1
00:00:00,500 --> 00:00:25,879
Bien, vamos a hacer el ejercicio 1, apartado de, del tema 1 de segundo de bachillerato de ciencias sociales. Un sistema de ecuaciones. Vamos a aplicar el método general. Por lo general sabéis que la segunda ecuación, por ejemplo, o la tercera, ¿veis? Sería bueno ponerla en el primera ecuación, como primera ecuación.

2
00:00:25,879 --> 00:00:46,060
Pero aquí no lo han querido hacer, no es necesario. Lo vamos a hacer tal y como está hecho aquí, ¿de acuerdo? Pero insisto que si hay alguna... vamos a hacerlo así sin moverlo porque imaginaos que os encontráis un sistema que no tiene incógnita x con un 1, si no entendéis, pues convendría aprender a hacerlo, ¿de acuerdo?

3
00:00:46,060 --> 00:01:04,239
Bien, entonces, lo pasamos a su forma matricial, tal y como estáis viendo, ¿no? Es decir, la matriz de coeficientes. Bien, fijaos, decía que este sistema de ecuaciones, en primer lugar, lo pasamos a su forma matricial.

4
00:01:04,239 --> 00:01:08,439
Esta sería su matriz de coeficientes

5
00:01:08,439 --> 00:01:09,439
¿De acuerdo?

6
00:01:10,180 --> 00:01:11,620
Bien, fijaos

7
00:01:11,620 --> 00:01:13,859
El 2, menos 1, 1, 3

8
00:01:13,859 --> 00:01:17,379
Son los coeficientes que acompañan a las incógnitas

9
00:01:17,379 --> 00:01:21,040
Y el término independiente de la primera ecuación

10
00:01:21,040 --> 00:01:22,799
¿Se entiende, no?

11
00:01:26,280 --> 00:01:29,180
Una vez que ya tengo la expresión matricial

12
00:01:29,180 --> 00:01:31,980
¿Qué se hace?

13
00:01:32,620 --> 00:01:35,439
Pues aplicando el método de Gauss

14
00:01:35,439 --> 00:01:45,180
el principio este de que puedo sustituir una ecuación, o vamos a decir en este caso una fila, por una combinación lineal de ella con el resto,

15
00:01:46,719 --> 00:01:57,819
obtendríamos un sistema equivalente. ¿Sí o no? ¿Me seguís? Bien, pues aplicando este principio, el ejercicio va a consistir en hacer ceros aquí y aquí en primer lugar.

16
00:01:57,819 --> 00:02:01,140
Y después aquí en segundo

17
00:02:01,140 --> 00:02:03,519
¿Se entiende la idea?

18
00:02:04,379 --> 00:02:04,739
Bien

19
00:02:04,739 --> 00:02:10,879
¿Cómo hacer cero aquí?

20
00:02:11,840 --> 00:02:12,740
Ah, bueno, por cierto

21
00:02:12,740 --> 00:02:15,919
Aquí se han cambiado la segunda ecuación por la primera

22
00:02:15,919 --> 00:02:16,340
¿Lo veis?

23
00:02:17,280 --> 00:02:18,800
Lo han hecho ya con la matriz

24
00:02:18,800 --> 00:02:20,680
¿De acuerdo?

25
00:02:20,680 --> 00:02:24,159
Pero vamos, lo que está haciendo es sustituir

26
00:02:24,159 --> 00:02:27,520
La segunda ecuación por la primera

27
00:02:27,520 --> 00:02:35,520
Permutar esas ecuaciones, ¿vale? Bien, ya teniendo aquí el 1, pues va a resultar más sencilla las operaciones.

28
00:02:35,520 --> 00:02:51,219
Bueno, en este primer... Es interesante que os acostumbréis a hacer lo que aquí se está haciendo, que es, en cada transformación de matriz que hago, describir en qué consiste dicha transformación.

29
00:02:51,219 --> 00:03:05,219
¿Se ve o no? Basándonos en las propiedades. Aquellas de qué transformaciones hacen dan como consecuencia sistema equivalente. ¿Entendéis o no?

30
00:03:05,520 --> 00:03:27,500
¿Recordáis el punto de la teoría? En fin, hagamos un repaso de la teoría. ¿Qué transformaciones de sistemas de ecuaciones me derivan en sistemas de ecuaciones equivalentes, o sea, con las mismas soluciones?

31
00:03:27,500 --> 00:03:29,639
Pues mirar rápidamente

32
00:03:29,639 --> 00:03:30,960
Bueno, recordemos

33
00:03:30,960 --> 00:03:33,199
Sistema equivalente que tiene las mismas soluciones

34
00:03:33,199 --> 00:03:36,419
Intercambiar entre sí dos ecuaciones

35
00:03:36,419 --> 00:03:37,460
Esto es lo que hemos hecho

36
00:03:37,460 --> 00:03:39,139
En el ejercicio, ¿sí o no?

37
00:03:39,639 --> 00:03:41,259
Segunda, multiplicar ambos miembros

38
00:03:41,259 --> 00:03:43,180
En fin, la más importante es esta última

39
00:03:43,180 --> 00:03:45,659
Que dice, ¿no?

40
00:03:45,879 --> 00:03:46,939
Sustituir una ecuación

41
00:03:46,939 --> 00:03:49,460
Por el resultado de sumarle una combinación lineal

42
00:03:49,460 --> 00:03:50,099
De las demás

43
00:03:50,099 --> 00:03:52,939
¿Se entiende o no?

44
00:03:55,319 --> 00:03:56,860
O añadir, esta la tercera

45
00:03:56,860 --> 00:03:58,659
Dice, añadir o suprimir

46
00:03:58,659 --> 00:04:01,000
una ecuación, bueno esta sería otra

47
00:04:01,000 --> 00:04:02,939
si yo a un sistema le añado

48
00:04:02,939 --> 00:04:05,439
una ecuación nueva

49
00:04:05,439 --> 00:04:07,259
que es combinación lineal de las que tengo

50
00:04:07,259 --> 00:04:09,039
o tengo un sistema equivalente

51
00:04:09,039 --> 00:04:10,919
lo único que con una ecuación más

52
00:04:10,919 --> 00:04:11,520
¿sí o no?

53
00:04:12,400 --> 00:04:14,219
entendemos todos que al hacer Gauss

54
00:04:14,219 --> 00:04:17,240
esa ecuación que he añadido tendría que desaparecer

55
00:04:17,240 --> 00:04:18,680
¿sí o no? ¿entendéis o no?

56
00:04:19,360 --> 00:04:20,740
bien, porque estamos dando

57
00:04:20,740 --> 00:04:22,259
aportando

58
00:04:22,259 --> 00:04:25,040
digamos, ecuaciones redundantes

59
00:04:25,660 --> 00:04:27,240
¿está claro o no?

60
00:04:27,720 --> 00:04:28,060
¿la idea?

61
00:04:28,660 --> 00:04:38,740
Bien, pues basándonos en esto, pues bien, aplicando esas transformaciones,

62
00:04:39,779 --> 00:04:48,120
eso es en lo que se basa el método de Gauss, para hacer ceros debajo de la escalera.

63
00:04:48,600 --> 00:04:58,120
¿De acuerdo? Bien, entonces, en esta lo que decía es que conviene describir en cada transformación

64
00:04:58,120 --> 00:05:16,519
Transformación, lo que hemos hecho. ¿Se entiende? En esta transformación, por ejemplo, ¿qué hemos hecho? Pues cambiar la primera por la segunda. Aquí está descrito. ¿Se comprende? Mirad aquí. ¿Veis? Aquí hemos cambiado la primera ecuación por la segunda.

65
00:05:16,519 --> 00:05:39,620
Hemos permutado la primera y la segunda. Bien, ¿en qué va a consistir ahora el siguiente paso? Pues hacer un cero aquí. ¿Sí o no? Para hacer un cero aquí, ¿qué? Habrá que sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal, basándonos en la propiedad que hemos visto anteriormente. ¿Sí o no?

66
00:05:40,300 --> 00:05:44,240
Entonces, ¿qué combinación lineal hay que aplicar para hacer un cero aquí?

67
00:05:46,649 --> 00:05:52,930
Esto es, la técnica es la misma que en el método de reducción que usabais con dos ecuaciones y dos incógnitas.

68
00:05:53,569 --> 00:06:01,970
Sería multiplicar por dos la primera ecuación, o mejor dicho, por menos dos, para que quede aquí un menos dos.

69
00:06:02,790 --> 00:06:05,790
Que sumado a este dos se hace cero. ¿Se entiende o no?

70
00:06:06,850 --> 00:06:10,870
Bien, por eso, esto viene descrito en el siguiente movimiento.

71
00:06:10,930 --> 00:06:35,310
Primero, segunda ecuación menos dos por primera. ¿Se entiende? A mí me gusta ponerlo de otra manera. Yo prefiero, en lugar de describirlo así, prefiero poner así, mirad. Segunda más menos dos por primera. ¿Por qué? Porque prefiero sumarlo, suele haber menos errores.

72
00:06:35,310 --> 00:06:38,589
Multiplicas por menos 2 y luego sumas

73
00:06:38,589 --> 00:06:42,129
La gente, os soléis equivocar si restáis filas

74
00:06:42,129 --> 00:06:45,110
Cuando hay un signo menos detrás, no sé qué, os liáis

75
00:06:45,110 --> 00:06:48,870
Entonces, para seguir una pauta, para evitar esos errores

76
00:06:48,870 --> 00:06:52,410
Yo sugiero que lo hagáis de esta manera

77
00:06:52,410 --> 00:06:53,670
Poniendo siempre un más

78
00:06:53,670 --> 00:06:56,529
Y si hubiera que restar, multiplicas por signo negativo

79
00:06:56,529 --> 00:06:57,329
Como aquí

80
00:06:57,329 --> 00:06:58,970
¿Se entiende, no?

81
00:06:59,629 --> 00:07:02,310
Bien, entonces, te coges aquí y dices

82
00:07:02,310 --> 00:07:03,949
Bueno, pues, multiplicas

83
00:07:03,949 --> 00:07:08,009
La primera ecuación por menos 2

84
00:07:08,009 --> 00:07:10,449
O sea

85
00:07:10,449 --> 00:07:14,149
Primera ecuación por menos 2

86
00:07:14,149 --> 00:07:20,019
Y la segunda

87
00:07:20,019 --> 00:07:22,759
La dejas tal cual

88
00:07:22,759 --> 00:07:23,759
Y sumas

89
00:07:23,759 --> 00:07:25,279
Y te va a quedar

90
00:07:25,279 --> 00:07:32,149
0, 5, 3, 5

91
00:07:32,149 --> 00:07:33,670
¿Necesitáis que lo haga?

92
00:07:35,290 --> 00:07:36,310
¿Necesitáis que lo haga?

93
00:07:37,129 --> 00:07:38,290
Venga, vamos a hacerlo

94
00:07:38,290 --> 00:07:40,089
Segunda

95
00:07:40,089 --> 00:07:56,689
Ahora, nuevamente, una pauta para no equivocaros. Como tienes que hacer la operación segunda más menos 2 por primera, en primer lugar vamos a poner aquí menos 2 por primera fila.

96
00:07:56,689 --> 00:08:19,459
La primera fila es 1, 2, menos 1, 4. Pues la multiplico por menos 2. ¿De acuerdo? ¿Qué sería? Menos 2 por 1, menos 2. Menos 2 por 2, menos 4. Perdón, lo voy a hacer aquí, voy a hacerme hueco.

97
00:08:19,459 --> 00:08:28,240
¿Vale? Si multiplico la primera fila por menos 2, me queda menos 2, menos 4, más 2 y menos 8

98
00:08:28,240 --> 00:08:32,759
¿De acuerdo? Luego ponemos la segunda fila debajo, porque hay que sumarlas

99
00:08:32,759 --> 00:08:39,720
Yo sugiero que se haga de esta manera ordenada, para no equivocarse

100
00:08:39,720 --> 00:08:43,019
¿Vale? La segunda fila que es 2, menos 1, 1 y 3

101
00:08:43,019 --> 00:08:48,570
2, menos 1, 1 y 3

102
00:08:48,570 --> 00:09:03,889
Y ahora al sumar vemos que efectivamente se va como era de esperar la X. 0, menos 5, 3 y 5. ¿Se ve? Y por eso aquí ponemos menos 5, perdón.

103
00:09:03,889 --> 00:09:21,129
Por eso, la fila segunda sustituyo por esta combinación lineal, que es esto, obteniendo una matriz que representa a un sistema equivalente, porque la transformación confiere un sistema equivalente, tal y como hemos dicho.

104
00:09:21,129 --> 00:09:46,210
Lo mismo haremos para hacer un 0 aquí. En este caso, pues, sustituyo la fila 3 por la tercera fila más menos 1 por la primera. Aquí pone menos, pero yo prefiero poner el menos 1, insisto. ¿Vale? Y os ponéis aquí lo mismo, lo hacéis, bum bum y lo hacéis. Y os va a salir esta fila. ¿Se entiende hasta aquí o no?

105
00:09:46,210 --> 00:10:15,259
Una vez que ya tengo ceros aquí y aquí, me falta hacer el cero aquí. Cuestión importante. Seguir el orden que estoy planteando. No empecéis haciendo cero aquí, primero aquí, luego aquí y luego aquí. ¿Vale? Esto es importante. ¿De acuerdo? Bien.

106
00:10:15,259 --> 00:10:32,240
Bien, entonces, aplicando este, vamos a sustituir la tercera fila por una combinación lineal de la segunda y la tercera en este caso, aprovechando que aquí hay ceros, es por ello por lo que hay que seguir ese orden, para primero dejar aquí ceros, ¿de acuerdo?

107
00:10:32,240 --> 00:10:56,960
Entonces, la fila F3, ¿por quién la sustituyo? Pues por menos 2 F1 más F3, por ejemplo. ¿Sí o no? De esta manera, menos 2 por F1 me va a dar aquí más 10, que más menos 10 es 0 y se va, que es de lo que se trata.

108
00:10:56,960 --> 00:11:12,860
¿Se ha entendido? No sé si es la que aquí plantean. La tercera, menos 2 por F1. Es lo mismo. ¿De acuerdo? ¿Se ve? Y bien, resulta que al operar esto, vamos a hacerlo despacio.

109
00:11:12,860 --> 00:11:35,009
Hemos dicho, menos 2 por F2 y luego más F3, ¿de acuerdo? Es 0, más 10, menos 6 y 10.

110
00:11:35,009 --> 00:11:54,429
10. Y abajo, 0, 10, 6 y menos 10. Esto es un menos, perdón. ¿Vale? Se van, se van y se van. 0, 0, 0, 0.

111
00:11:54,429 --> 00:12:11,350
Bien, este punto es importante. ¿Qué me está diciendo? Que esta ecuación sobra. ¿Se entiende? Pero no está planteando una incompatibilidad. Esto es importante.

112
00:12:11,350 --> 00:12:27,169
Si el sistema fuera incompatible, en este punto, ¿qué debería de poner? Aquí un número diferente de cero. ¿Me entendéis o no? Imaginaos que aquí en lugar de cero te hubiera salido un tres.

113
00:12:27,169 --> 00:12:32,690
Pues entonces tendrías que escribir 0x más 0y más 0z igual a 3

114
00:12:32,690 --> 00:12:33,970
O sea, 0 igual a 3

115
00:12:33,970 --> 00:12:35,169
Esto es imposible

116
00:12:35,169 --> 00:12:36,149
¿Entendéis?

117
00:12:36,669 --> 00:12:41,529
Entonces, de aquí se desprendería que el sistema es incompatible

118
00:12:41,529 --> 00:12:42,830
Pero no es el caso

119
00:12:42,830 --> 00:12:46,029
O sea, ha salido 0, 0 toda la fila

120
00:12:46,029 --> 00:12:49,929
Y por tanto, aquí lo que pone es 0 igual a 0

121
00:12:49,929 --> 00:12:51,169
Habría que añadir aquí

122
00:12:51,169 --> 00:12:52,070
¿Vale?

123
00:12:53,029 --> 00:12:55,129
Pero esta ecuación, ¿qué le pasa?

124
00:12:55,610 --> 00:12:56,850
Que no aporta nada

125
00:12:56,850 --> 00:13:24,690
No incompatibiliza nada. Porque no es imposible. Es que es cierta siempre. Esa ecuación se va a verificar siempre para cualquier valor de X, Y y Z. ¿Se entiende? Por eso en realidad no aporta nada, se quita. Y me queda un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas. ¿Se ha entendido? Ya está escalonado. ¿Qué hacemos ahora? Analizamos.

126
00:13:26,850 --> 00:13:32,009
En principio, sin aplicar ninguna ecuación, ¿cuántos grados de libertad tendría la solución?

127
00:13:32,009 --> 00:13:40,970
Pues, esa materna numérica, ¿sí o no? X, Y, Z. ¿Se ve o no? Tiene tres grados de libertad.

128
00:13:41,070 --> 00:13:45,789
Pero esta primera ecuación la va a reducir a dos. Y esta, a uno.

129
00:13:46,730 --> 00:13:55,009
Ya digo que, una vez que he hecho Gauss, sí que puedo hacer el análisis de cada ecuación, ciertamente quita un grado de libertad.

130
00:13:55,009 --> 00:13:56,049
Una vez hecho Gauss.

131
00:13:56,730 --> 00:14:04,570
Porque una vez que aplicas el método de Gauss, lo que estás haciendo en realidad es eliminar las ecuaciones redundantes, sobrantes.

132
00:14:04,830 --> 00:14:08,629
¿Se entiende? En matemática se dice linealmente dependientes.

133
00:14:09,750 --> 00:14:10,309
¿Vale?

134
00:14:11,230 --> 00:14:14,690
Ecuaciones linealmente dependientes, o sea, que dependen de las anteriores.

135
00:14:15,549 --> 00:14:22,629
Aquí lo que viene a decir es que estas tres ecuaciones tienen una, al menos, que depende de las otras.

136
00:14:23,250 --> 00:14:23,870
¿Se comprende?

137
00:14:27,470 --> 00:14:35,350
Bien, y una vez que ya tenemos este sistema escalonado y decidimos cuántos parámetros necesitamos,

138
00:14:35,350 --> 00:14:43,720
en este caso un parámetro porque tiene un grado de libertad, diríamos, por ejemplo, que z sea igual a nu.

139
00:14:44,799 --> 00:14:50,059
Aquí no lo hacen usando parámetro, aquí dicen, sea z el parámetro, punto. ¿Entendéis?

140
00:14:50,860 --> 00:14:58,019
Entonces despeja todo en función de z, que es un poco como tú indicabas, pero a mí me gusta parametrizar con letras griegas.

141
00:14:58,019 --> 00:14:59,399
¿se entiende?

142
00:15:00,419 --> 00:15:01,919
a veces verás escrito

143
00:15:01,919 --> 00:15:03,059
sea Z igual a Z

144
00:15:03,059 --> 00:15:04,759
pero

145
00:15:04,759 --> 00:15:07,620
otra manera de escribir esto

146
00:15:07,620 --> 00:15:08,720
¿entendéis o no?

147
00:15:09,779 --> 00:15:10,139
¿se ve?

148
00:15:12,980 --> 00:15:13,940
pero vamos que

149
00:15:13,940 --> 00:15:17,240
al final lo parametriza igual pues ya está

150
00:15:17,240 --> 00:15:18,820
yo lo hago antes

151
00:15:18,820 --> 00:15:20,039
Z igual a lambda

152
00:15:20,039 --> 00:15:23,320
¿vale? y entonces ¿qué haces?

153
00:15:23,320 --> 00:15:25,639
pues aquí introduces lambda

154
00:15:25,639 --> 00:15:29,320
y esto te permite despejar

155
00:15:29,320 --> 00:15:32,700
porque z pasa a ser

156
00:15:32,700 --> 00:15:33,600
ya un parámetro

157
00:15:33,600 --> 00:15:36,120
ya no es una variable, no es una incógnita

158
00:15:36,120 --> 00:15:38,059
quiero decir, lo pasas al otro lado

159
00:15:38,059 --> 00:15:39,059
y despejas y

160
00:15:39,059 --> 00:15:41,139
y te va a quedar esto

161
00:15:41,139 --> 00:15:43,779
una vez que tienes que z es lambda

162
00:15:43,779 --> 00:15:45,340
aquí habría que poner

163
00:15:45,340 --> 00:15:47,580
1 más 3 quintos lambda

164
00:15:47,580 --> 00:15:48,639
¿de acuerdo?

165
00:15:49,820 --> 00:15:52,059
y luego, una vez que tienes

166
00:15:52,059 --> 00:15:54,279
z e i sustituyes

167
00:15:54,279 --> 00:15:55,779
en la primera ecuación

168
00:15:55,779 --> 00:15:58,120
o sea, de aquí sacas

169
00:15:58,120 --> 00:16:00,340
i y luego sustituyes

170
00:16:00,340 --> 00:16:02,480
z e i aquí y sacas x

171
00:16:02,480 --> 00:16:03,600
como siempre

172
00:16:03,600 --> 00:16:06,559
y te vas a obtener

173
00:16:06,559 --> 00:16:07,759
esta solución

174
00:16:07,759 --> 00:16:10,440
me gustaría, esto deberíais de hacerlo vosotros

175
00:16:10,440 --> 00:16:12,200
es álgebra básica

176
00:16:12,200 --> 00:16:14,860
¿de acuerdo? sustituyes y despejas

177
00:16:14,860 --> 00:16:16,519
pero no paséis

178
00:16:16,519 --> 00:16:18,379
por encima de esto sin hacerlo

179
00:16:18,379 --> 00:16:20,200
vosotros, ¿vale?

180
00:16:20,259 --> 00:16:22,240
no lo voy a hacer en el vídeo porque no merece la pena

181
00:16:22,240 --> 00:16:23,620
llenarlo de

182
00:16:23,620 --> 00:16:26,139
bien, y ya por último

183
00:16:26,139 --> 00:16:27,759
una vez que tienes la solución

184
00:16:27,759 --> 00:16:30,700
parametrizada, pues lo dicho

185
00:16:30,700 --> 00:16:33,340
¿cómo obtenemos diferentes soluciones?

186
00:16:33,580 --> 00:16:34,740
pues dando valores a lambda

187
00:16:34,740 --> 00:16:38,179
que si lambda vale 0, pues donde pone lambda

188
00:16:38,179 --> 00:16:40,799
pones 0 y ya mira lo que sale aquí

189
00:16:40,799 --> 00:16:45,120
esto es 0, 0, 0, pues 2, 1, 0

190
00:16:45,120 --> 00:16:47,139
es una solución, ¿se entiende?

191
00:16:47,139 --> 00:16:50,639
que si lambda vale 0,2

192
00:16:50,639 --> 00:16:51,360
también, ¿no?

193
00:16:51,919 --> 00:16:53,220
lambda es un número real

194
00:16:53,220 --> 00:16:56,899
sustituyendo obtienes los valores de x

195
00:16:56,899 --> 00:16:58,679
I y Z

196
00:16:58,679 --> 00:17:02,460
y luego una interpretación geométrica

197
00:17:02,460 --> 00:17:03,759
se puede dar

198
00:17:03,759 --> 00:17:07,960
esto no compite a vuestra especialidad

199
00:17:07,960 --> 00:17:09,900
pero bueno, fijaros

200
00:17:09,900 --> 00:17:14,180
la solución se describe mediante un parámetro

201
00:17:14,180 --> 00:17:15,940
quiere decir que es un grado de libertad

202
00:17:15,940 --> 00:17:16,980
una dimensión

203
00:17:16,980 --> 00:17:20,599
¿qué figura geométrica lineal conoces que tenga una dimensión?

204
00:17:21,119 --> 00:17:22,099
una recta

205
00:17:22,099 --> 00:17:24,359
la recta es la solución

206
00:17:24,359 --> 00:17:38,400
Y claro, como cada elemento de estos es un plano, cada ecuación de este tipo es un plano, pues entonces son tres planos que se cortan en una recta. ¿Se entiende? En fin, pues...