --> 00:08:37,639 Pero vamos, de la manera más precisa en matemáticas diríamos que la imagen del elemento 2 es el elemento menos 1. 62 00:08:38,480 --> 00:08:46,080 Tenéis aquí otros ejemplos, por ejemplo, la imagen del elemento 3 es el elemento 7. 63 00:08:46,080 --> 00:08:59,980 Este elemento 3 es este de aquí, el elemento del conjunto inicial, cuyo elemento del conjunto final asociado observamos que es 7 y se escribe, como digo, de esta manera. 64 00:08:59,980 --> 00:09:03,620 Lo mismo pasa con estos dos ejemplos que os muestro. 65 00:09:04,500 --> 00:09:09,480 Y en nuestro ejemplo, que es el de la realidad que estamos utilizando, 66 00:09:10,299 --> 00:09:17,519 pues vemos que la imagen, por ejemplo, del elemento 2 sería 3. 67 00:09:18,480 --> 00:09:19,440 Escribiríamos así. 68 00:09:20,559 --> 00:09:23,580 f de 2 es igual a 3 o la imagen de 2 es 3. 69 00:09:23,879 --> 00:09:28,480 ¿Qué quiere decir? Pues que 2 kilos de peras cuestan 3 euros. 70 00:09:28,480 --> 00:09:44,240 Por tanto, diríamos que en este caso la imagen es el precio de las peras, asociado a un número de kilogramos determinado. 71 00:09:44,720 --> 00:09:49,259 Y un concepto no menos importante es el de antiimagen. 72 00:09:51,340 --> 00:09:59,799 Bien, de manera intuitiva, tal y como indica su nombre, pues podríamos decir que es lo contrario a la imagen. 73 00:09:59,919 --> 00:10:24,159 Pero en concreto, ¿qué quiere decir esto? Pues quiere decir que, fijándonos en elementos del conjunto final, por ejemplo, veamos el elemento menos 1 que tenemos aquí, pues el elemento 2 del conjunto inicial tiene por imagen menos 1. 74 00:10:24,159 --> 00:10:29,039 Pues bien, la antiimagen del menos 1 diríamos que es el 2. 75 00:10:32,419 --> 00:10:33,580 Leamos la definición. 76 00:10:33,580 --> 00:10:42,419 La antiimagen de un valor del conjunto final, aquí quiero decir del conjunto final, 77 00:10:42,419 --> 00:11:07,570 es, habría que poner aquí, el del final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 78 00:11:07,570 --> 00:11:20,730 Es una errata, pero lo leo. La antiimagen de un valor del conjunto final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 79 00:11:20,730 --> 00:11:45,120 Bueno, y aquí lo tenemos corregido. La antiimagen de un elemento del conjunto final es el elemento del conjunto inicial con el que se corresponde. 80 00:11:45,120 --> 00:11:58,679 Veamos, por ejemplo, la antiimagen del número 7 sería el número 3, porque es el elemento del conjunto inicial que se corresponde con el 7. 81 00:11:59,000 --> 00:12:19,340 Tal y como aquí indicamos, podemos observar que la antiimagen del número 4, que aquí lo tenemos, es el número 5 del conjunto inicial, que aquí lo tenemos. 82 00:12:20,720 --> 00:12:45,679 En nuestro ejemplo de los peras y el precio de las peras, pues claro, la antiimagen sería de un elemento, por ejemplo en este caso el 3, sería el 2 y se leerá, se interpretará en la realidad como que la antiimagen del 3 es 2 porque con 3 euros puedo comprar 2 kilos de peras. 83 00:12:45,679 --> 00:12:53,679 Por ejemplo, la antiimagen del 9 sería el 6 porque con 9 euros puedo comprar 6 kilos de peras. 84 00:12:54,559 --> 00:13:07,279 Ahora bien, ¿cómo escribimos matemáticamente el concepto de antiimagen, esta idea? ¿Cómo la describimos? ¿Cuál es la anotación matemática para referirnos a la antiimagen? 85 00:13:07,279 --> 00:13:28,889 Pues esta es la notación matemática. Si hubiéramos escrito así, f de 4 es igual a 5, querríamos decir que la imagen del 4 es 5, pero no es esto lo que hemos escrito, es f a la menos 1, con un menos 1 arriba. 86 00:13:28,889 --> 00:13:44,889 Esto quiere decir que la antiimagen del elemento 4 del conjunto final es el elemento 5 del conjunto inicial. 87 00:13:46,509 --> 00:13:56,169 F a la menos 1 de 4 es igual a 5, o lo que es lo mismo, la antiimagen del 4 es el 5, ¿de acuerdo? 88 00:13:56,169 --> 00:14:28,460 Así pues podemos observar todos estos ejemplos, la antiimagen del menos 1 es el 2, fijaros que, decía, fijaros que, por ejemplo, el elemento menos 1 viene asociado con el elemento 2, el elemento 0 del conjunto final está asociado con el elemento 6 del conjunto inicial y así sucesivamente, ¿de acuerdo? 89 00:14:29,720 --> 00:14:34,320 Y vamos ahora a otro concepto muy importante, el concepto del dominio de una función. 90 00:14:35,299 --> 00:14:36,480 Dominio de una función. 91 00:14:37,620 --> 00:14:46,539 Pues bien, el dominio de una función es el conjunto de valores del conjunto inicial que tienen imagen. 92 00:14:47,460 --> 00:14:52,799 Es decir, todos aquellos elementos que tienen alguna correspondencia con el conjunto final. 93 00:14:52,799 --> 00:15:22,779 Por ejemplo, en nuestro ejemplo, vemos que el elemento 4 del conjunto inicial no tiene imagen, no estaría en el dominio de la función, tampoco lo estaría el elemento 2, pero sí estaría en el dominio de la función, el elemento 2 del... 94 00:15:22,799 --> 00:15:46,220 del conjunto inicial estaría en el dominio de la función, es decir, en definitiva, dominio de la función es todos los elementos del conjunto inicial a los que le hacemos corresponder algún elemento del conjunto final, o sea, que tienen imagen, tal y como hemos definido antes la imagen, ¿de acuerdo? 95 00:15:46,220 --> 00:15:56,759 Aquí tenemos el conjunto de valores del dominio de f de la función 2, 3, 5 y 6. 96 00:15:57,740 --> 00:16:07,299 Es fácil ver que son obviamente todos aquellos que tienen imagen asociada, tienen el elemento asociado del conjunto final. 97 00:16:07,299 --> 00:16:22,159 Y nuevamente, de manera simbólica, matemáticamente lo escribimos de una manera simbólica, de esta manera, dominio de F es el conjunto 2, 3, 5 y 6. 98 00:16:22,159 --> 00:16:41,580 En nuestro ejemplo, por ejemplo, el de las peras y el precio de las peras, pues claro, si yo pudiera comprar cualquier cantidad de peras, pues el dominio de F sería todos los números reales, ¿no? 99 00:16:41,580 --> 00:16:50,799 cualquier valor numérico sería susceptible, cualquier valor numérico de ser comprado en kilogramos, ¿no? 100 00:16:50,879 --> 00:16:57,120 O sea, 7 kilos, 4,8, 3, 3,001 kilogramos de peras. 101 00:16:57,259 --> 00:17:04,920 Lo que pasa es que si suponemos que se venden solo en unidades de kilo, 102 00:17:04,920 --> 00:17:17,559 pues diríamos que el dominio en este caso sería pues 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en el caso de que no se pudieran comprar más de 6 kilogramos. 103 00:17:18,700 --> 00:17:29,980 Y vamos ahora al concepto de recorrido. Pues el recorrido es el conjunto de elementos del conjunto final que tienen antiimagen. 104 00:17:29,980 --> 00:17:51,900 Por ejemplo, ¿el elemento 9 tiene antiimagen? Pues no, porque no hay ningún elemento del conjunto inicial que esté asociado a él, pero el elemento 7 sí tiene antiimagen, sería el 3, ¿no? Ya vimos que esto lo escribíamos así, f a la menos 1 de 7 es igual a 3. 105 00:17:51,900 --> 00:17:58,240 Pues bien, el elemento 7, como tiene antiimagen, pues está en el recorrido de la función f. 106 00:17:59,200 --> 00:18:09,559 Así pues, podemos observar fácilmente que el recorrido de la función serían el menos 1, el 0, el 4 y el 7. 107 00:18:10,579 --> 00:18:12,380 Y aquí lo tenemos escrito de esta manera. 108 00:18:12,920 --> 00:18:16,420 Pues bien, simbólicamente la anotación que utilizamos es esta. 109 00:18:17,119 --> 00:18:26,099 Recorrido de la función f es el conjunto de elementos y los designamos, los escribimos dentro del conjunto. 110 00:18:26,799 --> 00:18:27,160 ¿De acuerdo? 111 00:18:28,119 --> 00:18:34,599 Por último, aunque sea redundar, vamos a repasar el concepto de dominio de función dada su importancia. 112 00:18:34,599 --> 00:18:43,619 Pues bien, pues el dominio decíamos es el conjunto de valores del conjunto inicial 113 00:18:43,619 --> 00:18:47,799 Que tienen imagen simplemente 114 00:18:47,799 --> 00:18:54,819 Y en este caso pues el dominio sería el 2, el 3, el 5 y el 6 115 00:18:54,819 --> 00:19:01,019 Y no estarían en el dominio de definición de la función el 1 116 00:19:01,019 --> 00:19:02,660 Porque no tiene imagen 117 00:19:02,660 --> 00:19:07,299 Y tampoco el 5 118 00:19:07,299 --> 00:19:09,779 Bueno, el 5 sí tiene imagen 119 00:19:09,779 --> 00:19:11,960 Perdón, el 4, el 4 no tiene imagen 120 00:19:11,960 --> 00:19:15,359 El 4 no tiene imagen, no estaría en el dominio 121 00:19:15,359 --> 00:19:17,799 Pero sí estaría en el dominio de definición el 5 122 00:19:17,799 --> 00:19:20,400 Es decir, pues esto es