1
00:00:00,000 --> 00:00:03,160
Pues antes de continuar con el tema de matrices,

2
00:00:03,960 --> 00:00:08,099
querría que viéramos un poquito, que recordáramos cómo estudiamos los conjuntos de números,

3
00:00:08,220 --> 00:00:11,460
los naturales, los enteros, los racionales, los reales,

4
00:00:11,980 --> 00:00:16,199
y siempre lo hemos hecho de la misma manera, aunque quizá no nos ha quedado clara esa estructura.

5
00:00:16,760 --> 00:00:19,420
Pero en matemáticas siempre los conjuntos se estudian de la misma manera.

6
00:00:19,839 --> 00:00:23,420
Primero se describe, se dice qué elementos contiene el conjunto,

7
00:00:24,039 --> 00:00:26,460
después se dice qué características tiene el conjunto,

8
00:00:26,460 --> 00:00:31,899
y después se definen tipos de elementos de ese conjunto.

9
00:00:32,020 --> 00:00:34,780
Por ejemplo, hay números pares o impares, hay fracciones propias o impropias,

10
00:00:34,780 --> 00:00:44,240
hay números reales que son decimales o enteros, bueno, más o menos, ¿no?

11
00:00:44,240 --> 00:00:48,939
Luego, una vez que hemos definido lo que es el conjunto de números

12
00:00:48,939 --> 00:00:53,039
y las características que tiene y las clasificaciones que podemos hacer,

13
00:00:53,039 --> 00:00:57,560
se opera con esos números, la suma y la multiplicación fundamentalmente.

14
00:00:58,579 --> 00:01:02,320
Después hay operaciones derivadas como la resta, la división, la potencia

15
00:01:02,320 --> 00:01:09,219
y de la suma y la multiplicación siempre estudiamos propiedades que cumplen esa operación de ese conjunto.

16
00:01:09,719 --> 00:01:12,739
Bueno, pues es lo que vamos a hacer exactamente ahora con las matrices.

17
00:01:12,900 --> 00:01:16,700
Ya las hemos descrito, hemos dicho qué elementos tienen, o sea, qué características.

18
00:01:16,700 --> 00:01:20,219
Las hemos clasificado y ahora vamos a operar con ellas.

19
00:01:20,219 --> 00:01:26,780
Pues venga, empezamos con la suma de fracciones.

20
00:01:27,379 --> 00:01:32,019
Para sumar dos fracciones, éstas deben tener la misma dimensión, importantísimo.

21
00:01:32,760 --> 00:01:37,000
Y una vez que sabemos que la tienen, ¿cómo se suman? Pues se suman elemento a elemento.

22
00:01:37,599 --> 00:01:38,500
Vamos a hacer este ejemplo.

23
00:01:39,900 --> 00:01:45,959
Suma, si es posible, estas matrices. Bueno, pues solo puedo sumar la A con la C,

24
00:01:45,959 --> 00:01:48,959
porque son las únicas que coinciden las dimensiones.

25
00:01:48,959 --> 00:01:55,180
Con la B no puedo hacer nada. Entonces, ya que puedo sumar la A y la C, pues vamos a hacerlo.

26
00:01:55,359 --> 00:02:02,200
¿Cómo se suman dos matrices? Sumando las dos matrices, poniendo el símbolo de suma en medio.

27
00:02:02,519 --> 00:02:09,680
¿Y cómo se hace? Sumando elemento a elemento el A1,1 más C1,1. 1 más 3, 4.

28
00:02:09,680 --> 00:02:29,340
El a sub 1, 2 más c sub 1, 2, 3, a sub 2, 1 más a sub c, 1, c sub, uy, os lo estoy diciendo mal, perdón, sería a sub 2, 1 más c sub 2, 1 y me da 3 menos 1, 2.

29
00:02:29,340 --> 00:02:41,060
Este sería el a sub 2 2 más c sub 2 2 menos 3 menos 4 menos 7. Bueno, y así continuamos y nos queda el resultado que dice ahí, ¿vale?

30
00:02:42,139 --> 00:02:54,039
Bueno, pues la suma de matrices cumple las propiedades que cumplen también la suma de números, tanto naturales como enteros, fraccionarios, o sea, racionales y reales.

31
00:02:54,039 --> 00:02:58,780
La primera es la conmutativa, es decir, que yo puedo sumar a más b o b más a.

32
00:03:00,419 --> 00:03:09,900
Era lógico, ¿no?, porque como sumamos elemento a elemento y la suma de números es conmutativa, pues la suma de matrices también.

33
00:03:13,659 --> 00:03:22,400
La propiedad asociativa, puedo sumar a al resultado de b más c o al resultado de a más b, le sumo c y me tiene que dar lo mismo.

34
00:03:23,379 --> 00:03:30,840
El elemento neutro, acordaos, el elemento neutro en una operación es aquel que deja al elemento al que se lo aplico como estaba.

35
00:03:30,840 --> 00:03:38,340
Es decir, estoy con la operación suma, el elemento neutro de la suma es ver qué le sumo a la matriz A para que se quede como está.

36
00:03:38,680 --> 00:03:41,240
Pues es la matriz nula, que ya hemos visto.

37
00:03:41,240 --> 00:04:03,039
Y el elemento opuesto, igual que en la suma de números, el elemento opuesto es el que al sumarle al elemento en cuestión me da como resultado el elemento neutro, que le tengo que sumar a un número para que me dé 0, su opuesto, pues que le sumo una matriz para que me dé la matriz nula, pues su opuesta.

38
00:04:03,039 --> 00:04:05,680
¿Y cómo se obtiene la matriz opuesta de una dada?

39
00:04:06,039 --> 00:04:08,379
De la matriz A, que se designa por menos A.

40
00:04:08,840 --> 00:04:12,740
Pues se obtiene cambiando el signo a todos los elementos de A.

41
00:04:13,740 --> 00:04:15,240
Pues ahora ya sabemos sumar.

42
00:04:17,230 --> 00:04:21,670
Vamos entonces ahora a ver otra operación derivada de la suma, que es la resta.

43
00:04:21,810 --> 00:04:23,189
¿Y cómo se restan las matrices?

44
00:04:23,850 --> 00:04:28,589
Pues tienen que tener la misma dimensión, igual que en la suma, puesto que la resta es como una suma.

45
00:04:29,230 --> 00:04:30,850
Y se resta elemento a elemento.

46
00:04:30,850 --> 00:04:45,870
Perfecto. Bueno, pues visto esto, vamos a pasar a la operación multiplicación, pero antes de hacer multiplicación de matrices, de una matriz por otra, vamos a hacer una multiplicación de un número por una matriz, ¿vale? Producto de un número por una matriz.

47
00:04:45,870 --> 00:04:53,889
El producto de un número por una matriz da como resultado otra matriz de la misma dimensión que la primera

48
00:04:53,889 --> 00:05:01,850
Es decir, si yo multiplico un número por una matriz A, la matriz resultante tiene la misma dimensión que A

49
00:05:01,850 --> 00:05:07,889
¿Y cómo se obtiene la matriz C? Cada elemento se obtiene multiplicándolo por el número

50
00:05:08,889 --> 00:05:10,569
Eso se dice matemáticamente así.

51
00:05:10,569 --> 00:05:20,550
Cada elemento de la matriz C, es decir, C sub ij, es igual al número K multiplicado por el elemento A sub ij de la matriz A.

52
00:05:20,970 --> 00:05:26,250
Fijaros que es importante que los números los escribimos siempre con minúsculas y las matrices con mayúsculas.

53
00:05:26,550 --> 00:05:31,569
Por eso, aquí esta K es minúscula y esta es mayúscula.

54
00:05:32,490 --> 00:05:37,709
Aquí esta K es minúscula y esta es minúscula también porque es un número, que es el elemento en cuestión.

55
00:05:37,889 --> 00:05:40,129
el que está en la fila I y la columna J.

56
00:05:40,910 --> 00:05:43,290
Bueno, pues continuamos con un ejemplo.

57
00:05:44,329 --> 00:05:48,810
Si A es esta matriz cuadrada, 0 menos 1, 2 menos 3,

58
00:05:49,329 --> 00:05:53,089
entonces 3A es 3 veces esa matriz.

59
00:05:53,790 --> 00:05:55,649
¿Y qué hago? Multiplicar cada elemento.

60
00:05:55,649 --> 00:05:59,350
3 por 0 es 0, 3 por menos 1 es menos 3,

61
00:06:00,069 --> 00:06:02,990
3 por 2 son 6 y 3 por menos 3 son menos 9.

62
00:06:02,990 --> 00:06:09,930
En el siguiente ejemplo lo que vamos a hacer es la mitad de B

63
00:06:09,930 --> 00:06:17,769
Si B es esta matriz, menos 2, 4, 0, 6, menos 4, 2, de dimensión 2 por 3

64
00:06:17,769 --> 00:06:25,009
Entonces, un medio por B, es decir, la mitad de B es un medio por la matriz

65
00:06:25,009 --> 00:06:32,110
¿Y cómo se hace? Dividiendo por 2 cada elemento o multiplicando por un medio que es lo mismo

66
00:06:32,110 --> 00:06:44,550
Entonces, 1 medio por menos 2, menos 1. 1 medio por 4, 2. 1 medio por 0, 0. Y así sucesivamente, ¿vale? Lo veis vosotros.

67
00:06:45,189 --> 00:06:49,170
Ahora, una cosa importante, como os pongo aquí.

68
00:06:50,970 --> 00:07:00,269
¿Veis que esta matriz es una matriz diagonal? Porque solamente tiene elementos distintos de 0 en la diagonal, pero es una matriz diagonal muy especial porque todos sus elementos son iguales.

69
00:07:00,269 --> 00:07:14,750
Bueno, pues en este caso yo puedo sacar como factor común, puedo sacar fuera la K y me quedaría la matriz identidad que puedo expresar de forma abreviada como un número por una matriz igual que he hecho aquí.

70
00:07:16,490 --> 00:07:22,449
Esto es importante y lo vamos a usar bastante y quizás se entiende mejor si lo miramos en el sentido contrario. Vamos a hacerlo.

71
00:07:22,449 --> 00:07:27,129
si yo quiero multiplicar la matriz identidad por un número K

72
00:07:27,129 --> 00:07:30,670
multiplico el número K por la matriz identidad

73
00:07:30,670 --> 00:07:34,290
y para multiplicar tengo que multiplicar cada elemento por el número

74
00:07:34,290 --> 00:07:38,350
como los ceros se quedan como están, solo los unos se transforman en K

75
00:07:38,350 --> 00:07:42,670
cuestión importante quedarnos en que cuando tengo una matriz diagonal

76
00:07:42,670 --> 00:07:46,410
que todos los elementos son iguales, puedo sacar factor común

77
00:07:46,410 --> 00:07:50,629
el elemento y dejar el número multiplicado por la matriz identidad

78
00:07:50,629 --> 00:08:00,470
Bueno, pues con este poquito de operaciones que hemos aprendido ya podemos resolver sistemas de ecuaciones matriciales

79
00:08:00,470 --> 00:08:04,550
que son muy sencillitos porque se parecen mucho a los sistemas de ecuaciones lineales

80
00:08:04,550 --> 00:08:09,050
y como dice aquí se resuelven igual que esos por sustitución, igualación o reducción

81
00:08:09,050 --> 00:08:16,870
Entonces vamos a ver, la primera ecuación dice 3 veces la matriz A menos la matriz B es igual a esta matriz

82
00:08:16,870 --> 00:08:26,589
Y 6 veces la matriz A más la matriz B es igual a esta matriz. Hay que resolver el sistema y encontrar el valor de la matriz A y de la matriz B.

83
00:08:27,170 --> 00:08:39,830
Bueno, pues por reducción, si sumamos las dos ecuaciones, el primer miembro me queda 3A más 6A, 9A, y B menos B se va, luego me queda 9A,

84
00:08:39,830 --> 00:08:53,669
¿Y qué pongo aquí? El resultado de sumar esta más esta, ¿de acuerdo? Vamos a verlo despacio. Sería nueve y nueve, dieciocho, menos siete y menos dos, menos nueve, siete y veinte, veintisiete, etc.

85
00:08:53,669 --> 00:09:04,470
Si 9A es esta matriz, claro, está preparado este ejemplo, no se olviden ser así de facilitos, todos los números son múltiplos de 9, ¿qué es lo que hago?

86
00:09:04,470 --> 00:09:17,809
Ahora, pues puedo poner la matriz como 9 por 2, este elemento es 9 por 2, 9 por menos 1, 9 por 3, 9 por 5, etc.

87
00:09:17,809 --> 00:09:30,429
Es decir, puedo sacar factor común 9 y lo que me quedaría es que 9A es igual a 9 por esta matriz, ¿vale? Con lo cual he resuelto ya la primera ecuación.

88
00:09:30,909 --> 00:09:39,509
Y como no se ve, vamos a quitar el rotulador para ver la segunda ecuación, la segunda matriz, cómo la resuelvo.

89
00:09:39,509 --> 00:10:06,389
Pues lo que hago ahora, yo lo que quiero es que se me vaya la a, pues lo que hago es la segunda 6a menos dos veces la primera menos 6a y ya se me va y entonces lo que me queda es b menos menos 2b, 3b, luego 3b lo que tengo que hacer es igual, 3b es igual a, a ver es que lo quiero pintar, a esta de aquí, ¿vale?

90
00:10:07,289 --> 00:10:15,070
Entonces, si 3b es igual a esa y cada número lo divido entre 3, puedo sacar factor común 3 y ya tengo la b.

91
00:10:15,429 --> 00:10:18,490
Y b es menos 3, 4, 2, menos 5, menos 3, 4.

92
00:10:19,590 --> 00:10:20,649
Pues hasta aquí hoy.