1
00:00:00,820 --> 00:00:07,160
Vamos a ver este ejercicio que es de la EVAU, de la convocatoria ordinaria 22-23.

2
00:00:07,700 --> 00:00:12,199
Me dan una función definida a trozos y en el apartado A me piden indicar el dominio

3
00:00:12,199 --> 00:00:17,379
y analizar la continuidad y señalar el tipo de discontinuidad, si es que la presenta.

4
00:00:17,820 --> 00:00:20,120
Y en el apartado B, determinar las asíntotas.

5
00:00:20,260 --> 00:00:25,000
Es un buen ejercicio porque es una función definida a trozos y nos piden bastantes cosillas.

6
00:00:25,600 --> 00:00:27,399
Pero es un ejercicio que no es difícil.

7
00:00:27,399 --> 00:00:34,939
Pero sé que son los típicos ejercicios que según los veis vosotros, como que ya decís, paro, ¿vale?

8
00:00:35,299 --> 00:00:47,109
Bueno, he dejado aquí marcado, cuando lo he copiado, esto no tendría que estar ahí, simplemente este es el ejercicio, ¿vale?

9
00:00:47,549 --> 00:00:48,750
Me salió una rayita antes.

10
00:00:49,210 --> 00:00:50,170
¿Vale? ¿Qué significa?

11
00:00:50,850 --> 00:00:53,509
Lo primero, vamos a intentar entender cómo es esta función, ¿vale?

12
00:00:54,149 --> 00:00:58,770
Para poder calcular, o sea, decir fácilmente quién es el dominio y poder entender la continuidad.

13
00:00:59,350 --> 00:01:08,370
Si yo me hago mi recta real, aquí tengo el menos infinito, el punto en el que me cambia de función es el cero y aquí tengo el más infinito.

14
00:01:09,370 --> 00:01:19,430
A la izquierda del cero, es decir, para los menores o iguales que cero, la función que tengo que estudiar es menos x cuarta partido por x cuadrado más uno.

15
00:01:19,430 --> 00:01:30,519
y a la derecha del cero, es decir, los valores mayores que cero, mi función es x cuadrado más uno entre x más uno.

16
00:01:32,900 --> 00:01:40,459
Vale, para estudiar el dominio lo primero, lo primero que me están pidiendo, el dominio, son las dos funciones racionales.

17
00:01:41,019 --> 00:01:46,760
Las funciones racionales existen en todos los puntos excepto en los ceros del denominador, ¿vale?

18
00:01:47,120 --> 00:01:50,840
Luego, ¿qué es lo que tendríamos que hacer? Pues en la primera función, a la de la parte de la izquierda,

19
00:01:50,840 --> 00:01:54,060
Vamos a calcular los ceros del denominador

20
00:01:54,060 --> 00:01:56,560
Cuando x cuadrado más 1 es igual a 0

21
00:01:56,560 --> 00:01:59,359
Bueno, esto se ve, ojo, que no tiene solución

22
00:01:59,359 --> 00:02:01,439
Porque x cuadrado nunca puede ser menos 1

23
00:02:01,439 --> 00:02:03,719
¿Vale? Esto no tiene solución

24
00:02:03,719 --> 00:02:08,620
Eso significa que esta función va a estar definida en todo este dominio

25
00:02:08,620 --> 00:02:09,860
De menos infinito a 0

26
00:02:09,860 --> 00:02:14,560
¿Vale? Y por lo tanto también va a ser continua en todo este dominio

27
00:02:14,560 --> 00:02:17,039
En su dominio de menos infinito a 0

28
00:02:17,039 --> 00:02:19,000
Vamos con la parte de la derecha

29
00:02:19,000 --> 00:02:26,000
La función también es racional, el denominador en este caso es x más 1 y lo igual a 0

30
00:02:26,000 --> 00:02:29,280
En este caso sí que tengo una solución, es x igual a menos 1

31
00:02:29,280 --> 00:02:33,680
Pero ¿qué ocurre? Que el menos 1 está en el lado, aquí estaría el menos 1

32
00:02:33,680 --> 00:02:38,060
El menos 1 está en el lado que no, en la que no tengo definido esta función

33
00:02:38,060 --> 00:02:41,379
Esta función solo está definida en el trozo 0 infinito

34
00:02:41,379 --> 00:02:48,219
Por lo tanto que x sea menos 1 no me implica nada, no me importa en este trazo

35
00:02:48,219 --> 00:02:56,460
¿Vale? En este trozo. Entonces, ¿eso qué significa? Esto lo que significa es que mi función f de x va a estar definida en todos los reales.

36
00:02:57,360 --> 00:03:04,039
En todos los puntos va a existir. Fijaos que en el 0, donde está también definida, el denominador no se anula. ¿Vale?

37
00:03:04,419 --> 00:03:14,500
Por lo tanto, en mi apartado a, yo sé que el dominio, por todo lo que os acabo de decir, el dominio de f de x va a ser los números reales.

38
00:03:14,500 --> 00:03:17,379
todo esto que yo estoy diciendo de palabra

39
00:03:17,379 --> 00:03:19,099
deberéis intentar escribirlo

40
00:03:19,099 --> 00:03:21,699
va a ser el dominio son todos los números reales

41
00:03:21,699 --> 00:03:23,960
ya que las funciones son funciones racionales

42
00:03:23,960 --> 00:03:26,180
que no se anulan en su trozo

43
00:03:26,180 --> 00:03:29,219
y lo mismo ocurre con la continuidad

44
00:03:29,219 --> 00:03:31,340
al ser funciones racionales

45
00:03:31,340 --> 00:03:33,539
que están definidas en

46
00:03:33,539 --> 00:03:35,960
o sea, son continuas en su dominio

47
00:03:35,960 --> 00:03:39,139
¿cuál es el único problema que tenemos aquí ahora

48
00:03:39,139 --> 00:03:40,319
para estudiar la continuidad?

49
00:03:40,819 --> 00:03:42,719
pues que yo sé que a la izquierda del cero

50
00:03:42,719 --> 00:03:44,000
la función va a ser continua

51
00:03:44,000 --> 00:03:51,819
a la derecha del 0 la función va a ser continua, pero el único posible punto de discontinuidad es justamente el 0, ¿vale?

52
00:03:51,860 --> 00:03:56,479
Es decir, lo que nosotros sabemos hasta ahora es que el dominio es r, por lo que acabamos de ver,

53
00:03:56,639 --> 00:04:09,740
y además sabemos que f de x va a ser continua, por ser funciones racionales, en menos infinito 0 y 0 infinito, ¿vale?

54
00:04:09,740 --> 00:04:16,800
Por lo que os acabo de decir, porque los trozos son funciones racionales en los que están bien definidos en ese trozo.

55
00:04:17,360 --> 00:04:20,079
Posible punto de discontinuidad, ¿qué es lo que tenemos que estudiar?

56
00:04:20,579 --> 00:04:26,560
Lo que tengo que ver es si f de x es continua en x igual 0.

57
00:04:27,300 --> 00:04:31,120
Eso es lo que yo tengo que ver, eso es lo que yo no sé seguro.

58
00:04:31,379 --> 00:04:34,319
¿Qué significa que f de x sea continua en x igual 0?

59
00:04:34,319 --> 00:04:52,279
Pues lo que tenemos que ver es si el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x y además coincide con el valor de la función.

60
00:04:53,199 --> 00:04:55,579
Esto es lo que nosotros tenemos que comprobar.

61
00:04:55,579 --> 00:05:01,800
¿Vale? ¿Dónde tenemos el igual? Arriba, ¿no? En el x menor o igual que 0

62
00:05:01,800 --> 00:05:12,279
Por lo tanto, yo puedo juntar el f de 0, vaya, f de 0 es lo mismo que el límite por la izquierda

63
00:05:12,279 --> 00:05:21,379
Cuando x tiende a 0 por la izquierda, mi función es menos x cuarta partido por x cuadrado más 1

64
00:05:21,379 --> 00:05:28,339
Sustituimos y esto es 0 partido de 1, es decir, 0

65
00:05:28,339 --> 00:05:32,220
Ahora calculamos el otro valor del límite

66
00:05:32,220 --> 00:05:34,160
Cuando me acerco por la derecha

67
00:05:34,160 --> 00:05:40,240
Mi función ahora es x cuadrado más 1 entre x más 1

68
00:05:40,240 --> 00:05:43,899
Sustituimos y esto es 1 entre 1, que es 1

69
00:05:43,899 --> 00:05:48,959
¿Qué ocurre? Que estos dos valores que nosotros acabamos de encontrar son distintos

70
00:05:48,959 --> 00:06:06,879
Por lo tanto, ¿eso qué significa? Significa que f de x no es continua en x igual 0.

71
00:06:07,180 --> 00:06:19,759
Me piden que diga el tipo de discontinuidad, ¿vale? Pues f de x en x igual 0 es discontinua, ¿de qué tipo?

72
00:06:19,759 --> 00:06:37,199
A ver, pensar. Pues existe el valor de la función, existen los dos límites, pero son distintos, por lo tanto es discontinuo de primera especie o de salto.

73
00:06:38,319 --> 00:06:43,959
Y en este caso el salto es un salto finito, ¿verdad? Porque ninguno de los dos límites da infinito.

74
00:06:44,759 --> 00:06:51,980
¿Cuánto es ese salto? Pues si por la izquierda vale cero y por la derecha es uno, el salto es de una unidad.

75
00:06:51,980 --> 00:06:56,819
Pero con poner simplemente salto finito no serviría

76
00:06:56,819 --> 00:06:59,060
Pues este sería el apartado A

77
00:06:59,060 --> 00:07:02,500
Que es más complicado escribirlo que verlo

78
00:07:02,500 --> 00:07:04,620
Vamos ahora con el apartado B

79
00:07:04,620 --> 00:07:08,279
Voy a borrar para tener todo el tiempo el enunciado

80
00:07:08,279 --> 00:07:11,360
Voy a borrar todo esto que acabamos de hacer

81
00:07:11,360 --> 00:07:12,339
Se me acaba de ir

82
00:07:12,339 --> 00:07:17,910
Bueno, ya sabéis que yo no es que sea muy hábil con estas cosas

83
00:07:17,910 --> 00:07:19,149
Pero no pasa nada

84
00:07:19,149 --> 00:07:22,550
Lo vamos borrando todo

85
00:07:22,550 --> 00:07:24,930
Lo borro

86
00:07:24,930 --> 00:07:29,170
Vale, lo de arriba lo podemos dejar

87
00:07:29,170 --> 00:07:32,649
Bueno, voy a intentar borrar también solamente lo rojo

88
00:07:32,649 --> 00:07:36,449
Para que nos hagamos una idea de cómo va

89
00:07:36,449 --> 00:07:38,689
Ahora, queremos calcular las asíntotas

90
00:07:38,689 --> 00:07:40,689
Voy a empezar como siempre

91
00:07:40,689 --> 00:07:43,029
Con las asíntotas horizontales

92
00:07:43,029 --> 00:07:44,350
Ojo

93
00:07:44,350 --> 00:07:48,649
Estamos en una función definida a trozos

94
00:07:48,649 --> 00:07:51,209
En el menos infinito tengo una función

95
00:07:51,209 --> 00:07:51,850
Esta

96
00:07:51,850 --> 00:07:56,569
y cuando me voy al más infinito tengo esta otra función.

97
00:07:57,350 --> 00:08:03,050
Por lo tanto, tengo que calcular los límites de menos infinito más infinito con las funciones diferentes.

98
00:08:04,430 --> 00:08:08,990
Empezamos, por ejemplo, límite cuando x tiende a menos infinito.

99
00:08:08,990 --> 00:08:15,329
Hemos dicho que la función que tengo que coger es menos x cuarta partido por x cuadrado más 1.

100
00:08:15,329 --> 00:08:20,110
Esto es un infinito entre infinito

101
00:08:20,110 --> 00:08:21,970
Si sé que me vais a decir el de arriba es menos

102
00:08:21,970 --> 00:08:23,509
Sí, tenéis toda la razón

103
00:08:23,509 --> 00:08:26,029
Pero lo que me interesa es la indeterminación

104
00:08:26,029 --> 00:08:27,250
Y ahora, ¿qué tengo que hacer?

105
00:08:27,329 --> 00:08:28,069
Mirar los grados

106
00:08:28,069 --> 00:08:30,170
Numerador, grado 4

107
00:08:30,170 --> 00:08:32,230
Denominador, grado 2

108
00:08:32,230 --> 00:08:35,710
Que significa que el grado del numerador

109
00:08:35,710 --> 00:08:38,490
Es mayor que el grado del denominador

110
00:08:38,490 --> 00:08:40,850
Por lo tanto, el que más puede es el numerador

111
00:08:40,850 --> 00:08:43,289
Y esto se miraría a menos infinito

112
00:08:43,289 --> 00:08:54,309
¿Esto qué significa? Que no existe asíntota horizontal cuando x tiende a menos infinito.

113
00:08:56,149 --> 00:09:04,230
Y como siempre se me va eso. Vamos a hacer lo mismo en el más infinito. ¿Cuánto es el límite cuando x tiende a más infinito?

114
00:09:04,230 --> 00:09:33,779
Ahora mi función es x cuadrado más 1 entre x más 1, esto vuelve a ser un infinito entre infinito, miramos los grados, numerador, grado 2, denominador, grado 1, que ya sabéis que nunca se pone, por lo tanto nos pasa como antes, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, luego puede más el numerador, esto se va a ir a más infinito.

115
00:09:33,779 --> 00:09:45,299
En definitiva, no existen asíntotas horizontales cuando x tiende a más infinito, ¿vale?

116
00:09:45,519 --> 00:09:48,039
Por lo tanto, no existe horizontal.

117
00:09:49,200 --> 00:09:55,059
Eso significa que vamos a tener que calcular porque pudiera ser que existieran oblicuas, ¿vale?

118
00:09:55,320 --> 00:09:57,840
Antes de las oblicuas, vamos a las verticales.

119
00:09:57,840 --> 00:10:04,240
Vale, para las asíntotas verticales, fijaos, tengo que calcular las asíntotas verticales en los dos trozos

120
00:10:04,240 --> 00:10:09,059
Lo acabo, lo he borrado lo que habíamos hecho en rojo, lo vuelvo a poner

121
00:10:09,059 --> 00:10:13,460
Las asíntotas verticales lo tenemos que calcular donde el denominador es 0, ¿no?

122
00:10:13,460 --> 00:10:18,480
Que habíamos puesto aquí x cuadrado más 1 igual 0, esto no tenía solución

123
00:10:18,480 --> 00:10:25,980
Y en la parte de la derecha, el x más 1 igual 0, obteníamos que x es igual a menos 1

124
00:10:25,980 --> 00:10:33,120
eso que significa que en la parte menor que 0 no va a poder haber ninguna asíntota vertical

125
00:10:33,120 --> 00:10:35,519
porque no hay ningún punto que el denominador sea 0

126
00:10:35,519 --> 00:10:40,879
en la parte de la derecha hay algún punto en el que el denominador sea 0

127
00:10:40,879 --> 00:10:46,080
tampoco porque habíamos visto que el x igual a menos 1 no pertenece a este punto

128
00:10:46,080 --> 00:10:47,320
a este trozo, está fuera

129
00:10:47,320 --> 00:10:51,120
por lo tanto eso que quiere decir con las asíntotas verticales

130
00:10:51,120 --> 00:10:53,840
pues que no van a existir asíntotas vertical

131
00:10:53,840 --> 00:10:58,559
Porque no hay ningún punto en el que se anule el denominador

132
00:10:58,559 --> 00:11:00,879
¿Vale? Queda claro

133
00:11:00,879 --> 00:11:05,659
Con esto simplemente así lo podríamos ver

134
00:11:05,659 --> 00:11:10,159
No tiene asíntotas verticales porque no existe ningún punto en el que se anule el denominador

135
00:11:10,159 --> 00:11:12,200
Vale, vamos con las oblicuas

136
00:11:12,200 --> 00:11:14,340
Para las asíntotas oblicuas

137
00:11:14,340 --> 00:11:17,059
A ver, voy a borrar también esto

138
00:11:17,059 --> 00:11:20,139
Porque quiero dejar todo el tiempo el enunciado, ¿vale?

139
00:11:20,820 --> 00:11:26,809
Que se vea

140
00:11:26,809 --> 00:11:29,970
Que lo malo de borrar es que luego no me queda el archivo, pero no pasa nada.

141
00:11:30,470 --> 00:11:32,110
Para las asíntotas oblicuas, a ver.

142
00:11:33,950 --> 00:11:40,690
Las asíntotas oblicuas sabemos que son de la forma y igual a mx más n.

143
00:11:41,990 --> 00:11:47,490
Ojo, las oblicuas se ven en el más y en el menos infinito, aunque normalmente siempre es la misma recta.

144
00:11:47,870 --> 00:11:52,370
Pero como es una función definida a trozos, es decir, ¿qué quiero decir con que siempre es la misma recta?

145
00:11:52,370 --> 00:11:56,309
que si hay una asíntota oblicua y es una única función

146
00:11:56,309 --> 00:11:59,389
con calcularlo en el más infinito es suficiente

147
00:11:59,389 --> 00:12:03,429
porque en el menos infinito va a ser si existe la misma recta

148
00:12:03,429 --> 00:12:06,090
pero aquí como son funciones definidas a trozos

149
00:12:06,090 --> 00:12:08,929
puede ser asíntotas oblicuas diferentes

150
00:12:08,929 --> 00:12:11,350
tanto en el más como en el menos infinito

151
00:12:11,350 --> 00:12:14,429
así que vamos a empezar primero calculando

152
00:12:14,429 --> 00:12:17,769
por ejemplo para el menos infinito

153
00:12:17,769 --> 00:12:19,929
para cuando la x tiende al menos infinito

154
00:12:19,929 --> 00:12:22,830
Entonces vamos a ver cuánto será el límite

155
00:12:22,830 --> 00:12:25,750
O sea, queremos calcular el valor de m, ¿vale?

156
00:12:25,750 --> 00:12:29,570
M es igual al límite cuando x tiende a menos infinito

157
00:12:29,570 --> 00:12:34,470
De f de x partido de x

158
00:12:34,470 --> 00:12:41,169
Esto es igual al límite cuando x tiende a menos infinito

159
00:12:41,169 --> 00:12:47,909
De menos x cuarta partido por x cuadrado más 1

160
00:12:47,909 --> 00:12:51,659
Y todo ello partido por x

161
00:12:51,659 --> 00:12:56,179
operamos, ya sabéis, producto de extremos entre producto de medios

162
00:12:56,179 --> 00:13:01,299
y esto me queda arriba menos x cuarta

163
00:13:01,299 --> 00:13:04,080
y abajo es multiplicar x cuadrado más 1 por x

164
00:13:04,080 --> 00:13:06,940
que es x cubo más x

165
00:13:06,940 --> 00:13:09,779
estoy multiplicando estos dos

166
00:13:09,779 --> 00:13:13,120
que son los medios, ya que la x es como si fuera partido de 1

167
00:13:13,120 --> 00:13:16,919
bien, sustituimos en el menos infinito

168
00:13:16,919 --> 00:13:17,899
y esto cuánto me va a dar

169
00:13:17,899 --> 00:13:19,899
menos infinito entre menos infinito

170
00:13:19,899 --> 00:13:21,460
es decir, infinito entre infinito

171
00:13:21,460 --> 00:13:30,460
y tengo que mirar los grados. Numerador, grado 4. Denominador, grado 3. ¿Qué significa? Que el

172
00:13:30,460 --> 00:13:35,840
grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por lo tanto, ¿esto a dónde se me

173
00:13:35,840 --> 00:13:42,779
va a ir? Se me va a ir a menos infinito. Para que sea asíntota oblicua, la m tiene que ser un valor.

174
00:13:43,299 --> 00:13:49,840
Por lo tanto, esto significa que en este punto no existe asíntota oblicua. En este punto me refiero

175
00:13:49,840 --> 00:13:51,960
en la parte de la izquierda, ¿vale?

176
00:13:52,820 --> 00:13:54,700
Pues fenomenal, no tengo que calcular nada más.

177
00:13:55,379 --> 00:13:57,039
Y ahora tendremos que calcular lo mismo,

178
00:13:57,259 --> 00:13:58,299
pero en el más infinito.

179
00:13:59,080 --> 00:14:00,460
Sabemos que cuando me acerco al menos,

180
00:14:00,659 --> 00:14:01,259
no hay oblicua.

181
00:14:01,940 --> 00:14:03,580
En el más infinito, mi m,

182
00:14:04,460 --> 00:14:05,620
la fórmula es la misma.

183
00:14:06,059 --> 00:14:09,639
Límite cuando x tiende a más infinito

184
00:14:09,639 --> 00:14:12,980
de f de x entre x.

185
00:14:14,139 --> 00:14:18,200
Límite cuando x tiende a más infinito de m.

186
00:14:18,200 --> 00:14:26,139
Ahora f de x es x cuadrado más 1 entre x más 1 partido de x

187
00:14:26,139 --> 00:14:32,299
Luego esto es límite cuando x tiende a infinito de quien

188
00:14:32,299 --> 00:14:37,659
Igual que antes producto de extremos x cuadrado más 1 entre producto de desmedios

189
00:14:37,659 --> 00:14:40,879
Que es x más 1 por x, x cuadrado más x

190
00:14:40,879 --> 00:14:44,320
Esto vuelve a ser infinito entre infinito

191
00:14:44,320 --> 00:14:49,860
miramos los grados, numerador, grado 2, denominador, grado 2

192
00:14:49,860 --> 00:14:53,700
por lo tanto tienen el mismo grado

193
00:14:53,700 --> 00:15:00,990
tienen el mismo grado, por lo tanto el límite es el cociente de coeficientes

194
00:15:00,990 --> 00:15:03,950
en este caso es 1 entre 1, es decir, 1

195
00:15:03,950 --> 00:15:06,750
luego sí que vamos a tener asíntota oblicua

196
00:15:06,750 --> 00:15:09,450
y ya sabemos que la m vale 1

197
00:15:09,450 --> 00:15:14,029
pero solo va a haber oblicua en mi parte derecha

198
00:15:14,029 --> 00:15:32,789
Ahora para calcular el valor de n, voy a subir un poquito, para calcular el valor de n, sabemos que n es el límite cuando x tiende a más infinito de f de x menos mx.

199
00:15:32,789 --> 00:15:50,830
Es decir, límite cuando x tiende a infinito, infinito, no me lo cambies, de f de x que es x cuadrado más 1 entre x más 1 menos mx, m es 1, es decir, menos x.

200
00:15:50,830 --> 00:16:02,289
Operamos esas fracciones, límite cuando x tiende a infinito, denominador me queda x más 1, numerador x cuadrado más 1 por 1

201
00:16:02,289 --> 00:16:12,250
Y ahora menos x por x más 1, es decir, menos x cuadrado, que sería el menos x por x, y ahora menos x por 1, menos x

202
00:16:12,250 --> 00:16:28,629
Entonces operamos las x cuadrado, se me van y me queda que esto es el límite cuando x tiende a infinito de 1 menos x entre x más 1.

203
00:16:29,730 --> 00:16:34,029
Esto es cociente de polinomios, es decir infinito entre infinito, miramos grados.

204
00:16:34,029 --> 00:16:38,970
Grado del numerador, 1, grado del denominador, 1

205
00:16:38,970 --> 00:16:45,210
Es decir, tienen el mismo grado como ocurría antes, luego cociente de coeficientes

206
00:16:45,210 --> 00:16:50,850
Coeficiente del numerador, ojo, menos 1 del denominador, 1

207
00:16:50,850 --> 00:16:52,730
Luego esto es menos 1

208
00:16:52,730 --> 00:16:56,850
Por lo tanto n es menos 1

209
00:16:57,450 --> 00:17:01,210
Luego ahora sí que existe la asíntota

210
00:17:01,210 --> 00:17:03,649
Existe asíntota oblicua

211
00:17:03,649 --> 00:17:05,289
¿Y cuál va a ser la ecuación?

212
00:17:05,450 --> 00:17:07,269
Pues I igual MX

213
00:17:07,269 --> 00:17:08,130
M es 1

214
00:17:08,130 --> 00:17:10,769
X menos 1

215
00:17:10,769 --> 00:17:11,930
¿Vale?

216
00:17:15,569 --> 00:17:17,789
Pues este sería el ejercicio

217
00:17:17,789 --> 00:17:19,329
No es difícil

218
00:17:19,329 --> 00:17:21,970
Es un poquito largo

219
00:17:21,970 --> 00:17:23,650
Pero son cosas bastante sencillas

220
00:17:23,650 --> 00:17:23,829
¿Vale?