1
00:00:02,540 --> 00:00:09,740
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a mi canal.

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00:00:10,199 --> 00:00:16,480
En este vídeo vamos a demostrar la fórmula que nos permite calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio euclidio.

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00:00:17,140 --> 00:00:21,379
Después lo aplicaremos en un ejemplo, veréis que es muy sencillo. ¡Adelante!

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00:00:21,960 --> 00:00:27,480
Pues vamos a empezar demostrando la fórmula de la distancia de un punto a una recta y aplicándola a un ejemplo.

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00:00:28,079 --> 00:00:32,039
En primer lugar, suponemos que tenemos una recta R y un punto P exterior a ella.

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00:00:32,179 --> 00:00:37,079
Para calcular la distancia entre P y R, tendremos que calcular la distancia que hay entre P y H,

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00:00:37,079 --> 00:00:42,799
siendo H la intersección de la recta R con la recta perpendicular a R, que pasa por P.

8
00:00:43,579 --> 00:00:46,700
Bueno, pues, ¿cómo calculamos esta distancia?

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00:00:46,899 --> 00:00:54,000
Supongamos que fijamos un punto A de la recta R y determinamos el vector AP, el vector que une A con nuestro punto P.

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00:00:54,520 --> 00:01:05,500
Por trigonometría, la distancia que está punteada, la distancia entre P y H, será igual a módulo de AP por el seno del ángulo que forman el vector y el vector director de la recta.

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00:01:05,959 --> 00:01:12,099
Y bueno, ahora podemos multiplicar y dividir por el módulo del vector U, del vector director de la recta.

12
00:01:12,680 --> 00:01:14,239
Y ahora nos fijamos en el numerador.

13
00:01:14,760 --> 00:01:18,099
Recordemos la fórmula que hay del módulo del producto vectorial.

14
00:01:18,680 --> 00:01:24,040
El producto vectorial de dos vectores en módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman.

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00:01:24,040 --> 00:01:32,620
Por tanto, el numerador de esa expresión coincide con el módulo del producto vectorial del vector AP con el vector O.

16
00:01:33,659 --> 00:01:37,680
Y esta es nuestra fórmula para calcular la distancia entre P y R.

17
00:01:38,400 --> 00:01:41,939
Si nos fijamos, esta fórmula es bastante lógica en realidad.

18
00:01:41,939 --> 00:01:50,659
Recordad que el producto vectorial en módulo coincide con el área del paralelogramo que forman los dos vectores.

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00:01:51,420 --> 00:01:58,599
Y recordad también que el área de un paralelogramo es base por altura, con lo que si despejamos altura será área del paralelogramo partido por base.

20
00:01:59,140 --> 00:02:02,959
Eso es precisamente lo que dice la fórmula, nuestra fórmula de la distancia de P a R.

21
00:02:03,719 --> 00:02:09,199
Vamos a aplicarla con el siguiente ejemplo. Supongamos que P es el punto , y que tenemos esa recta.

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00:02:09,199 --> 00:02:14,400
x más 1 partido por menos 2, igual a y partido por 1, igual a z más 2 partido por 2.

23
00:02:15,439 --> 00:02:23,120
Para calcular la distancia necesitamos fijar un punto, nos vale con el punto A, el punto de posición de la recta, menos 1, 0, menos 2.

24
00:02:24,020 --> 00:02:29,199
Calculamos el vector que une A con nuestro punto P, en nuestro caso sería el menos 1, 3, menos 2.

25
00:02:29,840 --> 00:02:35,139
Y ahora, ¿qué tenemos que hacer? Pues calcular el producto vectorial de AP por U.

26
00:02:35,139 --> 00:02:39,939
en nuestro caso siendo u el vector director de la recta

27
00:02:39,939 --> 00:02:42,659
en nuestro caso sería desarrollar ese determinante

28
00:02:42,659 --> 00:02:45,520
ese determinante nos da el vector 8, 6, 5

29
00:02:45,520 --> 00:02:48,520
y ahora la distancia será tan sencilla como

30
00:02:48,520 --> 00:02:51,020
calcular el módulo del vector 8, 6, 5

31
00:02:51,020 --> 00:02:53,639
y dividido por el módulo del vector director

32
00:02:53,639 --> 00:02:56,840
que es el módulo del vector menos 2, 1, 2

33
00:02:56,840 --> 00:03:01,620
total que hacemos la cuenta y nos da la distancia del punto P a la recta R

34
00:03:01,620 --> 00:03:05,360
bueno y una vez que hemos visto cómo aplicar la fórmula

35
00:03:05,360 --> 00:03:12,159
Véis que es muy sencillo. Vamos a determinar cuál es exactamente el punto de la recta que está a esa distancia del punto exterior dado.

36
00:03:12,659 --> 00:03:15,780
Este punto se llama pie de la perpendicular. Vamos a construirlo.

37
00:03:17,620 --> 00:03:24,099
Ahora vamos a ver la manera de construir el pie de la perpendicular H de una forma geométrica.

38
00:03:25,240 --> 00:03:32,060
Lo que vamos a hacer es, dado un punto P y la recta R, vamos a construir el plano perpendicular a la recta que pasa por P.

39
00:03:32,060 --> 00:03:38,960
Ahí lo tenemos. Después lo que vamos a hacer es calcular la intersección de este plano con nuestra recta R.

40
00:03:39,340 --> 00:03:47,599
Tendremos el punto H. Si quisiésemos ahora calcular la distancia, podríamos directamente calcular la distancia entre el punto P y H.

41
00:03:48,120 --> 00:03:52,840
Y esa es la distancia entre el punto y la recta. Vamos a hacerlo con el ejemplo anterior.

42
00:03:53,479 --> 00:03:56,800
Recordad que teníamos el punto , y esa recta que tenéis ahí.

43
00:03:57,479 --> 00:04:03,300
Ahora, lo que vamos a hacer es coger el vector normal del plano, que va a ser el menos 2, 1, 2.

44
00:04:03,460 --> 00:04:08,319
¿Por qué? Porque este es el vector director de la recta y la recta y el plano son perpendiculares.

45
00:04:09,340 --> 00:04:13,919
Teniendo el vector normal, que es justo los coeficientes del vector director de la recta,

46
00:04:14,699 --> 00:04:18,839
tenemos ahora el punto posición del plano, que es el punto P.

47
00:04:19,740 --> 00:04:25,879
Pues ahora, utilizando la expresión del plano que pasa por un punto y que es perpendicular a un vector,

48
00:04:25,879 --> 00:04:29,939
obtendremos esa expresión y simplificándola un poquillo

49
00:04:29,939 --> 00:04:34,000
tendremos la ecuación del plano. Bien, ya tenemos nuestro plano

50
00:04:34,000 --> 00:04:37,459
perpendicular a la recta que pasa por el punto. Ahora, ¿qué tenemos que hacer?

51
00:04:37,920 --> 00:04:41,439
Pues ahora lo que tenemos que hacer es la intersección entre el plano pi y la recta r.

52
00:04:41,759 --> 00:04:45,980
¿Cómo? Pues resolviendo ese sistema de ecuaciones. El sistema del plano

53
00:04:45,980 --> 00:04:49,680
y la recta. Como hemos visto en algún vídeo anterior del canal

54
00:04:49,680 --> 00:04:53,819
para calcular la intersección entre una recta y un plano conviene

55
00:04:53,819 --> 00:04:59,060
pasar las ecuaciones de la recta a paramétricas. Entonces lo que hacemos es considerar en lugar de

56
00:04:59,060 --> 00:05:04,720
la ecuación cartesiana las ecuaciones paramétricas de la recta. Y ahora ¿qué tenemos? Pues tenemos

57
00:05:04,720 --> 00:05:08,339
un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas donde hay un parámetro en la t.

58
00:05:09,220 --> 00:05:14,779
Entonces para resolver este sistema lo más sencillo es sustituir la x y z por sus valores

59
00:05:14,779 --> 00:05:21,240
con el parámetro en la ecuación del plano, simplificar y ya está. Tendremos el valor de t.

60
00:05:21,839 --> 00:05:29,279
Ese valor de t en nuestro caso nos ha dado un noveno, lo sustituimos, ese un noveno, en los valores de la recta.

61
00:05:30,019 --> 00:05:38,120
Sustituyendo el valor de t en x y z obtendremos los valores concretos de las coordenadas del punto h.

62
00:05:38,579 --> 00:05:43,920
Es decir, que nuestro punto h será menos 11 partido por 9, un noveno, menos 16 novenos.

63
00:05:44,019 --> 00:05:46,420
Ese es el pie de la perpendicular.

64
00:05:47,779 --> 00:05:51,120
Muy bien, ya hemos calculado la proyección del punto a la recta.

65
00:05:51,240 --> 00:05:55,920
Ahora, ¿qué tenemos que hacer si quisiésemos comprobar la distancia entre P y R?

66
00:05:56,060 --> 00:05:57,959
Bueno, pues calcular la distancia entre P y H.

67
00:05:58,420 --> 00:06:04,220
Si hacemos la distancia entre estos dos puntos, pues utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos,

68
00:06:04,879 --> 00:06:10,879
simplificando esta expresión, obtendremos precisamente que la distancia coincide con la que habíamos calculado anteriormente,

69
00:06:11,000 --> 00:06:12,480
5 raíz de 5 partido por 3.

70
00:06:13,660 --> 00:06:20,000
Y una posible aplicación de la construcción de esta piedra perpendicular es calcular el punto simétrico respecto de la recta dada

71
00:06:20,000 --> 00:06:26,800
del punto exterior a ella. Es decir, calcular un punto P' de manera que P' el punto medio sea justo

72
00:06:26,800 --> 00:06:33,220
el pie de la perpendicular en la recta. Vamos a ver cómo lo calculamos. El simétrico de un punto

73
00:06:33,220 --> 00:06:38,180
sobre una recta se calcula a partir de la proyección. ¿Qué nos están pidiendo si nos piden calcular el

74
00:06:38,180 --> 00:06:42,199
simétrico de un punto respecto a una recta? Pues lo que nos están pidiendo es que primero calculemos

75
00:06:42,199 --> 00:06:47,860
el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto P. Después tenemos que calcular la

76
00:06:47,860 --> 00:06:53,600
intersección entre este plano y la recta R. Este sería el punto proyección H. Y después lo que

77
00:06:53,600 --> 00:07:00,139
necesitamos es calcular aquí el punto P' de forma que P'P sea un segmento cuyo punto medio sea

78
00:07:00,139 --> 00:07:05,860
precisamente el punto H. Vamos a hacerlo con el ejemplo que teníamos anteriormente. El punto H,

79
00:07:05,939 --> 00:07:10,139
ya lo hemos calculado, la proyección la habíamos calculado anteriormente, es el punto menos 11

80
00:07:10,139 --> 00:07:17,160
novenos, un noveno menos 16 novenos. Imaginemos que queremos calcular el punto P'X y Z de forma

81
00:07:17,160 --> 00:07:20,740
que el punto H sea su punto medio. ¿Esto qué significa? Bueno, pues que tendremos

82
00:07:20,740 --> 00:07:24,939
estas ecuaciones. La media aritmética entre las coordenadas de P' y P

83
00:07:24,939 --> 00:07:28,699
tienen que ser justo las de H. Despejando de aquí X y Z

84
00:07:28,699 --> 00:07:33,100
obtendremos las coordenadas de nuestro punto P', así de fácil. En este caso

85
00:07:33,100 --> 00:07:36,220
menos 4 no menos, menos 25 no menos, 4 no menos.

86
00:07:36,879 --> 00:07:39,160
Este sería el punto simétrico y con eso hemos resuelto el problema.

87
00:07:40,240 --> 00:07:44,300
Bueno, y esto ha sido todo. Espero que os haya gustado. Nos vemos en próximos vídeos. ¡Hasta luego!