1
00:00:00,000 --> 00:00:03,240
Voy a resolver un tercer sistema por el método de Gauss.

2
00:00:04,940 --> 00:00:12,439
Vamos a intentar, partiendo de este sistema, llegar a otro equivalente que sea escalonado

3
00:00:12,439 --> 00:00:15,240
y vamos a ver qué nos ocurre en este caso.

4
00:00:15,939 --> 00:00:21,739
Empezamos escribiendo la matriz asociada al sistema.

5
00:00:22,480 --> 00:00:24,160
Vamos con los coeficientes de las x.

6
00:00:27,859 --> 00:00:31,960
La y no está en la primera ecuación, luego su coeficiente es un cero.

7
00:00:35,570 --> 00:00:44,289
La z, 1, 4, menos 1, y los términos independientes, 3, 8.

8
00:00:47,509 --> 00:00:56,310
En este sistema ya tenemos un 0, donde estaba la variable, donde habría tenido que estar la variable i en la primera ecuación.

9
00:00:56,310 --> 00:01:04,390
Vamos a buscar otro 0 en la columna de las i, es por ejemplo, en esa ecuación de ahí.

10
00:01:04,390 --> 00:01:13,790
Vamos entonces a dejar fija la ecuación primera que ya tiene ese 0

11
00:01:13,790 --> 00:01:27,079
Para hacer un 0 en la segunda ecuación en la posición donde he recuadrado

12
00:01:27,079 --> 00:01:36,519
Lo que voy a hacer va a ser usar la tercera ecuación sumando e2 más e3 que tienen los coeficientes de la variable y opuestos

13
00:01:36,519 --> 00:01:48,200
Ahí me sale un 0, vamos a verlo. Sumo 2 más 1, 3. Menos 1 más 1, 0. 4 menos 1, 3. 8 más 1, 9.

14
00:01:49,019 --> 00:01:59,200
Y la tercera ecuación la dejamos como está. La tercera ecuación es la ecuación que en el sistema escalonado tiene las tres variables x, y, y, z.

15
00:02:00,040 --> 00:02:08,819
Bien, antes de continuar haciendo ceros, vemos que la segunda ecuación, todos los coeficientes son múltiplos de 3.

16
00:02:09,879 --> 00:02:15,080
Voy a simplificar la ecuación dividiendo entre 3 y dejo igual las otras ecuaciones.

17
00:02:15,780 --> 00:02:29,680
1, 0, 1, dividiendo 3 entre 3, 1, 0 entre 3, 0, aquí un 1 y el término independiente 3.

18
00:02:29,680 --> 00:02:47,629
Entonces, 1, 1, menos 1. Vamos a hacer un 0 más en la primera ecuación. Por ejemplo, voy a intentar hacer aquí un 0 en esta posición de aquí.

19
00:02:47,629 --> 00:03:08,159
Para eso a la primera ecuación simplemente le quito la segunda y ¿qué me encuentro? Pues me encuentro que 1 menos 1 es 0, 0 menos 0 es 0, 1 menos 1 es 0, 3 menos 3 es 0.

20
00:03:08,159 --> 00:03:32,169
Las otras dos ecuaciones quedan iguales. Es decir, que de la primera ecuación la información que obtenemos es que 0x más 0y más 0z nos da igual a 0.

21
00:03:33,030 --> 00:03:49,949
Es decir, algo obvio, 0 igual a 0. Esa primera ecuación no nos está dando información. La información está contenida en las otras dos ecuaciones.

22
00:03:50,650 --> 00:03:55,250
Veamos pues cómo resolver este tipo de sistemas.

23
00:03:55,509 --> 00:04:04,370
Sistemas en los que tengo sólo dos ecuaciones que nos estén dando información y sin embargo tengo tres variables.

24
00:04:05,310 --> 00:04:18,889
Tengo la ecuación primera me dice x más z igual a 3 y la ecuación segunda me dice x más y menos z igual a 1.

25
00:04:18,889 --> 00:04:29,680
Este tipo de sistemas que tienen solución no tienen solución única, se les llama sistemas compatibles indeterminados.

26
00:04:30,339 --> 00:04:35,139
Para resolverlos lo que vamos a hacer va a ser parametrizar una de las variables.

27
00:04:35,699 --> 00:04:44,800
Voy a elegir una de las variables de la primera ecuación, por ejemplo voy a elegir x, voy a decir que x puede tomar cualquier valor,

28
00:04:44,800 --> 00:04:50,839
lo represento ese valor que puede tomar con la letra griega lambda, lambda es cualquier número real,

29
00:04:51,639 --> 00:04:57,540
y una vez que he elegido que x tiene que ser lambda, z ya no puede ser cualquier cosa,

30
00:04:57,779 --> 00:05:04,800
la suma de x más z tiene que dar 3, luego z tendrá que ser 3 menos lambda.

31
00:05:06,220 --> 00:05:11,379
Sustituimos estos valores de x y de z en la ecuación segunda del sistema

32
00:05:11,379 --> 00:05:16,139
y calculamos cómo tiene que ser la variable y en función de lambda.

33
00:05:16,540 --> 00:05:18,819
Sustituyo x por lambda.

34
00:05:21,100 --> 00:05:28,779
La y, y ahora z, sería 3 menos lambda, igual a 1.

35
00:05:30,040 --> 00:05:40,459
Eso quiere decir que y tiene que ser igual a 4 menos 2 veces lambda.

36
00:05:41,319 --> 00:05:49,399
La solución, por lo tanto, del sistema no es única, hay infinitas soluciones, pero no son infinitas soluciones cualquiera,

37
00:05:49,540 --> 00:05:56,740
sino que tiene que cumplir que si yo a x le doy el valor lambda, el valor de y tiene que ser 4 menos 2 veces lambda,

38
00:05:56,740 --> 00:06:03,459
y el valor de z, 3 menos lambda, siendo lambda cualquier número real.

39
00:06:04,259 --> 00:06:09,079
Yo podría encontrar esas soluciones, por ejemplo, si digo, lambda es igual a 0,

40
00:06:09,079 --> 00:06:15,040
Pues ¿cuál será la solución? Será 0, 4, 3.

41
00:06:15,420 --> 00:06:23,819
Si quiero que lambda sea igual a 1, pues la solución será 1, 2 y 2.

42
00:06:24,259 --> 00:06:30,819
Y así, para los distintos valores de lambda, vamos encontrando las distintas soluciones del sistema.

43
00:06:30,819 --> 00:06:39,319
Nosotros la solución la dejamos puesta en su forma general, la dejamos escrita así, de esta forma

44
00:06:39,319 --> 00:06:46,410
Como veis, nosotros no necesitamos saber cómo va a ser el sistema

45
00:06:46,410 --> 00:06:50,350
Nosotros encontramos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

46
00:06:50,350 --> 00:06:58,110
y al escribirlo de forma escalonada, pues encontramos que hay una ecuación que no nos está dando información

47
00:06:58,110 --> 00:07:05,329
y por lo tanto el sistema es compatible pero no tiene solución única.

48
00:07:05,790 --> 00:07:10,129
Y entonces ahí empezamos a resolverlo utilizando un parámetro.

49
00:07:11,209 --> 00:07:15,910
Con esto termino la colección de vídeos del método de Gauss.

50
00:07:16,189 --> 00:07:17,970
Espero que os hayan sido útiles.