1
00:00:01,710 --> 00:00:10,589
Bueno, este va a ser más cortito, es sobre los límites para hacer por lo pital que hay en vuestro libro.

2
00:00:12,449 --> 00:00:18,070
Os recuerdo que de momento solamente los casos que llamamos directos, que es de aplicación directa de la regla,

3
00:00:18,129 --> 00:00:23,190
sin hacer ningún tipo de transformación para convertir otra indeterminación en una de estas.

4
00:00:23,809 --> 00:00:27,250
O sea, los casos que directamente al sustituir sale una de estas dos.

5
00:00:27,250 --> 00:00:45,189
Pues acordaos que se podrá aplicar lo pital cuando tengamos funciones que cuando x tiende al número que ponga aquí, que puede ser finito o infinito, salga cero en ambos casos, arriba o abajo, o bien infinito en numerador y denominador.

6
00:00:45,189 --> 00:00:47,210
es decir, una de estas dos indeterminaciones

7
00:00:47,210 --> 00:00:55,409
entonces el resultado de este límite será igual al límite del cociente de las derivadas

8
00:00:55,409 --> 00:00:58,990
insisto en esto, cociente de derivadas, no derivada del cociente

9
00:00:58,990 --> 00:01:01,710
o sea, no es aplicar a esto la regla del cociente

10
00:01:01,710 --> 00:01:05,689
es derivar al numerador y a su sitio, derivar al denominador y a su sitio

11
00:01:05,689 --> 00:01:08,829
entonces hay veces que hay que aplicarlo más de una vez

12
00:01:08,829 --> 00:01:10,769
lo que se llama aplicarlo reiteradamente

13
00:01:10,769 --> 00:01:15,790
¿vale? bien, entonces por eso en este tipo de límites

14
00:01:15,790 --> 00:01:20,890
¿por qué se aplica esta regla y no las técnicas que conocemos de antes?

15
00:01:21,129 --> 00:01:25,290
pues porque generalmente es porque son funciones que no son cocientes de polinomios

16
00:01:25,290 --> 00:01:27,129
no son funciones con raíces cuadradas

17
00:01:27,129 --> 00:01:30,189
con lo cual las técnicas que conocemos hasta ahora no nos valen

18
00:01:30,189 --> 00:01:35,810
bien, entonces aquí esto he repetido los que hice en clase esta semana pasada

19
00:01:35,810 --> 00:01:39,590
Pues para que este nos tengáis un poquito así

20
00:01:39,590 --> 00:01:41,750
Otra vez escritos

21
00:01:41,750 --> 00:01:44,670
Entonces este por ejemplo era muy sencillo

22
00:01:44,670 --> 00:01:46,849
Primero sustituyo, me sale 0 partido por 0

23
00:01:46,849 --> 00:01:47,790
Pues aplico el hospital

24
00:01:47,790 --> 00:01:51,370
Entonces desde aquí el límite será

25
00:01:51,370 --> 00:01:54,530
¿Veis? La derivada de esto es esta cosita que hay aquí arriba

26
00:01:54,530 --> 00:01:56,810
La derivada de lo de abajo es esto de aquí

27
00:01:56,810 --> 00:02:00,810
Aquí lo único que he hecho es efectuar este cociente

28
00:02:00,810 --> 00:02:02,569
El 1 más x pasa multiplicando

29
00:02:02,569 --> 00:02:05,170
¿Vale? Y este menos y menos es este más

30
00:02:05,170 --> 00:02:06,750
al sustituir aquí

31
00:02:06,750 --> 00:02:08,830
ya sale uno por uno

32
00:02:08,830 --> 00:02:09,969
que es uno y se acabó

33
00:02:09,969 --> 00:02:11,750
ya no hay más, solamente una vez

34
00:02:11,750 --> 00:02:14,250
en este símbolo hay que aplicar el hospital

35
00:02:14,250 --> 00:02:15,090
dos veces

36
00:02:15,090 --> 00:02:18,069
una primera sustitución, fijaos que mezcla

37
00:02:18,069 --> 00:02:19,909
polinomio, logaritmo y trigonométrica

38
00:02:19,909 --> 00:02:22,129
entonces

39
00:02:22,129 --> 00:02:24,430
se aplica el hospital porque tengo cero entre cero

40
00:02:24,430 --> 00:02:26,509
entonces al derivar esto

41
00:02:26,509 --> 00:02:28,090
sale esta cosita aquí arriba

42
00:02:28,090 --> 00:02:29,810
queda así

43
00:02:29,810 --> 00:02:31,189
al derivarlo de abajo

44
00:02:31,189 --> 00:02:33,550
de coseno paso a seno

45
00:02:33,550 --> 00:02:36,969
Lo que comentaba en otro vídeo, que con este tipo de cuestiones

46
00:02:36,969 --> 00:02:41,210
hay que fijarse en las funciones trigonométricas de las exponenciales

47
00:02:41,210 --> 00:02:46,930
porque, como comenté un día en clase, son funciones que se reproducen al derivar.

48
00:02:46,930 --> 00:02:50,289
Va saliendo una del mismo tipo todo el rato.

49
00:02:52,469 --> 00:02:55,789
Entonces, en estos casos que buscamos si va a salir un cero o no,

50
00:02:55,990 --> 00:02:59,550
siempre que tengamos abajo algún seno, va a salir cero.

51
00:02:59,849 --> 00:03:01,169
Pero si sale coseno, ya no.

52
00:03:01,169 --> 00:03:05,789
Con lo cual, a ver, aquí en principio, vale, teníamos coseno

53
00:03:05,789 --> 00:03:09,669
¿Qué problema había? Que como esto es 1 por 2 es 2

54
00:03:09,669 --> 00:03:12,150
Y se lo estábamos restando a 2, de ahí nos salía el 0

55
00:03:12,150 --> 00:03:15,530
Al derivar una primera vez, esto desaparece

56
00:03:15,530 --> 00:03:18,090
Pero claro, parece seno, sigo teniendo 0 abajo

57
00:03:18,090 --> 00:03:23,210
Aquí, como el logaritmo de 1, que es lo que va a quedar al cambiar la x por 0

58
00:03:23,210 --> 00:03:27,069
Sigue siendo 0 más 0 entre 1

59
00:03:27,069 --> 00:03:29,110
Pues sigo teniendo 0 arriba, 0 abajo

60
00:03:29,110 --> 00:03:30,750
Se vuelve a aplicar L'Hôpital

61
00:03:30,750 --> 00:03:33,949
Al derivar esto sale este cocientito de aquí

62
00:03:33,949 --> 00:03:37,270
Al derivar este cociente sale este cachito de aquí

63
00:03:37,270 --> 00:03:42,729
Bien, al derivar el seno de abajo ya volvemos a coseno y se acaba nuestro problema

64
00:03:42,729 --> 00:03:45,689
Porque el coseno de 0 ya no es 0, es 1

65
00:03:45,689 --> 00:03:50,090
Entonces este término sale 0, aquí está simplificado

66
00:03:50,090 --> 00:03:52,770
Esto sale 0 porque es 0 entre 1, pero este ya no

67
00:03:52,770 --> 00:03:56,229
Entonces 1, a ver si saliera 0

68
00:03:56,229 --> 00:03:59,930
Solo arriba no es problema porque sería 0 entre 2 que sería 0

69
00:03:59,930 --> 00:04:02,770
no pasa nada, el problema son los dos

70
00:04:02,770 --> 00:04:05,250
y ya, en este caso ya

71
00:04:05,250 --> 00:04:08,770
acaba saliendo este 1 medio y listo

72
00:04:08,770 --> 00:04:12,530
bien, a ver, aquí lo que he hecho

73
00:04:12,530 --> 00:04:15,129
es que antes de derivar

74
00:04:15,129 --> 00:04:18,290
como la secante no deja de ser

75
00:04:18,290 --> 00:04:21,269
una cosa que depende del coseno, es 1 partido por coseno

76
00:04:21,269 --> 00:04:23,089
entonces

77
00:04:23,089 --> 00:04:29,360
fijaos lo que ocurre, me sale esto

78
00:04:29,360 --> 00:04:32,199
0 partido por 0, efectivamente voy a usarlo pital

79
00:04:32,199 --> 00:04:35,720
Pero lo que he hecho es que antes de derivar, ¿vale?

80
00:04:36,180 --> 00:04:41,420
He operado, ¿por qué? Pues porque me va a ser más sencillo simplificar esto un poquitín

81
00:04:41,420 --> 00:04:43,379
Daos cuenta que lo de abajo es un polinomio

82
00:04:43,379 --> 00:04:47,100
Que al derivarlo dos veces ya el 0 desaparecerá

83
00:04:47,100 --> 00:04:51,060
Pero tenemos que tener claro que en una primera derivada vamos a seguir teniendo 0 abajo

84
00:04:51,060 --> 00:04:53,939
O sea que va a haber que usarlo pital otra vez al menos

85
00:04:53,939 --> 00:04:57,879
Bien, entonces al efectuar esta resta llego aquí

86
00:04:57,879 --> 00:05:02,379
Y es que ahora 1 menos coseno cuadrado es seno cuadrado

87
00:05:02,379 --> 00:05:03,680
¿Vale?

88
00:05:03,860 --> 00:05:05,420
Entonces es desde aquí

89
00:05:05,420 --> 00:05:09,040
Donde al sustituir desde aquí a pico lo pitalo

90
00:05:09,040 --> 00:05:10,319
Por eso os lo he señalado así

91
00:05:10,319 --> 00:05:10,959
¿Vale?

92
00:05:11,680 --> 00:05:13,300
Aquí todavía no había hecho nada

93
00:05:13,300 --> 00:05:16,579
Y ahora cuando voy a derivar 3x cuadrado es 6x

94
00:05:16,579 --> 00:05:20,540
Al derivar este cociente sale esta cosa

95
00:05:20,540 --> 00:05:22,959
Este menos con este menos va a salir más

96
00:05:22,959 --> 00:05:24,800
Esta cosita de aquí

97
00:05:24,800 --> 00:05:25,939
¿Vale?

98
00:05:25,939 --> 00:05:29,980
Y esto lo he señalado aquí aparte, ¿vale?

99
00:05:30,160 --> 00:05:37,399
Porque aquí lo que he hecho es sacar factor común, ¿vale?

100
00:05:37,860 --> 00:05:39,399
Seno, a ver si lo veis.

101
00:05:41,980 --> 00:05:43,180
Bueno, aquí lo que he hecho es...

102
00:05:43,180 --> 00:05:44,519
Sí.

103
00:05:46,000 --> 00:05:46,819
Ah, no, miento.

104
00:05:47,259 --> 00:05:48,959
Lo que he hecho es cambiar el coseno cuadrado...

105
00:05:48,959 --> 00:05:49,779
Ahora me acuerdo por qué era.

106
00:05:50,199 --> 00:05:54,480
Cambiar el coseno cuadrado por 1 menos seno cuadrado, ¿vale?

107
00:05:54,480 --> 00:05:59,819
entonces claro, ahora tendré 2 por seno por 1, 2 veces el seno

108
00:05:59,819 --> 00:06:03,199
seno cuadrado por seno, seno cubo, que con este se me compensa

109
00:06:03,199 --> 00:06:06,800
y me queda esto que va a ser más sencillo de derivar, es una opción

110
00:06:06,800 --> 00:06:11,079
pero si lo hacéis directamente desde aquí no pasa nada, acaba saliendo igual

111
00:06:11,079 --> 00:06:15,939
pero es más pesado, yo lo he convertido en una resta de funciones trigonométricas

112
00:06:15,939 --> 00:06:19,199
mientras que aquí tenía un producto, pero un poco rollo

113
00:06:19,199 --> 00:06:23,399
y por eso lo he hecho, bien, entonces nada

114
00:06:23,399 --> 00:06:24,939
me voy a hacerlo pitar otra vez

115
00:06:24,939 --> 00:06:28,079
al hacer este cambio

116
00:06:28,079 --> 00:06:30,079
y poner esto en vez de esto de aquí

117
00:06:30,079 --> 00:06:32,680
aquí es cuando ya derivo

118
00:06:32,680 --> 00:06:34,600
que sí que sale esta cosa

119
00:06:34,600 --> 00:06:35,959
es mucha paciencia

120
00:06:35,959 --> 00:06:38,180
y aquí os he puesto

121
00:06:38,180 --> 00:06:39,620
una vez ya

122
00:06:39,620 --> 00:06:41,180
elimino estos paréntesis

123
00:06:41,180 --> 00:06:43,240
este coseno por este coseno cuadrado

124
00:06:43,240 --> 00:06:44,459
sale este coseno cubo

125
00:06:44,459 --> 00:06:46,579
todo esto de aquí por este coseno cuadrado

126
00:06:46,579 --> 00:06:47,259
sale esto

127
00:06:47,259 --> 00:06:49,360
al final salen cuatro términos

128
00:06:49,360 --> 00:06:51,839
y lo que he hecho es ir indicando

129
00:06:51,839 --> 00:06:54,000
Como veis, menos el primero

130
00:06:54,000 --> 00:06:55,339
Que depende solo de coseno

131
00:06:55,339 --> 00:06:56,860
En todos los demás hay seno

132
00:06:56,860 --> 00:06:58,500
Aquí hay seno, aquí hay seno

133
00:06:58,500 --> 00:07:01,060
Y aquí hay seno

134
00:07:01,060 --> 00:07:03,519
Bueno, de hecho, también multiplicado por un seno aquí los dos

135
00:07:03,519 --> 00:07:05,060
Entonces los que llevan seno

136
00:07:05,060 --> 00:07:06,660
Cuando x es cero van a salir cero

137
00:07:06,660 --> 00:07:09,220
El único que sobrevive, digamos, es el que lleva coseno

138
00:07:09,220 --> 00:07:10,420
Y abajo

139
00:07:10,420 --> 00:07:13,220
Este denominador

140
00:07:13,220 --> 00:07:15,480
Este denominador, perdón, me lo he llevado con el 6

141
00:07:15,480 --> 00:07:17,600
No hay problema porque también es coseno

142
00:07:17,600 --> 00:07:18,779
Nada más

143
00:07:18,779 --> 00:07:19,959
¿Vale?

144
00:07:19,959 --> 00:07:24,300
Y ya está, pues queda este que es 2 por 1 que es 2 y 6 por 1 que es 6

145
00:07:24,300 --> 00:07:27,079
Pues un tercio, pues arreando, ya está, ala

146
00:07:27,079 --> 00:07:31,899
A ver, este de aquí, infinito partido por infinito

147
00:07:31,899 --> 00:07:36,980
Vamos a ver, este, realmente comparando grados entre comillas

148
00:07:36,980 --> 00:07:41,860
Se ve que es 3 desde el principio

149
00:07:41,860 --> 00:07:42,819
¿Por qué?

150
00:07:43,399 --> 00:07:46,259
Porque, a ver, cuando os explicamos el año pasado

151
00:07:46,259 --> 00:07:48,360
Que no todos los infinitos eran igual de grandes

152
00:07:48,360 --> 00:07:52,240
os hablamos de las potencias de x, de los polinomios

153
00:07:52,240 --> 00:07:55,639
os hablamos de que cuando una polinomio está dentro de una raíz cuadrada

154
00:07:55,639 --> 00:07:57,199
su grado se divide entre 2

155
00:07:57,199 --> 00:07:59,259
luego esta cosa es de grado 1

156
00:07:59,259 --> 00:08:00,560
y esto es de grado 1

157
00:08:00,560 --> 00:08:02,160
dices, ¿y el logaritmo que pinta?

158
00:08:03,540 --> 00:08:04,759
pues en su momento también

159
00:08:04,759 --> 00:08:07,259
yo hasta luego me acuerdo de haberlo dicho, que lo digo siempre

160
00:08:07,259 --> 00:08:11,360
es que cualquier exponencial de base mayor que 1

161
00:08:11,360 --> 00:08:13,139
por ejemplo la del número e

162
00:08:13,139 --> 00:08:16,720
es más potente que cualquier polinomio del grado que sea

163
00:08:16,720 --> 00:08:22,839
¿Vale? O sea, que es decir que la exponencial de base mayor de 1 está por encima de todos los polinomios

164
00:08:22,839 --> 00:08:28,160
Pero a su vez el logaritmo está por debajo de todas las potencias de x

165
00:08:28,160 --> 00:08:30,259
De exponente natural

166
00:08:30,259 --> 00:08:34,059
Con lo cual esto es más flojo que esto

167
00:08:34,059 --> 00:08:37,659
Así que aquí arriba manda el 3x

168
00:08:37,659 --> 00:08:38,940
Y aquí abajo manda esto

169
00:08:38,940 --> 00:08:41,700
Entonces, grados iguales, 3 entre 1, 3

170
00:08:41,700 --> 00:08:46,340
Pero eso vosotros, se supone, no lo podéis usar como tal

171
00:08:46,340 --> 00:08:49,580
De momento. Habría que explicarlo muy bien.

172
00:08:50,259 --> 00:08:51,240
Entonces nos queda el hospital.

173
00:08:52,320 --> 00:08:57,179
Pues se deriva, al derivar esta cosita sale esto, al derivar esta raíz sale esto,

174
00:08:57,240 --> 00:09:01,320
se simplifica los dos, esto es una casa de cuatro pisos,

175
00:09:01,559 --> 00:09:07,399
uno, dos, tres, cuatro, se hace el cociente, este por este arriba, este por este abajo, ¿lo veis?

176
00:09:07,899 --> 00:09:09,519
Se vuelve a sustituir y ahora sí.

177
00:09:09,519 --> 00:09:12,580
en el logaritmo es toda base

178
00:09:12,580 --> 00:09:14,580
de polinomios

179
00:09:14,580 --> 00:09:16,539
grado 1 y 1

180
00:09:16,539 --> 00:09:19,320
2 arriba, os recuerdo que es 2 entre 2

181
00:09:19,320 --> 00:09:19,860
es 1

182
00:09:19,860 --> 00:09:22,639
1 y 1, 2, 1 y 1, 2, grados iguales

183
00:09:22,639 --> 00:09:24,860
3 por 1, 3, 1 por 1, 1

184
00:09:24,860 --> 00:09:26,659
aquí lo he puesto, perdón, 3 por 1

185
00:09:26,659 --> 00:09:27,799
3, si lo he dicho bien

186
00:09:27,799 --> 00:09:29,220
y sale 3

187
00:09:29,220 --> 00:09:32,240
vale, bien

188
00:09:32,240 --> 00:09:34,120
pues está

189
00:09:34,120 --> 00:09:36,340
ah, tengo aquí

190
00:09:36,340 --> 00:09:38,419
comentario en el vídeo, bien, a ver

191
00:09:38,419 --> 00:09:45,039
Con la tangente hay un problema. Y es que si miráis la tabla de fórmulas, hay tres expresiones para su derivada.

192
00:09:45,159 --> 00:09:50,379
Y recuerdo que esta en clase me puse a derivarla utilizando la de 1 más tangente al cuadrado.

193
00:09:50,799 --> 00:09:58,419
¿Qué problema tiene eso? Pues que la tangente de pi medios va a estar saliendo infinito todo el rato.

194
00:10:00,490 --> 00:10:06,330
Y entonces, si cojo la derivada de la tangente, que es 1 más tangente al cuadrado,

195
00:10:06,330 --> 00:10:08,210
al derivarla me va a volver a salir tangente

196
00:10:08,210 --> 00:10:09,750
me va a volver a salir tangente y es un vídeo

197
00:10:09,750 --> 00:10:11,129
entonces

198
00:10:11,129 --> 00:10:14,809
esa me acuerdo que nos quedamos en clase sin terminarla

199
00:10:14,809 --> 00:10:16,889
porque esa deriva se complicaba

200
00:10:16,889 --> 00:10:18,730
entonces esta vez

201
00:10:18,730 --> 00:10:20,590
he cogido, pues voy a coger la otra expresión

202
00:10:20,590 --> 00:10:22,769
a lo que voy con este comentario es

203
00:10:22,769 --> 00:10:24,690
cuando ves

204
00:10:24,690 --> 00:10:26,490
que tienes varias opciones

205
00:10:26,490 --> 00:10:28,250
para

206
00:10:28,250 --> 00:10:30,470
una derivada y eso suele pasar

207
00:10:30,470 --> 00:10:33,009
ya os digo con la tangente y con la cotangente

208
00:10:33,009 --> 00:10:34,250
pero es todo con la tangente

209
00:10:34,250 --> 00:10:35,509
y ese camino

210
00:10:35,509 --> 00:10:39,149
Se te va complicando en vez de ser cada vez más sencillo

211
00:10:39,149 --> 00:10:41,570
Déjalo y prueba el otro

212
00:10:41,570 --> 00:10:45,840
¿Vale? Cuando hay más de una forma de hacer algo

213
00:10:45,840 --> 00:10:51,340
Si has elegido el camino que te va a llevar a un berenjenal

214
00:10:51,340 --> 00:10:56,200
Se ve rápido que se va complicando en vez de ser más sencillo cada vez

215
00:10:56,200 --> 00:10:56,620
¿Vale?

216
00:10:57,320 --> 00:10:59,000
Fijaos que es sencillo, sale de esta manera

217
00:10:59,000 --> 00:11:01,519
Uno partido por, uno partido por

218
00:11:01,519 --> 00:11:03,059
Al efecto de este cociente

219
00:11:03,059 --> 00:11:04,980
Esto va arriba, la X va abajo

220
00:11:04,980 --> 00:11:06,120
Me queda esto

221
00:11:06,120 --> 00:11:08,919
ahora, en vez de ser infinito partido por infinito

222
00:11:08,919 --> 00:11:10,620
es cero partido por cero, pero sigue siendo

223
00:11:10,620 --> 00:11:12,860
lo pita el directo, y al derivar esto

224
00:11:12,860 --> 00:11:13,919
al derivar x

225
00:11:13,919 --> 00:11:15,779
ya, se va a ir

226
00:11:15,779 --> 00:11:18,159
y de esto que ha quedado

227
00:11:18,159 --> 00:11:20,580
esto es coseno en pi medios

228
00:11:20,580 --> 00:11:22,980
porque daos cuenta que al cambiarle x por cero

229
00:11:22,980 --> 00:11:24,379
cero más pi medios es pi medios

230
00:11:24,379 --> 00:11:26,799
el coseno es cero, pero el seno es uno

231
00:11:26,799 --> 00:11:28,019
uno entre uno

232
00:11:28,019 --> 00:11:30,799
perdón, uno por cero

233
00:11:30,799 --> 00:11:33,059
cero arriba, uno abajo

234
00:11:33,059 --> 00:11:35,100
lo que os decía antes, no pasa nada porque salga

235
00:11:35,100 --> 00:11:37,159
0 arriba y abajo

236
00:11:37,159 --> 00:11:39,000
ya está, sale 0 y fin

237
00:11:39,000 --> 00:11:41,259
y nada

238
00:11:41,259 --> 00:11:42,820
luego en el ejercicio 46

239
00:11:42,820 --> 00:11:44,820
hay otros poquitos

240
00:11:44,820 --> 00:11:46,139
de hecho son los 4 primeros

241
00:11:46,139 --> 00:11:48,320
porque en los demás las indeterminaciones

242
00:11:48,320 --> 00:11:50,759
todavía se salen de lo que necesitamos

243
00:11:50,759 --> 00:11:53,220
y aquí los tenéis

244
00:11:53,220 --> 00:11:54,539
hechos pasito a paso

245
00:11:54,539 --> 00:11:56,139
aquí también os he ido marcando

246
00:11:56,139 --> 00:11:58,159
lo que va valiendo cada término

247
00:11:58,159 --> 00:11:59,100
que por eso sale 0

248
00:11:59,100 --> 00:12:02,759
y yo creo que aquí no había nada así de particular

249
00:12:02,759 --> 00:12:04,259
de fuera

250
00:12:04,259 --> 00:12:10,259
Bueno, en este por ejemplo, al hacer la derivada en el hospital de lo arriba y lo de abajo,

251
00:12:11,039 --> 00:12:14,740
cuando hago x a infinito, esto es un logaritmo que tiende a infinito,

252
00:12:15,120 --> 00:12:19,059
esto es un cociente de polinomios del mismo grado, que tiende a 1 entre 1 que es 1,

253
00:12:19,580 --> 00:12:24,000
luego infinito más 1, infinito arriba, y esto infinito abajo.

254
00:12:24,259 --> 00:12:28,580
Al hacerlo en el hospital una segunda vez, ya llegamos al resultado.

255
00:12:28,580 --> 00:12:30,000
Y ya está

256
00:12:30,000 --> 00:12:31,759
Espero que os sirva

257
00:12:31,759 --> 00:12:34,460
Y que lo veáis unos cuantos al menos