1 00:00:01,120 --> 00:00:07,200 Comenzamos con la sesión de hoy, en la cual abrimos el bloque de matemáticas del tercer trimestre 2 00:00:07,200 --> 00:00:10,439 y vamos a comenzar con las funciones. 3 00:00:11,599 --> 00:00:19,140 En particular, este bloque de funciones lo vamos a distribuir en tres sesiones, en tres clases. 4 00:00:19,739 --> 00:00:25,780 Hoy vamos a ver la definición de función, vamos a estudiar en la gráfica 5 00:00:25,780 --> 00:00:31,559 qué son los ejes de coordenadas, cómo se llaman, cuáles son las coordenadas de un punto 6 00:00:31,559 --> 00:00:37,880 y cuáles son las nociones básicas que vamos a usar en todas las funciones, 7 00:00:38,060 --> 00:00:42,960 lo que es la monotonía, el crecimiento, el decrecimiento, el dominio, el recorrido, 8 00:00:43,520 --> 00:00:49,259 terminología que si no conocéis hoy ya deberíamos de integrar en nuestro vocabulario. 9 00:00:50,219 --> 00:00:53,880 La semana que viene nos centraremos en este segundo bloque de contenidos 10 00:00:53,880 --> 00:01:03,119 que ponen funciones elementales, que aquí veremos las funciones constantes, las funciones lineales, afines, cuadráticas, exponenciales 11 00:01:03,119 --> 00:01:06,219 y cuáles son las características de cada una de ellas. 12 00:01:07,439 --> 00:01:13,519 Y la tercera sesión la dedicaremos principalmente a hacer ejercicios y a repasar los contenidos de este tema. 13 00:01:14,879 --> 00:01:17,400 Tenéis tres cuestionarios para realizar. 14 00:01:17,400 --> 00:01:37,140 Lo único que el primero de los cuestionarios, pues hay alguna pregunta que posiblemente para hacerla mejor os recomiendo esperar a la segunda sesión, a que veamos las funciones elementales. Podríais hacerlas todas las preguntas ahora, pero que si alguna cuesta más es porque lo veremos el siguiente día, ¿vale? 15 00:01:37,140 --> 00:01:43,159 Y el cuestionario de funciones afines y cuadráticas debemos esperar a la segunda sesión. 16 00:01:43,840 --> 00:01:53,879 Luego tenemos un documento en PDF con ejercicio, pues si queremos hacer, y bueno, pues para ampliar aquí, pues algunas cositas de GeoGebra. 17 00:01:54,060 --> 00:02:02,420 Así que hoy nos centramos en este apartado que pone funciones, vamos a verlo prácticamente casi todo con esta presentación, ¿vale? 18 00:02:02,420 --> 00:02:30,719 Y, bueno, muchas veces cuando vamos a hablar de funciones, de gráficas, mezclamos los términos, ¿vale? Porque son cosas parecidas pero son cosas diferentes. La gráfica es una parte visual y la función va a ser una expresión que me va a relacionar dos o más variables, dos o más magnitudes, cosas. 19 00:02:30,719 --> 00:02:49,180 Por ver un poco lo que es la vida real, yo puedo representar muchas cosas. Podemos representar y relacionar, por ejemplo, el dinero que pagamos con la cantidad de kilos de manzanas que compramos a un precio determinado. 20 00:02:49,860 --> 00:03:00,060 Podemos relacionar cuánto voy a pagar al hacer una llamada si yo pago, por ejemplo, una cantidad fija por el mero hecho de llamar, 21 00:03:00,560 --> 00:03:05,180 más luego un variable por cada minuto que yo hablo. 22 00:03:05,280 --> 00:03:07,219 Todo eso lo puedo representar gráficamente. 23 00:03:07,219 --> 00:03:08,719 Ahí vamos a hablar de gráficas. 24 00:03:08,719 --> 00:03:20,860 Y función va a ser la forma de expresar con matemáticas la relación entre estas magnitudes, entre estas cosas que son medibles. 25 00:03:23,259 --> 00:03:28,800 Bueno, aquí tenéis un vídeo que nos introduce en el mundo de las gráficas. 26 00:03:29,479 --> 00:03:32,740 Tiene ya sus añitos, si pincháis aquí en este vídeo lo podéis ver. 27 00:03:32,740 --> 00:03:34,759 pero aunque tenga sus años 28 00:03:34,759 --> 00:03:36,620 muestra muy bien 29 00:03:36,620 --> 00:03:39,259 lo que son las gráficas y las funciones 30 00:03:39,259 --> 00:03:40,919 las encontramos 31 00:03:40,919 --> 00:03:42,759 en todos los sitios 32 00:03:42,759 --> 00:03:44,759 si cogéis un periódico 33 00:03:44,759 --> 00:03:46,479 seguro que encontráis 34 00:03:46,479 --> 00:03:47,719 gráficas 35 00:03:47,719 --> 00:03:50,939 si miráis la sección de economía 36 00:03:50,939 --> 00:03:52,840 vais a ver la evolución 37 00:03:52,840 --> 00:03:55,080 de cualquier valor o de una moneda 38 00:03:55,080 --> 00:03:56,240 de una divisa 39 00:03:56,240 --> 00:03:58,759 como va evolucionando 40 00:03:58,759 --> 00:04:00,500 en otras materias 41 00:04:00,500 --> 00:04:02,620 como puede ser en geografía 42 00:04:02,620 --> 00:04:10,240 historia en sociales seguro que habéis estudiado en algún momento las pirámides de población vale 43 00:04:10,240 --> 00:04:18,279 o por ejemplo en la gráfica que ahí tenéis vale pues veis cómo va evolucionando por tramos de 44 00:04:18,279 --> 00:04:27,420 edad el número de hombres o de mujeres pero no toda gráfica es una función por ejemplo lo que 45 00:04:27,420 --> 00:04:35,019 tenéis en pantalla vale ese tipo de pirámide de población más o menos no es una función porque 46 00:04:35,019 --> 00:04:40,439 ahora cuando veamos la definición de función vamos a ver que yo lo que voy a hacer va a ser 47 00:04:40,439 --> 00:04:48,660 relacionar dos cosas dos magnitudes y una va a depender de otra por ejemplo si yo quiero 48 00:04:48,660 --> 00:04:54,899 relacionar el dinero que yo pago y el número de kilos de frutas que compro vale el precio 49 00:04:54,899 --> 00:04:59,819 depende ¿de quién? ¿de quién depende? del kilo de frutas 50 00:04:59,819 --> 00:05:03,680 ¿vale? por lo tanto, los kilos es nuestra 51 00:05:03,680 --> 00:05:06,920 variable independiente, que es la que va a ir cambiando 52 00:05:06,920 --> 00:05:11,339 y el precio, lo que yo voy a pagar, es lo que llamamos 53 00:05:11,339 --> 00:05:15,379 la variable dependiente, porque va a 54 00:05:15,379 --> 00:05:19,160 depender del número de kilos que yo coja ¿vale? 55 00:05:21,160 --> 00:05:23,680 pero antes de meternos con las funciones 56 00:05:23,680 --> 00:05:34,120 nos vamos a ir a lo que es la parte gráfica, a recordar cosas que posiblemente tengáis en mente, pero vamos a refrescar. 57 00:05:34,959 --> 00:05:45,399 Cuando hablamos de gráfica, lo primero que tenemos que pensar es en dónde vamos a representar nuestros datos, nuestra información. 58 00:05:45,399 --> 00:05:55,399 En este caso nosotros vamos a usar lo que se llama los ejes de coordenadas en el plano, coordenadas cartesianas, estamos en dos dimensiones. 59 00:05:56,500 --> 00:06:12,939 Como decía, vamos a tener una variable independiente que va a ser la x generalmente y que también se va a llamar ascisa y gráficamente se va a representar en el eje de las x, en el horizontal, este eje de ascisas. 60 00:06:12,939 --> 00:06:25,779 ¿Vale? En cambio, voy a tener una variable que es dependiente, que la suelo llamar i, que va a estar representada con este eje vertical. ¿Vale? 61 00:06:26,639 --> 00:06:37,519 En ambos casos, estos dos ejes de coordenadas, el de arcisas y el vertical de las ijes, el de ordenadas, están, bueno, pues, numerados y con las separaciones que son todas iguales. 62 00:06:37,519 --> 00:06:42,519 0, 1, 2, 3, hacia la derecha, positivos en la derecha, en la horizontal, negativos hacia la izquierda. 63 00:06:43,420 --> 00:06:48,019 En el eje de ordenadas, positivos hacia arriba, negativos hacia abajo. 64 00:06:48,879 --> 00:06:55,839 Esto hace que lo que es nuestro plano lo va a dividir en cuatro regiones, en cuatro cuadrantes. 65 00:06:56,959 --> 00:07:05,259 El que tengo arriba a la derecha, si os fijáis, el eje de las X es positivo y el de las Y es positivo. 66 00:07:05,259 --> 00:07:09,079 Vamos a ver luego cómo serán las coordenadas a cualquier punto 67 00:07:09,079 --> 00:07:13,779 Pero todos los puntos que están dentro de este cuadrante, este es el primer cuadrante 68 00:07:13,779 --> 00:07:16,540 Y las dos coordenadas van a ser positivas 69 00:07:16,540 --> 00:07:20,480 Si vamos en el sentido contrario a las agujas del reloj 70 00:07:20,480 --> 00:07:22,360 Este de la izquierda será el segundo cuadrante 71 00:07:22,360 --> 00:07:26,120 El de abajo será el tercero y el de la derecha será el cuarto 72 00:07:26,120 --> 00:07:32,519 Las coordenadas de cualquier punto vienen dadas por sus proyecciones 73 00:07:32,519 --> 00:07:35,920 sobre el eje X o L arcesas 74 00:07:35,920 --> 00:07:39,319 y su eje Y o D ordenadas. 75 00:07:39,600 --> 00:07:41,819 Por ejemplo, este punto D 76 00:07:41,819 --> 00:07:46,019 aquí ya me dice que sus coordenadas son el 3, 1. 77 00:07:46,680 --> 00:07:48,480 La coordenada X es la proyección 78 00:07:48,480 --> 00:07:51,259 sobre el eje horizontal. 79 00:07:51,259 --> 00:07:53,420 Si yo proyecto hacia abajo, hacia el eje horizontal 80 00:07:53,420 --> 00:07:57,399 cae sobre el 3 luego su primera coordenada, la X es el 3. 81 00:07:57,879 --> 00:07:59,740 La segunda coordenada, la Y 82 00:07:59,740 --> 00:08:03,139 proyecto de manera perpendicular hacia el eje de las X 83 00:08:03,139 --> 00:08:04,680 y me lleva al 1 84 00:08:04,680 --> 00:08:07,279 luego 1 es la segunda coordenada 85 00:08:07,279 --> 00:08:08,040 3, 1 86 00:08:08,040 --> 00:08:09,639 primera coordenada me va a decir 87 00:08:09,639 --> 00:08:12,779 en qué medida está desplazada 88 00:08:12,779 --> 00:08:14,459 hacia la derecha o hacia la izquierda 89 00:08:14,459 --> 00:08:15,860 con respecto al origen 90 00:08:15,860 --> 00:08:18,480 y la segunda coordenada, en este caso el 1 91 00:08:18,480 --> 00:08:21,060 me va a decir si el punto está 92 00:08:21,060 --> 00:08:23,379 por encima o por debajo 93 00:08:23,379 --> 00:08:24,800 del eje de las X 94 00:08:24,800 --> 00:08:26,720 digamos como si fuera esa altura 95 00:08:26,720 --> 00:08:28,720 hacia arriba positivo, hacia abajo negativo 96 00:08:28,720 --> 00:08:30,500 este punto D lo puedo mover 97 00:08:30,500 --> 00:08:31,980 fijaros, lo llevo aquí arriba 98 00:08:31,980 --> 00:08:34,379 y ahora me dice que sus coordenadas son 5, 3 99 00:08:34,379 --> 00:08:36,379 claro, si yo proyecto para abajo, primera coordenada 100 00:08:36,379 --> 00:08:37,000 X 101 00:08:37,000 --> 00:08:40,340 si proyecto hacia el eje 102 00:08:40,340 --> 00:08:42,000 vertical, el de ordenadas 103 00:08:42,000 --> 00:08:44,039 voy al 3, 5, 3 104 00:08:44,039 --> 00:08:46,379 este mismo punto me lo voy a llevar 105 00:08:46,379 --> 00:08:47,879 al segundo cuadrante, aquí 106 00:08:47,879 --> 00:08:49,139 mirad 107 00:08:49,139 --> 00:08:51,960 primera coordenada menos 4, negativa 108 00:08:51,960 --> 00:08:53,559 porque si yo proyecto hacia abajo 109 00:08:53,559 --> 00:08:56,080 cae en el menos 4, que es negativo 110 00:08:56,080 --> 00:08:58,539 si proyecto hacia el de las 6 111 00:08:58,539 --> 00:09:05,100 me da dos positivos. Los puntos del segundo cuadrante son primera coordenada negativa 112 00:09:05,100 --> 00:09:11,279 y segunda positiva. Me voy al tercer cuadrante, en este caso las dos coordenadas son negativas 113 00:09:11,279 --> 00:09:17,539 y me voy al cuarto cuadrante y tengo que la X es positiva y la segunda coordenada va a 114 00:09:17,539 --> 00:09:25,659 ser negativa. Casos específicos. Cuando un punto se encuentra sobre uno de los ejes de 115 00:09:25,659 --> 00:09:33,840 coordenadas. Por ejemplo, el punto F lo encontramos sobre el propio eje de arcisas. Si yo proyecto 116 00:09:33,840 --> 00:09:38,059 sobre el eje de las X, ya estoy aquí, estoy aquí en el menor 2. La primera coordenada 117 00:09:38,059 --> 00:09:42,700 es el menor 2. La segunda es su proyección hacia el eje de las X y me va a dar justo 118 00:09:42,700 --> 00:09:47,799 con el origen. Digamos que no tiene altura, por eso es el menor 2, 0. Cualquier punto 119 00:09:47,799 --> 00:09:55,440 que esté sobre este eje de arcisas, fijaros, la segunda coordenada va a ser siempre 0. 120 00:09:55,659 --> 00:10:13,799 En cambio, si el punto se encuentra sobre el eje vertical, el de ordenadas, como este punto B, siempre la primera coordenada, la X, es 0, porque si yo proyecto, proyecto sobre el propio origen de coordenadas. 121 00:10:16,720 --> 00:10:17,919 ¿Sobre esto alguna duda? 122 00:10:20,139 --> 00:10:20,700 ¿No? 123 00:10:21,659 --> 00:10:22,220 No. 124 00:10:22,220 --> 00:10:38,960 Bueno, pues ahora si queréis podemos abrir el micro y vamos a ver este ejercicio, que quizás se vea un poco pequeñito, voy a intentar ampliarlo, a ver si conseguimos ver más grande este cuadrado con unos puntitos, ¿vale? Y ver cuáles son sus coordenadas, ¿vale? 125 00:10:39,779 --> 00:10:47,200 Por ejemplo, el punto A, que lo encontramos aquí abajo, sus coordenadas son hacia arriba, es el 1. 126 00:10:48,100 --> 00:10:51,399 Y si proyecto hacia el eje vertical es el menos 2. 127 00:10:51,580 --> 00:10:56,940 Pues yo aquí pondría primera coordenada 1, segunda coordenada menos 2. 128 00:10:58,419 --> 00:11:04,980 Eva, por ejemplo, el punto B que encontramos aquí, lo estoy marcando, ¿cuáles serían sus coordenadas? 129 00:11:04,980 --> 00:11:09,669 Pues 130 00:11:09,669 --> 00:11:13,509 Sería menos 131 00:11:13,509 --> 00:11:15,990 A ver, es que es lo de borroso 132 00:11:15,990 --> 00:11:16,429 Pero espera 133 00:11:16,429 --> 00:11:18,730 Se ve borroso 134 00:11:18,730 --> 00:11:20,870 Menos 2 y 0 135 00:11:20,870 --> 00:11:22,190 Exacto, sí 136 00:11:22,190 --> 00:11:24,450 Menos 2 y 0 137 00:11:24,450 --> 00:11:26,330 Porque en este caso está sobre el propio eje 138 00:11:26,330 --> 00:11:28,129 El C que lo encontramos 139 00:11:28,129 --> 00:11:30,289 Arriba a la izquierda 140 00:11:30,289 --> 00:11:31,950 ¿Veo? 141 00:11:34,169 --> 00:11:36,590 Sería 3 y 0 142 00:11:36,590 --> 00:11:39,409 Tres, pero si te fijas es tres negativo 143 00:11:39,409 --> 00:11:40,070 Ah, bueno, bueno 144 00:11:40,070 --> 00:11:41,690 Menos tres 145 00:11:41,690 --> 00:11:44,830 ¿Y la segunda coordenada? 146 00:11:47,549 --> 00:11:47,909 Pues 147 00:11:47,909 --> 00:11:50,350 Menos tres también 148 00:11:50,350 --> 00:11:52,929 Proyecto hacia la derecha y esto sería un dos, ¿vale? 149 00:11:52,950 --> 00:11:54,110 Si lo veis borroso es normal que 150 00:11:54,110 --> 00:11:56,330 Claro, yo no veo nada 151 00:11:56,330 --> 00:11:58,429 Bueno, menos tres, dos, ¿vale? 152 00:11:59,230 --> 00:12:01,190 En la grabación sí quedará bien grabado 153 00:12:01,190 --> 00:12:03,190 Sí, en la grabación también 154 00:12:03,190 --> 00:12:03,690 Luego 155 00:12:03,690 --> 00:12:07,750 podemos trabajar con los demás puntos 156 00:12:07,750 --> 00:12:09,769 le damos a enviar y los corregimos 157 00:12:09,769 --> 00:12:10,830 también, ¿vale? 158 00:12:11,690 --> 00:12:13,490 Podemos, o luego si queréis podéis 159 00:12:13,490 --> 00:12:15,750 probar con el resto de números 160 00:12:15,750 --> 00:12:17,750 para ver desde casa si 161 00:12:17,750 --> 00:12:19,490 bueno, pues ponéis bien 162 00:12:19,490 --> 00:12:21,070 las coordenadas, ¿vale? 163 00:12:25,740 --> 00:12:26,659 Luego también 164 00:12:26,659 --> 00:12:29,059 muchos de los problemas se pueden resolver 165 00:12:29,059 --> 00:12:31,139 sin conocer el 166 00:12:31,139 --> 00:12:33,000 valor numérico de las 167 00:12:33,000 --> 00:12:34,779 coordenadas de un punto en una gráfica 168 00:12:34,779 --> 00:12:56,480 Por ejemplo, fijaros esta gráfica, en el que de hecho solo se ve un cuadrante, el cuadrante, digamos, el primero, muchas veces la información está concentrada en un cuadrante, por ejemplo, porque las dos coordenadas son positivas y al resto pues lo podemos obviar, no hace falta que dibujemos, digamos, toda la cruz de las coordenadas, ¿vale? 169 00:12:56,480 --> 00:12:59,820 aquí tengo datos 170 00:12:59,820 --> 00:13:00,879 A, B, C, D 171 00:13:00,879 --> 00:13:03,440 que aquí en el texto me explica 172 00:13:03,440 --> 00:13:04,220 que es cada cosa 173 00:13:04,220 --> 00:13:06,360 ejes en el de abajo 174 00:13:06,360 --> 00:13:08,360 el eje de 175 00:13:08,360 --> 00:13:11,720 las cisas, el de las X, es el tiempo empleado 176 00:13:11,720 --> 00:13:13,100 y el vertical 177 00:13:13,100 --> 00:13:15,080 el de las Y, el de ordenadas 178 00:13:15,080 --> 00:13:16,740 es la distancia recorrida 179 00:13:16,740 --> 00:13:18,740 en este ejercicio me dice 180 00:13:18,740 --> 00:13:21,100 que cinco amigos están hablando 181 00:13:21,100 --> 00:13:23,340 entre ellos y bueno, y entre unas frases 182 00:13:23,340 --> 00:13:24,759 sin saber 183 00:13:24,759 --> 00:13:28,259 ni el tipo empleado ni la distancia 184 00:13:28,259 --> 00:13:29,740 simplemente con la información que me dan 185 00:13:29,740 --> 00:13:32,080 yo voy a poder identificar cada punto 186 00:13:32,080 --> 00:13:33,299 con una persona, mirad 187 00:13:33,299 --> 00:13:36,299 me dice Juan y María quedaron en el parque 188 00:13:36,299 --> 00:13:38,019 que se encuentra a la misma 189 00:13:38,019 --> 00:13:39,679 distancia de sus casas 190 00:13:39,679 --> 00:13:43,490 si están a la misma distancia, ¿en qué casos 191 00:13:43,490 --> 00:13:43,830 estamos? 192 00:13:45,570 --> 00:13:46,669 ¿quiénes podrían ser? 193 00:13:49,490 --> 00:13:50,350 A y B 194 00:13:50,350 --> 00:13:53,549 porque si proyectos sobre la I 195 00:13:53,549 --> 00:13:55,570 están a la misma distancia 196 00:13:55,570 --> 00:13:56,649 al proyecto sobre la I 197 00:13:56,649 --> 00:13:58,509 pero también podría ser D y E 198 00:13:58,509 --> 00:14:01,870 si veo que están 199 00:14:01,870 --> 00:14:03,669 digamos en la misma ordenada 200 00:14:03,669 --> 00:14:05,450 pues cualquiera de esos dos pares de puntos 201 00:14:05,450 --> 00:14:06,509 necesito más información 202 00:14:06,509 --> 00:14:09,190 dice, pero Juan se acercó caminando 203 00:14:09,190 --> 00:14:11,669 mientras María se desplazó en bicicleta 204 00:14:11,669 --> 00:14:12,970 luego María fue más rápido 205 00:14:12,970 --> 00:14:15,210 o dicho de otra forma 206 00:14:15,210 --> 00:14:16,509 Juan empleó más tiempo 207 00:14:16,509 --> 00:14:18,730 en el caso de que sean A y B 208 00:14:18,730 --> 00:14:21,750 pues la que va en bicicleta será A 209 00:14:21,750 --> 00:14:22,769 que es María 210 00:14:22,769 --> 00:14:23,789 y Juan será B 211 00:14:23,789 --> 00:14:26,830 Porque María, le dice, emplea menos tiempo 212 00:14:26,830 --> 00:14:28,909 Si fuera la pareja de arriba 213 00:14:28,909 --> 00:14:30,690 De IE, pues de E será María 214 00:14:30,690 --> 00:14:32,529 Y E será el otro Juan 215 00:14:32,529 --> 00:14:34,149 Seguimos leyendo 216 00:14:34,149 --> 00:14:37,110 Dice, Felipe recorrió más distancia 217 00:14:37,110 --> 00:14:37,789 Que ellos 218 00:14:37,789 --> 00:14:40,669 Y lo hizo en taxi, o sea, más distancia 219 00:14:40,669 --> 00:14:42,409 Y más rápido 220 00:14:42,409 --> 00:14:46,789 Si fueran de IE 221 00:14:46,789 --> 00:14:48,889 Es que no hay nadie que haga más distancia que ellos 222 00:14:48,889 --> 00:14:53,389 ¿Vale? Porque dice, Felipe recorrió más distancia 223 00:14:53,389 --> 00:15:10,889 Pues los anteriores, Juan y María, por narices tienen que ser A y B. Sí o sí. ¿Vale? Luego yo puedo decir que Juan era el B, que es el que va andando, y María es A, que es la que va en bicicleta. A y B. 224 00:15:10,889 --> 00:15:14,230 vale, Felipe recorrió más distancia que ellos 225 00:15:14,230 --> 00:15:16,129 y lo hizo el taxi, bueno, me dice que es el C 226 00:15:16,129 --> 00:15:17,870 puede ser el C, el D o el E 227 00:15:17,870 --> 00:15:20,350 pero uno de esos tres, porque es más distancia 228 00:15:20,350 --> 00:15:22,629 ahora, Sandra y Pablo 229 00:15:22,629 --> 00:15:24,529 fueron los que más distancia 230 00:15:24,529 --> 00:15:26,450 recorrieron, luego de ellos 231 00:15:26,450 --> 00:15:27,710 son Sandra y Pablo 232 00:15:27,710 --> 00:15:29,889 y C tiene que ser 233 00:15:29,889 --> 00:15:31,570 Felipe 234 00:15:31,570 --> 00:15:34,350 dice, Pablo viajó en autobús 235 00:15:34,350 --> 00:15:35,830 y Sandra lo hizo en metro 236 00:15:35,830 --> 00:15:37,830 pues si hablamos de tiempo 237 00:15:37,830 --> 00:15:40,470 entendemos que el metro es más rápido 238 00:15:40,470 --> 00:15:51,789 que el autobús, ¿vale? Pues D será Sandra y E será Pablo. Vale, está correcto. Pero 239 00:15:51,789 --> 00:15:57,309 fijaros que se puede resolver un problema sin conocer los valores numéricos, ¿vale? 240 00:15:57,870 --> 00:16:04,529 Simplemente interpretando lo que es la gráfica. Por eso es importante saber entender, saber 241 00:16:04,529 --> 00:16:08,230 interpretar los datos de una gráfica, ¿vale? 242 00:16:09,950 --> 00:16:12,470 Bien. Ahora ya 243 00:16:12,470 --> 00:16:16,470 sí vamos a pasar a lo que es una función, ¿vale? 244 00:16:18,809 --> 00:16:21,149 Y lo primero, vamos a ver 245 00:16:21,149 --> 00:16:24,769 la definición. Dice, se llama función 246 00:16:24,769 --> 00:16:28,710 a toda relación entre dos conjuntos de números, de forma que 247 00:16:28,710 --> 00:16:32,830 a todos y cada uno de los elementos del primer conjunto le hacemos corresponder 248 00:16:32,830 --> 00:16:35,649 un solo elemento del segundo conjunto 249 00:16:35,649 --> 00:16:37,490 esto es importante 250 00:16:37,490 --> 00:16:38,250 porque fijaros 251 00:16:38,250 --> 00:16:40,649 me voy a ir a la gráfica que teníamos 252 00:16:40,649 --> 00:16:43,090 por aquí, esta de aquí 253 00:16:43,090 --> 00:16:45,570 a cada valor 254 00:16:45,570 --> 00:16:46,929 de la X, de aquí abajo 255 00:16:46,929 --> 00:16:49,029 se le debe hacer corresponder un único valor 256 00:16:49,029 --> 00:16:51,049 en la 6, si yo me voy al 200 257 00:16:51,049 --> 00:16:53,529 y tiro para arriba, mirad aquí me encuentro 258 00:16:53,529 --> 00:16:54,750 los 40 259 00:16:54,750 --> 00:16:57,070 y si tiro para arriba, pues hacia los 80 260 00:16:57,070 --> 00:16:59,169 tengo otro punto 261 00:16:59,169 --> 00:17:00,210 no puedo tener dos puntos 262 00:17:00,210 --> 00:17:04,589 ¿Vale? Para cada punto de las X solo voy a tener un punto de las Y 263 00:17:04,589 --> 00:17:07,950 Es una de las cosas de la definición de función 264 00:17:07,950 --> 00:17:18,009 ¿Vale? Va a venir representado generalmente como Y o F de X 265 00:17:18,009 --> 00:17:19,369 ¿Vale? Lo que es una función 266 00:17:19,369 --> 00:17:26,529 La expresión más normal, aquí viene todo mucho más escrito con terminología 267 00:17:26,529 --> 00:17:29,930 Sería una expresión como esta de aquí que pone F de X igual 268 00:17:29,930 --> 00:17:42,190 Y luego nos viene como una fórmula, digamos, que puede aparecer x, x al cuadrado, f de x, que es decir, la segunda variable de la y es el resultado de aplicar estas cuentas, esta fórmula. 269 00:17:42,910 --> 00:17:54,829 Claro, es una función que depende de quién, de la letra x o de nuestra incógnita x. x tomará unos valores, ¿vale? Según el valor de la x, el resultado de estas cuentas será uno u otro. 270 00:17:54,829 --> 00:18:17,970 Y puedo hacer una tabla de valores, como veis aquí abajo. Si la X vale 0, esta cuenta vale 3,5. Si la X vale 1, la cuenta vale 6. Si la X vale 2, vale 7,5. Y así sucesivamente. Estos puntos yo luego los puedo dibujar y voy a poder unirlos. Cuantos más puntos tenga, más real va a ser la gráfica que yo haga. 271 00:18:17,970 --> 00:18:21,869 Porque, ¿cómo lo es uno? Con líneas rectas, con líneas curvas, ¿vale? 272 00:18:22,150 --> 00:18:23,630 Pierde información intermedia. 273 00:18:24,210 --> 00:18:28,130 Por eso, el próximo día veremos que, por ejemplo, una función como esta, 274 00:18:28,670 --> 00:18:32,069 que es una función cuadrática, porque está la x al cuadrado, 275 00:18:32,609 --> 00:18:36,289 va a ser una parábola, hacia arriba o hacia abajo, pero va a ser una parábola, ¿vale? 276 00:18:37,029 --> 00:18:40,430 En la de grado 3 ya voy a tener como dos montañitas. 277 00:18:41,609 --> 00:18:46,970 En las que son de grado 1, que está la x elevada a 1 como mucho, va a ser una recta. 278 00:18:46,970 --> 00:19:07,289 luego, hasta que no vemos esa información nos va a costar un poco. Ahora bien, siempre lo que es nuestra función, fijaros, para cada valor yo cojo el 2 y tiro para arriba, solo al 2 le corresponde un único valor, si cojo el 4, tiro para arriba y le corresponde un único valor, no me encuentro con varios. 279 00:19:07,289 --> 00:19:10,109 Una función no se podría representar 280 00:19:10,109 --> 00:19:11,009 Por ejemplo, imaginar 281 00:19:11,009 --> 00:19:14,509 Que yo dibujo como gráfica 282 00:19:14,509 --> 00:19:14,990 Un 2 283 00:19:14,990 --> 00:19:17,009 O una Z 284 00:19:17,009 --> 00:19:19,569 Que voy para adelante y luego retrocedo 285 00:19:19,569 --> 00:19:22,650 Porque habrá puntos que tienen distintas 286 00:19:22,650 --> 00:19:23,930 Imágenes 287 00:19:23,930 --> 00:19:25,289 Y eso no nos valdría 288 00:19:25,289 --> 00:19:26,130 ¿Esto lo entendéis? 289 00:19:29,359 --> 00:19:29,819 Sí 290 00:19:29,819 --> 00:19:31,880 Por ejemplo, aquí 291 00:19:31,880 --> 00:19:34,720 Este dibujo son dos 292 00:19:34,720 --> 00:19:37,119 Puede parecer que son dos gráficas 293 00:19:37,119 --> 00:19:39,480 Pero si lo considero una única gráfica 294 00:19:39,480 --> 00:19:43,920 Claro, para el 1 yo tengo arriba un valor y abajo otro. 295 00:19:44,980 --> 00:19:48,119 No, para una función solo puedo tener un único valor. 296 00:19:49,799 --> 00:19:50,059 ¿Vale? 297 00:19:51,319 --> 00:19:57,220 O sea, si yo veo aquí, fijaros, a este valor, para cuando equivale a 1 tengo dos imágenes posibles. 298 00:19:58,079 --> 00:19:58,619 No puede ser. 299 00:19:59,940 --> 00:20:02,180 Me he perdido el punto. 300 00:20:02,980 --> 00:20:04,359 Bueno, he perdido el punto, sé que he hecho mal. 301 00:20:05,200 --> 00:20:07,779 Bueno, la cosa está que para cada valor obtengo varios. 302 00:20:07,960 --> 00:20:09,059 Esto no puede ser. 303 00:20:09,059 --> 00:20:13,279 No es una función, ¿vale? Eso por definición. 304 00:20:13,859 --> 00:20:18,980 Luego vamos a poder, para poder dibujar bien una función, nos va a interesar conocer, por ejemplo, 305 00:20:18,980 --> 00:20:25,940 quiénes son los puntos de corte. Es decir, la gráfica, cuándo va a cortar el eje de las X, cuándo va a cortar el eje de las Y. 306 00:20:28,619 --> 00:20:33,480 Veremos quién es el dominio, el recorrido, y esto lo vamos a ir viendo ahora o después. 307 00:20:34,539 --> 00:20:38,940 Bueno, aquí habla un poco lo de la variable dependiente e independiente que ya he citado antes. 308 00:20:39,059 --> 00:20:50,119 ¿Vale? Bueno, pues eso. La Y es la variable dependiente porque depende de la X. La X es nuestra variable independiente. Bueno, esto viene ahí explicado. 309 00:20:50,119 --> 00:20:52,759 dominio y recorrido 310 00:20:52,759 --> 00:20:54,920 mirad, dominio 311 00:20:54,920 --> 00:20:57,039 son los valores 312 00:20:57,039 --> 00:20:58,980 que puede tomar la X 313 00:20:58,980 --> 00:20:59,920 por ejemplo 314 00:20:59,920 --> 00:21:02,920 si X es el número de kilos de manzanas 315 00:21:02,920 --> 00:21:03,859 que yo voy a comprar 316 00:21:03,859 --> 00:21:06,339 y la Y es el precio 317 00:21:06,339 --> 00:21:09,119 pues el número de kilos que yo puedo 318 00:21:09,119 --> 00:21:10,880 comprar será 0, 0,5 319 00:21:10,880 --> 00:21:12,799 1, 1,5, pero yo no puedo comprar 320 00:21:12,799 --> 00:21:13,900 menos 2 kilos 321 00:21:13,900 --> 00:21:17,279 es decir, mi dominio 322 00:21:17,279 --> 00:21:18,220 será 323 00:21:18,220 --> 00:21:20,660 desde el 0 hasta el infinito 324 00:21:20,660 --> 00:21:22,599 pero no 325 00:21:22,599 --> 00:21:24,640 no tengo los números negativos 326 00:21:24,640 --> 00:21:26,500 estarían excluidos los números negativos 327 00:21:26,500 --> 00:21:27,380 ¿vale? 328 00:21:28,200 --> 00:21:30,059 o por ejemplo, aquí viene un ejemplo que dice 329 00:21:30,059 --> 00:21:31,980 si se está midiendo la estatura de un bebé 330 00:21:31,980 --> 00:21:34,839 mes a mes durante el primer año de vida 331 00:21:34,839 --> 00:21:36,660 el dominio serían 332 00:21:36,660 --> 00:21:38,619 los valores enteros 333 00:21:38,619 --> 00:21:40,539 comprendidos entre 0 y 12 en los meses 334 00:21:40,539 --> 00:21:42,319 el mes 0, 1, 2, 3 335 00:21:42,319 --> 00:21:44,380 hasta llegar al 12, eso es el dominio 336 00:21:44,380 --> 00:21:45,859 y el recorrido 337 00:21:45,859 --> 00:21:47,779 va a ser los 338 00:21:47,779 --> 00:21:49,319 valores 339 00:21:49,319 --> 00:21:50,900 ¿vale? que 340 00:21:50,900 --> 00:21:53,599 va a obtener 341 00:21:53,599 --> 00:21:54,559 la función 342 00:21:54,559 --> 00:21:57,700 ¿vale? ¿entre qué valores vamos a estar 343 00:21:57,700 --> 00:21:59,880 obteniendo el resultado? 344 00:22:00,160 --> 00:22:01,799 el recorrido serían los valores 345 00:22:01,799 --> 00:22:03,579 comprendidos entre la medida al nacer 346 00:22:03,579 --> 00:22:05,279 por ejemplo, 55 centímetros 347 00:22:05,279 --> 00:22:07,480 y se oscatura a los 12 meses 348 00:22:07,480 --> 00:22:08,180 que es 69 349 00:22:08,180 --> 00:22:10,779 entre 55 y 69 350 00:22:10,779 --> 00:22:13,640 porque es una función continua, tú vas creciendo 351 00:22:13,640 --> 00:22:15,160 sin discontinuidades 352 00:22:15,160 --> 00:22:17,539 también veremos qué es esto de las discontinuidades 353 00:22:17,539 --> 00:22:22,680 aquí por ejemplo 354 00:22:22,680 --> 00:22:24,680 si yo me fijo en estas varias gráficas 355 00:22:24,680 --> 00:22:26,980 esta primera 356 00:22:26,980 --> 00:22:28,400 que tiene esta fórmula 357 00:22:28,400 --> 00:22:31,400 es una función de grado 4 358 00:22:31,400 --> 00:22:33,720 me dice que 359 00:22:33,720 --> 00:22:35,940 el dominio 360 00:22:35,940 --> 00:22:38,940 son todos los números reales 361 00:22:38,940 --> 00:22:40,380 porque para cualquier valor 362 00:22:40,380 --> 00:22:42,839 va a tener 363 00:22:42,839 --> 00:22:44,680 aunque aquí parezca que no 364 00:22:44,680 --> 00:22:46,000 esto va para abajo pero 365 00:22:46,000 --> 00:22:48,640 se sigue desplazando hacia la izquierda y hacia la derecha 366 00:22:48,640 --> 00:22:50,160 para cualquier valor de la x 367 00:22:50,160 --> 00:22:52,180 existe la función, se puede calcular 368 00:22:52,180 --> 00:22:54,220 claro, yo aquí pongo en la x cualquier número 369 00:22:54,220 --> 00:22:56,559 yo puedo hacer esa cuenta, la x puede valer un millón 370 00:22:56,559 --> 00:22:58,380 menos un millón elevado a 4 371 00:22:58,380 --> 00:23:00,160 más 4 por un millón al cuadrado, más 1 372 00:23:00,160 --> 00:23:02,940 para cualquier valor de la x yo puedo hacer esas cuentas 373 00:23:02,940 --> 00:23:04,880 el dominio son todos los números que existen 374 00:23:04,880 --> 00:23:06,279 todos los números reales 375 00:23:06,279 --> 00:23:07,119 en cambio 376 00:23:07,119 --> 00:23:10,140 las imágenes, si yo me fijo aquí en la función 377 00:23:10,140 --> 00:23:12,680 la imagen es que valores va a tomar 378 00:23:12,680 --> 00:23:14,680 la función, lo que es la gráfica 379 00:23:14,680 --> 00:23:17,079 Pues mirad, el valor más alto que obtengo aquí es el 5. 380 00:23:18,140 --> 00:23:23,680 Y el más pequeño, si voy para abajo, pues esto si yo voy para abajo eternamente me va al menos infinito. 381 00:23:24,539 --> 00:23:26,220 Pues desde el menos infinito hasta el 5. 382 00:23:26,339 --> 00:23:28,240 Siempre se pone desde el más pequeño hasta el más grande. 383 00:23:29,500 --> 00:23:32,700 Esto de paréntesis y el corchete, de lo que es el intervalo, 384 00:23:33,500 --> 00:23:38,519 los infinitos, positivos o negativos, siempre llevan el paréntesis. 385 00:23:39,640 --> 00:23:44,319 En cambio, los puntos pueden venir este 5 con un corchete o con un paréntesis. 386 00:23:44,319 --> 00:23:51,279 Si viene por un corchete es porque en algún punto la función toma el valor 5, ¿vale? 387 00:23:51,299 --> 00:23:57,579 Aquí en estos dos picos la función va a tomar el valor 5, está incluido, ¿vale? 388 00:23:58,799 --> 00:24:03,160 Si me voy a la siguiente, la que está arriba a la derecha, 2 partido de x menos 1, 389 00:24:04,559 --> 00:24:08,720 aparte que gráficamente yo aquí veo un puntito en el 1, que digo, ¿qué pasa con ese puntito? 390 00:24:08,720 --> 00:24:11,740 Fijaros, yo divido entre x menos 1 391 00:24:11,740 --> 00:24:13,079 Si x vale 1 392 00:24:13,079 --> 00:24:14,240 Si x vale 1 393 00:24:14,240 --> 00:24:15,640 Tengo 2 partido 394 00:24:15,640 --> 00:24:18,400 1 menos 1 es 0, 2 entre 0 395 00:24:18,400 --> 00:24:20,440 Yo no puedo dividir entre 0 396 00:24:20,440 --> 00:24:22,819 ¿Vale? Es una división que no existe 397 00:24:22,819 --> 00:24:25,859 Vale, que en matemáticas 398 00:24:25,859 --> 00:24:27,940 Podemos hablar luego de más infinito menos infinito 399 00:24:27,940 --> 00:24:28,839 No me va a dar un número 400 00:24:28,839 --> 00:24:30,680 Real 401 00:24:30,680 --> 00:24:32,839 Por lo tanto, en este punto en el 1 402 00:24:32,839 --> 00:24:35,700 No existe la función, porque yo no puedo calcular 2 entre 0 403 00:24:35,700 --> 00:24:38,339 Para cualquier otro valor de x 404 00:24:38,339 --> 00:24:40,759 si puedo dibujar 405 00:24:40,759 --> 00:24:41,819 de hecho aquí le voy a dibujar 406 00:24:41,819 --> 00:24:44,619 con estas dos 407 00:24:44,619 --> 00:24:47,220 estas hiperbolas 408 00:24:47,220 --> 00:24:47,960 ¿vale? veis 409 00:24:47,960 --> 00:24:50,299 la gráfica, fijaos, dominio 410 00:24:50,299 --> 00:24:51,920 todos los números menos el 1 411 00:24:51,920 --> 00:24:54,779 ¿cuál es la imagen? pues oye 412 00:24:54,779 --> 00:24:56,700 que la función va a tomar 413 00:24:56,700 --> 00:24:58,019 de valores negativos 414 00:24:58,019 --> 00:25:00,200 aquí a la izquierda se pega mucho al 0 415 00:25:00,200 --> 00:25:02,380 o sea, parece que el 0 no llega 416 00:25:02,380 --> 00:25:04,599 no llega a valer el 0 417 00:25:04,599 --> 00:25:06,700 pero se aproxima mucho al 0 418 00:25:06,700 --> 00:25:08,859 Y luego para que se me haga para abajo hasta el menos infinito 419 00:25:08,859 --> 00:25:10,380 Y luego de menos infinito a cero 420 00:25:10,380 --> 00:25:12,519 En algún momento va a valer esos valores 421 00:25:12,519 --> 00:25:14,700 Y de los positivos si me fijo igual 422 00:25:14,700 --> 00:25:16,059 Muy próximo a cero 423 00:25:16,059 --> 00:25:17,799 Y para arriba todo lo que yo quiera 424 00:25:17,799 --> 00:25:20,039 Luego, ¿cuál es la imagen? 425 00:25:20,599 --> 00:25:21,920 Del menos infinito al cero 426 00:25:21,920 --> 00:25:24,299 Unión, que es esta u 427 00:25:24,299 --> 00:25:26,220 Unión, cero y infinito 428 00:25:26,220 --> 00:25:28,000 Va a tomar todos esos valores 429 00:25:28,000 --> 00:25:32,099 En esta tercera, abajo de izquierda 430 00:25:32,099 --> 00:25:33,779 La raíz cuadrada de x más tres 431 00:25:33,779 --> 00:25:36,279 Pues a ver, la raíz cuadrada se puede calcular 432 00:25:36,279 --> 00:25:40,559 sino que cuando lo de dentro sea un número que sea positivo. 433 00:25:40,839 --> 00:25:42,279 Ya vemos el dibujo. 434 00:25:43,059 --> 00:25:47,160 Fijaros, desde que x vale 3 hacia la derecha, existe la función. 435 00:25:47,500 --> 00:25:50,319 Del 3 para la izquierda no existe función ninguna. 436 00:25:50,720 --> 00:25:53,119 Claro, cuando x vale menos 3, menos 3 más 3, 0. 437 00:25:53,200 --> 00:25:53,940 A raíz de 0, 0. 438 00:25:55,099 --> 00:25:57,859 Si x vale menos 4, menos 4 más 3, menos 1. 439 00:25:58,079 --> 00:25:59,759 A raíz de menos 1, no existe. 440 00:26:00,400 --> 00:26:02,700 Luego, en este caso, en nuestro dominio, la función existe. 441 00:26:03,299 --> 00:26:03,779 ¿Desde dónde? 442 00:26:03,779 --> 00:26:09,039 desde el menos 3 hacia la derecha, del menos 3 al infinito. 443 00:26:09,880 --> 00:26:14,059 ¿En el menos 3 existe la función? Sí, porque menos 3 más 3 es 0, arriba es 0, 0. 444 00:26:14,640 --> 00:26:19,720 Luego, el menos 3, aquí lo veis que está como con un corchete, el menos 3 está incluido en el dominio. 445 00:26:21,160 --> 00:26:24,180 ¿Cuál es la imagen? ¿Qué valores se obtienen? 446 00:26:24,180 --> 00:26:28,799 Pues fijaros que comienza en el 0 y empieza a crecer despacito, pero va creciendo, creciendo 447 00:26:28,799 --> 00:26:32,920 y llegará con valores muy grandes o tendrá valores muy grandes. 448 00:26:32,920 --> 00:26:34,400 luego llegará al infinito 449 00:26:34,400 --> 00:26:38,480 luego la imagen será desde el cero hasta el infinito 450 00:26:38,480 --> 00:26:41,500 y en esta última, en esta cuarta 451 00:26:41,500 --> 00:26:46,000 tengo también una fracción 452 00:26:46,000 --> 00:26:49,180 y el problema viene cuando el denominador 453 00:26:49,180 --> 00:26:50,640 lo de abajo vale cero 454 00:26:50,640 --> 00:26:53,440 y además es una raíz cuadrada 455 00:26:53,440 --> 00:26:57,599 luego también el problema va a ser cuando lo que está dentro de la raíz es negativo 456 00:26:57,599 --> 00:26:59,859 gráficamente, fijaros 457 00:26:59,859 --> 00:27:02,779 ya tengo aquí el menor 2 con un circulito 458 00:27:02,779 --> 00:27:15,859 Ahora veremos qué pasa. Pero hacia la izquierda del menos 2 no existe imagen ninguna. Claro, es que en la raíz, fijaros, menos 2 más 2 es 0 a raíz de 0. En el menos 2 es donde cortamos. 459 00:27:16,779 --> 00:27:32,019 Números más pequeños que menos 2 no puedo calcular la raíz cuadrada. Pero ojo, si x vale menos 2, tengo raíz de 0 y 1 entre 0 no lo puedo calcular, no puedo dividir 1 entre 0. 460 00:27:32,019 --> 00:27:33,900 luego, cuando vale menos 2 461 00:27:33,900 --> 00:27:36,220 ¿vale? tampoco existe la función 462 00:27:36,220 --> 00:27:37,880 por eso está el circulito, porque me dice 463 00:27:37,880 --> 00:27:39,440 oye, que en el menos 2 no existe la función 464 00:27:39,440 --> 00:27:41,779 tira para arriba y se aproxima mucho, ¿vale? 465 00:27:42,099 --> 00:27:44,000 en el menos 2 va a valer muy cerca de 466 00:27:44,000 --> 00:27:46,220 infinito, pero no llegaba al infinito 467 00:27:46,220 --> 00:27:47,019 ¿vale? 468 00:27:47,759 --> 00:27:50,059 luego, lo que es el dominio va a ser 469 00:27:50,059 --> 00:27:52,160 menos 2, infinito de menos 2 470 00:27:52,160 --> 00:27:53,799 hacia la derecha, en las x 471 00:27:53,799 --> 00:27:55,700 ¿qué valores va 472 00:27:55,700 --> 00:27:57,539 a tomar? bueno, y el menos 2 473 00:27:57,539 --> 00:28:00,079 no está incluido, fijaos aquí, el menos 2 está 474 00:28:00,079 --> 00:28:02,000 con el paréntesis 475 00:28:02,000 --> 00:28:03,680 Se ha abierto. ¿Qué valores? 476 00:28:04,579 --> 00:28:06,240 Negativos, no. Es siempre positivo. 477 00:28:06,819 --> 00:28:07,980 Aquí a la derecha toma valores 478 00:28:07,980 --> 00:28:10,119 muy cercanos al cero. Por aquí a la izquierda 479 00:28:10,119 --> 00:28:11,880 llegan hacia arriba, hacia el infinito. 480 00:28:12,380 --> 00:28:13,920 Pues del cero al infinito va a ser 481 00:28:13,920 --> 00:28:15,619 la imagen, los valores que va 482 00:28:15,619 --> 00:28:16,900 a tomar. 483 00:28:18,039 --> 00:28:18,599 ¿Esto se entiende? 484 00:28:22,369 --> 00:28:23,410 Sí, más o menos. 485 00:28:24,109 --> 00:28:26,210 A ver, pensad que son tres sesiones 486 00:28:26,210 --> 00:28:28,869 y la última la dedicaremos sobre todo para hacer ejercicios. 487 00:28:30,089 --> 00:28:30,250 ¿Vale? 488 00:28:30,250 --> 00:28:31,829 Si nos va a hacer falta, sí. 489 00:28:31,829 --> 00:28:34,529 Bueno, pues seguimos avanzando 490 00:28:34,529 --> 00:28:40,250 Una función al final se puede dar 491 00:28:40,250 --> 00:28:42,049 Por una frase o un enunciado 492 00:28:42,049 --> 00:28:44,289 Y esa frase o ese enunciado 493 00:28:44,289 --> 00:28:45,190 Que vosotros al final 494 00:28:45,190 --> 00:28:48,190 Pues tenéis que ponerlo en forma de función 495 00:28:48,190 --> 00:28:49,890 O en forma de tabla 496 00:28:49,890 --> 00:28:51,849 Por ejemplo aquí dice 497 00:28:51,849 --> 00:28:53,930 Si nos indican que la capacidad de un camión cisterna 498 00:28:53,930 --> 00:28:55,849 Para transporte de leche es de 15.000 litros 499 00:28:55,849 --> 00:28:57,789 Tenemos perfectamente determinada la relación 500 00:28:57,789 --> 00:28:59,829 Entre el número de camiones cisterna 501 00:28:59,829 --> 00:29:01,730 Que pueden salir de una cooperativa de leche 502 00:29:01,730 --> 00:29:03,849 y la cantidad total de leche que transporta. 503 00:29:05,009 --> 00:29:08,430 Claro, si yo llevo solo un camión cisterna, 15.000 litros. 504 00:29:08,769 --> 00:29:09,950 Dos camiones, 30.000. 505 00:29:10,150 --> 00:29:12,130 Tengo ya la relación, ¿vale? 506 00:29:12,349 --> 00:29:13,410 Solo con una frase. 507 00:29:14,690 --> 00:29:17,529 Puedo usar una tabla de valor, como veis aquí a la derecha, ¿vale? 508 00:29:18,569 --> 00:29:20,549 Se puede usar una expresión algebraica, 509 00:29:20,990 --> 00:29:23,470 que esto es lo que al final nosotros vamos a hacer, ¿vale? 510 00:29:23,829 --> 00:29:26,710 Digamos que usarlo como si fuera una fórmula, ¿vale? 511 00:29:27,950 --> 00:29:30,589 Esta es la parte, digamos, más matemática. 512 00:29:30,589 --> 00:29:33,569 Pero también podemos usarlo a través de una gráfica 513 00:29:33,569 --> 00:29:35,670 Esta es la gráfica y está dibujada 514 00:29:35,670 --> 00:29:36,309 ¿Vale? 515 00:29:37,069 --> 00:29:38,430 Esta sería nuestra función 516 00:29:38,430 --> 00:29:39,269 ¿Vale? 517 00:29:40,410 --> 00:29:43,829 Y yo digo, oye, esta función, esta recta que aquí está de color rojo 518 00:29:43,829 --> 00:29:45,309 Se llama f de x 519 00:29:45,309 --> 00:29:47,809 Luego podré escribirle 520 00:29:47,809 --> 00:29:49,970 Su fórmula, si aquí tengo valores 521 00:29:49,970 --> 00:29:52,329 Y veremos como se hace 522 00:29:52,329 --> 00:29:52,630 ¿Vale? 523 00:29:54,329 --> 00:29:54,930 Características 524 00:29:54,930 --> 00:29:57,430 Importantes de todas las funciones 525 00:29:57,430 --> 00:29:58,769 Para poder analizarlas 526 00:29:58,769 --> 00:30:10,390 ¿Vale? ¿Qué cosas le vamos a dar importancia? Por un lado, que ya lo he citado antes, ¿cuáles son los puntos de recorte con los ejes coordenados? Con la x y con la y. 527 00:30:11,230 --> 00:30:20,630 Si una función es continua o no es continua. Si existen simetrías. Si es periódica, hay algo que al final se repite. 528 00:30:20,630 --> 00:30:43,150 Bien, esto de la tendencia lo hemos visto. Cuando se aproxima mucho al infinito o se aproxima mucho al cero, pero no llega a ser ni infinito ni cero, ¿vale? Que es lo que se van a llamar unas asíntotas. Y esto de monotonía me va a hablar de cuando una función es creciente, es decreciente y por lo tanto puede dar lugar a máximos y a mínimos, ¿vale? 529 00:30:43,150 --> 00:30:49,650 Estos son los puntos a final o intervalos que son relevantes para el estudio de una función 530 00:30:49,650 --> 00:30:57,950 Que el día del examen os puedo poner una función y me tendréis que decir puntos de corte, si es continua, si hay simetría, si hay tendencia, si hay monotonía 531 00:30:57,950 --> 00:31:00,849 Puntos de corte 532 00:31:00,849 --> 00:31:06,650 Los puntos de corte pueden ser o con el eje de las X o con el eje de las Y 533 00:31:06,650 --> 00:31:08,769 Siempre, siempre 534 00:31:08,769 --> 00:31:12,890 Al eje de las X lo va a cortar cuando no hay altura 535 00:31:12,890 --> 00:31:17,349 es decir, cuando y vale cero, cuando mi función es igual a cero. 536 00:31:17,890 --> 00:31:19,849 La segunda coordenada, la y, vale cero. 537 00:31:21,049 --> 00:31:24,210 Al eje vertical, la x es la que vale cero. 538 00:31:24,349 --> 00:31:26,990 Luego yo veo en el cero cuánto vale la función. 539 00:31:27,990 --> 00:31:31,230 Por ejemplo, y igual a x más tres. 540 00:31:33,289 --> 00:31:37,549 Cuando x vale cero, y yo sustituyo, cuando x vale cero, 541 00:31:38,069 --> 00:31:39,190 digo, a cero más tres, tres. 542 00:31:39,190 --> 00:32:02,710 Vale, pues el punto 0, 3 es un punto de corte. Por otro lado, cuando Y vale 0, es decir, cuando no hay altura, voy a estar sobre el eje de las X. Si Y vale 0, tendré 0 es igual a X más 3. Resuelvo la ecuación y me queda X es menos 3. Vale, menos 3, 0 será la A. Aquí lo vemos, ¿vale? Fijaros. 543 00:32:02,710 --> 00:32:08,190 Si x es 0, automáticamente y vale 3 544 00:32:08,190 --> 00:32:11,049 0 más 3 es 3, punto, 0, 3 545 00:32:11,049 --> 00:32:15,130 Ahora, si la y vale 0, si no hay altura 546 00:32:15,130 --> 00:32:19,509 Yo hago mi fórmula, y igual a x más 3, tengo 0 es igual a x más 3 547 00:32:19,509 --> 00:32:21,210 Resuelvo y dice que x vale menos 3 548 00:32:21,210 --> 00:32:24,430 Pues menos 3 es 0, es el otro punto 549 00:32:24,430 --> 00:32:27,269 Estos son los dos puntos de corte 550 00:32:27,269 --> 00:32:32,269 Quiero hacer lo mismo con este de aquí 551 00:32:32,269 --> 00:32:40,269 2x menos 3. Pues cojo y digo, a ver, cuando el de x vale 0, 2 por 0 es 0, 0 menos 3 es menos 3. 552 00:32:40,990 --> 00:32:48,470 El 0 menos 3, 0 menos 3 es un punto de corte con el eje y, con el eje de ordenadas. 553 00:32:48,849 --> 00:32:54,990 Con el eje de arcisas no hay altura y el 0, pues 0 es igual a 2x menos 3. 554 00:32:55,190 --> 00:33:01,529 0 es igual a 2x menos 3. Resolvemos la ecuación y me da 3 medios, o 1,5. 555 00:33:01,529 --> 00:33:03,569 el punto tres medios es cero 556 00:33:03,569 --> 00:33:05,950 aquí está, el 1,5 es cero 557 00:33:05,950 --> 00:33:07,890 casos particulares 558 00:33:07,890 --> 00:33:09,670 que puedo tener una función 559 00:33:09,670 --> 00:33:11,809 que nunca corte el eje de las x 560 00:33:11,809 --> 00:33:13,529 eso puede suceder 561 00:33:13,529 --> 00:33:14,730 o que nunca corte el eje de las x 562 00:33:14,730 --> 00:33:17,650 x igual a 2 es una función constante 563 00:33:17,650 --> 00:33:19,730 que lo veremos la semana que viene, siempre vale 2 564 00:33:19,730 --> 00:33:21,289 gráficamente es esta 565 00:33:21,289 --> 00:33:22,170 esta que está en rojo 566 00:33:22,170 --> 00:33:25,789 va a cortar el eje de las x aquí, en este puntito en el 2 567 00:33:25,789 --> 00:33:27,970 pero nunca va a cortar el eje de las x 568 00:33:27,970 --> 00:33:29,750 fijaros, si x vale 0 569 00:33:29,750 --> 00:33:32,809 x vale 0 570 00:33:32,809 --> 00:33:34,309 la función me vale 2 siempre 571 00:33:34,309 --> 00:33:36,269 pero 572 00:33:36,269 --> 00:33:38,109 si la y vale 0 573 00:33:38,109 --> 00:33:40,269 si no hay altura 574 00:33:40,269 --> 00:33:43,250 me queda que y es igual a 2 575 00:33:43,250 --> 00:33:45,309 y puede ser igual a 2 576 00:33:45,309 --> 00:33:45,869 y aquí 577 00:33:45,869 --> 00:33:48,730 no hay 578 00:33:48,730 --> 00:33:50,650 porque la x vale siempre 2 579 00:33:50,650 --> 00:33:51,289 no vale 0 580 00:33:51,289 --> 00:33:55,049 no va a cortar en este caso al eje de la 6 581 00:33:55,049 --> 00:33:55,349 ¿vale? 582 00:33:59,750 --> 00:34:03,130 Por ejemplo, voy a repasar un poquito de cosas que vienen por aquí. 583 00:34:05,130 --> 00:34:07,089 En esta gráfica, ¿vale? 584 00:34:07,710 --> 00:34:11,530 Dice, ¿cuál es la altura a la que está el balcón de mi casa en metros? 585 00:34:11,530 --> 00:34:16,690 Y tenemos una gráfica de la altura de una distancia que representa, dice, 586 00:34:16,789 --> 00:34:20,530 desde el balcón de mi casa le he lanzado una pelota de béisbol a mi hermano que estaba jugando 587 00:34:20,530 --> 00:34:23,389 en los jardines que hay junto al bloque. 588 00:34:23,989 --> 00:34:28,190 Si os fijáis, la ventana, digamos, de casa es esta altura. 589 00:34:28,190 --> 00:34:29,349 ¿Vale? 590 00:34:29,409 --> 00:34:31,769 La altura sería este punto de corte con el eje 591 00:34:31,769 --> 00:34:34,869 Y la distancia a la que llega 592 00:34:34,869 --> 00:34:36,309 Pues es la más 593 00:34:36,309 --> 00:34:37,110 Ya no va cayendo, no va cayendo 594 00:34:37,110 --> 00:34:38,210 Hasta que llega aquí al suelo 595 00:34:38,210 --> 00:34:40,230 ¿Vale? Que son 6 metros 596 00:34:40,230 --> 00:34:42,389 A los 0 metros de altura 597 00:34:42,389 --> 00:34:43,809 Cuando llega al suelo 598 00:34:43,809 --> 00:34:45,289 Ha recorrido 6 metros 599 00:34:45,289 --> 00:34:46,730 Vamos a enviar 600 00:34:46,730 --> 00:34:49,949 ¿Se entiende los puntos de recorte? 601 00:34:51,190 --> 00:34:52,269 Sí, sí, sí 602 00:34:52,269 --> 00:34:53,429 ¿Sí? Vale 603 00:34:53,429 --> 00:34:54,289 Continuidad 604 00:34:54,289 --> 00:34:54,889 A ver 605 00:34:54,889 --> 00:34:57,389 La mejor definición para entender continuidad 606 00:34:57,389 --> 00:34:59,289 es que tú te pones a dibujar la gráfica 607 00:34:59,289 --> 00:35:00,309 de izquierda a derecha 608 00:35:00,309 --> 00:35:03,550 y no hace falta que levantes el lápiz del papel 609 00:35:03,550 --> 00:35:05,449 si tú tienes que levantar 610 00:35:05,449 --> 00:35:07,449 el lápiz del papel, resulta que 611 00:35:07,449 --> 00:35:09,329 ya no es continua, porque has 612 00:35:09,329 --> 00:35:10,610 saltado algo, ¿vale? 613 00:35:11,289 --> 00:35:13,510 mirad, estas tres 614 00:35:13,510 --> 00:35:14,789 gráficas que están aquí dibujadas 615 00:35:14,789 --> 00:35:17,349 no son continuas, porque fijaros 616 00:35:17,349 --> 00:35:19,730 yo voy dibujando, siempre de izquierda a derecha 617 00:35:19,730 --> 00:35:21,590 ¿vale? voy dibujando esta recta 618 00:35:21,590 --> 00:35:23,570 que va para arriba, y cuando llego aquí al 2 619 00:35:23,570 --> 00:35:25,130 salto para abajo 620 00:35:25,130 --> 00:35:26,590 tengo que levantar el lápiz 621 00:35:26,590 --> 00:35:29,010 ¿vale? y continúo dibujando 622 00:35:29,010 --> 00:35:30,809 para todos los valores 623 00:35:30,809 --> 00:35:32,510 de x se obtiene 624 00:35:32,510 --> 00:35:35,230 algún valor, es decir, siempre existe la función 625 00:35:35,230 --> 00:35:36,090 pero hay un salto 626 00:35:36,090 --> 00:35:39,110 en este caso una discontinuidad de salto 627 00:35:39,110 --> 00:35:40,730 finito, porque salta dos unidades 628 00:35:40,730 --> 00:35:42,789 o tres, o cinco, o dieciocho 629 00:35:42,789 --> 00:35:45,130 existe otra como esta 630 00:35:45,130 --> 00:35:47,030 parábola, que aparentemente 631 00:35:47,030 --> 00:35:49,130 esto lo continúa, dices yo no levanto el 632 00:35:49,130 --> 00:35:50,989 lápiz, pero mirad, aquí hay un circulito 633 00:35:50,989 --> 00:35:52,769 y un agujero, si yo no 634 00:35:52,769 --> 00:35:55,070 tuviera ese agujero, yo dibujo la parábola 635 00:35:55,070 --> 00:35:59,190 sin problemas, pero como está este agujero, al llegar al agujero tengo que levantar el lápiz 636 00:35:59,190 --> 00:36:02,710 para sortearlo, ya hay una discontinuidad, se llama evitable 637 00:36:02,710 --> 00:36:07,210 porque si yo dijera que en el 2 la función vale menos 3 638 00:36:07,210 --> 00:36:10,590 pues ya sería constante, pero ya sería continua 639 00:36:10,590 --> 00:36:15,449 y existen otras donde, aquí fijaros en el 2 640 00:36:15,449 --> 00:36:18,869 aquí el salto claramente, que está en rojo ahí 641 00:36:18,869 --> 00:36:23,469 dibujado como lo que se llama una asíntota, porque tanto por la izquierda como por la derecha 642 00:36:23,469 --> 00:36:27,869 de la función se aproxima mucho, pero no llega a tomar ningún valor en el 2. Por arriba 643 00:36:27,869 --> 00:36:33,010 se me va hacia más infinito y por la izquierda me viene de menos infinito. Como al menos 644 00:36:33,010 --> 00:36:37,429 por una de las dos ramas se me va a un infinito, se dice que es una discontinuidad del salto 645 00:36:37,429 --> 00:36:45,530 infinito. Pero en cuanto yo tengo que levantar el lápiz para dibujar, ya no es continuo. 646 00:36:47,050 --> 00:36:51,889 En la definición, de manera más precisa, más matemática, dice que una función es 647 00:36:51,889 --> 00:36:57,349 continua en un punto x igual a cuando la función está definida en ese punto y 648 00:36:57,349 --> 00:37:01,730 cuando dice las imágenes de los valores próximos a tienen a ver vamos que por 649 00:37:01,730 --> 00:37:05,389 la izquierda y por la derecha la función venga hacia ese punto 650 00:37:05,389 --> 00:37:11,489 no que yo tengo un salto esto se entiende 651 00:37:13,190 --> 00:37:18,389 sí sí sí simetrías las simetrías es que al final 652 00:37:18,389 --> 00:37:24,769 Bueno, esto, como además lo vimos recientemente con la geometría, ¿vale? 653 00:37:24,789 --> 00:37:25,730 Lo que era una simetría 654 00:37:25,730 --> 00:37:29,809 Pero no deja de ser que, bueno, yo tengo un espejo en algún lado, ¿vale? 655 00:37:30,469 --> 00:37:36,690 La simetría suele ser de las funciones bien porque el eje de las X es mi eje de simetría 656 00:37:36,690 --> 00:37:39,949 O el eje de las Y es mi eje de simetría 657 00:37:39,949 --> 00:37:45,150 A ver, eso es que la simetría se llame par o impar, ¿vale? 658 00:37:45,150 --> 00:38:00,329 ¿Vale? Simetría par es si es simétrica con respecto al eje OI, el eje vertical. El eje vertical. Es tan sencillo como si yo pudiera doblarlo, lo doblo por el eje Y y el tramo de la izquierda me debe de coincidir con el de la derecha. ¿Vale? 659 00:38:00,329 --> 00:38:03,030 en los ejercicios cuando lo hagamos 660 00:38:03,030 --> 00:38:05,409 en los próximos días, matemáticamente 661 00:38:05,409 --> 00:38:06,889 me tiene que suceder que 662 00:38:06,889 --> 00:38:08,750 f de x sea igual a f de menos x 663 00:38:08,750 --> 00:38:11,030 es decir, el valor en el 2 664 00:38:11,030 --> 00:38:12,670 tiene que ser lo mismo que en el menos 2 665 00:38:12,670 --> 00:38:14,989 en 5 igual que en menos 5 666 00:38:14,989 --> 00:38:17,550 en x igual que en menos x 667 00:38:17,550 --> 00:38:17,769 ¿vale? 668 00:38:18,489 --> 00:38:19,550 esto es simetría par 669 00:38:19,550 --> 00:38:21,949 y la simetría impar 670 00:38:21,949 --> 00:38:25,010 es con respecto al eje 671 00:38:25,010 --> 00:38:26,929 de... es como una doble simetría 672 00:38:26,929 --> 00:38:28,789 ¿vale? es como si se dobla el eje 673 00:38:28,789 --> 00:38:37,969 de las X y luego el eje de las Y, ¿vale? Fijaros. Esto aquí en el primer cuadrante 674 00:38:37,969 --> 00:38:42,610 va hacia arriba, en el tercero va hacia abajo, ¿vale? Dice que cuando se dobla la gráfica 675 00:38:42,610 --> 00:38:48,869 por ambos ejes las dos ramas coinciden, ¿vale? En este caso matemáticamente es F de menos 676 00:38:48,869 --> 00:38:56,409 X es igual a menos F de X. Es decir, la función en el menos 2 vale lo mismo que en el 2 pero 677 00:38:56,409 --> 00:39:03,750 cambiado de 5. La función en el menor 5 vale lo mismo que en 5, pero cambiado de 5. ¿Vale? 678 00:39:05,190 --> 00:39:11,809 Estas son las simetrías que podemos encontrar, que las trabajaremos en clase. Funciones periódicas. 679 00:39:13,909 --> 00:39:17,289 Gráficamente se ve muy bien cuando hay un modelo que siempre se repite. Fijaros esto 680 00:39:17,289 --> 00:39:25,050 aquí. ¿Vale? Hay una figura que se repite periódicamente. Esto se ve muy bien, por 681 00:39:25,050 --> 00:39:34,190 ejemplo, con gráficas de péndulos, que se ve como una onda constante, se ve mucho en 682 00:39:34,190 --> 00:39:39,130 la parte de trigonometría, que eso no lo vemos en nivel 2, hay muchísimas funciones 683 00:39:39,130 --> 00:39:47,329 que son periódicas, hay algo que se repite. Las que vamos a ver en este curso, generalmente, 684 00:39:47,510 --> 00:39:55,329 es algo que esté hecho muy específico, no van a tener este modelo de repetición. Las 685 00:39:55,329 --> 00:39:57,170 tendencias es 686 00:39:57,170 --> 00:39:59,469 lo que solemos llamar 687 00:39:59,469 --> 00:40:00,889 asíntotas, y es decir 688 00:40:00,889 --> 00:40:03,170 una gráfica 689 00:40:03,170 --> 00:40:05,309 o una función, cómo se 690 00:40:05,309 --> 00:40:07,469 comporta cuando se aproxima a ciertos valores 691 00:40:07,469 --> 00:40:08,050 mirad 692 00:40:08,050 --> 00:40:11,190 esta que veis aquí 693 00:40:11,190 --> 00:40:13,489 en primer lugar, cuando va 694 00:40:13,489 --> 00:40:15,190 hacia la derecha, parece que queda 695 00:40:15,190 --> 00:40:17,230 casi plana 696 00:40:17,230 --> 00:40:18,869 o casi, ya que ya no existe más 697 00:40:18,869 --> 00:40:21,269 vemos aquí una línea verde, que se va aproximando 698 00:40:21,269 --> 00:40:22,510 se va aproximando, se va aproximando 699 00:40:22,510 --> 00:40:25,130 mucho a este valor, al 3, luego en el 700 00:40:25,130 --> 00:40:41,349 El infinito, a la derecha del todo, tiende a 3. No quiere decir que llegue a valer 3, está pegado. Lo mismo sucede, aquí no está en la gráfica de la vertical, pero voy a buscar lo que hemos visto antes en alguna. 701 00:40:41,349 --> 00:40:44,409 aquí por ejemplo 702 00:40:44,409 --> 00:40:45,969 una asíntota vertical sería 703 00:40:45,969 --> 00:40:48,150 de estas tres gráficas, la de la derecha 704 00:40:48,150 --> 00:40:49,329 veis que está 705 00:40:49,329 --> 00:40:51,650 punteada de color rojo 706 00:40:51,650 --> 00:40:54,110 pues para que la derecha 707 00:40:54,110 --> 00:40:55,510 tiende para arriba, al infinito 708 00:40:55,510 --> 00:40:58,690 y por la izquierda tiende a menos infinito 709 00:40:58,690 --> 00:41:00,429 se aproxima, no llega a tomar ese valor 710 00:41:00,429 --> 00:41:01,849 se pega, ¿vale? 711 00:41:02,269 --> 00:41:04,389 esa sería esa tendencia, esa asíntota 712 00:41:04,389 --> 00:41:05,809 esto en bachillerato 713 00:41:05,809 --> 00:41:07,809 se habla de estudiar límites 714 00:41:07,809 --> 00:41:10,210 es decir, que si alguna vez escucháis algo 715 00:41:10,210 --> 00:41:15,309 de límites, a lo mejor a vuestros hijos y están en otros estudios, van por ahí los 716 00:41:15,309 --> 00:41:21,050 tiros, ¿vale? Para que un poco nos situemos. Y a veces se aproxima a un asítota oblicuo. 717 00:41:21,130 --> 00:41:26,489 Hay una recta que tiene su pendiente, aquí se ve el color verde, un punto finito, tiene 718 00:41:26,489 --> 00:41:30,710 su pendiente, y se aproxima, se aproxima, que al final la gráfica se va a comportar 719 00:41:30,710 --> 00:41:39,519 como esa recta, cuando toma valores. Entonces, esa tendencia es el, bueno, más o menos el 720 00:41:39,519 --> 00:41:43,920 cómo se comporta la función cuando toma o valores muy grandes o valores muy pequeños 721 00:41:43,920 --> 00:41:49,139 o como la asíntota vertical en un punto muy determinado, ¿vale? 722 00:41:51,159 --> 00:41:55,960 Monotonía, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, ¿vale? 723 00:41:56,739 --> 00:42:03,260 Aquí viene explicado con terminología matemática, pero yo creo que lo mejor que se ve es gráficamente, ¿vale? 724 00:42:06,260 --> 00:42:09,460 Que las gráficas hay que leerlas siempre de izquierdas a derechas, ¿vale? 725 00:42:09,519 --> 00:42:14,179 Si yo voy a mirar aquí, esta gráfica que es una recta es creciente o decreciente, esta primera. 726 00:42:15,480 --> 00:42:16,219 La que estoy marcando. 727 00:42:16,639 --> 00:42:17,079 Creciente. 728 00:42:17,539 --> 00:42:19,039 Creciente. Voy de abajo hacia arriba. 729 00:42:19,880 --> 00:42:24,480 Tal como yo me voy desplazando hacia la derecha, voy tomando valores más grandes. 730 00:42:25,360 --> 00:42:28,039 En cambio, la gráfica de la derecha va hacia abajo. 731 00:42:28,039 --> 00:42:36,460 Es decir, tal como yo me voy desplazando a valores más a la derecha, cuando la X es más grande, la función va tomando valores más pequeños. 732 00:42:36,460 --> 00:42:43,539 Claro, cuando yo voy subiendo y de repente bajo, tengo aquí como una montañita. 733 00:42:44,260 --> 00:42:49,840 Hay un punto en el cual cambia esa monotonía, cuando yo paso de creciente a decreciente. 734 00:42:50,360 --> 00:42:51,599 Y eso es lo que se llama un máximo. 735 00:42:51,820 --> 00:42:57,820 Un máximo es cuando por la izquierda viene subiendo y por la derecha empieza a bajar y yo me quedo arriba de la montañita. 736 00:42:58,780 --> 00:43:03,780 Un máximo siempre va a estar entre un tramo creciente y un tramo decreciente. 737 00:43:03,780 --> 00:43:08,780 De manera análoga, cuando la función va bajando, es decreciente 738 00:43:08,780 --> 00:43:10,900 Y llega a un punto que es el más bajo posible 739 00:43:10,900 --> 00:43:13,099 Porque a partir de ahí empieza a subir 740 00:43:13,099 --> 00:43:16,039 Paso de decrecer a crecer 741 00:43:16,039 --> 00:43:18,820 Entre un intervalo de decrecimiento y otro de decrecimiento 742 00:43:18,820 --> 00:43:23,079 Ahí, intermedio, hay un mínimo, ¿vale? 743 00:43:23,699 --> 00:43:25,860 Inicialmente decimos máximo, mínimo o relativo 744 00:43:25,860 --> 00:43:29,159 Porque en la gráfica puede haber varios máximos y varios mínimos 745 00:43:29,159 --> 00:43:32,760 Ya luego veríamos cuál es el absoluto, el más grande 746 00:43:32,760 --> 00:43:38,139 Por ejemplo, en esta gráfica que veis aquí, ¿cuántos máximos veis? 747 00:43:41,260 --> 00:43:42,360 Un máximo de 2. 748 00:43:43,400 --> 00:43:46,679 Yo máximo veo este aquí, hacia el menor 2, ¿no? 749 00:43:46,880 --> 00:43:52,960 Por aquí hay un máximo mínimo, veo aquí un mínimo en el 2, en el 2 hay un mínimo, 750 00:43:53,699 --> 00:43:57,019 pero no hay más máximos y más mínimos porque, fijaos, aquí... 751 00:43:57,019 --> 00:44:00,559 Hay máximos, vale, tiene que bajar para que sea un máximo. 752 00:44:00,559 --> 00:44:13,340 Claro, aquí por la izquierda la función viene subiendo, viene subiendo, viene subiendo, pero por aquí por la izquierda no ha habido algo que baje, porque está esta asíntota que hace que no se, ¿sabes? Que no se, ¿vale? 753 00:44:14,519 --> 00:44:27,159 Entonces la función directamente crece hasta el menor 2. En el menor 2 se empieza a bajar hasta que la x vale 2. Y del 2 en adelante la función sube para arriba y crece, ¿vale? 754 00:44:27,159 --> 00:44:30,260 Ah, aquí, mira, si la hago más pequeña se ve algo más 755 00:44:30,260 --> 00:44:30,780 Fijaros 756 00:44:30,780 --> 00:44:33,079 Ahora cambia la gráfica 757 00:44:33,079 --> 00:44:35,780 Aquí sí tengo dos máximos 758 00:44:35,780 --> 00:44:37,659 Empieza a subir y tengo aquí otro máximo, ¿no? 759 00:44:39,760 --> 00:44:40,159 Sí 760 00:44:40,159 --> 00:44:41,780 Y luego empieza a bajar 761 00:44:41,780 --> 00:44:44,400 Luego en este caso aquí sí tendría dos máximos 762 00:44:44,400 --> 00:44:45,260 ¿Vale? 763 00:44:45,460 --> 00:44:47,519 Pero siempre es sube y baja 764 00:44:47,519 --> 00:44:48,380 No 765 00:44:48,380 --> 00:44:51,619 No hay 766 00:44:51,619 --> 00:44:53,579 ¿Sabes? Lo estoy ampliando así para que se vea 767 00:44:53,579 --> 00:44:54,760 Más, ¿vale? 768 00:44:54,760 --> 00:44:56,760 Pero que no hay 769 00:44:56,760 --> 00:44:59,719 O sea, donde no está ese cambio de monotonía 770 00:44:59,719 --> 00:45:00,699 No puede haber máximo o mínimo 771 00:45:00,699 --> 00:45:03,440 Para aquella máximo o mínimo tiene que estar ese cambio 772 00:45:03,440 --> 00:45:05,599 Esta gráfica 773 00:45:05,599 --> 00:45:07,760 Aquí sí se ve bien que sube, baja 774 00:45:07,760 --> 00:45:10,260 Baja, sube, se mantiene constante 775 00:45:10,260 --> 00:45:12,440 Sube, se mantiene constante 776 00:45:12,440 --> 00:45:13,820 ¿Lo veis? 777 00:45:15,079 --> 00:45:15,599 Sí 778 00:45:15,599 --> 00:45:18,039 ¿Dónde hay máximos? Pues a ver, máximos relativos 779 00:45:18,039 --> 00:45:19,420 Aquí en el 3.1 780 00:45:19,420 --> 00:45:20,420 Porque sube y baja 781 00:45:20,420 --> 00:45:23,099 Pero el 7 no es 782 00:45:23,099 --> 00:45:25,119 Aunque vea aquí como un pico 783 00:45:25,119 --> 00:45:27,000 Este 17 no es ni máximo ni mínimo 784 00:45:27,000 --> 00:45:28,099 Porque por la izquierda baja 785 00:45:28,099 --> 00:45:30,260 Y por la derecha sigue bajando 786 00:45:30,260 --> 00:45:33,730 En el 7, ¿vale? 787 00:45:34,750 --> 00:45:36,429 Pero yo en el 10 hay cambio 788 00:45:36,429 --> 00:45:38,869 Viene bajando y a partir del 10 sube 789 00:45:38,869 --> 00:45:40,750 Luego en el 10 hay un mínimo, ¿vale? 790 00:45:41,550 --> 00:45:42,710 En el 14 sube 791 00:45:42,710 --> 00:45:44,269 Y en la derecha se mantiene constante 792 00:45:44,269 --> 00:45:45,050 Luego no es máximo 793 00:45:45,050 --> 00:45:48,570 En el 17 tampoco, voy subiendo 794 00:45:48,570 --> 00:45:50,489 Y todo esto como es poder subir 795 00:45:50,489 --> 00:45:51,829 Hasta que yo aquí al 22 796 00:45:51,829 --> 00:45:54,050 Y en el 22 hay un máximo 797 00:45:54,050 --> 00:45:55,389 Porque he subido y he bajado 798 00:45:55,389 --> 00:45:57,389 De aquí me puede preguntar 799 00:45:57,389 --> 00:45:59,710 Para interpretar 800 00:45:59,710 --> 00:46:02,050 El máximo absoluto se obtuvo a las 801 00:46:02,050 --> 00:46:02,869 ¿A qué hora? 802 00:46:03,849 --> 00:46:05,210 Máximo absoluto, mire por aquí 803 00:46:05,210 --> 00:46:06,090 Es este de aquí 804 00:46:06,090 --> 00:46:09,449 A las 22 horas 805 00:46:09,449 --> 00:46:12,150 La temperatura estuvo bajando 806 00:46:12,150 --> 00:46:13,730 Desde las 3 hasta las 807 00:46:13,730 --> 00:46:15,250 Pues aquí, desde las 3 hasta 808 00:46:15,250 --> 00:46:17,230 Hasta aquí abajo 809 00:46:17,230 --> 00:46:19,309 Hasta este 810 00:46:19,309 --> 00:46:20,889 Hasta las 10 811 00:46:20,889 --> 00:46:23,869 La temperatura se mantuvo 812 00:46:23,869 --> 00:46:25,909 constante en los 36 grados y medio 813 00:46:25,909 --> 00:46:27,969 entre, a ver, 36 grados 814 00:46:27,969 --> 00:46:29,730 y medio son aquí, miro el eje de asís 815 00:46:29,730 --> 00:46:31,469 este tramo de aquí 816 00:46:31,469 --> 00:46:33,050 entre las 14 817 00:46:33,050 --> 00:46:35,329 y las 17 818 00:46:35,329 --> 00:46:39,550 14 y 17 819 00:46:39,550 --> 00:46:41,809 la temperatura más baja 820 00:46:41,809 --> 00:46:42,869 la tuvo a las 821 00:46:42,869 --> 00:46:43,829 ¿a qué hora? 822 00:46:45,829 --> 00:46:47,570 a las 10 823 00:46:47,570 --> 00:46:49,690 y esa temperatura fue de 824 00:46:49,690 --> 00:46:50,829 ¿cuántos grados? 825 00:46:53,469 --> 00:46:54,070 36 826 00:46:54,070 --> 00:46:55,670 5 y medio 827 00:46:55,670 --> 00:46:57,329 Sí, 35 y medio, vale 828 00:46:57,329 --> 00:47:00,210 Dice la temperatura del paciente 829 00:47:00,210 --> 00:47:02,730 tuvo un máximo relativo que no absoluto 830 00:47:02,730 --> 00:47:03,909 ¿Máximo relativo a qué hora? 831 00:47:06,239 --> 00:47:08,539 Aquí hay un máximo a las 3 de la mañana 832 00:47:08,539 --> 00:47:10,179 y luego hay otro a las 22 833 00:47:10,179 --> 00:47:12,380 Es el relativo, no el absoluto 834 00:47:12,380 --> 00:47:14,880 O sea, aquí hay uno relativo a las 3 de la mañana 835 00:47:14,880 --> 00:47:16,659 a las 3 de la madrugada 836 00:47:16,659 --> 00:47:18,320 con una temperatura 837 00:47:18,320 --> 00:47:20,380 de 38 grados 838 00:47:20,380 --> 00:47:23,860 Le vamos a enviar 839 00:47:23,860 --> 00:47:25,039 y está todo correcto, ¿vale? 840 00:47:25,039 --> 00:47:31,679 Entonces, con todos estos contenidos básicos 841 00:47:31,679 --> 00:47:34,219 la semana que viene nos vamos a meter 842 00:47:34,219 --> 00:47:38,039 con el siguiente bloque que es el de las funciones elementales 843 00:47:38,039 --> 00:47:42,920 Este bloque de funciones elementales 844 00:47:42,920 --> 00:47:49,719 pues vamos a ver una función lineal 845 00:47:49,719 --> 00:47:54,320 que se va a representar con una recta 846 00:47:54,320 --> 00:48:12,199 Pero vamos a ver la diferencia entre una función de proporcionalidad, afín, constante, como una función cuadrática que se va a dibujar como una parábola, que algebraicamente es representar una ecuación de segundo grado. 847 00:48:12,199 --> 00:48:29,300 Y aquí veremos algunos ejemplos dependiendo de si tiene todos los términos o si falta alguno, como cuando resolvimos una ecuación de segundo grado y decíamos que tengo la b, tengo la c, si b es 0, c es 0, bueno, pues aquí todo eso influye, ¿vale? 848 00:48:29,300 --> 00:48:44,119 La función de proporcionalidad inversa, que en este caso es una fracción donde la x cae en el denominador, una función exponencial y algunas aplicaciones. Esto lo vemos el próximo día, ¿vale? 849 00:48:44,119 --> 00:48:47,260 con todo esto 850 00:48:47,260 --> 00:48:53,960 si me voy al primero de los cuestionarios 851 00:48:53,960 --> 00:49:03,800 me tiene pregunta 852 00:49:03,800 --> 00:49:05,820 dice, di cada una de las gráficas siguientes 853 00:49:05,820 --> 00:49:07,880 si corresponde o no a una función 854 00:49:07,880 --> 00:49:08,920 por ejemplo, esta primera 855 00:49:08,920 --> 00:49:09,980 ¿es una función? 856 00:49:12,019 --> 00:49:13,760 no, porque para este valor 857 00:49:13,760 --> 00:49:16,139 solo tienen varios valores 858 00:49:16,139 --> 00:49:16,659 hacia arriba 859 00:49:16,659 --> 00:49:18,619 no es una función 860 00:49:18,619 --> 00:49:20,420 es elegir si sí o si no 861 00:49:20,420 --> 00:49:22,900 esa podéis hacerla 862 00:49:22,900 --> 00:49:25,239 por ejemplo, aquí ya 863 00:49:25,239 --> 00:49:27,659 no hemos llegado a ver las funciones afines 864 00:49:27,659 --> 00:49:29,000 si lo pensáis podéis sacarlo 865 00:49:29,000 --> 00:49:31,460 pero al final la gente dice que esquivas como es 866 00:49:31,460 --> 00:49:32,599 la expresión de 867 00:49:32,599 --> 00:49:35,699 una función a partir de un texto 868 00:49:35,699 --> 00:49:37,559 por eso os digo que os recomiendo 869 00:49:37,559 --> 00:49:38,960 que os esperéis a la semana que viene 870 00:49:38,960 --> 00:49:41,480 tengo dos gráficas y me dice 871 00:49:41,480 --> 00:49:43,579 la ordenada del origen de la recta roja 872 00:49:43,579 --> 00:49:44,940 el origen es este 873 00:49:44,940 --> 00:49:47,519 la ordenada para acá arriba, pues el 2 874 00:49:47,519 --> 00:49:49,880 la pendiente de la recta 875 00:49:49,880 --> 00:49:52,119 no hemos hablado de pendiente, hablaremos el próximo día 876 00:49:52,119 --> 00:49:54,139 el punto en el que se cortan 877 00:49:54,139 --> 00:49:57,380 nada más recta. Luego, por un lado tenemos que manejar las coordenadas, pero hay términos 878 00:49:57,380 --> 00:50:03,500 que no hemos llegado a ver, ¿vale? Todavía. Asocia cada gráfica con la ecuación de la 879 00:50:03,500 --> 00:50:11,300 función correspondiente. Dice, ¿la gráfica siguiente corresponde con una función? Sí 880 00:50:11,300 --> 00:50:18,579 o no. Esta sí podría ir a resolverla. Igual, otra de asociar con la gráfica correspondiente. 881 00:50:19,440 --> 00:50:25,239 Pero por eso yo me esperaría al próximo día, ¿vale? Para que lo hagáis, que no tengáis 882 00:50:25,239 --> 00:50:30,239 Señale cuáles siguientes expresiones corresponden a la gráfica. 883 00:50:30,239 --> 00:50:35,239 Aquí tienes unas cuantas, entre comillas, gráficas, ¿vale? 884 00:50:35,239 --> 00:50:40,239 Y te dice que, bueno, sí, gráficas son funciones, no todas son funciones. 885 00:50:40,239 --> 00:50:45,239 Que digáis cada una de ellas con cuál se corresponde, ¿vale? 886 00:50:45,239 --> 00:50:52,300 Que cuáles de estas representan una función, cuáles son una función. 887 00:50:52,300 --> 00:51:02,989 Por ejemplo, este que es el círculo, no puede ser porque para el cielo toma dos valores. 888 00:51:02,989 --> 00:51:08,190 Este otro que indiquemos donde decrece, máximos, mínimos, puntos de reporte. 889 00:51:08,510 --> 00:51:14,800 Podríamos hacerlo, pero quizás mejor cuando hagamos algún ejercicio en el parámetro. 890 00:51:15,099 --> 00:51:19,039 Y una gráfica como la que hemos visto antes y me piden preguntas al respecto. 891 00:51:22,699 --> 00:51:25,980 Entonces, la semana que viene continuamos por aquí, ¿vale? 892 00:51:26,000 --> 00:51:30,659 Con este bloque de lo que son las funciones elementales. 893 00:51:30,659 --> 00:51:35,059 y ya pues iremos luego a papel para hacer ejercicios 894 00:51:35,059 --> 00:51:39,260 que podéis afrontar mejor estos ejercicios del cuestionario.