1
00:00:00,000 --> 00:00:05,600
Para describir una de las infinitas rectas del espacio tridimensional R3

2
00:00:05,600 --> 00:00:13,200
basta con elegir un punto, un punto perteneciente a nuestra recta y un

3
00:00:13,200 --> 00:00:17,520
vector que llamaremos vector director porque nos indicará la dirección. Hay

4
00:00:17,520 --> 00:00:23,440
una única recta R que pasa por ese punto con ese vector directo. La ecuación de

5
00:00:23,440 --> 00:00:29,640
dicha recta será aquella que nos permita caracterizar cuando un punto Q del

6
00:00:29,640 --> 00:00:35,200
espacio está o no en nuestra recta y la condición vectorial en este caso es que

7
00:00:35,200 --> 00:00:40,600
el vector que une nuestro punto base P con el punto Q, este vector tiene que ser

8
00:00:40,600 --> 00:00:46,500
un múltiplo del vector original, es decir, lambda veces el vector original. Si

9
00:00:46,500 --> 00:00:52,760
lambda es un número cualquiera, ese vector original dilatado lambda veces

10
00:00:52,760 --> 00:00:59,040
irá teniendo por extremo los diferentes puntos de nuestra recta R.

11
00:00:59,120 --> 00:01:05,360
Ahora bien, las coordenadas de este vector PQ se obtienen restando las

12
00:01:05,360 --> 00:01:12,920
coordenadas de Q de las de P, por lo que esta ecuación

13
00:01:13,400 --> 00:01:17,960
suele escribirse de la siguiente manera Q, que es un punto de la recta, se podrá

14
00:01:17,960 --> 00:01:23,920
escribir siempre como P más lambda veces V, que en coordenadas queda expresado de

15
00:01:23,920 --> 00:01:32,000
esta forma, que es la llamada ecuación vectorial de la recta. En nuestro ejemplo

16
00:01:32,000 --> 00:01:36,280
en el que la recta R pasa por el punto P de

17
00:01:36,280 --> 00:01:41,840
coordenadas 4, 2, 3 con vector director V de coordenadas menos 1, 2, 1, la ecuación

18
00:01:41,840 --> 00:01:48,360
vectorial de la recta sería esta de aquí, en la que pueden leerse directamente las

19
00:01:48,360 --> 00:01:53,480
coordenadas del punto y las del vector director utilizados. Si escribimos por

20
00:01:53,560 --> 00:01:57,240
separado la ecuación correspondiente a cada una de las tres coordenadas de la

21
00:01:57,240 --> 00:02:01,200
ecuación vectorial obtenemos estas ecuaciones llamadas ecuaciones

22
00:02:01,200 --> 00:02:06,800
paramétricas de la recta, que quedarían así en nuestro ejemplo.

23
00:02:06,800 --> 00:02:11,480
Recordemos que estas ecuaciones lo que hacen es darnos para cada valor de lambda

24
00:02:11,480 --> 00:02:16,120
que queramos asignar un punto Q de la recta, si asignamos lambda igual a 0 pues

25
00:02:16,120 --> 00:02:21,400
obtendremos el punto base Q igual a P, si asignamos lambda igual a 1 pues

26
00:02:21,400 --> 00:02:27,480
obtendremos un punto Q de la recta, pues de coordenadas en este caso con lambda

27
00:02:27,480 --> 00:02:33,800
igual a 1 nos sale 3, 4, 4. Para lambda igual a 2 pues nos sale un

28
00:02:33,800 --> 00:02:40,440
segundo punto de la recta o un tercer punto de la recta que sería el 2, 6, 5

29
00:02:40,440 --> 00:02:45,960
etcétera etcétera etcétera. De manera inversa también podemos utilizar las

30
00:02:46,000 --> 00:02:54,000
ecuaciones paramétricas para determinar si un punto cualquiera, por ejemplo el 1, 8,

31
00:02:54,000 --> 00:03:03,200
9 pertenece o no pertenece a la recta. Se trataría de sustituir las coordenadas

32
00:03:03,200 --> 00:03:09,760
del punto por las de x y z y comprobar si los valores de lambda necesarios para

33
00:03:09,760 --> 00:03:18,360
obtenerlo coinciden. En este caso pues tendríamos que lambda sería 1 menos 4

34
00:03:18,360 --> 00:03:24,640
partido menos 1, en este caso para que se cumpla la ecuación pues nos haría

35
00:03:24,640 --> 00:03:31,240
falta que lambda fuese 8 menos 2 partido 2 y en este caso para que se cumpla la

36
00:03:31,240 --> 00:03:36,800
ecuación nos haría falta que lambda fuese 9 menos 3 si queremos partido por 1.

37
00:03:37,280 --> 00:03:41,280
Bueno pues el primer valor de lambda sería 3, el segundo valor de lambda

38
00:03:41,280 --> 00:03:46,960
también sería 3 pero el tercer valor de lambda sería 6. Al no coincidir estos

39
00:03:46,960 --> 00:03:52,040
valores de lambda es imposible que podamos obtener este punto, no hay ningún

40
00:03:52,040 --> 00:03:57,880
valor de lambda que haga que estas ecuaciones produzcan estas coordenadas.

41
00:03:57,880 --> 00:04:02,880
Y por tanto concluimos que h no es un punto de R.

42
00:04:02,880 --> 00:04:07,200
Si queremos generalizar este procedimiento para saber si un punto de

43
00:04:07,200 --> 00:04:12,600
coordenadas x y z está o no en la recta pues calcularíamos los valores de

44
00:04:12,600 --> 00:04:20,040
lambda necesarios para obtener x y z y que no serían otros que estos. El punto

45
00:04:20,040 --> 00:04:25,320
q de coordenadas x y z estará en la recta si estos tres valores de lambda son

46
00:04:25,320 --> 00:04:29,560
iguales, es decir si son iguales los valores de

47
00:04:29,560 --> 00:04:36,480
estas tres fracciones. Hemos obtenido así esta triple igualdad o igualdad de

48
00:04:36,480 --> 00:04:43,640
tres fracciones que recibe el nombre de ecuación continua, aunque mejor deberían

49
00:04:43,640 --> 00:04:50,200
llamarse ecuaciones continuas porque esta triple igualdad esconde en realidad

50
00:04:50,200 --> 00:04:55,640
tres ecuaciones. La primera que dice que la primera y segunda fracción deben ser

51
00:04:55,640 --> 00:05:01,160
iguales, otra sería ésta que dice que la segunda y tercera fracción deben ser

52
00:05:01,160 --> 00:05:05,360
iguales y faltaría una tercera que dice que la primera y tercera fracción

53
00:05:05,360 --> 00:05:10,200
también deben ser iguales. Con los datos de nuestro ejemplo las

54
00:05:10,200 --> 00:05:15,040
ecuaciones continuas quedarían así, sin más que despejar lambda de cada una de

55
00:05:15,040 --> 00:05:19,640
las tres e igualar. Nos fijamos que aquí aparecen de nuevo las coordenadas del

56
00:05:19,640 --> 00:05:23,720
punto totalmente reconocibles y aquí como denominadores las coordenadas del

57
00:05:23,720 --> 00:05:29,880
vector v totalmente reconocibles. Estas son las tres ecuaciones de la recta que

58
00:05:29,880 --> 00:05:36,240
se pueden escribir a partir de los datos y en las cuales podemos leer siempre

59
00:05:36,240 --> 00:05:45,000
directamente en uno u otro lugar los datos originales de la recta, los datos

60
00:05:45,000 --> 00:05:47,600
geométricos.