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00:00:00,000 --> 00:00:06,600
Ahora, en este vídeo vamos a calcular la proyección de un punto dado sobre un plano llamado plano

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00:00:06,600 --> 00:00:10,020
de proyección y que será el otro dato del problema.

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00:00:10,020 --> 00:00:17,040
Por definición, calcular la proyección de A sobre pi es obtener el punto en el que esa

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00:00:17,040 --> 00:00:22,560
recta, que es la recta perpendicular al plano y que pasa por A, corta con el propio plano.

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00:00:22,560 --> 00:00:25,800
Este sería el punto de proyección.

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00:00:25,800 --> 00:00:31,760
Los pasos, por tanto, para resolver el problema son obtener primero esta recta perpendicular

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00:00:31,760 --> 00:00:34,920
al plano y que pasa por A.

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00:00:34,920 --> 00:00:40,720
Para ello, podemos observar que el vector normal del plano sigue la misma dirección

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00:00:40,720 --> 00:00:46,560
que la recta, precisamente por ser esta perpendicular y, por tanto, como vector director de la recta

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00:00:46,560 --> 00:00:51,880
podemos tomar ese vector normal o cualquiera que sea paralelo proporcional a él.

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00:00:51,880 --> 00:00:57,900
Una vez que tenemos esta recta R, el segundo y último paso consiste simplemente en calcular

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00:00:57,900 --> 00:01:13,780
P como el punto de intersección entre la recta y el plano.

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00:01:13,780 --> 00:01:17,840
Vamos a resolver ahora un ejemplo práctico en el que el plano de proyección es el plano

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00:01:17,840 --> 00:01:24,600
x más y más z igual a 1 y el punto que queremos proyectar es el 3, 4, menos 3.

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00:01:24,600 --> 00:01:31,480
Empezaremos entonces buscando la recta R de la que sabemos que el vector director coincide

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00:01:31,480 --> 00:01:36,520
con el vector normal del plano pi que obtenemos de los coeficientes de la ecuación general

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00:01:36,520 --> 00:01:43,120
y que no es otro que el 1, 1, 1 y sabemos que la recta pasa por el punto A dado.

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00:01:43,120 --> 00:01:47,960
Por lo tanto, para R podemos escribir las siguientes ecuaciones paramétricas.

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00:01:47,960 --> 00:01:53,920
Introducimos primeramente las coordenadas del punto y después multiplicamos por lambda

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00:01:53,920 --> 00:01:59,480
cada una de las coordenadas del vector director.

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00:01:59,480 --> 00:02:02,840
Para llevar a cabo el segundo paso, que es hallar el punto de corte de esta recta con

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00:02:02,840 --> 00:02:08,040
el plano, sustituimos en la ecuación general los valores hallados de x y z, así que en

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00:02:08,040 --> 00:02:13,400
la ecuación de pi, x va a ser cambiado por 3 más lambda, y va a ser cambiado por 4 más

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00:02:13,400 --> 00:02:21,020
lambda y z va a ser cambiado por menos 3 más lambda y eso debe ser igual a 1, de donde

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00:02:21,020 --> 00:02:27,800
llegamos a la conclusión de que 3 lambda es menos 3 y por tanto lambda es menos 1.

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00:02:27,800 --> 00:02:33,160
Reintroduciendo el valor de lambda en las ecuaciones paramétricas de R, obtendremos

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00:02:33,160 --> 00:02:41,160
las siguientes coordenadas, que son las del punto proyección buscado, es decir, 2, 3

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00:02:41,160 --> 00:02:48,840
y menos 4, y esto acaba el ejercicio.