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00:00:00,660 --> 00:00:07,259
Hola, en este vídeo voy a resolver un problema de la PAU que corresponde al modelo del año 2018.

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00:00:07,719 --> 00:00:15,480
Como se ve en la pizarra, nos habla de el peso de una variable aleatoria continua,

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00:00:16,519 --> 00:00:19,039
que es el peso de los estudiantes barrenos de segundo de bachillerato.

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00:00:33,740 --> 00:00:39,340
Y en el enunciado nos dicen que se trata de una variable aleatoria que sigue una distribución normal,

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00:00:40,039 --> 00:00:44,719
cuya medida son 74 kilos y la desviación típica 6 kilos.

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00:00:44,719 --> 00:00:56,640
Es decir, que la variable X, si una distribución normal de parámetros, 74, 6, medida en kilogramos.

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00:00:57,920 --> 00:01:04,200
El apartado nos pide determinar el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso está comprendido entre 68 y 80 kilos.

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00:01:05,200 --> 00:01:15,609
Es decir, que nos está pidiendo, para obtener ese porcentaje calcularemos la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga un peso que esté comprendido entre 68 y 80.

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00:01:15,609 --> 00:01:36,870
Para resolver el problema deberemos acudir a la tabla de la distribución normal 0,1, cuya variable llamaremos zeta. 0,1 o lo que es lo mismo, parámetros media aritmética 0 y desviación típica 1.

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00:01:36,870 --> 00:01:53,489
Y haremos el cambio de variable z igual a x menos mu partido sigma, siendo mu y sigma los datos de la distribución que nos da el enunciado, es decir, este cambio de variable.

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00:01:54,129 --> 00:01:55,510
Esto es lo que se llama tipificar la variable.

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00:01:56,150 --> 00:02:01,090
Por tanto, esta probabilidad, puesto que sabemos que todas las áreas bajo la curva normal,

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00:02:01,750 --> 00:02:05,329
independientemente de los parámetros que tengan, son iguales,

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00:02:05,870 --> 00:02:09,789
podemos, sencillamente, restando la media y dividiendo entre la desviación típica,

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00:02:10,789 --> 00:02:12,830
en el medio de esa desigualdad nos queda zeta,

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00:02:13,830 --> 00:02:18,909
y aquí, a la derecha, sería 80 menos la media, 74, partido 6.

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00:02:18,909 --> 00:02:36,050
Y a la izquierda, exactamente igual, 68 menos 74 partido 6, que es la medida científica. Hacemos las cuentas. Estos cálculos, 68 menos 74 menos 6 entre 6 menos 1. Menor o igual que z, menor o igual que 1.

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00:02:36,050 --> 00:02:44,629
Bien, entonces, en una distribución normal sabemos que el cálculo de probabilidades se limita al cálculo de áreas.

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00:02:44,629 --> 00:02:55,289
Si tenemos la normal 0,1, es decir, centrada en 0, lo que nos está pidiendo es que calculemos el área comprendida entre z igual 1 y z igual menos 1, es decir, este área.

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00:02:55,870 --> 00:03:10,319
¿Qué será igual? Ese área de ahí la podemos obtener restando, esto es 1 y menos 1, restando este área de aquí.

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00:03:11,879 --> 00:03:24,349
menos este área de la izquierda. Si restamos todo este área menos esta obtenemos el área que nos pide el ejercicio.

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00:03:24,830 --> 00:03:36,400
¿Cuál es este área? Pues la probabilidad de que z sea menor o igual que 1, menos este otro área que es la probabilidad de z menor o igual que menos 1.

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00:03:36,740 --> 00:03:45,120
A su vez la probabilidad de z menor o igual que menos 1 no la tenemos en la tabla de distribución normal, puesto que en la tabla de distribución normal

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00:03:45,120 --> 00:03:53,419
solo vienen los valores de la probabilidad de z menor o igual que un valor positivo, y en este caso es negativo.

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00:03:53,560 --> 00:04:07,659
Como sabemos que la distribución normal es simétrica, se va a cumplir que este área va a ser igual a, en lugar de coger menos 1, cogemos 1 y será igual al área que hay a la derecha del 1.

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00:04:07,659 --> 00:04:17,980
Es decir, este área de aquí es igual a esta de aquí. Por lo que es lo mismo, la probabilidad de z menor o igual que menos 1 es igual a la probabilidad de z mayor o igual que 1.

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00:04:18,819 --> 00:04:26,319
A su vez, esta probabilidad, puesto que hemos dicho que en la tabla de la distribución normal solo tenemos las probabilidades para valores de z menores o iguales,

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00:04:27,019 --> 00:04:33,759
lo que vamos a hacer va a ser que este área de aquí va a ser igual a toda el área de bajo la curva normal, es decir, 1, menos la que está a su izquierda.

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00:04:34,160 --> 00:04:41,100
Es decir, menos el opuesto, el suceso contrario. ¿Qué es lo contrario de mayor o igual que 1? Menor que 1.

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00:04:41,100 --> 00:04:47,740
En realidad a la hora de buscar estos valores nos va a dar igual mayor, menor o menor o igual

31
00:04:47,740 --> 00:04:51,779
Puesto que al ser una distribución continua el área de una línea es cero

32
00:04:51,779 --> 00:04:56,439
De manera que en realidad aquí podría haber puesto, aunque no sea correcto

33
00:04:56,439 --> 00:04:59,839
Puesto que lo contrario de mayor o igual que 1 es menor que 1

34
00:04:59,839 --> 00:05:06,110
Esta probabilidad y esta de aquí van a ser iguales

35
00:05:06,110 --> 00:05:07,370
Por lo que acabo de comentar

36
00:05:07,370 --> 00:05:11,670
Así que probabilidad de mayor o igual que 1 menos paréntesis todo esto que hemos puesto por aquí

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00:05:15,970 --> 00:05:18,750
Menos por menos es más, y aquí tenemos dos veces lo mismo.

38
00:05:18,990 --> 00:05:22,649
Dos veces la probabilidad de z menor o igual que 1, menos 1.

39
00:05:23,930 --> 00:05:30,269
Nos vamos ahora a la curva, a la tabla de la normal, que nos proporcionarán en el examen.

40
00:05:30,269 --> 00:05:35,170
Y tenemos que buscar la probabilidad de 1, 1,00, que la tenemos por aquí.

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00:05:35,870 --> 00:05:37,269
0,8413.

42
00:05:41,980 --> 00:05:47,420
Sustituimos 2 por 0,8413, menos 1.

43
00:05:47,420 --> 00:06:13,180
Se hacen los cálculos y esto nos da como resultado 0,6826. Una vez finalizado el cálculo, volvemos a leer la pregunta. Y en la pregunta nos pedían el porcentaje de estudiantes varones. Si la probabilidad de que un estudiante varón su peso esté convertido entre esos dos valores es 0,6826, obviamente el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso estará convertido entre esos dos valores va a ser ese tanto por uno pasado a tanto por ciento.

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00:06:13,180 --> 00:06:19,300
o lo que es lo mismo, la respuesta va a ser el 68,26% de esa población.

45
00:06:20,920 --> 00:06:28,300
Bien, vamos a resolver el apartado 2, en el cual nos pide que estimemos cuántos de 1.500 estudiantes,

46
00:06:28,360 --> 00:06:35,000
suponiendo que sea la población en este caso, cuántos de 1.500 estudiantes que se han presentado a las pruebas de la EBAU

47
00:06:35,000 --> 00:06:41,079
pesan más de 80 kilos. Bien, pues, vamos en primer lugar a calcular la probabilidad

48
00:06:41,079 --> 00:06:44,240
de que un estudiante elegido al azar su peso esté por encima de 80 kilos.

49
00:06:47,100 --> 00:06:49,560
Como hemos hecho en el ejercicio anterior, tipificamos la variable,

50
00:06:50,120 --> 00:06:53,120
hacemos el cambio de variable z igual a x menos mu partido sigma,

51
00:06:53,500 --> 00:07:00,199
con lo que es lo mismo, 80 menos 74 partido por 6, igual que antes.

52
00:07:01,439 --> 00:07:06,899
Llegamos a z mayor que 1, z mayor que 1 es este área, sin incluir el 1,

53
00:07:06,899 --> 00:07:08,279
pero ya hemos dicho que nos da igual

54
00:07:08,279 --> 00:07:10,680
y lo contrario de z mayor que 1 es

55
00:07:10,680 --> 00:07:12,199
1 menos la probabilidad de z

56
00:07:12,199 --> 00:07:14,399
lo contrario de mayor es menor o igual que 1

57
00:07:14,399 --> 00:07:16,939
cuyo resultado

58
00:07:16,939 --> 00:07:18,000
ya lo teníamos de hace un momento

59
00:07:18,000 --> 00:07:20,100
0,8413

60
00:07:20,100 --> 00:07:23,160
y simplemente restando

61
00:07:23,160 --> 00:07:23,939
nos da

62
00:07:23,939 --> 00:07:26,199
0,1587

63
00:07:26,199 --> 00:07:28,839
esta es la probabilidad

64
00:07:28,839 --> 00:07:29,620
de que

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00:07:29,620 --> 00:07:32,540
un estudiante escogido al azar

66
00:07:32,540 --> 00:07:33,639
su peso

67
00:07:33,639 --> 00:07:35,720
sea más de 80 kilos

68
00:07:36,660 --> 00:07:46,019
Una vez finalizado el cálculo, igual que antes, nos volvemos a leer la pregunta y nos dice que estimemos cuántos de los 1.530 varones pesarían eso.

69
00:07:46,019 --> 00:07:58,560
Es decir, que en realidad lo que tenemos que hacer es calcular el 15,87% de 1.500, que no es más que multiplicar 0,1587 por 1.500.

70
00:07:58,560 --> 00:08:16,079
Esto nos da como resultado 238,05. Por tanto, ¿cuál sería la estimación del número de estudiantes cuyo peso sería más de 80 kilos? Pues 238 estudiantes varones.

71
00:08:16,079 --> 00:08:40,039
Y ya vamos con el apartado C. En el apartado C, el ejercicio nos dice que si se sabe que uno de los estudiantes escogidos al azar, sabemos que por lo que sea pesa más de 76 kilos, ¿cuál sería la probabilidad de que ese estudiante además pesara más de 86?

72
00:08:40,039 --> 00:08:50,340
Es decir, nos está pidiendo una probabilidad condicionada. Probabilidad de que, sabiendo que el estudiante pesa más de 76 kilos, además pese más de 86.

73
00:08:54,220 --> 00:09:03,299
Aplicando la fórmula de probabilidad condicionada, la probabilidad condicionada es la intersección de las dos probabilidades partido de la probabilidad del suceso que sabemos seguro que se cumple.

74
00:09:03,299 --> 00:09:18,860
Es decir, sería probabilidad de que el estudiante pese más de 86, intersección que además pese más de 76, partido por la probabilidad de que pese más de 76.

75
00:09:20,000 --> 00:09:35,080
Claro, ¿cuál es la intersección de que pese más de 86 y más de 76 a la vez? Obviamente, si pesa más de 86, también pesa más de 76, como es lógico, con lo cual esta probabilidad en realidad es la misma que directamente pese más de 86.

76
00:09:35,080 --> 00:09:49,379
Y ahora sí, pues vamos a tener que una vez escrito esto, pues ya vamos a hacer los dos cálculos utilizando la distribución normal.

77
00:09:49,840 --> 00:10:01,370
¿Cómo? Pues exactamente igual que antes, tipificamos la variable, cambio de variable x menos mu partido sigma y abajo exactamente igual.

78
00:10:01,370 --> 00:10:26,009
z es mayor que x, 76 menos mu partido sigma. 86 menos 74 da 12, 12 entre 6 es 2, z mayor que 2 y el cálculo de abajo daría 76 menos 74 que son 2, 2 sextos o lo que es lo mismo un tercio.

79
00:10:26,690 --> 00:10:35,590
Puesto que en la tabla de la distribución normal aparecen los datos, los valores, solo con dos decimales, un tercio con dos decimales redondeados sería 0.33.

80
00:10:38,019 --> 00:10:50,179
Bien, y ahora, volviendo otra vez a lo que comentaba antes, que en la tabla de la distribución normal no vienen las probabilidades de z mayor que, sino que vienen las probabilidades de z menor que valores positivos.

81
00:10:50,759 --> 00:10:55,879
Como pasaba aquí, la probabilidad de z mayor que 1 era 1 menos lo contrario, aquí va a pasar igual.

82
00:10:55,879 --> 00:11:29,179
La probabilidad de z mayor que 2 va a ser 1 menos la probabilidad de lo contrario de mayor que es menor o igual y exactamente igual de baja. No, aquí me he equivocado porque es 0,33. Es decir, 1 menos, y ahora tenemos que buscar en la tabla, la probabilidad de z menor que 2,00 y la probabilidad de z menor que 0,33.

83
00:11:29,179 --> 00:11:51,570
2,00, lo tenemos ahí, 0,9772, y 0,33, 0,31, 0,32, 0,33, está aquí. Tenemos esos dos valores, 9,772 y 0,6, 0,6293.

84
00:11:51,570 --> 00:12:17,669
Volvemos a la pizarra. 1 menos 0,9772 y aquí debajo 0,6293. Hacemos los cálculos. Nos da como resultado 0,0615. Lo redondeamos con cuatro decimales.

85
00:12:17,669 --> 00:12:19,889
vamos a leer la pregunta

86
00:12:19,889 --> 00:12:22,389
y en este caso ¿cuál es la probabilidad?

87
00:12:23,110 --> 00:12:24,450
directamente nos pide una probabilidad

88
00:12:24,450 --> 00:12:26,110
por tanto este resultado obtenido sería

89
00:12:26,110 --> 00:12:29,269
la respuesta del apartado 0,0615

90
00:12:29,269 --> 00:12:34,269
vamos a indicarlo por aquí arriba

91
00:12:34,269 --> 00:12:39,649
esa probabilidad sería 0,0615

92
00:12:39,649 --> 00:12:43,049
y con esto damos por finalizado este ejercicio