1
00:00:00,560 --> 00:00:20,039
Buenas, voy a intentar hacer un vídeo introductorio mezclando conceptos que hemos dado en el tema de vectores con ahora los conocimientos necesarios para hallar las distintas ecuaciones de las rectas, rectas paralelas, rectas perpendiculares y demás.

2
00:00:20,039 --> 00:00:34,060
¿Vale? Nosotros hemos visto en el primer tema vectores, hemos visto su módulo, su dirección, su sentido y también hemos visto que un vector se puede poner como combinación lineal de otros dos.

3
00:00:34,320 --> 00:00:42,759
¿Vale? Yo ahora lo que quiero es introduceros un poco el concepto de plano, de referencia, de puntos y también de rectas.

4
00:00:42,759 --> 00:01:01,299
¿Vale? Nosotros consideramos un origen, un origen O que tenemos aquí y un punto, un punto que denominamos P. ¿De acuerdo? Nosotros estamos en una base cualquiera formada por dos vectores. Uno es un vector V y otro vector U.

5
00:01:01,299 --> 00:01:20,079
Para formar base es muy importante que los dos vectores o los tres o los vectores que formen ese sistema, en este caso al ser un plano, un plano es bidimensional, con lo cual con dos vectores ya tenemos definido ese plano, estén en distinta dirección.

6
00:01:20,079 --> 00:01:35,879
Aquí vemos que U tiene una dirección y V tiene otra. No están, digamos, alineados. Entonces, este punto P, respecto a este origen, pues si nosotros lo unimos, formamos lo que es el vector OP.

7
00:01:35,879 --> 00:01:48,719
¿Vale? Ese vector OP pues tiene una serie de coordenadas que en función de la base en la que estaremos pues serán distintas.

8
00:01:48,719 --> 00:01:55,439
Aquí vemos que, precisamente por la propiedad de que un vector se puede poner como combinación lineal de otros dos de ellos,

9
00:01:56,920 --> 00:02:03,140
vemos que este vector OP resulta de, si nosotros formamos un paralelogramo,

10
00:02:03,140 --> 00:02:07,819
que es el que está aquí punteado en verde,

11
00:02:07,819 --> 00:02:19,000
donde tenemos precisamente que P mide 3 veces U, es 3 veces U y 2 veces V.

12
00:02:19,000 --> 00:02:26,840
Vemos aquí que aquí está un U, 2U, 3U, hacemos en la misma dirección de U ese puente A.

13
00:02:27,099 --> 00:02:32,719
Luego, donde termina, hacemos en paralela a V hasta llegar a P.

14
00:02:32,719 --> 00:02:43,460
Vemos aquí que tenemos un paralelogramo y que P justo ocupa dos posiciones de V y tres posiciones de U.

15
00:02:43,539 --> 00:02:51,620
Con lo cual, las coordenadas de P respecto a esta base formada por U y por V es 3, 2.

16
00:02:52,919 --> 00:02:58,719
Esto es para cualquier base que nosotros definamos.

17
00:02:58,719 --> 00:03:13,580
¿Qué ocurre? Que nosotros estamos acostumbrados a nuestro eje de coordenada. Y nuestro eje de coordenada, sin saberlo, nosotros estamos utilizando una base que está formada por el punto 1,0 y por el punto 0,1.

18
00:03:13,580 --> 00:03:18,539
tanto el punto 1, 0 como el 0, 1 respecto al origen son dos vectores

19
00:03:18,539 --> 00:03:23,180
dos vectores que además su módulo, el módulo de 1, 0

20
00:03:23,180 --> 00:03:27,860
es la raíz de 1 al cuadrado más 0 al cuadrado

21
00:03:27,860 --> 00:03:32,319
vemos que es la raíz de 1 que es 1, son unitarios

22
00:03:32,319 --> 00:03:34,939
y también el módulo de 0, 1

23
00:03:34,939 --> 00:03:39,860
el módulo de 0, 1 es 0 al cuadrado más 1 al cuadrado

24
00:03:39,860 --> 00:03:42,639
es igual a la raíz de 1 que es 1

25
00:03:42,639 --> 00:04:00,699
Y además, ¿qué ocurre? Que el ángulo, el ángulo alfa que forman los 1, 0 con 0, 1, ¿vale? Pues precisamente 90 grados y son ortogonales, ¿de acuerdo?

26
00:04:00,699 --> 00:04:18,879
¿Qué ocurre? Que nosotros todos los puntos de un plano los vamos a referenciar respecto a nuestro eje de coordenada y eso es fundamental, ¿vale? Eso es fundamental para poder luego poder hacer toda la geometría analítica, ¿vale?

27
00:04:18,879 --> 00:04:31,720
Si nosotros, por ejemplo, ya en nuestro eje de coordenadas tenemos un punto Q, pues él tiene respecto al 1, 0 y al 0, 1 una serie de coordenadas.

28
00:04:31,720 --> 00:04:48,360
Vemos que está aquí en la posición 6 de las X y vemos que está en la posición 4 de las Y, con lo cual las coordenadas del punto Q respecto a nuestro origen de coordenada, a nuestro eje de coordenada, son 6, 4.

29
00:04:48,360 --> 00:05:10,620
Si nos hubiéramos tenido una base distinta, pues tendrían otras coordenadas. ¿Qué es lo importante del punto Q y de todos los puntos del plano? Es que desde el origen nosotros trazamos un vector a ese punto y este se llama vector posición del punto Q.

30
00:05:10,620 --> 00:05:36,860
¿De acuerdo? Y ese vector posición es muy importante porque podemos hallar a través de sus coordenadas donde está situado el punto y además nos va a permitir luego pues hallar puntos medios, nos va a permitir incluso dividir un segmento en varias partes, nos va a permitir si tenemos un triángulo hallar su baricentro, su altura, su mediana, etc.

31
00:05:36,860 --> 00:06:04,079
¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que nos han enseñado siempre? Que cuando nosotros tenemos dos puntos, dos puntos para la izquierda, por ejemplo, este es A y este B, tan solo existe una única recta, una única recta que pase por esos dos puntos. ¿De acuerdo? Tan solo existe una única recta definida dos puntos, tan solo hay una única recta que pase por esos dos puntos.

32
00:06:04,079 --> 00:06:34,060
¿Qué ocurre? Que si nosotros tenemos aquí nuestro eje de coordenada, ¿vale? Vamos a tener por un lado el vector posición del punto A, vamos a tener el vector posición del punto B y ahora aparece un concepto nuevo y es súper importante que es justo, que es justo, el vector dirección, vector dirección, vector dirección de precisamente

33
00:06:34,079 --> 00:06:48,579
A y B se coinciden con el vector director de la recta. Vemos que entre A y B tan solo hay una única recta que pase por esos dos puntos.

34
00:06:48,579 --> 00:07:06,060
Entonces, precisamente el vector que une A con B es el vector director de esa recta, ¿de acuerdo? Y es lo que yo os comento que eso es súper, súper importante, ¿vale?

35
00:07:06,060 --> 00:07:22,360
¿Por qué? Porque ese vector director me va a permitir calcular todas las ecuaciones de la resta paramétrica, en vectorial e implícita.

36
00:07:22,360 --> 00:07:40,199
Luego también yo puedo saber, dada una recta, hallar otra paralela. Luego también puedo hallar otra que es perpendicular. Con lo cual, el vector director para una recta es fundamental.

37
00:07:40,199 --> 00:08:08,160
¿De acuerdo? Ese vector director, daros cuenta que yo tengo el OA, que es el vector que une el vector de posición respecto a mi origen O del punto A, y que yo tengo que OA más AB, precisamente por la suma de vectores que hemos visto en el tema anterior, es precisamente OB.

38
00:08:08,160 --> 00:08:10,680
acordaros que para sumar vectores

39
00:08:10,680 --> 00:08:12,860
yo tengo, este lo voy a poner en otro color

40
00:08:12,860 --> 00:08:14,240
para que se vea

41
00:08:14,240 --> 00:08:16,139
mejor, por ejemplo en morado

42
00:08:16,139 --> 00:08:18,680
yo tengo que OA por un lado

43
00:08:18,680 --> 00:08:20,240
si yo le sumo AB

44
00:08:20,240 --> 00:08:22,699
pues es igual a

45
00:08:22,699 --> 00:08:24,759
OB, con lo cual a mi que es lo que

46
00:08:24,759 --> 00:08:26,579
me interesa, a mi lo que me interesa

47
00:08:26,579 --> 00:08:28,579
es el vector director AB

48
00:08:28,579 --> 00:08:30,399
que es precisamente

49
00:08:30,399 --> 00:08:31,959
si yo despejo de aquí

50
00:08:31,959 --> 00:08:34,059
OB menos

51
00:08:34,059 --> 00:08:34,779
OA

52
00:08:34,779 --> 00:08:37,700
como OB

53
00:08:37,700 --> 00:08:52,600
B parte del origen y OA parte del origen, al final el vector director es la diferencia de las coordenadas X y la diferencia de las coordenadas Y de tanto de B como de A.

54
00:08:52,600 --> 00:09:10,379
Es decir, si B tiene las coordenadas x sub 2 e y sub 2 y A tiene las coordenadas x sub 1 y y sub 1, el vector director es x sub 2 menos x sub 1 e y sub 2 menos y sub 1.

55
00:09:10,379 --> 00:09:22,379
Y eso es fundamental para saber las ecuaciones de una recta.

56
00:09:22,600 --> 00:09:35,940
¿Vale? Hemos comentado que para definir una recta, pues con dos puntos sería necesario. Es decir, yo tengo el punto A y yo tengo el punto B, tan solo existe una única recta que lo define.

57
00:09:35,940 --> 00:09:55,019
¿Vale? Pero, ¿qué ocurre? Que yo, teniendo los dos puntos, resulta que si yo hago el vector AB, tengo el vector director de esa recta.

58
00:09:55,019 --> 00:10:07,679
de esa recta. Pues se definen, bueno, hemos comentado que si tenemos dos puntos hay una

59
00:10:07,679 --> 00:10:14,500
única recta que pasa por ellos. Tenemos los puntos A y B y tan solo hay una recta que

60
00:10:14,500 --> 00:10:23,600
pasa por esos dos puntos. Por lo tanto, nosotros si sabemos un punto de la recta, un punto

61
00:10:23,600 --> 00:10:32,200
A o un punto P y sabemos precisamente un vector director de la recta, un vector

62
00:10:32,200 --> 00:10:36,480
director de la recta y un vector posición, es decir, un punto y un vector

63
00:10:36,480 --> 00:10:43,279
direccional de esa recta, yo puedo calcular la ecuación de la recta en las

64
00:10:43,279 --> 00:10:48,080
distintas formas que tenemos, ¿vale? Aquí os he resumido pues la notación

65
00:10:48,080 --> 00:10:52,259
vectorial, ¿no? La primera, aquí todas las ecuaciones de la recta que vamos a ver.

66
00:10:52,259 --> 00:11:11,840
¿La notación vectorial? Pues yo, por ejemplo, mi recta X está definida por el vector posición OP, esto me lo da el punto, y luego un parámetro T y el vector director de esa recta, ¿vale?

67
00:11:11,840 --> 00:11:14,519
esto si lo queréis os lo aprendéis

68
00:11:14,519 --> 00:11:16,259
y si no podéis ver

69
00:11:16,259 --> 00:11:18,620
que es lo que hice en clase y también en el libro

70
00:11:18,620 --> 00:11:20,580
de donde sale esta fórmula

71
00:11:20,580 --> 00:11:22,720
¿vale? es que al final

72
00:11:22,720 --> 00:11:23,500
pues se forma

73
00:11:23,500 --> 00:11:26,120
desde un origen a la recta

74
00:11:26,120 --> 00:11:28,740
desde este origen O a la recta

75
00:11:28,740 --> 00:11:30,120
pues yo tengo aquí

76
00:11:30,120 --> 00:11:32,639
al final este vector

77
00:11:32,639 --> 00:11:35,059
director yo lo tengo aquí que he multiplicado

78
00:11:35,059 --> 00:11:36,940
un número de T veces

79
00:11:36,940 --> 00:11:38,899
pues puedo hallar

80
00:11:38,899 --> 00:11:40,600
cualquier punto que

81
00:11:40,600 --> 00:11:42,659
pertenezca a mi recta, ¿vale?

82
00:11:44,679 --> 00:11:49,399
Precisamente de esta anotación vectorial, pues yo puedo sacar unas paramétricas.

83
00:11:49,460 --> 00:11:53,340
Las paramétricas es porque depende de este famoso parámetro t.

84
00:11:53,480 --> 00:11:58,919
Este parámetro se puede llamar t, podemos llamarlo lambda, podemos llamar cualquier

85
00:11:58,919 --> 00:12:01,179
letra que nosotros queramos.

86
00:12:01,179 --> 00:12:03,019
Normalmente lo ponemos con una t, ¿vale?

87
00:12:03,379 --> 00:12:10,240
Entonces, si os fijáis, la x es precisamente la coordenada x, la p sub 1, la primera coordenada

88
00:12:10,240 --> 00:12:18,220
del punto más t veces la primera coordenada del vector director. Y la i es la coordenada

89
00:12:18,220 --> 00:12:26,679
segunda o coordenada i del punto más t veces la coordenada i o coordenada segunda del vector

90
00:12:26,679 --> 00:12:34,320
director. Si os fijáis, sabiendo un punto o conociendo dos puntos de la recta, que a

91
00:12:34,320 --> 00:12:40,019
través de los dos puntos de la recta yo puedo hacer el vector director, ¿vale? Acordaros

92
00:12:40,019 --> 00:12:56,259
que era la coordenada de B, si esto es X sub 2, Y sub 2 y esto es X sub 1, Y sub 1, el vector director era X sub 2 menos X sub 1 y luego Y sub 2 menos Y sub 1.

93
00:12:56,620 --> 00:13:06,960
¿De acuerdo? Vale, pues una vez hallado ese vector director con los dos puntos o bien me dan el vector director, pues yo puedo sacar las paramétricas de una forma fácil.

94
00:13:06,960 --> 00:13:29,720
Vamos a poner ahora un ejemplo para sabiendo dos puntos de una recta vamos a hallar todas las ecuaciones que tenemos aquí, ¿vale? La función continua, la función continua se extrae es si yo de aquí, de mi paramétrica, despejo la t, ¿vale? Pues veo que el p sub 1 me lo llevo al primer miembro y luego el v sub 1 pasa dividiendo.

95
00:13:29,720 --> 00:13:47,940
Veis que esta parte de aquí es de despejar t en la primera ecuación paramétrica de las x y el y menos p2 partido de v2 viene de despejar esta t precisamente en esta ecuación de aquí.

96
00:13:47,940 --> 00:13:53,919
Aquí la P2 pasa rectando y menos P2 y la V2 pasa dividiendo, ¿vale?

97
00:13:54,919 --> 00:14:12,799
Entonces, si sabemos dos puntos de la recta, pues ya con uno de ellos y con el vector director, que es la diferencia de los dos puntos, ya puedo hallar la vectoria, la paramétrica y la ecuación continua de una forma muy sencilla, ¿vale?

98
00:14:12,799 --> 00:14:26,940
Bien, la explícita es la que nosotros siempre hemos estado familiarizado hasta ahora con la ecuación de una recta. La M es la pendiente, la N es la ordenada en el origen y demás.

99
00:14:26,940 --> 00:14:50,399
La pendiente, ¿qué ocurre? Que la pendiente significa que si nosotros avanzamos una unidad, pues subimos m unidades hacia arriba, ¿vale? La m es realmente lo que subimos, ¿vale? Es decir, si yo avanzo un metro, subo m.

100
00:14:50,399 --> 00:15:13,080
Es la variación de Y respecto a la variación de X, ¿vale? Esa es la pendiente de una recta, ¿vale? Pues, ¿qué ocurre? Que si a mí me dan la pendiente, yo sé que el vector director de esa recta es 1M, ¿de acuerdo?

101
00:15:13,080 --> 00:15:23,919
Ese es el vector director de una recta, es decir, a mí me dicen que tiene pendiente 9, el vector director de esa recta es 1m, ¿vale?

102
00:15:23,919 --> 00:15:29,659
si yo sé la pendiente y un punto de la recta

103
00:15:29,659 --> 00:15:31,840
pues yo con esta fórmula de aquí

104
00:15:31,840 --> 00:15:34,639
puedo hallar la ecuación de la recta

105
00:15:34,639 --> 00:15:38,200
es y menos y sub cero y sub cero es la coordenada

106
00:15:38,200 --> 00:15:41,620
la coordenada y del punto de la recta

107
00:15:41,620 --> 00:15:44,120
igual a m que es la pendiente

108
00:15:44,120 --> 00:15:47,639
que multiplica a x menos x sub cero

109
00:15:47,639 --> 00:15:50,080
que es la componente x de ese punto

110
00:15:50,080 --> 00:15:50,740
¿vale?

111
00:15:51,019 --> 00:15:53,159
y luego la última que es la que estamos

112
00:15:53,159 --> 00:16:00,139
digamos un poco menos familiarizado a la hora de ver rectas, pero sí que estamos bastante más familiarizados

113
00:16:00,139 --> 00:16:05,960
cuando hemos visto sistemas de ecuaciones lineales, es esta forma de aquí, ¿vale?

114
00:16:05,960 --> 00:16:10,539
Esta se llama la ecuación general de una recta o la ecuación implícita, ¿vale?

115
00:16:11,980 --> 00:16:20,019
Siempre tiene la misma forma, es un número por x más otro número por y más el término independiente

116
00:16:20,019 --> 00:16:42,659
Y siempre lo que se hace es igualar a 0. Es decir, nosotros normalmente hemos visto ecuaciones del tipo 5x más 3y igual a 2. Nosotros lo único que tenemos que hacer es para poner la ecuación general o la ecuación implícita de la recta, es poner 5x más 3y menos 2 igual a 0.

117
00:16:42,659 --> 00:17:04,299
Es decir, nos llevamos el término independiente al primer miembro y lo igualamos a 0. Entonces, aquí es muy importante una cosa. Precisamente este a y este b, es decir, el a es el que multiplica a la x y la b es la que multiplica a la y, es un vector pero que es perpendicular a mi recta.

118
00:17:04,299 --> 00:17:26,720
Y esto es muy importante, es decir, yo tengo aquí mi punto A, mi punto B y esta es la dirección de mi recta, con lo cual este de aquí a B es mi vector directo, pues en la ecuación implícita o general lo que me da es un vector que se llama un vector normal a la recta.

119
00:17:26,720 --> 00:17:33,819
Un vector normal significa que es perpendicular, que forma 90 grados con mi recta, ¿vale?

120
00:17:34,299 --> 00:17:51,339
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que para pasar precisamente de paramétrica o continua o vectorial a implícita o de implícita a cada una de ellas, pues si yo sé que AB es mi vector perpendicular a la recta,

121
00:17:51,859 --> 00:17:57,960
Recordemos de lo que hemos dado hoy en clase, que un vector perpendicular a uno dado,

122
00:17:57,960 --> 00:18:11,900
es decir, si yo tengo el vector 5, 3, pues un vector perpendicular, podemos tener 2, es 3 menos 5 o bien menos 3, 5.

123
00:18:12,339 --> 00:18:21,180
Recordemos que le damos la vuelta a la componente x, la componente y, y a uno de ellos, o bien la x o bien la y, le cambiamos el signo.

124
00:18:21,339 --> 00:18:33,299
Claro, si yo hago el producto escalar de 5, 3 con 3 menos 5, pues me da 0. Y si yo hago el producto escalar de 5, 3 con menos 3, 5, también me da 0.

125
00:18:33,299 --> 00:19:02,380
Vamos a hacer un ejemplo donde me dice de expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos, que pasa por el punto, por ejemplo, A, 4, 2, y el punto B, por ejemplo, que es, no sé,

126
00:19:03,299 --> 00:19:19,500
Menos 1, 2. Bueno, en vez de 2, lo estoy inventando, vamos a poner el 0. ¿De acuerdo? Entonces, vamos a repasar las distintas ecuaciones que hay. Por ejemplo, primero la vectorial.

127
00:19:19,500 --> 00:19:32,359
La vectorial es del tipo que x es igual a p más una t por v, ¿vale?

128
00:19:32,500 --> 00:19:45,099
Donde p es el vector posición, vector posición, y la v es el vector directos, ¿vale?

129
00:19:45,539 --> 00:19:48,180
Voy a cambiar de bolígrafo un momentillo.

130
00:19:48,680 --> 00:19:53,079
Entonces, el vector posición, pues puedo coger cualquiera de los dos, ¿vale?

131
00:19:53,380 --> 00:19:59,380
Puedo coger el punto A, que es el 4, 2, o el punto B, que es el menos 1, 0.

132
00:19:59,539 --> 00:20:02,079
Ambos puntos sé que pertenecen a la recta.

133
00:20:02,480 --> 00:20:07,619
Y ahora, el vector directo, pues puedo coger bien el AB, que el AB, ¿cómo lo hallo?

134
00:20:08,059 --> 00:20:14,940
Pues AB es, por un lado, menos 1, menos 4, y por otro, 0, menos 2, ¿vale?

135
00:20:14,940 --> 00:20:37,119
que me da que AB es igual a menos 5 menos 2, o bien puedo hallar BA, que ocurre con BA, que es precisamente 5, 2, ¿vale? Esto lo hallaría con 4 menos menos 1 es 5 y 2 menos 0 es 2.

136
00:20:37,119 --> 00:20:46,380
Me da exactamente igual, porque uno va en un sentido y otro va en otro. ¿De acuerdo? Entonces, ¿cuál sería mi ecuación vectorial?

137
00:20:46,380 --> 00:21:03,839
A ver, aquí. Pues x, la ecuación de mi recta, es el vector 4, 2 más t menos 5 menos 2.

138
00:21:03,839 --> 00:21:24,759
Pero es que también podría valer 4, 2 más t, 5, 2, pero es que también puede ser menos 1, 0, más, menos, más t, perdona, voy a hacerlo bien con la fulla, ¿vale?

139
00:21:24,759 --> 00:21:46,579
Más t que multiplica a menos 5 menos 2 o también puede ser menos 1, 0 más t que multiplica a 5, 2. Estas cuatro posibilidades nos definen la misma recta, ¿vale?

140
00:21:46,579 --> 00:22:02,200
¿Qué ocurre? Que cualquier punto de aquí, en función de la ecuación que yo tenga, pues por ejemplo, ¿cómo obtengo aquí el punto A? Pues haciendo t igual a 0, ¿verdad?

141
00:22:02,200 --> 00:22:25,819
Si yo hago aquí t igual a 0, tengo aquí el punto A. Pero sin embargo, aquí si yo pongo t igual a 0, lo que tengo es el punto B. Si yo le doy distintos valores a la t, pues obtengo los distintos puntos que pertenecen a la recta, ¿vale?

142
00:22:25,819 --> 00:22:42,920
En este caso de aquí, si yo le doy t igual a 1, para t igual a 1, ¿qué voy a obtener? Pues precisamente el punto b. 4 menos 5 es menos 1 y 2 menos 2 es 0.

143
00:22:42,920 --> 00:22:56,220
Y aquí, precisamente, si yo hago t igual a menos 1, pues obtendré el punto A, ¿vale? Y con t igual a 1 tengo el punto B.

144
00:22:56,220 --> 00:23:16,900
Lo que es importante aquí es, nosotros en el examen en general, lo que tenemos que dar es una de estas soluciones. Yo elijo el punto que yo quiera y elijo el vector director que yo haya hallado, bien de AB o de BA. ¿De acuerdo? Es fácil, ¿no?

145
00:23:16,900 --> 00:23:32,519
Pues vamos a hacer ahora la implícita. La implícita, por ejemplo, voy a obtenerlo de aquí. Voy a cambiar el color y lo único que hago es voy coordenada por coordenada.

146
00:23:32,519 --> 00:24:03,029
El vector x es xy, ¿vale? Con lo cual, si yo tengo que xy es igual a 4, 2, por ejemplo, más t que multiplica a menos 5 menos 2, pues yo lo que tengo aquí es que x es igual a 4, perdón, 4 menos 5t, ¿vale?

147
00:24:03,029 --> 00:24:23,069
Aquí tengo el 4 por un lado y que por menos 5, menos 5t. Y que y es igual a 2 menos 2t. ¿Vale? Una forma sencilla y rápida de hallar las ecuaciones paramétricas.

148
00:24:23,069 --> 00:24:30,569
Las ecuaciones paramétricas, de una forma sencilla, es yo tengo la x, yo tengo la y.

149
00:24:30,569 --> 00:24:37,230
Aquí pongo la coordenada de un punto, por ejemplo, voy a poner aquí el menos 1 y aquí el 0.

150
00:24:37,990 --> 00:24:42,970
Y luego le pongo el parámetro que yo quiero y el vector director que yo elija.

151
00:24:43,089 --> 00:24:48,009
Por ejemplo, voy a elegir el 5, 2. Pues nada, t por 5 y t por 2.

152
00:24:48,009 --> 00:25:05,769
Esto realmente es menos 1 más 5t y esto de aquí es 2t. Pues esta de aquí, estas ecuaciones de aquí también son válidas, ¿vale? Son ecuaciones paramétricas, tanto esta de aquí como esta.

153
00:25:05,769 --> 00:25:33,650
De hecho, de cada una de las vectoriales puedo sacar una ecuación paramétrica. Por eso no os extrañéis cuando hagáis los ejercicios, pues que os puedan dar valores diferentes, porque obteniendo un punto y obteniendo un vector director correcto de una recta nos puede dar distintas ecuaciones paramétricas.

154
00:25:33,650 --> 00:25:42,670
¿Vale? Vamos a irnos a la ecuación continua, ¿vale? La ecuación continua.

155
00:25:43,069 --> 00:25:54,410
La ecuación continua, como me lo he inventado, A era 4, 2, ¿vale? A era 4, 2 y B creo que era menos 1, 0, ¿no?

156
00:25:54,410 --> 00:26:24,660
Sí, menos 1 es 0. ¿De acuerdo? Entonces yo aquí, por ejemplo, tengo a b que es menos 5, 2. Pues la ecuación continua, ¿vale? La ecuación continua es tan sencilla, la ecuación continua es tan sencilla como poner x y elijo, por ejemplo, el punto a.

157
00:26:24,660 --> 00:26:42,339
Pues nada, menos 4 partido de el vector director, el menos 5. Y esto es igual que x menos 2, este menos 2 de aquí, ¿vale? Partido de 2, ¿vale?

158
00:26:42,339 --> 00:27:10,299
También es válida si os fijáis x menos 4 partido de 5 igual a x menos 2 partido de menos 2, ¿vale? Si yo hago va, perdona otra vez, vayatela, si yo hago va, el vector director es, me he equivocado, sí, esto era menos 1, no, esto es menos 2, ¿vale?

159
00:27:10,299 --> 00:27:13,640
Con lo cual esto es menos 2, perdonad que aquí me he equivocado, ¿vale?

160
00:27:13,960 --> 00:27:19,640
5 menos 2 y BA es 5, 2, ¿vale?

161
00:27:19,700 --> 00:27:27,460
Con lo cual esto es un más, ¿vale?

162
00:27:27,519 --> 00:27:31,299
Esto es un más, voy a borrar esto, lo voy a hacer bien.

163
00:27:32,039 --> 00:27:40,309
AB es 5, perdonad, 5, no, menos 5, menos 2.

164
00:27:40,829 --> 00:27:42,809
Y BA es 5, 2.

165
00:27:42,809 --> 00:28:04,609
Con lo cual, tanto esta ecuación de aquí como esta de aquí son correctas. En paz, inclusive, yo puedo hacer, en vez de coger el a, cojo el b, tengo 4 más 1 partido de menos 5, esto es igual a, perdón, aquí es una i, ¿vale?

166
00:28:04,609 --> 00:28:34,500
¿Vale? Como estoy hoy. Esto es una y, ¿vale? Y, esto es una y, es y menos el 0 partido de menos 2, pero es que también puedo coger x más 1 partido de 5 igual a y menos 0 partido de 2, ¿de acuerdo?

167
00:28:34,500 --> 00:28:45,660
Aquí estoy cogiendo el punto B, aquí también estoy cogiendo el punto B, que es el menos uno cero, y aquí estoy cogiendo el punto A.

168
00:28:45,660 --> 00:29:04,359
Aquí lo que siempre tenemos que tener cuidado porque es X menos X sub cero partido del vector director V sub X, por ejemplo, igual a Y menos Y sub cero partido el vector director, la componente Y.

169
00:29:04,500 --> 00:29:33,339
¿Vale? Estas son las ecuaciones, la ecuación, lo diré, la ecuación continua. ¿De acuerdo? La ecuación continua. La ecuación continua, que además, pues, si yo tengo las paramétricas, acordaros que yo tengo las paramétricas, x es igual a 4 menos, sí, perdón, o bueno, menos, más 5t, me da igual.

170
00:29:33,339 --> 00:29:49,059
Y la Y es igual a 2 más 2T. Pues nada, si yo de aquí despejo la T, queda que es igual a X menos 4 partido de 5, ¿no?

171
00:29:49,059 --> 00:30:04,039
Y de aquí ¿cuánto vale t? Pues y menos 2 partido de t. Y aquí volvemos a una cosa, si a es igual a b y b es igual a c, eso implica que a es igual a c, ¿verdad?

172
00:30:04,039 --> 00:30:15,779
Entonces si t vale todo esto y t vale todo esto, entonces x menos 4 partido de 5 es igual a y menos 2 partido de 2, ¿de acuerdo?

173
00:30:15,779 --> 00:30:32,650
Entonces, vámonos a uno nuevo, teníamos que A era, vamos a ver, 4, 2, y que B vale menos 1, 0, ¿de acuerdo?

174
00:30:33,069 --> 00:30:45,359
Ahora vamos a ir a la ecuación de toda la vida, ¿vale? A la ecuación de toda la vida, que es la ecuación explícita, ¿vale?

175
00:30:45,359 --> 00:30:52,650
explícita, la explícita

176
00:30:52,650 --> 00:30:56,250
¿qué ocurre? que yo aquí

177
00:30:56,250 --> 00:30:59,470
en principio no tengo la pendiente

178
00:30:59,470 --> 00:31:02,410
no tengo la pendiente, no tengo la pendiente

179
00:31:02,410 --> 00:31:05,509
y tampoco tengo la ordenada en el origen

180
00:31:05,509 --> 00:31:08,890
¿vale? la forma explícita

181
00:31:08,890 --> 00:31:12,450
es esta de aquí, de y igual a mx más n

182
00:31:12,450 --> 00:31:14,329
que es la que nosotros estamos familiarizados

183
00:31:14,329 --> 00:31:18,509
de siempre y aquí se puede hacer de dos formas

184
00:31:18,509 --> 00:31:22,329
si yo sé que pasa por el punto 4,2

185
00:31:22,329 --> 00:31:26,549
el punto 4,2 pertenece a esta recta de aquí

186
00:31:26,549 --> 00:31:30,569
con lo cual podemos hacer un sistema, la y vale 2

187
00:31:30,569 --> 00:31:34,769
para x igual a 4 la y vale 2, pues entonces 4m

188
00:31:34,769 --> 00:31:39,089
más n, esto es el 4,2

189
00:31:39,089 --> 00:31:42,450
si nosotros sabemos que pasa por el menos 1,0

190
00:31:42,450 --> 00:31:49,529
es que la y vale 0 y la x vale menos 1, con lo cual menos m más n.

191
00:31:49,930 --> 00:31:56,369
Si nosotros esto de aquí lo restamos, pues tenemos 2 menos 0 es igual a 2,

192
00:31:56,930 --> 00:32:04,710
4 menos menos 1 es igual a 5m y n menos n es 0, de donde m es igual a 2.

193
00:32:04,710 --> 00:32:20,009
De aquí, de esta ecuación, pues vemos que m es igual a n, por lo tanto mi forma explícita es 2 quintos de x más 2 quintos.

194
00:32:20,490 --> 00:32:32,809
Vamos a comprobar que realmente tanto el 4, 2 como el menos 1, 0 pertenece a la función y es igual a 2 quintos de x más 2 quintos.

195
00:32:32,809 --> 00:32:47,950
Pues entonces el 4, 2 resulta que y es igual a 2 quintos por 4 más 2 quintos, tenemos 8 quintos más 2 quintos es 10 quintos que vale 2, lo verifica.

196
00:32:47,950 --> 00:33:00,849
Y vamos a ver el menos 1, 0 y es igual a 2 quintos por menos 1 más 2 quintos, pues menos 2 quintos más 2 quintos es 0, lo verifica.

197
00:33:02,809 --> 00:33:07,150
Si no queremos hacer el sistema, que en este caso hemos visto que el sistema es fácil,

198
00:33:07,150 --> 00:33:19,920
pues al tener dos puntos volvemos a tener también dos vectores directores, o un vector director por un k, ¿no?

199
00:33:19,920 --> 00:33:36,519
Aquí hemos dicho que era menos 5 menos 2 y b a, perdón, a ver, b a menos 5 menos 2 o b a, que es el mismo vector directo pero multiplicado por menos 1, es 5, 2.

200
00:33:36,519 --> 00:34:06,700
Y entonces, ¿qué quiere decir? Y esto es muy importante para saber lo que es la pendiente. Si nuestra recta tiene un vector director, un vector director, que es 5, 2, eso significa que por cada 5 veces que aumenta la x, la x, todo esto es 5, pues aumenta 2 la y, ¿verdad?

201
00:34:06,700 --> 00:34:17,699
Por cada 5 que aumenta la X, es decir, por cada 5 pasos que demos en la X, hay 2 de la Y, ¿vale?

202
00:34:18,079 --> 00:34:29,260
Entonces aquí, si os fijáis, podemos aplicar tales para ver precisamente cuánto incrementa cuando X vale 1.

203
00:34:29,260 --> 00:34:48,780
Bueno, aquí hacemos una regla de 3, o aplicamos tales, lo que ustedes queráis, es que si a 5, por cada 5 que aumenta x, aumenta 2y, ¿cuánto aumenta? Para 1, ¿vale? Vamos a llamarle m, que es la pendiente.

204
00:34:48,780 --> 00:34:59,699
Entonces vemos que M es igual a 2 por 1 partido de 5 es 2 quintos, que es lo que nosotros ya habíamos calculado aquí la pendiente.

205
00:35:01,179 --> 00:35:09,679
Me refiero que son artimañas a saber si tenemos dos puntos, ya tenemos el vector directo o si nos dan directamente el vector directo,

206
00:35:09,679 --> 00:35:21,539
pues sabiendo qué es el significado de una pendiente, podemos hallar la pendiente de la recta implícita.

207
00:35:21,539 --> 00:35:40,219
De igual modo, si nosotros, por ejemplo, tuviéramos, lo voy a hacer en colorado, si yo tuviera la recta, por ejemplo, 2x más 5, pues evidentemente yo dos puntos lo puedo obtener dándole distintos valores a él,

208
00:35:40,219 --> 00:35:44,880
y puedo obtener dos puntos de la recta y con ese también el vector director,

209
00:35:45,400 --> 00:35:51,980
o saber que el vector director de la recta siempre va a ser 1, m.

210
00:35:52,579 --> 00:35:57,019
En este caso, el vector director va a ser 1, 2.

211
00:35:58,039 --> 00:36:04,679
Con lo cual, yo un punto de la recta, por ejemplo, sé que es el 0, 5.

212
00:36:04,940 --> 00:36:07,679
Si yo a x le doy 0, pues y vale 5.

213
00:36:07,679 --> 00:36:26,480
Y ya tengo aquí un punto, ya tengo aquí el vector directo, pues yo ya puedo hallar la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica, la ecuación continua, ¿vale? A través de la explícita. Haremos también ejercicio para verlo, ¿vale?

214
00:36:26,480 --> 00:36:55,880
Vamos a ir a la última forma, lo voy a poner en azul, por ejemplo, que es la implícita. La implícita, ya os comento que lo hemos dicho en los sistemas de ecuaciones lineales cuando teníamos, por ejemplo, sistemas que nos decían 2x más 3y igual a menos 4

215
00:36:55,880 --> 00:37:03,300
y, no sé, por ejemplo, menos x más 2y igual a 10, ¿vale?

216
00:37:03,780 --> 00:37:08,980
Aquí, lo que siempre hemos visto como sistemas de ecuaciones lineales,

217
00:37:09,920 --> 00:37:12,840
pues son precisamente, esto de aquí se puede expresar,

218
00:37:13,380 --> 00:37:17,179
el menos 4 se va al primer miembro y lo igualamos a 0,

219
00:37:17,280 --> 00:37:21,500
el 10 pasa como menos 10 al primer miembro y lo igualamos a 0,

220
00:37:21,500 --> 00:37:25,760
y lo que tenemos ya es la forma implícita de una recta, ¿vale?

221
00:37:25,880 --> 00:37:42,739
Entonces no quiero que confundáis A y B con los puntos A y B, ¿vale? Pero sí que es muy importante que sepáis que el valor de A y el valor de B forman lo que es un vector normal a la recta.

222
00:37:42,739 --> 00:37:49,000
¿Y qué es un vector normal? Pues un vector que es perpendicular a la recta, ¿vale?

223
00:37:49,619 --> 00:37:58,960
Entonces, nosotros teníamos los puntos 4, 2 y el punto B, que era menos 1, 0.

224
00:37:59,440 --> 00:38:09,030
¿Cómo obtenemos la forma implícita, la ecuación implícita o general de la recta?

225
00:38:09,030 --> 00:38:28,130
Pues volvemos, ahí vaya rollo, volvemos aquí a que AB era menos 5 menos 2, o podemos utilizar sin ningún problema BA, que es igual a 5, 2.

226
00:38:28,550 --> 00:38:34,269
Los dos son vectores directores de la recta, ¿vale? Uno en un sentido y otro en otro.

227
00:38:34,269 --> 00:38:55,409
¿De acuerdo? Entonces, si recordamos, habíamos hallado que la forma explícita era igual a mx más n, en nuestro caso, y es igual a dos quintos de x más dos quintos.

228
00:38:55,409 --> 00:39:19,010
¿Vale? Lo digo porque pasar de la forma explícita, ¿vale? Explícita e implícita es muy fácil. ¿Vale? Nosotros aquí, si vemos, yo tengo que y es igual a, por ejemplo, 2 quintos, aquí saco factor común, 2 quintos que multiplica a x más 1.

229
00:39:19,010 --> 00:39:25,289
¿Esto a qué es igual? Pues que 5y es igual a 2 por x más 1

230
00:39:25,289 --> 00:39:30,409
Si yo la distribuyo, tengo que 5y es igual a 2x más 2

231
00:39:30,409 --> 00:39:36,929
Y como la forma implícita lo tengo que dejar todo igualado a 0

232
00:39:36,929 --> 00:39:42,250
Pues yo tengo 2x menos 5y más 2 es igual a 0

233
00:39:42,250 --> 00:40:07,809
Esta es la ecuación, la ecuación implícita de la recta, ¿vale? Implícita. ¿Qué hemos dicho de A y de B? Pues en este caso, AB, ¿vale? 2 menos 5, y este no es un vector director, sino que es un vector normal, un vector normal de la recta.

234
00:40:07,809 --> 00:40:30,849
¿Cómo podemos un vector normal que quiere decir? Es que si yo tengo mi punto A y mi punto B y yo los uno, este es mi vector director, pues resulta que el vector normal es uno que forma 90 grados con mi vector director, ¿vale?

235
00:40:30,849 --> 00:40:42,750
Este es el normal, que es perpendicular. Y el otro es el vector director, ¿vale? O el vector dirección.

236
00:40:43,289 --> 00:40:53,570
¿Qué ocurre? Que cuando yo tengo un vector, un vector, recordemos que si yo tengo un vector a b, pues los perpendiculares, los normales, son b menos a,

237
00:40:53,570 --> 00:41:01,050
es decir, invierto la componente X con la componente Y y le cambio el signo a uno de ellos, o bien menos BA.

238
00:41:01,550 --> 00:41:11,909
Aquí podemos ver que precisamente nuestro vector normal es 2 menos 5, con lo cual, ¿qué ocurre?

239
00:41:12,210 --> 00:41:21,530
Que los vectores directores, los vectores directores que son normal de la recta, van a ser los que son perpendiculares a 2 menos 5.

240
00:41:21,530 --> 00:41:41,690
¿Y cuál sería? Pues yo donde invierto la x con la y, con lo cual sería donde haya 5, 2 y a uno de ellos le cambio el signo, con lo cual tengo, por ejemplo, el 5, 2, que es lo que yo ya sabía.

241
00:41:41,690 --> 00:41:55,630
O bien, pongo el menos 5, 2 y a uno de ellos le cambio el signo. En este caso se lo cambio al 2, que ya tengo el menos 5, menos 2, que yo ya lo conocía.

242
00:41:55,630 --> 00:42:16,190
Con lo cual, si yo ya tengo la ecuación implícita, yo puedo obtener el vector normal a la recta del tirón, con el vector normal yo hallo un vector director de la recta y luego dándole valores, por ejemplo, x igual a 0.

243
00:42:16,190 --> 00:42:35,309
Si x es igual a 0, ¿vale? Pues la y vale 2 quintos, ¿verdad? Con x igual a 0, la y vale 2 quintos. Entonces, yo ya tendría un nuevo punto de la recta, que es el 0, 2 quintos, y yo ya tendría también un vector director.

244
00:42:35,309 --> 00:42:46,210
Con lo cual yo ya podría hallar la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica y continua, etc.

245
00:42:46,210 --> 00:43:05,929
¿Vale? Vamos a ver cómo nosotros podemos, si tenemos dos puntos bien a través de la ecuación explícita, la hemos visto ya, o si no, hallar directamente la ecuación implícita.

246
00:43:05,929 --> 00:43:29,050
¿Vale? Perdona, el vídeo es un poco largo, pero bueno, yo tengo el 4, 2 y el punto B, 1, menos 1, 0. ¿Verdad? Entonces, yo de aquí tengo el vector director, que hemos dicho que puede ser menos 5, menos 2, o bien, vea que es 5, 2.

247
00:43:29,050 --> 00:43:51,320
¿Cuál es un vector normal de aquí? Pues un vector normal, es decir, que forma 90 grados con él, puede ser fácilmente el 2 menos 5 o también puede ser el menos 2, 5.

248
00:43:51,320 --> 00:44:03,860
¿Vale? De aquí dos vectores normales, pues tenemos el 2 menos 5 y el menos 2, 5. Al final vemos que son los mismos.

249
00:44:03,860 --> 00:44:11,260
entonces como yo ya tengo ax más bi más c igual a 0

250
00:44:11,260 --> 00:44:15,760
yo ya tengo el valor de a, yo ya tengo el valor de b

251
00:44:15,760 --> 00:44:17,880
que puedo elegir cualquiera de estos dos

252
00:44:17,880 --> 00:44:24,340
pues por ejemplo elijo 2x menos 5y más c igual a 0

253
00:44:24,340 --> 00:44:27,940
y ahora como a yo la c, pues dándole por ejemplo

254
00:44:27,940 --> 00:44:30,980
que pase por cualquiera de uno de los dos puntos

255
00:44:30,980 --> 00:44:45,380
Voy a irme al más fácil, que es el b, menos 1, 0. Sustituyo la x por menos 1, 2 por menos 1, menos la y la sustituyo por 0, más c, es igual a 0.

256
00:44:45,380 --> 00:44:52,280
Yo tengo aquí que esto es menos 2, esto es un 0, más c es igual a 0, veo que c es igual a 2.

257
00:44:52,860 --> 00:45:04,739
Con lo cual yo ya tengo que una de mis ecuaciones es 2x menos 5y más 2 igual a 0.

258
00:45:06,590 --> 00:45:12,690
Si yo lo hago con el otro vector perpendicular veo que es menos 2x, ¿vale?

259
00:45:12,690 --> 00:45:18,730
Con este de aquí, menos 2x más 5y más c igual a 0, ¿vale?

260
00:45:19,090 --> 00:45:25,210
Pues igual hago que pase, hago que pase por el punto menos 1, 0

261
00:45:25,210 --> 00:45:33,530
y que tengo menos 2 por menos 1 más 5 por 0 más c es igual a 0.

262
00:45:34,550 --> 00:45:39,469
Esto es 2, esto es c, esto es igual a 0, c es igual a menos 2.

263
00:45:39,469 --> 00:45:50,789
Pues evidentemente es menos 2x más 5y menos 2 igual a 0, que no es más que esta de aquí multiplicada por menos 1.

264
00:45:51,550 --> 00:45:59,010
Entonces hemos visto, aunque ha sido un vídeo largo, hemos visto cómo obteniendo dos puntos o un punto y el vector director,

265
00:45:59,650 --> 00:46:03,510
yo puedo hallar todas las ecuaciones de la recta.

266
00:46:04,130 --> 00:46:05,690
Cualquier duda, pregúntame.