1 00:00:00,560 --> 00:00:12,320 Vale, a ver, estaba viéndolo yo aquí en el formulario de ejercicios, a ver, ¿qué es aquí? ¿Cuál es? 2 00:00:13,740 --> 00:00:14,500 ¿Del ejercicio 9? 3 00:00:15,039 --> 00:00:15,500 Sí. 4 00:00:19,269 --> 00:00:19,789 El... 5 00:00:19,789 --> 00:00:22,089 El 9, no. 6 00:00:25,359 --> 00:00:28,280 El D en principio, pero no sale... 7 00:00:28,280 --> 00:00:32,259 Este, mira, bueno, por aquí aparece uno. 8 00:00:32,259 --> 00:00:33,920 No, pero 9 00:00:33,920 --> 00:00:36,899 Ese creo que es el de los mates normales 10 00:00:36,899 --> 00:00:38,899 Ah, vale, a lo mejor me estoy equivocando 11 00:00:38,899 --> 00:00:41,140 Es que no me coinciden los artículos 12 00:00:41,140 --> 00:00:41,679 No sé 13 00:00:41,679 --> 00:00:44,780 Vale, sí, sí, es verdad, me he equivocado de clase 14 00:00:44,780 --> 00:00:46,159 A ver 15 00:00:46,159 --> 00:00:53,649 Vale, pero yo creo que es una cuestión 16 00:00:53,649 --> 00:00:55,649 Eso de que el programa o lo que sea 17 00:00:55,649 --> 00:00:57,350 Está entendiendo algo 18 00:00:57,350 --> 00:00:59,310 Distinto a lo que tú le estás intentando poner 19 00:00:59,310 --> 00:01:00,149 Claro 20 00:01:00,149 --> 00:01:01,969 O sea, yo para mí es lo que te he comentado 21 00:01:01,969 --> 00:01:02,990 Que yo creo que no hay diferencia 22 00:01:02,990 --> 00:01:04,829 déjame ver el original, pero vamos 23 00:01:04,829 --> 00:01:07,590 que yo creo que no hay diferencia en poner entre paréntesis 24 00:01:07,590 --> 00:01:09,709 el seno de x y elevado al cuadrado 25 00:01:09,709 --> 00:01:11,269 que poner el seno 26 00:01:11,269 --> 00:01:12,950 al cuadrado de x 27 00:01:12,950 --> 00:01:15,590 no veo diferencia, que yo sepa 28 00:01:15,590 --> 00:01:17,370 vamos, no sé 29 00:01:17,370 --> 00:01:19,269 a ver las ejercicios derivadas 30 00:01:19,269 --> 00:01:23,000 todo lo que hay que hacer 31 00:01:23,000 --> 00:01:24,819 a ver 32 00:01:24,819 --> 00:01:46,200 vamos a ver si quiere 33 00:01:46,200 --> 00:01:56,530 déjame buscarlo 34 00:01:56,530 --> 00:01:58,269 que lo tengo descargado por otro lado 35 00:01:58,269 --> 00:02:00,530 que parece que se resiste 36 00:02:02,930 --> 00:02:09,319 supongo que es 37 00:02:09,319 --> 00:02:10,479 este 38 00:02:10,479 --> 00:02:25,840 vale, es este, el E, ¿no? 39 00:02:26,740 --> 00:02:28,139 sí, el E o el D 40 00:02:28,139 --> 00:02:30,199 yo no veo diferencia 41 00:02:30,199 --> 00:02:32,500 entre poner que el coseno de X 42 00:02:32,500 --> 00:02:34,000 está al cuadrado entero 43 00:02:34,000 --> 00:02:36,479 a poner la notación coseno al cuadrado de x 44 00:02:36,479 --> 00:02:38,000 o sea 45 00:02:38,000 --> 00:02:40,280 vamos que lo haría 46 00:02:40,280 --> 00:02:41,219 normal y corriente 47 00:02:41,219 --> 00:02:43,280 no creo que 48 00:02:43,280 --> 00:02:46,000 con uno que era con coseno 49 00:02:46,000 --> 00:02:47,500 o sea coseno luego paréntesis 50 00:02:47,500 --> 00:02:49,020 x 51 00:02:49,020 --> 00:02:52,740 fue uno solo con coseno 52 00:02:52,740 --> 00:02:54,280 coseno y entre paréntesis x 53 00:02:54,280 --> 00:02:56,419 cuadrado más uno y eso le va a dar cubo 54 00:02:56,419 --> 00:02:57,979 y me 55 00:02:57,979 --> 00:03:00,400 hizo como siendo 56 00:03:00,400 --> 00:03:02,060 el cubo 57 00:03:02,060 --> 00:03:03,780 la función coseno 58 00:03:03,780 --> 00:03:05,860 vale, vamos a probarlo con otro programa 59 00:03:05,860 --> 00:03:07,639 verás, el GeoGebra 60 00:03:07,639 --> 00:03:08,800 también hace estas historias 61 00:03:08,800 --> 00:03:11,840 entonces la podemos representar y todo 62 00:03:11,840 --> 00:03:13,300 y es igual 63 00:03:13,300 --> 00:03:15,319 al logaritmo neperiano 64 00:03:15,319 --> 00:03:18,159 ponemos entre paréntesis coseno de x 65 00:03:18,159 --> 00:03:19,699 y 66 00:03:19,699 --> 00:03:21,639 este paréntesis al cuadrado 67 00:03:21,639 --> 00:03:23,520 pues mira 68 00:03:23,520 --> 00:03:26,199 lo que hace el programa es precisamente eso que estás diciendo tú 69 00:03:26,199 --> 00:03:27,919 te pone el 70 00:03:27,919 --> 00:03:29,439 coseno de x 71 00:03:29,439 --> 00:03:31,599 dentro del logaritmo neperiano 72 00:03:31,599 --> 00:03:34,000 pero el cuadrado te lo pone afuera, pero vamos, yo creo que es una cuestión 73 00:03:34,000 --> 00:03:36,120 del programa, de lo que entiende el programa 74 00:03:36,120 --> 00:03:37,479 o lo que el programa cree entender 75 00:03:37,479 --> 00:03:39,780 de lo que estás intentándole decir 76 00:03:39,780 --> 00:03:42,020 Realmente sería el cuadrado 77 00:03:42,020 --> 00:03:43,699 del paréntesis, no de la función 78 00:03:43,699 --> 00:03:46,020 Sí, el cuadrado 79 00:03:46,020 --> 00:03:48,020 de la función, claro, claro 80 00:03:48,020 --> 00:03:50,159 de lo que hay dentro del 81 00:03:50,159 --> 00:03:52,039 argumento del logaritmo, vaya 82 00:03:52,039 --> 00:03:54,379 A ver, que este quiere un paréntesis 83 00:03:54,379 --> 00:03:56,259 aquí y yo se lo voy a poner 84 00:03:56,259 --> 00:03:59,840 Pero sí, sí, yo creo que es eso 85 00:03:59,840 --> 00:04:02,000 yo creo que es una cuestión de notación de que el programa 86 00:04:02,000 --> 00:04:03,460 fíjate, es como que 87 00:04:03,460 --> 00:04:06,159 si estás viendo lo que estoy poniendo 88 00:04:06,159 --> 00:04:08,000 no me permite poner coseno de x 89 00:04:08,000 --> 00:04:09,840 directamente, si yo le pongo y igual 90 00:04:09,840 --> 00:04:11,639 a coseno de x 91 00:04:11,639 --> 00:04:13,819 él automáticamente, si le doy 92 00:04:13,819 --> 00:04:15,599 me lo pone con el paréntesis automáticamente 93 00:04:15,599 --> 00:04:17,779 pero eso es algo de lo que 94 00:04:17,779 --> 00:04:20,160 el programa entiende, de la notación 95 00:04:20,160 --> 00:04:21,800 específica de la programación que tiene 96 00:04:21,800 --> 00:04:22,639 este programa en completo 97 00:04:22,639 --> 00:04:25,220 así que yo no me preocuparía mucho más 98 00:04:25,220 --> 00:04:26,740 ¿sabes hacer la derivada? 99 00:04:27,680 --> 00:04:29,199 en principio sí, pero si la puedes hacer tú 100 00:04:29,199 --> 00:04:29,920 más que nada por 101 00:04:29,920 --> 00:04:32,019 a ver si se hace 102 00:04:32,019 --> 00:04:33,800 vale 103 00:04:33,800 --> 00:04:36,180 en realidad me da igual 104 00:04:36,180 --> 00:04:39,459 si hacemos la derivada del logaritmo neperiano 105 00:04:39,459 --> 00:04:40,959 la podemos poner aquí 106 00:04:40,959 --> 00:04:43,019 logaritmo neperiano 107 00:04:43,019 --> 00:04:44,939 de una función derivada 108 00:04:44,939 --> 00:04:46,740 va a ser igual a la derivada 109 00:04:46,740 --> 00:04:48,560 de la función partido de f 110 00:04:48,560 --> 00:04:50,740 la derivada si la hacemos por pasos 111 00:04:50,740 --> 00:04:51,660 por no perdernos 112 00:04:51,660 --> 00:04:54,319 por hacerla yo también bien y con cuidadito 113 00:04:54,319 --> 00:04:56,560 haría el coseno al cuadrado de x 114 00:04:56,560 --> 00:04:58,660 el coseno al cuadrado de x derivado sería 115 00:04:58,660 --> 00:05:03,040 2 por la derivada del coseno que es menos el seno 116 00:05:03,040 --> 00:05:06,500 y por el coseno de x elevado a 2 menos 1 que es 1 117 00:05:06,500 --> 00:05:09,139 así que para mí esta derivada sería 118 00:05:09,139 --> 00:05:14,740 menos 2 seno de x, coseno de x 119 00:05:14,740 --> 00:05:18,899 partido de el coseno al cuadrado de x 120 00:05:18,899 --> 00:05:22,079 que salvo que x sea 121 00:05:22,079 --> 00:05:26,019 bueno, salvo que esto sea 0, entonces podemos simplificar y en principio 122 00:05:26,019 --> 00:05:28,300 Sería menos 2 seno partido coseno 123 00:05:28,300 --> 00:05:29,480 Es la tangente de x 124 00:05:29,480 --> 00:05:31,740 En principio esa es la derivada 125 00:05:31,740 --> 00:05:32,920 Que yo sabría hacer aquí 126 00:05:32,920 --> 00:05:36,779 ¿Es lo que te sale? 127 00:05:37,699 --> 00:05:39,040 Sí, sí, yo lo hice así 128 00:05:39,040 --> 00:05:42,920 Cuando tienes coseno al cuadrado 129 00:05:42,920 --> 00:05:44,540 O sea, al hacer la derivada 130 00:05:44,540 --> 00:05:46,720 Luego el cuadrado no lo pones 131 00:05:46,720 --> 00:05:50,519 Lo primero es que tengamos en cuenta 132 00:05:50,519 --> 00:05:52,040 Que coseno de x al cuadrado 133 00:05:52,040 --> 00:05:54,480 La notación es coseno al cuadrado de x 134 00:05:54,480 --> 00:05:55,060 Es lo mismo 135 00:05:55,060 --> 00:05:57,319 entonces esto como cualquier potencia 136 00:05:57,319 --> 00:05:59,220 es, vamos a multiplicar 137 00:05:59,220 --> 00:06:00,319 el exponente, es decir 138 00:06:00,319 --> 00:06:03,420 a ver, f elevado 139 00:06:03,420 --> 00:06:05,000 a n derivado 140 00:06:05,000 --> 00:06:07,240 va a ser igual a n por la derivada 141 00:06:07,240 --> 00:06:09,160 de f por f elevado a n menos 1 142 00:06:09,160 --> 00:06:11,259 esta es la formulita, vamos a decir, la teoría 143 00:06:11,259 --> 00:06:13,180 con la cual voy a calcular la derivada 144 00:06:13,180 --> 00:06:14,800 de una función elevada a un exponente 145 00:06:14,800 --> 00:06:17,339 entonces, tengo el 2 multiplicado 146 00:06:17,339 --> 00:06:19,160 por la derivada del coseno que es 147 00:06:19,160 --> 00:06:21,160 menos el seno 148 00:06:21,160 --> 00:06:23,279 ¿y ahí no pones el cuadrado? 149 00:06:23,279 --> 00:06:26,060 no, no, no, porque esta es la derivada 150 00:06:26,060 --> 00:06:27,339 de lo de dentro, si quieres 151 00:06:27,339 --> 00:06:29,439 fíjate más en este 152 00:06:29,439 --> 00:06:32,060 pero es que es lo mismo, yo creo que es una cuestión simplemente 153 00:06:32,060 --> 00:06:34,139 de notación, de que el coseno 154 00:06:34,139 --> 00:06:35,800 de x elevado al cuadrado, es decir, la función 155 00:06:35,800 --> 00:06:38,199 coseno elevado al cuadrado, es lo mismo 156 00:06:38,199 --> 00:06:40,019 que la notación coseno 157 00:06:40,019 --> 00:06:42,019 al cuadrado de x con el 2 metido ahí en el 158 00:06:42,019 --> 00:06:43,500 medio, no es más que eso 159 00:06:43,500 --> 00:06:45,920 y esto por coseno de x, es decir 160 00:06:45,920 --> 00:06:47,420 menos 2, seno de x 161 00:06:47,420 --> 00:06:49,959 coseno de x, bueno, esto seguramente 162 00:06:49,959 --> 00:06:51,720 se podrá de alguna manera con las 163 00:06:51,720 --> 00:06:53,560 identidades trigonométricas, jugar con ellos 164 00:06:53,560 --> 00:06:55,720 si es necesario, pero en la derivada que están 165 00:06:55,720 --> 00:06:57,660 pidiendo en este caso, dejarlo así 166 00:06:57,660 --> 00:06:59,540 es lo más adecuado porque 167 00:06:59,540 --> 00:07:01,899 luego se pone el formato 168 00:07:01,899 --> 00:07:03,480 así más sintetizadito 169 00:07:03,480 --> 00:07:04,860 como menos 2 por tangente de x 170 00:07:04,860 --> 00:07:08,639 ¿Puedes hacer una más? 171 00:07:08,779 --> 00:07:09,120 Sí, claro 172 00:07:09,120 --> 00:07:12,339 ¿Cuál de ellas? 173 00:07:13,680 --> 00:07:14,839 ¿Te digo el ejercicio de la ficha? 174 00:07:15,220 --> 00:07:17,579 Sí, porque la debo tener por aquí 175 00:07:17,579 --> 00:07:18,199 Aquí está 176 00:07:18,199 --> 00:07:20,519 El 11 y el C 177 00:07:20,519 --> 00:07:22,959 vamos a ver el 11C 178 00:07:22,959 --> 00:07:26,259 lo copio aquí 179 00:07:26,259 --> 00:07:28,899 y sobre todo me vas diciendo las dudas que puedas tener 180 00:07:28,899 --> 00:07:30,439 o por qué te surgen dudas 181 00:07:30,439 --> 00:07:33,220 a ver un momentito que lo copio 182 00:07:33,220 --> 00:07:34,600 el 11C 183 00:07:34,600 --> 00:07:42,170 en realidad todos estos 184 00:07:42,170 --> 00:07:44,730 están regidos por las mismas 185 00:07:44,730 --> 00:07:45,649 fórmulas todos 186 00:07:45,649 --> 00:07:49,089 o sea hay cuatro fórmulas básicas 187 00:07:49,089 --> 00:07:50,829 y lo único que hay que tener en cuenta son las fórmulas 188 00:07:50,829 --> 00:07:52,589 con la regla de la cadena ya aplicada 189 00:07:52,589 --> 00:07:54,930 o aplicar la regla de la cadena si no te acuerdas 190 00:07:54,930 --> 00:08:02,930 de la fórmula. Es decir, a este le podemos enfocar como que esto es el coseno de una función y esa 191 00:08:02,930 --> 00:08:09,149 función es x al cuadrado más uno, sería la composición de coseno de x y luego la otra 192 00:08:09,149 --> 00:08:14,610 función x al cuadrado menos uno, pero bueno, yo creo que aquí vamos a fijarnos en el coseno... 193 00:08:14,610 --> 00:08:39,269 Vamos a ver si soy capaz. Un momentito. Vamos a fijarnos en el coseno de una función derivada va a ser igual a la derivada multiplicado por el seno de x, o más bien menos el seno de x. 194 00:08:39,809 --> 00:08:41,009 Esta es la derivada que tenemos. 195 00:08:41,149 --> 00:08:43,610 Bueno, ¿os acordáis de la tablita esa que teníais por ahí, no? 196 00:08:44,330 --> 00:08:45,850 La tienes presente, ¿no? 197 00:08:46,629 --> 00:08:46,830 Vale. 198 00:08:46,889 --> 00:08:46,970 Sí. 199 00:08:47,330 --> 00:08:49,269 Pues el coseno de esta derivada sería eso. 200 00:08:50,169 --> 00:08:53,289 O sea, el coseno, perdona, la derivada de un coseno sería eso. 201 00:08:53,769 --> 00:08:56,809 Ahora, la función de la que estamos hablando, esta f de aquí dentro, 202 00:08:57,509 --> 00:09:01,750 podemos identificarla como x al cuadrado más 1 elevado al cubo, 203 00:09:01,909 --> 00:09:06,970 que es una función que derivada va a ser una función con un exponente, 204 00:09:06,970 --> 00:09:15,070 es decir, una función polinómica. Entonces, f elevado a n, bueno, esto lo voy a poner en verde para que no se distinga, 205 00:09:15,149 --> 00:09:22,009 le estoy poniendo lo que yo llamaría teoría en negro, explicaciones en verde y resolución de la ejercicia en rojo, 206 00:09:22,090 --> 00:09:25,169 para seguir un poco una coherencia. Entonces, esto tendría que ser verde. 207 00:09:26,269 --> 00:09:34,129 Entonces, la derivada de una función elevado a n va a ser igual a n por la derivada de la función, por la función elevada a n menos 1. 208 00:09:34,129 --> 00:09:36,350 todo esto es aplicando reglas de cadena 209 00:09:36,350 --> 00:09:37,870 vale, esto 210 00:09:37,870 --> 00:09:39,570 lo que le haga gana 211 00:09:39,570 --> 00:09:42,009 vale 212 00:09:42,009 --> 00:09:44,570 entonces, si aplicamos 213 00:09:44,570 --> 00:09:46,649 todo esto a esta función en concreto 214 00:09:46,649 --> 00:09:48,269 lo que tengo es el coseno 215 00:09:48,269 --> 00:09:50,309 de una función al cubo, fíjate que 216 00:09:50,309 --> 00:09:52,549 este cubo no está elevando 217 00:09:52,549 --> 00:09:53,409 a todo el coseno 218 00:09:53,409 --> 00:09:55,169 ni está 219 00:09:55,169 --> 00:09:58,529 aquí, que es donde habitualmente se pone 220 00:09:58,529 --> 00:10:00,009 cuando es el coseno el que está elevado 221 00:10:00,009 --> 00:10:01,309 la función coseno es la que está elevado 222 00:10:01,309 --> 00:10:04,070 entonces es la función de dentro la que está elevada al cubo 223 00:10:04,070 --> 00:10:05,990 que a lo mejor sería más adecuado 224 00:10:05,990 --> 00:10:08,009 poner esto, pues quizás sí 225 00:10:08,009 --> 00:10:09,470 para que quede un poco más claro, pero bueno 226 00:10:09,470 --> 00:10:11,809 yo creo que así se entiende bastante bien 227 00:10:11,809 --> 00:10:13,710 Sí, sí, yo creo que 228 00:10:13,710 --> 00:10:15,330 fue con esta con la que tuve 229 00:10:15,330 --> 00:10:16,509 con la que me salió así 230 00:10:16,509 --> 00:10:19,950 o sea, fue con esta 231 00:10:19,950 --> 00:10:21,610 con la que me salió en la aplicación esta 232 00:10:21,610 --> 00:10:24,309 que me elevó el coseno al cubo 233 00:10:24,309 --> 00:10:26,029 pero es eso 234 00:10:26,029 --> 00:10:27,450 es una cuestión de que 235 00:10:27,450 --> 00:10:30,149 entiende eso por la notación que le estás 236 00:10:30,149 --> 00:10:31,149 poniendo, no porque 237 00:10:31,149 --> 00:10:34,129 él entienda más qué es lo que está poniendo 238 00:10:34,129 --> 00:10:35,950 el enunciado. O sea, él entiende eso 239 00:10:35,950 --> 00:10:37,850 por defecto, porque en la programación que tenga 240 00:10:37,850 --> 00:10:40,149 pues asume que si tú no pones el paréntesis 241 00:10:40,149 --> 00:10:40,750 te lo pone él. 242 00:10:42,129 --> 00:10:42,889 Así que en esta 243 00:10:42,889 --> 00:10:46,169 tendríamos, pues por un lado, voy a poner el signo 244 00:10:46,169 --> 00:10:47,070 menos ya, yo creo. 245 00:10:48,649 --> 00:10:50,149 Bueno, venga, no, lo voy a hacer por partes. 246 00:10:50,850 --> 00:10:51,570 Venga, lo primero es 247 00:10:51,570 --> 00:10:53,710 vamos a hacer la derivada de lo de dentro 248 00:10:53,710 --> 00:10:56,070 porque el que vamos a aplicar primero 249 00:10:56,070 --> 00:10:57,970 es este de aquí. Vamos a 250 00:10:57,970 --> 00:11:00,070 aplicar la derivada del de dentro. Le voy a poner 251 00:11:00,070 --> 00:11:03,570 el signo menos, venga, ya que ese tampoco influye demasiado, o sea, tampoco nos lía demasiado. 252 00:11:04,009 --> 00:11:08,169 Entonces la derivada de lo de dentro sería 3 multiplicado por la derivada de la función 253 00:11:08,169 --> 00:11:12,149 de dentro, que es 2x, y multiplicado por esa función x al cuadrado 254 00:11:12,149 --> 00:11:15,950 más 1 y ahora elevado al cuadrado. Ahora, como el coseno 255 00:11:15,950 --> 00:11:20,149 se transforma en un seno cuando se deriva con el signo menos que ya hemos puesto delante 256 00:11:20,149 --> 00:11:23,950 por el seno de x al cuadrado más 1 y eso 257 00:11:23,950 --> 00:11:27,789 elevado al cubo. Ya digo, quizá esto estaría más claro. 258 00:11:27,789 --> 00:11:30,129 pero bueno, que si no está puesto 259 00:11:30,129 --> 00:11:31,690 yo sobreentendería 260 00:11:31,690 --> 00:11:33,450 esto que te estoy poniendo aquí 261 00:11:33,450 --> 00:11:35,490 vale, entonces menos 6x 262 00:11:35,490 --> 00:11:37,929 luego toda esta función x al cuadrado 263 00:11:37,929 --> 00:11:40,110 más 1 elevado al cuadrado por el seno 264 00:11:40,110 --> 00:11:40,970 todo esto, bueno 265 00:11:40,970 --> 00:11:45,870 luego al final con todas estas funciones que salen 266 00:11:45,870 --> 00:11:46,929 así un poquito más chorizo 267 00:11:46,929 --> 00:11:49,649 a lo mejor se puede hacer algo con ellas 268 00:11:49,649 --> 00:11:51,889 pero esta yo creo que en este caso no se puede 269 00:11:51,889 --> 00:11:52,549 hacer nada con ella 270 00:11:52,549 --> 00:11:55,730 vale, venga, ¿alguna otra? 271 00:11:56,269 --> 00:11:56,370 sí 272 00:11:56,370 --> 00:11:59,850 No, yo creo que no 273 00:11:59,850 --> 00:12:01,289 Vale 274 00:12:01,289 --> 00:12:04,190 Venga, pues alguien más que esté por ahí 275 00:12:04,190 --> 00:12:06,110 que no sé quién más había por aquí 276 00:12:06,110 --> 00:12:07,110 A ver 277 00:12:07,110 --> 00:12:11,289 No, no, yo aún no me puse a hacerlas 278 00:12:11,289 --> 00:12:13,210 Vale, bueno, pues de todas maneras 279 00:12:13,210 --> 00:12:14,809 el estar aquí viéndolas 280 00:12:14,809 --> 00:12:15,830 pues también tiene sus 281 00:12:15,830 --> 00:12:17,909 y además puedes ir haciéndolas a la vez 282 00:12:17,909 --> 00:12:19,610 pues incluso mucho mejor 283 00:12:19,610 --> 00:12:22,029 Bueno, yo he tenido unos ejercicios preparados 284 00:12:22,029 --> 00:12:22,789 para esta clase 285 00:12:22,789 --> 00:12:24,649 que he seleccionado 286 00:12:24,649 --> 00:12:29,850 de esa hoja grande, de ese PDF gigante 287 00:12:29,850 --> 00:12:32,730 en el que tenéis todos los ejercicios de selectividad 288 00:12:32,730 --> 00:12:35,070 que yo creo que son los que sería conveniente que os centráseis. 289 00:12:36,590 --> 00:12:40,029 Entonces, voy a coger este, que es el primero, 290 00:12:40,029 --> 00:12:44,029 y vamos a empezar, o vamos a hacer ejercicios... 291 00:12:44,029 --> 00:12:52,370 Vamos a intentar hacer ejercicios relacionados con lo que habíamos empezado a ver ya, 292 00:12:52,370 --> 00:12:54,169 que es el estudio 293 00:12:54,169 --> 00:12:58,090 el estudio ya de extremos 294 00:12:58,090 --> 00:12:59,730 y monotonía en funciones 295 00:12:59,730 --> 00:13:01,769 a ver, le pongo un poquito más grande 296 00:13:01,769 --> 00:13:03,809 ¿veis? vale, entonces 297 00:13:03,809 --> 00:13:05,970 no sé si le doy aquí a ocultar a esto 298 00:13:05,970 --> 00:13:07,690 se va a pirar, si se pira me lo decís 299 00:13:07,690 --> 00:13:09,990 se sigue viendo la pantalla, ¿no? 300 00:13:10,370 --> 00:13:12,610 vale, pues entonces 301 00:13:12,610 --> 00:13:14,250 he seleccionado este ejercicio 302 00:13:14,250 --> 00:13:16,250 porque ya empieza a estudiar 303 00:13:16,250 --> 00:13:18,009 pues los intervalos de crecimiento 304 00:13:18,009 --> 00:13:19,730 y los extremos relativos 305 00:13:19,730 --> 00:13:22,330 entonces si os fijáis en los ejercicios que suele haber 306 00:13:22,330 --> 00:13:26,570 que hay en esta recopilación de ejercicios 307 00:13:26,570 --> 00:13:30,470 tampoco es que sean especialmente complicados, son de tener un poquito de cuidado 308 00:13:30,470 --> 00:13:34,629 pero que tampoco son ejercicios complicadísimos, se podría complicar muchísimo más 309 00:13:34,629 --> 00:13:38,049 yo he visto exámenes de otros profesores con ejercicios de derivadas 310 00:13:38,049 --> 00:13:41,669 infumables, pero luego a la hora de hacer los de 311 00:13:41,669 --> 00:13:46,429 selectividad o los de elevado, como se llaman en el momento, pues yo creo que son ejercicios 312 00:13:46,429 --> 00:13:50,409 que son bastante estándar, que sobre todo son para hacer composición de funciones 313 00:13:50,409 --> 00:13:53,909 con funciones, sobre todo, polinómicas, exponenciales 314 00:13:53,909 --> 00:13:58,309 y logarítmicas, y racionales, y no mucho más 315 00:13:58,309 --> 00:14:02,169 o sea, centraos en esa, y luego ya, si veis que tenéis gusto por hacer derivadas 316 00:14:02,169 --> 00:14:06,350 que al final, pues es entretenido, pues hacéis alguna más, pero vamos, centraos en esa 317 00:14:06,350 --> 00:14:12,889 sobre todo, un momentito, vale 318 00:14:12,889 --> 00:14:17,669 venga, pues, entonces, este ejercicio que yo he 319 00:14:17,669 --> 00:14:21,710 seleccionado es un ejercicio sencillo, solamente selecciono el apartado A porque en el apartado 320 00:14:21,710 --> 00:14:26,429 B, creo que pedía el área o no sé qué, y eso ya se hace con integrales, que es una 321 00:14:26,429 --> 00:14:34,149 de las partes que todavía están por dar. Entonces, la función es sencilla. De hecho, 322 00:14:34,230 --> 00:14:40,029 esta función se podría incluso desarrollar y derivarla como un polinomio normal y corriente 323 00:14:40,029 --> 00:14:46,070 ya expandido. Pero bueno, yo creo que así nos va a resultar casi más fácil derivarla. 324 00:14:46,970 --> 00:14:52,669 Venga, pues entonces, recordamos un poco de teoría, y es que los extremos van a cumplir 325 00:14:52,669 --> 00:14:56,309 una condición que es necesaria, aunque no suficiente, 326 00:14:57,269 --> 00:15:01,870 y es que los extremos f' de x, y voy a llamar al extremo x sub cero, 327 00:15:02,090 --> 00:15:02,970 va a ser igual a cero. 328 00:15:06,250 --> 00:15:11,470 Entonces, si tenemos luego que la segunda derivada en x sub cero es mayor que cero, 329 00:15:11,789 --> 00:15:13,970 x sub cero, bueno, son extremos relativos, ¿eh? 330 00:15:15,350 --> 00:15:20,870 x sub cero es un mínimo, y si ocurre lo contrario, x sub cero es un máximo. 331 00:15:20,870 --> 00:15:24,950 y si lo que ocurre es que vuelve a ser cero la segunda derivada 332 00:15:24,950 --> 00:15:27,590 entonces continuamos, o sea, un punto de inflexión 333 00:15:27,590 --> 00:15:32,690 entonces es un punto, vamos a llamarle, le llamábamos punto clave 334 00:15:32,690 --> 00:15:34,470 punto crítico, no me acuerdo cómo le llamaba 335 00:15:34,470 --> 00:15:41,629 singular 336 00:15:41,629 --> 00:15:46,409 simplemente un punto singular 337 00:15:46,409 --> 00:15:50,789 que puede tener, si la segunda derivada también es cero, habría que recurrir 338 00:15:50,789 --> 00:15:56,590 la tercera derivada para ver si es un punto de inflexión. 339 00:15:56,889 --> 00:15:59,370 Si la tercera derivada es distinta a cero es un punto de inflexión 340 00:15:59,370 --> 00:16:00,850 y si no, tendremos que seguir derivando. 341 00:16:01,769 --> 00:16:05,149 Pero bueno, yo creo que en estos ejercicios no va a haber casos extremos, 342 00:16:05,389 --> 00:16:07,090 que son todos un poquito estándar. 343 00:16:07,610 --> 00:16:09,250 Entonces vamos a ocuparnos de ellos en primer lugar. 344 00:16:10,429 --> 00:16:14,389 Como os decía en la clase del otro día, esto al final no va a ser necesario 345 00:16:14,389 --> 00:16:17,169 porque lo que vamos a hacer va a ser estudiar la monotonía mediante una tabla 346 00:16:17,169 --> 00:16:20,309 y cuando vemos que la función pasa de ser creciente a decreciente 347 00:16:20,309 --> 00:16:24,950 será un máximo y viceversa. Lo primero que tenemos que hacer es observar 348 00:16:24,950 --> 00:16:28,789 esta función y esta función es una función polinómica, por tanto 349 00:16:28,789 --> 00:16:31,250 es una función que nosotros sabemos que es continua 350 00:16:31,250 --> 00:16:36,210 y derivable y que además 351 00:16:36,210 --> 00:16:39,870 su dominio son todos los números reales 352 00:16:39,870 --> 00:16:45,350 viendo que es un polinomio al cuadrado multiplicado por un polinomio 353 00:16:45,350 --> 00:16:49,429 es un polinomio al cubo. Si es un polinomio al cubo, aunque esto no sea 354 00:16:49,429 --> 00:16:51,350 necesario, pero os hago reflexionar 355 00:16:51,350 --> 00:16:53,289 un poquito sobre eso. Significa que cuando 356 00:16:53,289 --> 00:16:55,389 x tiende a menos infinito, la y también tendrá 357 00:16:55,389 --> 00:16:57,629 menos infinito. Y luego, dará 358 00:16:57,629 --> 00:16:59,169 seguramente 359 00:16:59,169 --> 00:17:01,450 topotes, es decir, tendrá un máximo 360 00:17:01,450 --> 00:17:03,370 y un mínimo, esto es lo más habitual. Tiene un máximo 361 00:17:03,370 --> 00:17:05,210 y un mínimo y vuelve a más infinito. 362 00:17:05,609 --> 00:17:07,569 Es decir, por aquí a menos infinito y por ahí a más infinito. 363 00:17:07,869 --> 00:17:09,210 Este es el comportamiento más habitual 364 00:17:09,210 --> 00:17:10,849 de una función polinómica de grado 3. 365 00:17:11,490 --> 00:17:13,509 Tiene tres raíces, si es 366 00:17:13,509 --> 00:17:15,390 que las tiene, y va de 367 00:17:15,390 --> 00:17:17,329 menos infinito hasta más infinito. No tiene 368 00:17:17,329 --> 00:17:18,710 asíntotas, no tiene puntos 369 00:17:18,710 --> 00:17:22,829 de discontinuidad en ningún sitio, así que lo más habitual es que encontremos un máximo 370 00:17:22,829 --> 00:17:26,289 y un mínimo. Puede que no ocurra, porque la función 371 00:17:26,289 --> 00:17:30,569 lo que puede hacer también es algo parecido a esto. Entonces puede tener un punto 372 00:17:30,569 --> 00:17:34,869 de inflexión, es un punto de inflexión aquí, donde cambia de cóncava a convexa 373 00:17:34,869 --> 00:17:38,309 y no tener máximos ni mínimos. Entonces eso es lo que vamos a dilucidar. 374 00:17:38,849 --> 00:17:41,950 Vamos a empezar haciendo la derivada, que es el primer paso que hay que dar siempre. 375 00:17:42,769 --> 00:17:46,769 Entonces vamos a buscar los puntos singulares. Creo que hacía el otro día una especie de 376 00:17:46,769 --> 00:17:51,329 pasos a seguir, entonces empezamos por el primero 377 00:17:51,329 --> 00:17:54,809 puntos singulares 378 00:17:54,809 --> 00:17:59,609 vamos a tener la primera derivada, empezamos a derivar 379 00:17:59,609 --> 00:18:04,250 esta función, empezamos el 2, vamos a multiplicarle 380 00:18:04,250 --> 00:18:07,829 por, y como tengo dos funciones, pues vamos a empezar como es una multiplicación 381 00:18:07,829 --> 00:18:11,730 de funciones, lo que vamos a hacer es derivar 382 00:18:11,730 --> 00:18:15,589 la primera por la segunda, más la segunda por la primera, así que el 2 383 00:18:15,589 --> 00:18:18,309 va a multiplicar a la derivada de lo que encontremos por ahí 384 00:18:18,309 --> 00:18:20,210 voy a empezar derivando la primera 385 00:18:20,210 --> 00:18:23,029 2 multiplicado por la derivada de la función primera 386 00:18:23,029 --> 00:18:27,049 que es 1 y multiplicada por la función elevado a n-1 387 00:18:27,049 --> 00:18:28,450 que en este caso 2-1 es 1 388 00:18:28,450 --> 00:18:31,309 y esto multiplicado por x-3 389 00:18:31,309 --> 00:18:33,809 sumamos el otro 390 00:18:33,809 --> 00:18:35,329 cuidado, este 2 es el que está fuera 391 00:18:35,329 --> 00:18:37,269 ese 2 lo he sacado fuera para luego multiplicar 392 00:18:37,269 --> 00:18:41,009 a todo lo que encuentre de la derivada de esas otras dos funciones 393 00:18:41,009 --> 00:18:43,809 la siguiente 394 00:18:43,809 --> 00:18:47,109 tendríamos la derivada de x menos 3 395 00:18:47,109 --> 00:18:49,450 que es 1 y luego multiplicado 396 00:18:49,450 --> 00:18:51,589 por x menos 1 elevado al cuadrado 397 00:18:51,589 --> 00:18:54,029 es decir, x menos 1 elevado al cuadrado 398 00:18:54,029 --> 00:18:57,690 vale, de aquí podemos obrar de varias maneras 399 00:18:57,690 --> 00:19:00,990 a mí se me ocurre hacerlo de la manera siguiente 400 00:19:00,990 --> 00:19:03,930 se me ocurre, vale, este 2 401 00:19:03,930 --> 00:19:06,750 se puede quedar perfectamente ahí y voy a tener un factor 402 00:19:06,750 --> 00:19:09,630 común x menos 1, este x menos 1 403 00:19:09,630 --> 00:19:12,569 va a quedar multiplicando a este 2 multiplicado 404 00:19:12,569 --> 00:19:19,849 por x menos 3, que lo voy a multiplicar ya, 2x menos 6 más de este x menos 1, hemos extraído 405 00:19:19,849 --> 00:19:26,549 otro x menos 1 que junto con el del primer término forman el factor común, este y este 406 00:19:26,549 --> 00:19:32,809 para afuera como factor común, factor común, factor común y son este, entonces he multiplicado 407 00:19:32,809 --> 00:19:37,970 el 2 por x menos 3, es decir, 2x menos 6 y ahora el x menos 1 del x menos 1 al cuadrado 408 00:19:37,970 --> 00:19:40,450 que me queda, pues tendría más x menos 1 409 00:19:40,450 --> 00:19:43,170 vale 410 00:19:43,170 --> 00:19:45,910 y esto lo hago para poder tener 411 00:19:45,910 --> 00:19:47,990 este factorizado 412 00:19:47,990 --> 00:19:50,009 2x más x 413 00:19:50,009 --> 00:19:51,589 son 3x 414 00:19:51,589 --> 00:19:54,190 y menos 6 menos 1 son menos 7 415 00:19:54,190 --> 00:19:55,309 vale 416 00:19:55,309 --> 00:19:58,009 con esto lo que consigo también es 417 00:19:58,009 --> 00:19:59,910 un poco de, a ver, visión 418 00:19:59,910 --> 00:20:02,069 matemática a la hora de buscar los puntos 419 00:20:02,069 --> 00:20:03,849 singulares, porque yo ahora lo que tengo que hacer es 420 00:20:03,849 --> 00:20:06,309 igualar esto a 0, si hago el desarrollo 421 00:20:06,309 --> 00:20:10,009 Yo de todo esto, al final lo que tengo que hacer es buscar cuáles son las raíces. 422 00:20:10,490 --> 00:20:17,009 Es verdad que lo saco con una ecuación de segundo grado, facilita, que no requiere mucho numereo, 423 00:20:17,549 --> 00:20:18,849 pero aquí yo ya tengo las raíces. 424 00:20:19,589 --> 00:20:24,710 Aquí tengo la primera raíz, es decir, el primer punto x, el primer valor de x, 425 00:20:24,809 --> 00:20:29,289 que hace que la función derivada sea igual a cero, es decir, que todo esto sea igual a cero. 426 00:20:29,930 --> 00:20:32,069 El primer punto va a ser el 1. 427 00:20:32,069 --> 00:20:36,509 y aquí tengo el otro, voy a llamarle este x1 y este x2 428 00:20:36,509 --> 00:20:41,170 y el siguiente van a ser 7 tercios, no es muy difícil ver que 3x-7 429 00:20:41,170 --> 00:20:44,210 igualado a 0 va a dar x igual a 7 tercios 430 00:20:44,210 --> 00:20:49,089 estas serían las dos raíces, esto es una factorización, a lo mejor esta factorización 431 00:20:49,089 --> 00:20:53,009 no está terminada del todo porque tendríamos que tener todos los factores en el formato 432 00:20:53,009 --> 00:20:57,250 x-a, pero para nuestro objetivo que es sacar cuáles son los puntos singulares 433 00:20:57,250 --> 00:21:01,029 me sirve, entonces tenemos dos candidatos para puntos singulares 434 00:21:01,029 --> 00:21:13,920 Les voy a poner aquí. Cuando hablo de puntos singulares me estoy refiriendo a las abscisas, es decir, a las x por un lado 1 y por otro lado 7 tercios. 435 00:21:14,519 --> 00:21:27,960 Estas son las x, llamadas x1 y otras x2. Da igual eso. El caso es que estas x son las que van a, dependiendo de qué es lo que pase con la función ahí, 436 00:21:27,960 --> 00:21:31,920 van a hacer que sea un máximo, o van a ser un máximo, o van a ser un mínimo 437 00:21:31,920 --> 00:21:36,440 entonces, en vez de hacer la segunda derivada, que la segunda derivada 438 00:21:36,440 --> 00:21:40,299 me da un poco de pereza hacerla, lo que voy a hacer ya es estudiar 439 00:21:40,299 --> 00:21:44,299 cuál va a ser el comportamiento del signo de la derivada 440 00:21:44,299 --> 00:21:48,400 en los intervalos que me determinan los puntos singulares, esto creo que 441 00:21:48,400 --> 00:21:50,559 era el punto 2, déjame comprobarlo 442 00:21:50,559 --> 00:21:55,339 el punto 2 era dividir en intervalos 443 00:21:55,339 --> 00:21:59,039 entonces dividimos en intervalos que serán menos infinito 444 00:21:59,039 --> 00:22:03,640 hasta, a ver si no me confundo yo, 1, 7 tercios 445 00:22:03,640 --> 00:22:07,240 que es mayor que 1 y más infinito. Y ahora vamos a estudiar 446 00:22:07,240 --> 00:22:11,400 el signo de la primera derivada y en función del signo vamos a decidir 447 00:22:11,400 --> 00:22:15,119 si la función es creciente 448 00:22:15,119 --> 00:22:16,200 o decreciente. 449 00:22:19,819 --> 00:22:22,460 Esto es muy facilito, el 2 no nos influye en nada 450 00:22:22,460 --> 00:22:44,839 Y si sustituimos un valor más pequeño que 1 en la función, voy a tener que un valor más pequeño que 1 menos 1 me va a dar, voy a poner aquí abajo la función otra vez para trastear sobre ella, la función derivada va a ser igual a 2 por x menos 1 por 3x menos 7. 451 00:22:44,839 --> 00:22:54,839 Recordad que lo que yo estoy buscando es el signo de la primera derivada, así que cojo la primera derivada y busco en estos intervalos determinados por los dos puntos singulares que he encontrado cuáles son los signos en cada intervalo. 452 00:22:54,839 --> 00:23:10,779 Así que, en el primer intervalo esto va a ser positivo, por análisis. Esto va a ser negativo. Y esto de aquí, por debajo de 7 tercios, es decir, 3 multiplicado por menos 200, siempre va a ser negativo. 453 00:23:11,319 --> 00:23:23,599 Así que, menos por menos, por más, va a ser al final positivo. Así que la función es creciente. Que, como os decía, aquí lo tenéis. Es lo más lógico. Si saliera otra cosa me preocuparía. 454 00:23:23,599 --> 00:23:44,059 Así que la función es creciente. Vamos a ver qué pasa en el siguiente intervalo. En el siguiente intervalo voy a hacerlo aquí también sobre esta función en verde como explicación. Esto sigue siendo positivo, el 2 sigue siendo positivo y ahora por encima de 1, es decir, entre 1 y 7 tercios, pues 1,5 menos 1, esto va a ser positivo. 455 00:23:44,059 --> 00:24:09,000 Pero sin embargo, 3x menos 7 va a seguir siendo negativo hasta que llegue a 7 tercios. Es decir, 3 por 1,5 son 4,5. Menos 7 va a ser negativo. Así que también como era un poco esperable, esto va a seguir siendo negativo y por tanto la función en este intervalo es decreciente. 456 00:24:09,000 --> 00:24:12,480 así que en x igual a 1, considerando que la función no tiene asíntotas 457 00:24:12,480 --> 00:24:16,680 y que es continuo y derivable, en x igual a 1 voy a tener un máximo claramente 458 00:24:16,680 --> 00:24:21,700 cuidado porque deducir que es un máximo implica que especificamos esto 459 00:24:21,700 --> 00:24:25,359 esta función es polinómica y por tanto es continuo y derivable 460 00:24:25,359 --> 00:24:28,299 en todo su dominio, que son los números reales 461 00:24:28,299 --> 00:24:33,119 el siguiente intervalo 462 00:24:33,119 --> 00:24:37,460 en el siguiente intervalo, el 2 sigue siendo positivo 463 00:24:37,460 --> 00:24:40,960 el x menos 1 ya es positivo a partir de 1 464 00:24:40,960 --> 00:24:45,400 y ahora 3x menos 7 a partir de aquí 465 00:24:45,400 --> 00:24:47,299 a partir de 7 tercios ya va a ser positivo 466 00:24:47,299 --> 00:24:50,759 así que como esperábamos es positivo y tira para arriba 467 00:24:50,759 --> 00:24:54,299 así que ¿qué es lo que tenemos como conclusión de esta tabla? 468 00:24:55,160 --> 00:24:57,160 como conclusión tenemos que 469 00:24:57,160 --> 00:25:00,960 la función es creciente 470 00:25:00,960 --> 00:25:04,319 en menos infinito 471 00:25:04,319 --> 00:25:15,779 1 unido a 7 tercios más infinito y decreciente en el intervalo que hay entre medias, que es el 1 y 7 tercios. 472 00:25:16,400 --> 00:25:23,180 Y en los puntos que tenemos aquí, en x igual a 1, hay un máximo. 473 00:25:23,619 --> 00:25:27,619 A ver, ese máximo lo podemos calcular. Calculamos cuál es el máximo. 474 00:25:27,759 --> 00:25:31,180 Si ponemos x igual a 1 en la función original, tendríamos... 475 00:25:31,180 --> 00:25:34,039 a ver que no se me olvide, la voy a copiar otra vez 476 00:25:34,039 --> 00:25:35,119 porque si no se me olvida 477 00:25:35,119 --> 00:25:38,319 un momentito 478 00:25:38,319 --> 00:25:47,799 a ver si el ministerio nos da en algún momento 479 00:25:47,799 --> 00:25:49,019 algún ordenador que funcione 480 00:25:49,019 --> 00:26:02,700 porque este es mío 481 00:26:02,700 --> 00:26:03,940 voy a poner por aquí la función 482 00:26:03,940 --> 00:26:07,789 joder 483 00:26:07,789 --> 00:26:11,279 a ver 484 00:26:11,279 --> 00:26:14,559 2 por x-1 al cuadrado por x-3 485 00:26:14,559 --> 00:26:21,380 2 por x-1 al cuadrado por x-3 486 00:26:21,380 --> 00:26:22,339 esta es la función 487 00:26:22,339 --> 00:26:24,299 entonces si yo quiero calcular la y 488 00:26:24,299 --> 00:26:26,779 cuando x es igual a 1, pues sustituyo el 1 489 00:26:26,779 --> 00:26:28,000 1 menos 1 es 0 490 00:26:28,000 --> 00:26:32,519 y sería, esta es la función 491 00:26:32,519 --> 00:26:36,000 está factorizada, vale, aquí vale 0 492 00:26:36,000 --> 00:26:40,160 entonces el máximo 493 00:26:40,160 --> 00:26:43,220 sería el punto 1, 0 494 00:26:43,220 --> 00:26:46,920 ahora, en x igual a, creo que era 7 tercios 495 00:26:46,920 --> 00:26:48,779 hay un mínimo 496 00:26:48,779 --> 00:26:54,700 espero que lo hayáis estado siguiendo porque yo tengo probabilidad 497 00:26:54,700 --> 00:26:59,180 o sea, hay cierta probabilidad de que yo me equivoque, entonces f de 7 tercios 498 00:26:59,180 --> 00:27:02,859 que es la i, tendríamos 2 por 499 00:27:02,859 --> 00:27:06,839 7 tercios menos 1 elevado al cuadrado por 7 tercios 500 00:27:06,839 --> 00:27:10,940 menos 3, y esto pues, vamos a ver si esto 501 00:27:10,940 --> 00:27:18,750 funciona, está en ello 502 00:27:18,750 --> 00:27:26,720 a ver, voy a coger la calculadora manual 503 00:27:26,720 --> 00:27:31,140 2 por 504 00:27:31,140 --> 00:27:35,900 7 tercios menos 1 al cuadrado 505 00:27:35,900 --> 00:27:42,579 y por 506 00:27:42,579 --> 00:27:45,180 7 tercios menos 3 507 00:27:45,180 --> 00:27:51,990 y esto da 508 00:27:51,990 --> 00:27:54,710 podríamos decir que como fracción 509 00:27:54,710 --> 00:27:58,569 sería menos 64 510 00:27:58,569 --> 00:28:02,529 27 agos, así que el mínimo estaría en 7 tercios 511 00:28:02,529 --> 00:28:05,470 menos 64 27 agos de lo que hay 512 00:28:05,470 --> 00:28:07,589 bueno 513 00:28:07,589 --> 00:28:20,190 Bueno, ya digo, hay alguna probabilidad de que me haya equivocado en algún paso, yo creo que vamos a hacer algún otro ejercicio porque en realidad me puede haber equivocado en alguna cuenta, pero el procedimiento es este, lo repito un momentito. 514 00:28:21,009 --> 00:28:24,670 Tenemos que ver la función, en este caso continuo y derivable en todo el dominio, 515 00:28:24,730 --> 00:28:28,730 que son todos los números reales, y buscamos la primera derivada igualada a cero para ver los puntos singulares. 516 00:28:29,390 --> 00:28:32,349 Dividimos el intervalo del dominio entre los puntos singulares. 517 00:28:33,069 --> 00:28:36,750 Con los puntos singulares vemos el signo de la primera derivada y con ello deducimos 518 00:28:36,750 --> 00:28:39,890 si la función es creciente o decreciente en cada intervalo. 519 00:28:40,430 --> 00:28:43,210 Deducimos si son máximos o mínimos esos puntos singulares, 520 00:28:43,630 --> 00:28:45,869 viendo si cambia de creciente a decreciente o viceversa. 521 00:28:46,450 --> 00:28:49,650 Calculamos las is de los puntos que son máximos y mínimos relativos. 522 00:28:50,190 --> 00:28:52,509 y se acabó, vamos a hacer otro 523 00:28:52,509 --> 00:28:54,269 pero para 524 00:28:54,269 --> 00:28:56,329 máximos y mínimos no se supone que hay que 525 00:28:56,329 --> 00:28:57,049 hacer la segunda derivada 526 00:28:57,049 --> 00:28:59,490 no se fija en la segunda derivada 527 00:28:59,490 --> 00:29:02,549 eso te haría falta si no haces el estudio 528 00:29:02,549 --> 00:29:04,089 del crecimiento y decrecimiento 529 00:29:04,089 --> 00:29:06,430 si solamente estás calculando máximos 530 00:29:06,430 --> 00:29:08,170 y mínimos, pues tienes que valorar 531 00:29:08,170 --> 00:29:10,630 si quieres hacer la segunda derivada 532 00:29:10,630 --> 00:29:11,930 o quieres estudiar la monotonía 533 00:29:11,930 --> 00:29:13,930 como en este caso pide estudiar la monotonía 534 00:29:13,930 --> 00:29:15,170 la segunda derivada nos da igual 535 00:29:15,170 --> 00:29:18,089 en realidad, si hay veces 536 00:29:18,089 --> 00:29:20,049 que la segunda derivada es más complicada 537 00:29:20,049 --> 00:29:23,690 de hacer que mirar la monotonía. Entonces hay que deducir a ver qué es lo que queréis hacer. 538 00:29:24,410 --> 00:29:28,450 O sea, en cada caso, si es más complicado hacer la segunda derivada, nada, nada, ver el signo. 539 00:29:29,730 --> 00:29:32,170 Vamos a coger algún otro de estos que tengo yo por aquí. 540 00:29:33,769 --> 00:29:35,769 Vamos a coger este como un ejemplo. 541 00:29:36,769 --> 00:29:40,609 A ver si quiere ponérmelo aquí donde yo quiero. 542 00:29:41,950 --> 00:29:45,190 Vamos a coger este como un ejemplo de optimización, que es una cosa 543 00:29:45,190 --> 00:29:49,730 que vamos a analizar en clases sucesivas. ¿Qué es esto de la optimización? 544 00:29:49,730 --> 00:29:51,430 o a qué se refiere con la optimización 545 00:29:51,430 --> 00:29:52,950 vamos a ponerlo en el mismo sitio 546 00:29:52,950 --> 00:29:56,130 vamos a ver 547 00:29:56,130 --> 00:30:06,740 esto de la optimización consiste en que 548 00:30:06,740 --> 00:30:08,519 cuando nosotros tenemos una función 549 00:30:08,519 --> 00:30:10,799 que describe una situación 550 00:30:10,799 --> 00:30:12,880 es decir, la relación entre dos magnitudes 551 00:30:12,880 --> 00:30:14,559 yo puedo calcular 552 00:30:14,559 --> 00:30:16,700 puedo optimizar 553 00:30:16,700 --> 00:30:17,440 esa función 554 00:30:17,440 --> 00:30:21,019 si esta me dice, ahora a ver si consigo ponerla en su sitio 555 00:30:21,019 --> 00:30:23,420 si esta me dice 556 00:30:23,420 --> 00:30:23,859 que 557 00:30:23,859 --> 00:30:30,029 que los ordenadores hagan lo que les dé la gana 558 00:30:30,029 --> 00:30:31,009 no lo que tú les dices 559 00:30:31,009 --> 00:30:32,490 y trae negro 560 00:30:32,490 --> 00:30:35,569 si esta función 561 00:30:35,569 --> 00:30:37,750 que es una función racional 562 00:30:37,750 --> 00:30:40,630 aquí está 563 00:30:40,630 --> 00:30:42,789 esta función lo que me está diciendo 564 00:30:42,789 --> 00:30:44,450 son en miles de euros 565 00:30:44,450 --> 00:30:47,450 el beneficio neto de un proceso de venta 566 00:30:47,450 --> 00:30:49,329 siendo X el número de artículos vendidos 567 00:30:49,329 --> 00:30:51,089 tampoco se ha complicado demasiado la vida 568 00:30:51,089 --> 00:30:53,230 dice calcula el número de artículos 569 00:30:53,230 --> 00:30:54,849 que deben venderse para obtener 570 00:30:54,849 --> 00:30:58,230 el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo. 571 00:30:58,769 --> 00:31:01,730 Esta función va a tener una representación. No sé cuál es. 572 00:31:02,210 --> 00:31:05,309 Yo estoy viendo ya aquí que por lo pronto tiene una asíntota en menos uno. 573 00:31:05,549 --> 00:31:08,390 Eso es lo primero que veo yo. En menos x más algo. 574 00:31:08,930 --> 00:31:10,089 Ese más algo ya se vería. 575 00:31:10,690 --> 00:31:14,849 Pero bueno, el caso es que si yo quiero ver cuando la función b, 576 00:31:15,029 --> 00:31:17,990 que me dice cuál es el beneficio, tiene un máximo, 577 00:31:18,990 --> 00:31:20,789 es decir, cuando los beneficios son máximos, 578 00:31:21,150 --> 00:31:23,289 lo que tengo que hacer es calcular un máximo de la función. 579 00:31:24,009 --> 00:31:24,410 ¿Veis? 580 00:31:24,849 --> 00:31:29,049 Esta función B me representa, va a tener una representación la que sea. 581 00:31:29,930 --> 00:31:35,410 Dentro de esa representación, independientemente de cuál sea, voy a tener máximos o mínimos o no. 582 00:31:36,190 --> 00:31:39,650 El caso es que donde esté el máximo, B va a ser máximo. 583 00:31:39,650 --> 00:31:43,829 Es decir, habrá una X para la cual B tiene un máximo. 584 00:31:44,329 --> 00:31:50,210 Conclusión, para ese número de artículos vendidos, el beneficio va a ser máximo. 585 00:31:50,809 --> 00:31:52,769 Esto no sé si lo habéis dado en vuestra clase o en otra. 586 00:31:52,769 --> 00:31:55,349 los beneficios 587 00:31:55,349 --> 00:31:56,910 cuando uno vende un artículo van a depender 588 00:31:56,910 --> 00:31:58,230 del número de artículos que vende 589 00:31:58,230 --> 00:32:00,950 y no siempre se gana más cuando más artículos se venden 590 00:32:00,950 --> 00:32:02,809 llegará un momento en que para producir más 591 00:32:02,809 --> 00:32:04,569 se necesitan gastar más recursos 592 00:32:04,569 --> 00:32:06,849 y el beneficio que se obtiene 593 00:32:06,849 --> 00:32:08,809 pues a lo mejor se reduce si gastas 594 00:32:08,809 --> 00:32:11,150 si se producen más artículos 595 00:32:11,150 --> 00:32:12,609 hasta que llega un momento 596 00:32:12,609 --> 00:32:14,309 en que ya sí que se compensan 597 00:32:14,309 --> 00:32:15,569 entonces 598 00:32:15,569 --> 00:32:18,990 imaginaos que vendes pasteles 599 00:32:18,990 --> 00:32:20,890 y tú solo haces 600 00:32:20,890 --> 00:32:22,609 no sé, 100 pasteles al día 601 00:32:22,609 --> 00:32:37,170 Pero resulta que quieres vender más, entonces tienes que contratar a otra persona. Si haces 101 pasteles, obviamente, si vendes 101 pasteles, obviamente, pagar dos personas te va a resultar perjudicial, es decir, no vas a obtener beneficios. 602 00:32:37,170 --> 00:32:41,329 Pero a partir de 200, seguramente ya obtendrás más beneficio que el que tenías antes. 603 00:32:41,650 --> 00:32:46,130 Entonces, lo que buscamos en estas funciones, que representan casos hipotéticamente reales, 604 00:32:46,410 --> 00:32:53,430 es cuáles son los extremos para ver dónde se maximiza la función en función de la otra variable. 605 00:32:54,170 --> 00:32:58,170 Así que, si lo que queremos calcular es el número de artículos... 606 00:33:00,009 --> 00:33:05,869 Voy a cerrar y volverlo a encender otra vez. 607 00:33:05,869 --> 00:33:08,250 Aquí está la calculadora, buenas horas. 608 00:33:08,930 --> 00:33:33,130 Si lo que queremos es ver cuándo B es máximo en función de la X, lo que tenemos que ver es en qué número de artículos deben venderse para obtener un beneficio máximo. 609 00:33:33,130 --> 00:33:48,849 Es decir, B de X sub 0 es máximo en X sub 0. Ahora después la representaremos, a ver si nos da tiempo. 610 00:33:48,849 --> 00:33:51,289 entonces, esta función 611 00:33:51,289 --> 00:33:52,789 para maximizarla 612 00:33:52,789 --> 00:33:54,890 lo primero que tengo que tener en cuenta 613 00:33:54,890 --> 00:33:57,910 no la voy a llamar ni siquiera f de x 614 00:33:57,910 --> 00:34:00,069 b de x me sirve, me da un poco igual el nombre 615 00:34:00,069 --> 00:34:01,569 más 9 de x 616 00:34:01,569 --> 00:34:03,130 menos 16 partido de x 617 00:34:03,130 --> 00:34:04,910 lo primero que yo analizo de esta función 618 00:34:04,910 --> 00:34:06,569 es que tiene una asíntota 619 00:34:06,569 --> 00:34:10,989 en x igual a 0 620 00:34:10,989 --> 00:34:12,690 una asíntota vertical, obviamente 621 00:34:12,690 --> 00:34:15,170 en x igual a 0 622 00:34:15,170 --> 00:34:17,110 x igual a 0 no pertenece al dominio 623 00:34:17,110 --> 00:34:18,909 así que el dominio de la función 624 00:34:18,909 --> 00:34:23,250 podríamos decir el dominio de, voy a llamarla ddx 625 00:34:23,250 --> 00:34:27,389 yo podría decir que es todos los números reales menos el cero 626 00:34:27,389 --> 00:34:31,429 lo que pasa es que se está especificando aquí 627 00:34:31,429 --> 00:34:35,550 que x son artículos que se venden, es decir, se está refiriendo a que 628 00:34:35,550 --> 00:34:39,590 los artículos son a partir de cero, puedo tener 629 00:34:39,590 --> 00:34:43,489 menos tres artículos, así que el dominio de la función vamos a considerarle a partir 630 00:34:43,489 --> 00:34:47,550 de cero artículos vendidos en adelante, así que el cero 631 00:34:47,550 --> 00:34:58,969 no nos va a plantear ningún problema, entonces calculamos la función, la derivada, la derivada de b de x va a ser igual a, como es una fracción, 632 00:34:59,510 --> 00:35:10,250 una función racional, calculamos la derivada del numerador por el denominador, todo eso, menos 2x más 9 multiplicado por x, ahora menos x de derivada es 1, 633 00:35:10,250 --> 00:35:12,389 menos x al cuadrado 634 00:35:12,389 --> 00:35:14,210 más 9x menos 16 635 00:35:14,210 --> 00:35:16,269 partido de 636 00:35:16,269 --> 00:35:19,269 x al cuadrado 637 00:35:19,269 --> 00:35:22,869 a ver, yo esta función la veo 638 00:35:22,869 --> 00:35:24,570 particular 639 00:35:24,570 --> 00:35:27,050 no sé si ahora o después nos influirá 640 00:35:27,050 --> 00:35:29,110 esta función 641 00:35:29,110 --> 00:35:30,949 si os fijáis es menos 642 00:35:30,949 --> 00:35:32,489 ah bueno, no, perdón, perdón 643 00:35:32,489 --> 00:35:35,050 es un 9, perdón, no he dicho nada 644 00:35:35,050 --> 00:35:36,389 no he dicho nada 645 00:35:36,389 --> 00:35:38,510 creí que era un cuadrado perfecto, pero es un 9 646 00:35:38,510 --> 00:35:41,010 vale, entonces 647 00:35:41,010 --> 00:35:42,989 simplificamos aquí lo que se pueda 648 00:35:42,989 --> 00:35:44,150 e igualamos a 0 649 00:35:44,150 --> 00:35:49,429 esto va a ser igual a 650 00:35:49,429 --> 00:35:51,329 menos 2x al cuadrado 651 00:35:51,329 --> 00:35:52,489 menos 9x 652 00:35:52,489 --> 00:36:01,840 sigo más operacióncitas 653 00:36:01,840 --> 00:36:03,800 menos x al cuadrado 654 00:36:03,800 --> 00:36:05,300 menos 9 más 9 es 0 655 00:36:05,300 --> 00:36:07,539 y más 16 656 00:36:07,539 --> 00:36:08,940 partido de x al cuadrado 657 00:36:08,940 --> 00:36:11,960 esto por si tenéis la tentación 658 00:36:11,960 --> 00:36:12,500 de hacerlo 659 00:36:12,500 --> 00:36:16,239 por favor, cortaos las manos, eso no se hace 660 00:36:16,239 --> 00:36:19,860 esto no se hace, caca 661 00:36:19,860 --> 00:36:24,599 así que, nada de tachar términos de arriba con términos de abajo 662 00:36:24,599 --> 00:36:28,579 cuidadito, porque esto se ve hacer a muchísima gente 663 00:36:28,579 --> 00:36:32,699 que ya sabe bastantes matemáticas, es un error 664 00:36:32,699 --> 00:36:36,500 que de vez en cuando te dan las tentaciones de hacerlo 665 00:36:36,500 --> 00:36:39,800 cuidadito con eso, esto no puede simplificarse 666 00:36:39,800 --> 00:36:42,920 un término con un factor, tendrían que ser factores 667 00:36:42,920 --> 00:36:45,679 así que tenemos x al cuadrado más 16 668 00:36:45,679 --> 00:36:47,760 para calcular los puntos singulares 669 00:36:47,760 --> 00:36:51,599 es decir, los puntos candidatos a que haya un máximo o un mínimo 670 00:36:51,599 --> 00:36:55,079 lo igualo a cero, y si lo igualo a cero obtengo dos resultados 671 00:36:55,079 --> 00:36:57,519 dos soluciones, obviamente si igualo esto a cero 672 00:36:57,519 --> 00:37:01,019 el denominador no tiene nada que hacer, solamente es el numerador igual a cero 673 00:37:01,019 --> 00:37:03,940 entonces menos x al cuadrado más 16 igual a cero 674 00:37:03,940 --> 00:37:06,400 me da dos soluciones, x igual a 4 675 00:37:06,400 --> 00:37:08,239 y x2 igual a menos 4 676 00:37:09,219 --> 00:37:12,920 Primero, supongo que estáis viendo cómo se resuelve esta ecuación. 677 00:37:13,059 --> 00:37:18,699 Si tenéis alguna duda me cortáis y me decís, por supuesto, este lo descarto 678 00:37:18,699 --> 00:37:21,760 porque no puedo tener una producción de menos 4. 679 00:37:22,679 --> 00:37:24,360 Es decir, es como si estuviera yo comprándolo, ¿no? 680 00:37:25,000 --> 00:37:26,840 Entonces, ese le tengo que descartar. 681 00:37:26,840 --> 00:37:32,800 Así que lo que voy a valorar es si este 4 es un máximo o un mínimo. 682 00:37:33,400 --> 00:37:37,519 En este caso, aquí sí que voy a calcular la segunda derivada 683 00:37:38,059 --> 00:37:40,059 ¿Por qué? Porque la monotonía no me interesa para nada. 684 00:37:40,159 --> 00:37:42,400 A mí lo que me interesa es saber si eso es un máximo o un mínimo. 685 00:37:42,900 --> 00:37:45,800 Así que aquí sí que aplico el criterio de la segunda derivada. 686 00:37:46,880 --> 00:37:51,380 Hago la segunda derivada sabiendo que la primera la tengo aquí calculada y simplificada. 687 00:37:51,840 --> 00:37:56,739 No es muy difícil hacer esta derivada, así que es relativamente sencillo. 688 00:37:58,699 --> 00:38:05,659 Menos 2x multiplicado por x al cuadrado, menos 2x multiplicado por menos x al cuadrado, más 16. 689 00:38:05,659 --> 00:38:09,780 Es decir, la derivada del primero por el segundo menos la derivada del segundo por el primero. 690 00:38:09,860 --> 00:38:11,980 Cuando digo primero y segundo me refiero al de arriba y al de abajo. 691 00:38:12,760 --> 00:38:14,980 Y partido del de abajo elevado a la cuarta. 692 00:38:15,980 --> 00:38:18,679 Y ahora tengo que sustituir en la segunda derivada. 693 00:38:19,719 --> 00:38:21,719 Bueno, voy a simplificarla un poquito, que no es muy difícil. 694 00:38:22,139 --> 00:38:28,059 Sería menos 2x elevado al cubo más 2x elevado al cubo, si no me equivoco, 695 00:38:28,360 --> 00:38:31,760 y menos 2 por 16, que son 32x. 696 00:38:32,420 --> 00:38:35,159 Este con este se va fuera y partido de x a la cuarta. 697 00:38:35,659 --> 00:38:48,599 Así que si sustituimos x elevado a la cuarta, perdón, x elevado a 4, la segunda derivada en 4 sería menos 32 multiplicado por 4 partido de 4 elevado a la cuarta, que siempre va a ser positivo. 698 00:38:50,260 --> 00:38:55,920 Así que esto es menor que 0, lo que quiere decir que x igual a 4 es un máximo. 699 00:38:57,480 --> 00:39:01,219 O en x igual a 4 hay un máximo. 700 00:39:01,219 --> 00:39:29,639 ¿Vale? Primera conclusión. Como lo que nos está pidiendo tiene que ver con una situación hipotéticamente real, calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo. Cuatro artículos. Lo pongo aquí. El beneficio máximo se da cuando producimos cuatro artículos. 701 00:39:31,219 --> 00:39:55,380 A ver, esto de poner la frasecita, ¿puede pasar una tontería y decir, joder, pues ya se ve aquí, ¿no? Ya se ve ahí que es x igual a 4. Pues no. Hay que ponerlo. Ponedlo porque al corrector lo que quiere es que dé respuesta al problema. Y el problema, la solución, es lo que pone aquí, que el beneficio máximo se da cuando producimos cuatro artículos. No x igual a 4. x igual a 4 es la solución de una ecuación o de algo parecido. 702 00:39:55,380 --> 00:40:25,670 Pero, poned las soluciones escritas, por favor. Vamos a calcular el beneficio. El beneficio máximo será b de 4, que va a ser igual, si cogemos la función original, es x al cuadrado más 9x menos 16, menos 4 elevado al cuadrado más 9 por 4, y ya ni me acuerdo, menos 16, 703 00:40:25,670 --> 00:40:28,190 y partido de 4, ¿verdad? 704 00:40:29,389 --> 00:40:33,690 Partido de 4, 9x, menos 16, 9x, a ver, ¿dónde estás? 705 00:40:34,309 --> 00:40:37,730 Vale, y esto es menos 16, 706 00:40:38,949 --> 00:40:40,449 4 por 4 son 16, ¿no? 707 00:40:42,230 --> 00:40:46,750 Más 36 menos 16, que ves, partido de 4, 708 00:40:47,110 --> 00:40:49,849 y esto es igual a menos 16 más 16, 709 00:40:50,130 --> 00:40:52,010 perdón, menos 16 menos 16, que son menos 32, 710 00:40:52,010 --> 00:40:55,110 más 36, que son 4 entre 4, 711 00:40:55,670 --> 00:41:05,170 1. Recuerdo que no es 1 lo que estamos produciendo, sino son en miles de euros el beneficio neto. 712 00:41:05,170 --> 00:41:23,079 Así que el beneficio, voy a poner aquí el 1 casi, el beneficio máximo son 1000 euros, 713 00:41:23,079 --> 00:41:28,300 que es precisamente lo que pone. Recordad que el beneficio está dado en miles de euros. 714 00:41:28,300 --> 00:41:31,699 vamos a intentar representarlo con la herramienta de GeoGebra 715 00:41:31,699 --> 00:41:36,619 y creo que era menos 716 00:41:36,619 --> 00:41:40,760 x elevado al cuadrado 717 00:41:40,760 --> 00:41:47,119 más 9x 718 00:41:47,119 --> 00:41:52,090 y menos 16 719 00:41:52,090 --> 00:41:54,610 y todo partido de x 720 00:41:54,610 --> 00:41:59,329 pues entonces aquí lo veis, esta es la representación 721 00:41:59,329 --> 00:42:03,349 a ver, esta es la representación 722 00:42:03,349 --> 00:42:06,969 independientemente de la rama de la izquierda, que también tiene una rama por la izquierda 723 00:42:06,969 --> 00:42:11,389 que está aquí arriba, esa me da igual, la rama que hay del 0 para la izquierda me da exactamente igual 724 00:42:11,389 --> 00:42:14,690 entonces, hacia la derecha 725 00:42:14,690 --> 00:42:19,909 tengo que el beneficio máximo se produce en x igual a 4 726 00:42:19,909 --> 00:42:23,670 y en x igual a 4 el beneficio es 1 727 00:42:23,670 --> 00:42:27,349 es decir, el punto sería el 4, 1 728 00:42:27,349 --> 00:42:28,429 y ese es el máximo 729 00:42:28,429 --> 00:42:32,969 bueno, pues este es 730 00:42:32,969 --> 00:42:35,670 el problema que quería hacer 731 00:42:35,670 --> 00:42:37,449 tengo alguno más por aquí seleccionado 732 00:42:37,449 --> 00:42:38,610 pero ya no da tiempo a más 733 00:42:38,610 --> 00:42:40,750 tenía alguno más seleccionado 734 00:42:40,750 --> 00:42:41,949 si queréis podéis apuntarlos 735 00:42:41,949 --> 00:42:44,590 el 3-10-2 y el 3-12-5 736 00:42:44,590 --> 00:42:46,750 que vuelven a ser un poquito de lo mismo 737 00:42:46,750 --> 00:42:49,010 allá a los extremos 738 00:42:49,010 --> 00:42:51,409 calcula la monotonía 739 00:42:51,409 --> 00:42:53,349 en el ejercicio número 3-10-2 740 00:42:53,349 --> 00:42:55,170 que es el que aparece aquí en primer lugar 741 00:42:55,170 --> 00:42:57,309 además os pide la recta tangente 742 00:42:57,309 --> 00:42:59,590 la gráfica en el punto de abscisa x igual a 3 743 00:42:59,590 --> 00:43:01,289 sería conveniente que lo hicieses 744 00:43:01,289 --> 00:43:02,989 también, y en el otro problema 745 00:43:02,989 --> 00:43:05,170 también dice que se determinan 746 00:43:05,170 --> 00:43:06,949 las asíntotas, que también sabéis hacerla 747 00:43:06,949 --> 00:43:09,110 los extremos, y luego representáis 748 00:43:09,110 --> 00:43:10,309 gráficamente las funciones 749 00:43:10,309 --> 00:43:13,130 el área del recinto asociado 750 00:43:13,130 --> 00:43:14,789 no sé qué, no sé cuánto, esto no os preocupéis 751 00:43:14,789 --> 00:43:16,610 porque esto se hace mediante integrales 752 00:43:16,610 --> 00:43:18,469 cuando lo veáis veréis que es muy difícil hacerlo 753 00:43:18,469 --> 00:43:21,389 vale, pues terminamos 754 00:43:21,389 --> 00:43:23,090 aquí entonces, no sé si tenéis 755 00:43:23,090 --> 00:43:24,070 algo que preguntar 756 00:43:24,070 --> 00:43:26,050 lo último 757 00:43:26,050 --> 00:43:28,510 y si no, pues 758 00:43:28,510 --> 00:43:30,230 pues nada, nos vemos 759 00:43:30,230 --> 00:43:31,030 yo no, yo no 760 00:43:31,030 --> 00:43:33,789 nos vemos mañana entonces, quedará grabado 761 00:43:33,789 --> 00:43:35,969 intentaré entre, bueno, normalmente lo cuelgo 762 00:43:35,969 --> 00:43:38,030 mañana, colgar la grabación 763 00:43:38,030 --> 00:43:39,909 que creo que esta vez sí que se está 764 00:43:39,909 --> 00:43:41,889 grabando y la colgaré 765 00:43:41,889 --> 00:43:42,809 a ver si quito esto 766 00:43:42,809 --> 00:43:46,070 la colgaré mañana en la página 767 00:43:46,070 --> 00:43:48,190 vale, venga nada, seguid trabajando 768 00:43:48,190 --> 00:43:49,989 y todas las dudas que haya para el viernes 769 00:43:49,989 --> 00:43:51,889 esta clase será de dudas, así que 770 00:43:51,889 --> 00:43:53,929 preparad sobre todo dudas que 771 00:43:53,929 --> 00:43:55,550 surjan a la hora de resolver ejercicios 772 00:43:55,550 --> 00:43:57,929 vale, venga pues nada chicos 773 00:43:57,929 --> 00:43:59,010 chao 774 00:43:59,010 --> 00:44:00,789 hasta luego