1
00:00:00,610 --> 00:00:02,490
Hola, buenos días, ¿qué tal?

2
00:00:02,910 --> 00:00:07,650
Bueno, para acabar este tema vamos a ver el punto número 4, que es de resolución de triángulos.

3
00:00:07,849 --> 00:00:09,750
Bien, ¿qué es resolver un triángulo?

4
00:00:09,949 --> 00:00:16,929
Pues es hacer los cálculos necesarios para obtener, de alguna manera, los tres lados y los tres ángulos.

5
00:00:17,190 --> 00:00:20,609
Eso es lo que queremos, saber todos los ángulos y todos los ángulos.

6
00:00:20,710 --> 00:00:24,550
¿De qué? De un triángulo, por lo tanto, habrá tres lados y tres ángulos.

7
00:00:24,550 --> 00:00:46,770
Vale, este triángulo, recordad que los lados y los ángulos no están puestos al azar, fijaros que el lado A tiene que estar enfrente del vértice A y por lo tanto del ángulo alfa, el vértice B y el lado B también son opuestos, tienen que estar enfrentados, igual que el ángulo beta.

8
00:00:46,770 --> 00:00:53,170
Y lo mismo ocurre con el lado C, el vértice C y el ángulo gamma.

9
00:00:53,369 --> 00:01:07,400
Gamma, alfabeta y gamma, que también podemos decir ángulo de A, ángulo de B y ángulo de C.

10
00:01:08,079 --> 00:01:10,780
Pero ya sabéis que a mí me gusta más utilizar alfabeta y gamma.

11
00:01:11,260 --> 00:01:16,819
Bueno, en cualquier caso, ¿qué puedo hacer yo para obtener toda esta información que yo quiero?

12
00:01:16,819 --> 00:01:18,359
¿Qué herramientas tengo?

13
00:01:18,719 --> 00:01:22,400
Pues eso es lo que vamos a ver, las herramientas con las que contamos.

14
00:01:24,299 --> 00:01:31,459
Bien, en primer lugar tenemos lo que ya todos conocemos, que es el teorema de Pitágoras.

15
00:01:32,500 --> 00:01:36,200
El teorema de Pitágoras.

16
00:01:37,340 --> 00:01:40,719
¿Pero qué ocurre con el teorema de Pitágoras? ¿Lo podemos aplicar siempre?

17
00:01:41,159 --> 00:01:46,959
Pues no, señores, para poder aplicar el teorema de Pitágoras tiene que haber catetos y una hipotenusa.

18
00:01:46,959 --> 00:01:53,359
¿Y eso cuándo ocurre? Solo y exclusivamente cuando tenemos un triángulo rectángulo.

19
00:01:53,500 --> 00:01:58,920
Tiene que aparecer un ángulo recto, si no, yo no puedo utilizar el teorema de Pitágoras.

20
00:01:59,239 --> 00:02:06,060
Recordad que el teorema de Pitágoras me relacionaba los tres lados, la hipotenusa al cuadrado con la suma de los catetos al cuadrado.

21
00:02:06,719 --> 00:02:13,500
Importante, ángulo recto, si no, yo no lo puedo utilizar, tiene que haber un ángulo recto.

22
00:02:13,500 --> 00:02:20,180
Me tienen que decir, hay un ángulo de 90 grados o en un triángulo rectángulo, pero tienen que decirnoslo,

23
00:02:20,240 --> 00:02:25,479
si no, no podemos asumir que es un triángulo rectángulo, por lo tanto no podemos utilizar el teorema de Pitágoras.

24
00:02:25,759 --> 00:02:38,580
Siguiente herramienta, el seno, el coseno y la tangente, pero de nuevo tiene que ser en un triángulo rectángulo.

25
00:02:38,580 --> 00:02:45,300
Si no tenemos un ángulo recto, no podemos aplicar ni el seno, ni el coseno, ni la tangente

26
00:02:45,300 --> 00:02:49,539
Tiene que haber un ángulo recto

27
00:02:49,539 --> 00:02:51,919
Fijaros, el seno ¿qué era?

28
00:02:52,099 --> 00:02:55,379
El seno era, bueno, tengo que poner un ángulo

29
00:02:55,379 --> 00:02:57,120
Por ejemplo, este ángulo ¿qué era?

30
00:02:57,439 --> 00:02:59,060
Con respecto a ese ángulo

31
00:02:59,060 --> 00:03:06,060
Esta distancia del cateto opuesto, cateto, triángulo rectángulo, entre la hipotenusa

32
00:03:06,060 --> 00:03:17,379
¿Y el coseno? El coseno era con el cateto contiguo entre la hipotenusa y la tangente seno entre coseno opuesto entre contiguo.

33
00:03:17,379 --> 00:03:21,620
De nuevo, tiene que ser en triángulos rectángulos estas dos.

34
00:03:23,360 --> 00:03:28,520
Ojo, cuidado, que sólo en triángulos rectángulos tiene que aparecer un ángulo recto.

35
00:03:29,099 --> 00:03:33,419
Vale, ¿qué más herramientas tenemos? Ahora ya sí, para cualquier triángulo.

36
00:03:33,419 --> 00:03:52,120
Pues tenemos el teorema del seno. ¿Qué me dice el teorema del seno? Pues me dice que un lado y su correspondiente ángulo, es decir, a con alfa, b con beta y c con gamma,

37
00:03:52,120 --> 00:04:03,219
tienen siempre la misma relación, es decir, A entre el seno de alfa es igual a B entre el seno de beta

38
00:04:03,219 --> 00:04:11,060
y es igual a C entre el seno de gamma. Se llama teorema del seno, aparece el seno, ¿vale?

39
00:04:11,240 --> 00:04:16,360
¿Qué ocurre? Pues que yo aquí si tengo que resolver un ejercicio, dependiendo de los datos que me den,

40
00:04:16,360 --> 00:04:22,620
os cogeré estos dos, o estos dos, o el primero y el último, dependiendo de lo que me den.

41
00:04:23,939 --> 00:04:30,500
Siguiente teorema. Si hay uno del seno, es que hay otro del coseno. Voy a borrar esto y vuelvo.

42
00:04:32,279 --> 00:04:37,079
Como veis, he hecho un resumen aquí a la derecha y seguimos. El teorema del coseno. El teorema del

43
00:04:37,079 --> 00:04:43,699
coseno es con unas comillas muy grandes, ¿vale? Muy entre comillas, como el teorema de Pitágoras

44
00:04:43,699 --> 00:04:50,639
para los triángulos no rectángulos. ¿Por qué? Porque me relaciona todos sus lados. ¿Cómo es? Pues muy

45
00:04:50,639 --> 00:04:55,959
parecido al teorema de Pitágoras, pero si es el teorema del coseno es que tiene que aparecer un

46
00:04:55,959 --> 00:05:03,379
coseno, ¿verdad? Pues venga, vamos con él. Empezamos con un lado, por ejemplo, a. Pues a al cuadrado es

47
00:05:03,379 --> 00:05:15,160
igual a la suma de los otros dos, b al cuadrado más c al cuadrado, y aquí viene el coseno menos dos veces

48
00:05:15,160 --> 00:05:26,959
b por c por el coseno del ángulo que forman b y c. Fijaros cuáles son los ángulos que forman el ángulo

49
00:05:26,959 --> 00:05:34,839
que forma b y c. b está aquí y c aquí. Es alfa, ¿verdad? Justo el opuesto al lado que estamos queriendo calcular.

50
00:05:35,339 --> 00:05:47,319
Por lo tanto, coseno de alfa a cuadrado es igual a b al cuadrado más c al cuadrado menos 2 por b por c por el coseno de alfa.

51
00:05:48,379 --> 00:05:56,819
¿Vale? ¿Podemos darle la vuelta y calcular b cuadrado y c cuadrado? Sí, lo único que tengo que cambiar son los lados que estoy cogiendo

52
00:05:56,819 --> 00:06:05,420
y el ángulo. Si quiero calcular b cuadrado, ¿qué hago? La suma de a al cuadrado más c al cuadrado,

53
00:06:05,579 --> 00:06:14,439
los otros dos lados, menos 2a por c por el coseno del ángulo opuesto a b, que es el ángulo que

54
00:06:14,439 --> 00:06:29,430
forman a y c, coseno de beta. Y lo mismo con c. c al cuadrado es igual a al cuadrado más b al cuadrado

55
00:06:29,430 --> 00:06:43,990
menos 2 a por b por el coseno del ángulo opuesto a c, que es gamma. Pues este es el teorema del

56
00:06:43,990 --> 00:06:52,110
coseno. ¿Y para qué sirve? Para encontrar la relación entre los tres lados. Vale, además de

57
00:06:52,110 --> 00:06:56,589
todo esto, que ahora mismo lo voy a borrar y lo voy a poner aquí en la esquinita, tenemos varios

58
00:06:56,589 --> 00:07:04,050
resultados que son muy interesantes y nos viene muy bien saber. Borro, escribo y vuelvo. El primer

59
00:07:04,050 --> 00:07:09,350
resultado interesante que nos tiene que sonar tiene que ver con la altura de un triángulo. ¿Cuál es la

60
00:07:09,350 --> 00:07:35,879
¿Cuál es la altura de ese triángulo? Esta, ¿no? Esto es la altura. Vale, pues esa altura la podemos sacar, fijaros, si sabemos alfa y, por ejemplo, el lado c, lo podríamos sacar como el lado c junto con alfa, que sería esto de aquí, tiene enfrente esa h, esa altura.

61
00:07:35,879 --> 00:07:47,879
Ahora, si yo conozco C, conozco, bueno, no conozco H, pero lo quiero sacar, y conozco alfa, conozco C y conozco alfa, ¿cómo lo puedo relacionar?

62
00:07:47,879 --> 00:08:05,680
Con el seno, ¿verdad? ¿Qué ocurre? Que el seno de ese ángulo alfa es igual al lado opuesto, H, entre la hipotenusa C, por lo tanto yo de aquí puedo despejar muy fácil la altura como C por el seno de alfa.

63
00:08:06,480 --> 00:08:11,019
Vale, ¿para qué utilizo esto? ¿A qué yo quiero la altura de un triángulo?

64
00:08:11,439 --> 00:08:16,560
Pues para saber su área. ¿Cuál es el área de un triángulo? Este es el segundo resultado importante.

65
00:08:17,139 --> 00:08:24,980
Pues el área de un triángulo es la base por la altura entre 2, en este caso, la base, pues fíjate qué casualidad, que también la he llamado b.

66
00:08:25,279 --> 00:08:35,220
Pues base por la altura, partido por 2, y la altura que hemos dicho que es c por el seno de alfa.

67
00:08:35,220 --> 00:08:45,460
partido de dos. Por tanto, con saber únicamente un ángulo y uno de sus lados, yo puedo sacar

68
00:08:45,460 --> 00:08:53,539
prácticamente todo, bueno, el área de un triángulo. Veremos que realmente puedo sacar todo porque al

69
00:08:53,539 --> 00:08:57,860
final vas haciendo cálculos, vas aplicando los teoremas que conocemos y va saliendo todo lo de

70
00:08:57,860 --> 00:09:04,799
este triángulo. Vale, otra forma de sacar el área de un triángulo es con la fórmula de Herón. La

71
00:09:04,799 --> 00:09:13,850
fórmula de Herón. Os la escribo y os la explico ahora. La fórmula de Herón nos da el área sabiendo

72
00:09:13,850 --> 00:09:20,889
los tres lados. Si nosotros sabemos los tres lados de un triángulo, podemos calcular su área sin

73
00:09:20,889 --> 00:09:27,570
necesidad de saber la altura, ¿cómo? Aplicando la fórmula de Herón. La fórmula de Herón es área es

74
00:09:27,570 --> 00:09:33,629
igual a la raíz cuadrada de la semisuma del perímetro por, eso es lo que significa esa s,

75
00:09:33,629 --> 00:09:40,269
por esa S menos A, por esa S menos B, por esa S menos C.

76
00:09:40,470 --> 00:09:42,250
¿Y cómo calculamos esa S?

77
00:09:43,009 --> 00:09:46,769
Haciendo la semisuma del perímetro.

78
00:09:47,269 --> 00:09:51,250
Es decir, sumamos los tres lados y dividimos entre dos.

79
00:09:52,289 --> 00:10:00,029
Con esto sacamos el área de un triángulo sin necesidad de calcular la altura que acabamos de ver cómo se saca.

80
00:10:00,029 --> 00:10:08,269
Vale, lo último que os voy a contar es cómo conseguimos sacar la proyección de un segmento.

81
00:10:08,269 --> 00:10:11,409
Lo escribo y vuelvo.

82
00:10:11,409 --> 00:10:15,830
Cuando hablamos de proyección de un segmento, lo que estamos diciendo es que queremos saber

83
00:10:15,830 --> 00:10:19,509
cuánto mide su sombra, entre comillas sombra.

84
00:10:19,509 --> 00:10:26,870
La proyección es cómo baja de un segmento a otro esos dos puntos que conocemos.

85
00:10:26,870 --> 00:10:33,850
este caso, lo que acabo de dibujar como A y B en la parte de arriba, en la recta de arriba, que se

86
00:10:33,850 --> 00:10:44,509
proyecta en la de abajo. Yo conozco, conozco este segmento, este segmento, la longitud de ese segmento

87
00:10:44,509 --> 00:10:51,830
es conocido para mí y a partir de ese valor quiero saber cuánto mide este otro de aquí, ese otro de

88
00:10:51,830 --> 00:10:58,610
aquí, que es el segmento A' B'. ¿Cómo se escribía eso? No sé si os acordáis que era poniendo una

89
00:10:58,610 --> 00:11:05,809
rayita encima de los puntos. Es el segmento que va del primero al segundo. Vale, lo vamos a poner

90
00:11:05,809 --> 00:11:11,929
en función del segmento que sí conocemos, que sabe el que va desde el punto A hasta el punto B.

91
00:11:12,429 --> 00:11:19,029
Vale, fijaros, ¿qué conozco yo aquí? Pues conozco este ángulo. Pregunto, ¿este ángulo no es el mismo

92
00:11:19,029 --> 00:11:28,230
que este ángulo? Sí, ¿verdad? Vale, ¿qué me relaciona en este triángulo que se me ha creado aquí,

93
00:11:30,720 --> 00:11:41,460
que incluye ese ángulo? ¿Qué me relaciona la proyección AB, que fijaros, es la misma que esa base del triángulo

94
00:11:41,460 --> 00:12:08,399
Con el ángulo y con lo que sí conozco, AB, pues el coseno. El coseno de alfa, el coseno de este ángulo, será igual a esa proyección A', B' entre la hipotenusa, que es el lado de arriba, AB.

95
00:12:08,399 --> 00:12:27,429
Si despejamos de aquí lo que yo quiero, que es esto, ¿qué obtenemos? Pues que la proyección que yo quiero saber, A'B', es igual a lo que ya conozco, AB, por el coseno del ángulo que formamos.

96
00:12:27,429 --> 00:12:50,649
Esto os va a ser muy útil para física, de hecho seguro que lo estáis utilizando ya muchísimo, sobre todo en estos ejercicios que son de, tienes una caja que tiras sobre ella o que la quieres subir por un plano inclinado y tiras con una tensión de no sé cuánto y aparte tiene un peso de no sé cuánto y te actúa el rozamiento.

97
00:12:50,649 --> 00:13:07,169
Bueno, para esto utilizáis las proyecciones. ¿Por qué? Porque lo que queremos es saber cómo esas fuerzas se reparten entre los dos ejes que nos interesa en el plano en el que estamos.

98
00:13:07,370 --> 00:13:14,710
El eje X y el eje Y de ese plano en el que queremos calcular el equilibrio de fuerzas, que el subactuario de las fuerzas sea cero.

99
00:13:14,710 --> 00:13:18,629
Bueno, con esto hemos terminado la teoría de este tema

100
00:13:18,629 --> 00:13:27,750
Para casa, quiero que hagáis de la página 124 los ejercicios 9 y 10

101
00:13:27,750 --> 00:13:34,750
Y de la 125 los ejercicios 22 y el 23A

102
00:13:34,750 --> 00:13:36,250
Solo el apartado A

103
00:13:36,250 --> 00:13:40,830
Aplicando todas estas herramientas que hemos visto ahora

104
00:13:40,830 --> 00:13:42,509
Con esto sale

105
00:13:42,509 --> 00:13:43,750
Echadle un ojo

106
00:13:43,750 --> 00:13:45,870
Mañana más

107
00:13:45,870 --> 00:13:47,509
Hasta mañana, chao