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00:00:04,269 --> 00:00:10,890
Hola, bueno, como ya habéis visto en la portada, soy Emma Barroso de sexto C de la asignatura de Matemáticas II de segundo de bachillerato.

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00:00:11,470 --> 00:00:16,750
Voy a hacer un ejercicio con respecto al rango de una matriz y sus aplicaciones de la extraordinaria de 2012.

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00:00:17,469 --> 00:00:21,410
El ejercicio nos va a dar un sistema de ecuaciones lineales y nos va a decir que, digamos,

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00:00:21,410 --> 00:00:27,089
qué tipo de sistema es, si funciona un parámetro sin darnos un valor determinado de ese parámetro, ese va a ser el apartado A.

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00:00:27,530 --> 00:00:32,850
Vamos a tener que utilizar el rango para ese apartado. El apartado B sí que nos va a dar un valor determinado de ese parámetro.

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00:00:32,850 --> 00:00:40,729
Lo primero debemos saber que es el rango. El rango es el número de vectores, filas o columnas linealmente independientes que conforma esta matriz.

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00:00:41,229 --> 00:00:47,770
Linealmente independiente significa que no podemos expresar una fila o una columna como combinación lineal de otra o de otras.

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00:00:48,369 --> 00:00:51,049
Una vez dicho esto, vamos a empezar a calcular el rango de A.

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00:00:56,200 --> 00:00:58,679
Inicialmente colocamos su matriz de la siguiente manera.

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00:00:59,119 --> 00:01:06,840
Aquí vamos a tener cada uno de los números que acompañan a las incógnitas y aquí los resultados, pero para saber el rango de A únicamente nos va a servir esta parte.

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00:01:06,980 --> 00:01:09,480
ya que es necesaria para sacar su determinante.

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00:01:10,659 --> 00:01:14,959
Para determinar su rango, tenemos que saber que el rango de A es menor que 3,

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00:01:15,079 --> 00:01:17,400
siempre que su determinante sea igual a 0.

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00:01:17,659 --> 00:01:20,480
Por lo tanto, tenemos que forzar esta condición, ya que tenemos parámetros,

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00:01:20,719 --> 00:01:24,439
entonces, al resolverlo por la regla de Sarrus, en este caso el 3 por 3,

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00:01:24,719 --> 00:01:30,299
nos queda que menos A y menos 4, al resolver el determinante.

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00:01:30,719 --> 00:01:33,540
Y como queremos forzar que D sea igual a 0, lo igualamos a 0,

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00:01:33,540 --> 00:01:36,459
y nos da que A es igual a menos 4.

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00:01:38,719 --> 00:01:45,140
Teniendo esto hecho, ya sabemos que cuando a es igual a menos 4, su rango va a ser o 1 o 2,

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00:01:45,260 --> 00:01:47,420
ya que su rango hemos dicho que siempre va a ser menor que 3.

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00:01:48,000 --> 00:01:54,840
Y cuando a es distinta de menos 4, sabemos por descarte que el rango de a siempre va a ser 3,

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00:01:55,400 --> 00:01:59,260
ya que debido a que su determinante es 3 por 3, el rango máximo siempre va a ser 3.

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00:01:59,760 --> 00:02:03,560
Para saber con respecto a estos cuál de los dos es, si 1 o 2,

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00:02:03,560 --> 00:02:08,699
sabemos que el rango de A va a ser igual a 1 siempre que todos sus determinantes menores sean igual a 0.

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00:02:09,080 --> 00:02:12,979
Entonces en este caso vamos a coger un determinante menor cualquiera, ya sustituida la A,

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00:02:13,060 --> 00:02:14,759
porque ya hemos dicho que la A es igual a menos 4.

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00:02:15,379 --> 00:02:17,960
Yo en mi caso he cogido este, lo escribo aquí pequeñito,

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00:02:18,180 --> 00:02:23,199
y al hacerlo la regla de Sarrus 2x2 vemos que nos da menos 1, que es distinto de 0,

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00:02:23,599 --> 00:02:27,520
por lo tanto podemos confirmar que el rango de A siempre que A es igual a menos 4 es 2.

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00:02:30,069 --> 00:02:34,030
Escribimos esta chuletilla para que no se nos olvide y ahora vamos a hacer el rango de A'.

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00:02:35,069 --> 00:02:40,830
Algo que nos puede ayudar mucho es que el rango de A' siempre va a ser mayor o igual que el rango de A.

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00:02:41,210 --> 00:02:46,030
A' cuando A es igual a menos 4, la vamos a colocar de la siguiente manera.

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00:02:49,270 --> 00:02:50,930
Ahora vamos a escribir su determinante.

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00:02:51,770 --> 00:02:54,990
Si os fijáis, el determinante tiene tres columnas, una menos, ¿vale?

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00:02:55,009 --> 00:02:58,250
Esto se debe a que hemos cogido esta columna de los resultados, ya que es indispensable,

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00:02:58,969 --> 00:03:05,349
y estas dos columnas de aquí, hemos omitido esta columna, ya que digamos que estas tres columnas ya las hemos estudiado en el rango de A,

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00:03:05,349 --> 00:03:10,009
se van a comportar de la misma manera y por lo tanto omitir una no va a ser demasiado importante.

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00:03:10,430 --> 00:03:13,990
Ahora tendríamos que resolver el determinante por la regla de Sarrus 3x3,

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00:03:14,270 --> 00:03:18,449
entonces nos quedaría 8 menos 8 igual a 0,

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00:03:18,870 --> 00:03:22,389
y aquí podemos confirmar que el rango de A va a ser menor que 3, es decir, 2 o 1,

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00:03:22,530 --> 00:03:25,610
y sabemos que no va a ser 1 porque si cogemos cualquiera de sus determinantes menores,

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00:03:25,610 --> 00:03:31,090
en este caso yo voy a coger este, sabemos que nos va a dar 4, que es distinto de 0,

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00:03:31,090 --> 00:03:35,930
entonces podemos confirmar que el rango de A, en este caso de A', va a ser igual a 2.

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00:03:41,919 --> 00:03:44,460
Por lo tanto, recapitulando, llegamos a la siguiente solución.

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00:03:44,759 --> 00:03:51,659
Aquí tendríamos un sistema compatible indeterminado porque tenemos tres incógnitas y nuestro rango es 2.

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00:03:52,520 --> 00:03:54,439
Por lo tanto, tendríamos infinitas soluciones.

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00:03:55,099 --> 00:04:01,460
Y aquí, por lo tanto, tendríamos un sistema compatible determinado porque tenemos igual tres incógnitas y nuestro rango es 3,

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00:04:01,580 --> 00:04:04,020
es decir, que tendríamos una solución para cada incógnita.

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00:04:04,020 --> 00:04:11,199
No he especificado cómo he sacado este rango, sin embargo, si os acordáis, cuando hemos hecho el determinante 3 por 3 de cuando a era igual a menos 4,

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00:04:11,680 --> 00:04:18,459
hemos impuesto que nos diese 0 y por lo tanto es imposible que cuando a exista de menos 4 nos vuelva a dar 0 ese determinante.

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00:04:19,019 --> 00:04:26,879
Sabríamos que el rango de a' no va a ser ni 2 ni 1 y por descarte únicamente puede ser 3, ya que es el máximo rango que tenemos en este caso.

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00:04:27,319 --> 00:04:29,360
De esta manera habríamos terminado el apartado a.

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00:04:29,360 --> 00:04:32,699
para el apartado B nos tendríamos que fijar en esta parte de aquí

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00:04:32,699 --> 00:04:37,100
y tendríamos que resolverlo por el método de resolución de Gauss o por determinantes.

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00:04:37,579 --> 00:04:39,720
Y espero que os haya gustado mucho y hasta luego.