1 00:00:12,400 --> 00:00:18,019 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:18,019 --> 00:00:22,780 Arquitecto Pedro Gomiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,780 --> 00:00:34,619 de la unidad AN1 dedicada a los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos los límites 4 00:00:34,619 --> 00:00:37,960 infinitos y resolveremos el ejercicio propuesto 3. 5 00:00:40,700 --> 00:00:51,399 En esta videoclase vamos a estudiar un tipo de límites que son muy importantes, los límites 6 00:00:51,399 --> 00:00:54,340 infinitos. En las videoclases anteriores 7 00:00:54,340 --> 00:00:56,259 estudiamos límites laterales, cuando x 8 00:00:56,259 --> 00:00:57,799 tiende a un valor concreto x0 por 9 00:00:57,799 --> 00:01:00,119 izquierda y por la derecha, y límites en 10 00:01:00,119 --> 00:01:03,299 un punto. En esencia, el límite cuando x 11 00:01:03,299 --> 00:01:05,159 tiende a un valor x0 y lo que hacíamos 12 00:01:05,159 --> 00:01:07,780 era estudiar los límites laterales y 13 00:01:07,780 --> 00:01:09,379 comprobar si ambos existían y 14 00:01:09,379 --> 00:01:12,099 coincidían. Bien, en aquel caso, en 15 00:01:12,099 --> 00:01:13,959 aquellos casos, lo que teníamos eran 16 00:01:13,959 --> 00:01:16,620 límites que eran iguales a el valor 17 00:01:16,620 --> 00:01:19,200 igual a 2, igual a menos 3, valores 18 00:01:19,200 --> 00:01:24,180 límites finitos. Y en este caso, límites infinitos, lo que nos vamos a encontrar es 19 00:01:24,180 --> 00:01:30,060 que, tanto en el caso de los límites laterales, aquí en esta diapositiva se discute límite 20 00:01:30,060 --> 00:01:34,920 lateral cuando x tiende a x0 por la izquierda. Más adelante podréis consultar esta otra 21 00:01:34,920 --> 00:01:39,540 diapositiva, límite cuando x tiende a x0 por la derecha. Incluso más adelante veremos 22 00:01:39,540 --> 00:01:43,780 qué es lo que ocurre cuando x tiende a un cierto valor x0 directamente, límite en un 23 00:01:43,780 --> 00:01:48,400 punto. Pues bien, en este caso lo que vamos a hacer es estudiar esos límites laterales 24 00:01:48,400 --> 00:01:54,859 y lo que haremos es, ¿qué es lo que ocurre cuando las imágenes, cuando vamos siguiendo las imágenes de la función, 25 00:01:55,379 --> 00:01:58,879 ya no se aproximan a un valor finito, sino que vemos que aumentan arbitrariamente? 26 00:01:59,420 --> 00:02:05,319 En ese caso diremos que la función diverge hacia más infinito, o bien decrecen arbitrariamente. 27 00:02:05,319 --> 00:02:08,979 En ese caso diremos que la función diverge hacia menos infinito. 28 00:02:10,020 --> 00:02:16,419 Aquí tenemos en esta diapositiva la descripción textual, la representación simbólica y la definición matemática 29 00:02:16,419 --> 00:02:20,939 de qué es lo que ocurre cuando x tiende a un valor x0 por la izquierda 30 00:02:20,939 --> 00:02:24,680 y nos encontramos con que la función diverge hacia más o hacia menos infinito, 31 00:02:24,819 --> 00:02:26,740 crece o decrece arbitrariamente. 32 00:02:26,960 --> 00:02:30,020 En la siguiente, exactamente lo mismo, 33 00:02:30,379 --> 00:02:33,580 pero en el caso del límite lateral cuando x tiende a x0 por la derecha. 34 00:02:33,960 --> 00:02:34,699 ¿En qué condiciones? 35 00:02:34,979 --> 00:02:38,020 La función diverge hacia más infinito, crece arbitrariamente, 36 00:02:38,020 --> 00:02:41,479 o bien diverge hacia menos infinito, decrece arbitrariamente. 37 00:02:42,080 --> 00:02:44,900 Nosotros lo que vamos a hacer, igual que ocurrió en las videoclases anteriores, 38 00:02:44,900 --> 00:02:47,759 es estudiar estas situaciones utilizando ejemplos. 39 00:02:47,860 --> 00:02:51,039 Y para ello lo que vamos a hacer es estudiar este ejercicio número 3, 40 00:02:51,620 --> 00:02:54,479 en donde tenemos las representaciones gráficas de una función 41 00:02:54,479 --> 00:02:58,400 y igual a f de x, aquí a la izquierda, e igual a g de x, aquí a la derecha. 42 00:02:58,819 --> 00:03:01,520 Y se nos pide determinar los límites laterales 43 00:03:01,520 --> 00:03:05,879 cuando x tiende a menos 2 por la izquierda y por la derecha en la función f de x, 44 00:03:06,479 --> 00:03:10,219 cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha en la función f de x, 45 00:03:10,219 --> 00:03:15,080 y también cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha en esta función g de x. 46 00:03:17,719 --> 00:03:23,800 En el caso de la función f de x, cuando estudiamos los límites laterales cuando x tiende a menos 2 por la izquierda y por la derecha, 47 00:03:24,740 --> 00:03:30,099 nos situamos en el menos 2, nos movimos un pelín hacia la izquierda y vamos siguiendo las imágenes de la función 48 00:03:30,099 --> 00:03:32,819 conforme nos aproximamos al menos 2 por la izquierda. 49 00:03:32,900 --> 00:03:37,819 Y vemos como las imágenes tienden a crecer arbitrariamente. De hecho, la función se nos escaparía hacia arriba. 50 00:03:38,520 --> 00:03:46,120 En este caso la función diverge hacia más infinito y lo que escribimos es límite cuando x tenda menos 2 por la izquierda de f de x es igual a más infinito. 51 00:03:46,680 --> 00:03:54,439 Si nos situamos a la derecha del menos 2 y nos aproximamos siguiendo las imágenes de la función al valor x igual a menos 2 por la derecha, 52 00:03:55,000 --> 00:03:59,259 vemos como la función toma valores cada vez más pequeños, de hecho se nos escaparía hacia abajo. 53 00:03:59,259 --> 00:04:08,400 En este caso la función diverge hacia menos infinito y lo representamos. Límite cuando x tiende a menos 2 por la derecha de f de x es igual a menos infinito. 54 00:04:09,360 --> 00:04:14,580 De forma análoga, límite cuando x tiende a 1 de la función f de x por la izquierda y por la derecha. 55 00:04:15,340 --> 00:04:24,800 Por la izquierda vemos como las imágenes de la función conforme nos aproximamos a 1 toman valores cada vez más pequeños, así que la función diverge hacia menos infinito. 56 00:04:24,800 --> 00:04:30,060 aquí está representado, límite de f de x cuando x tiende a 1 por la izquierda es igual a menos 57 00:04:30,060 --> 00:04:34,500 infinito, mientras que por la derecha, vamos siguiendo las imágenes de la función, vemos 58 00:04:34,500 --> 00:04:39,759 cómo crecen arbitrariamente, diverge hacia más infinito, escribimos límite cuando x tiende a 1 59 00:04:39,759 --> 00:04:46,160 por la derecha de la función f de x es igual a más infinito. En el caso de la función g de x 60 00:04:46,160 --> 00:04:50,420 tenemos que estudiar los límites laterales cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha. 61 00:04:50,420 --> 00:04:58,319 Seguimos las imágenes de la función desde un pelín por la izquierda del 1 aproximándonos al 1 por la izquierda 62 00:04:58,319 --> 00:05:03,800 y vemos como las imágenes toman cada vez valores más grandes, la función diverge hacia más infinito 63 00:05:03,800 --> 00:05:09,360 Igualmente cuando hacemos lo mismo pero por la derecha, nos ponemos a la derecha del 1 64 00:05:09,360 --> 00:05:14,139 vamos siguiendo las imágenes de la función y vemos como tienden a crecer arbitrariamente 65 00:05:14,139 --> 00:05:16,120 la función también diverge hacia más infinito 66 00:05:16,120 --> 00:05:20,100 En este caso en ambos límites laterales escribiremos lo mismo 67 00:05:20,759 --> 00:05:28,980 Límite cuando x tiende a 1 de g de x por la izquierda y límite cuando x tiende a 1 por la derecha en g de x es igual a más infinito. 68 00:05:31,579 --> 00:05:37,540 Algo de especial relevancia en lo que respecta a los límites infinitos es lo que podéis leer aquí al final de esta sección. 69 00:05:38,120 --> 00:05:45,920 En el caso en el que ambos límites laterales sean infinitos, bien más infinito, bien menos infinito, 70 00:05:45,920 --> 00:05:52,420 se puede representar de forma abreviada límite cuando x tendrá x cero de la función igual a infinito. 71 00:05:53,339 --> 00:05:55,980 Fijaos en que esto no es en sentido estricto. 72 00:05:56,379 --> 00:06:03,040 El límite de la función en un punto es una forma de indicar que ambos límites laterales son infinitos. 73 00:06:03,040 --> 00:06:09,879 Y aquí, esto es importante y debo hacer hincapié, la ausencia de signo lo que indica es que ambos límites son infinitos. 74 00:06:10,339 --> 00:06:14,379 Puede ser que ambos sean más infinito, puede ser que ambos sean menos infinitos, 75 00:06:14,379 --> 00:06:19,600 pueden ser que uno sea más infinito, el otro menos infinito, indistintamente por la derecha o por la izquierda. 76 00:06:20,139 --> 00:06:24,220 La idea es, cuando leamos límite cuando x tendrá x cero de la función igual a infinito, 77 00:06:24,699 --> 00:06:27,279 ambos límites laterales son infinitos. 78 00:06:28,240 --> 00:06:30,899 ¿Cuál es más? ¿Cuál es menos? ¿Ambos son más? ¿Ambos son menos? 79 00:06:31,079 --> 00:06:33,120 No lo sabemos y no es relevante. 80 00:06:33,519 --> 00:06:37,540 Cuando leemos esto, cuando escribimos esto, es importante que ambos sean infinitos, 81 00:06:37,540 --> 00:06:40,459 pero no es importante si son más o son menos infinitos. 82 00:06:41,220 --> 00:06:49,220 En el caso concreto en el que ambos límites laterales tengan el mismo signo, ambos sean más infinito o bien ambos sean menos infinito, 83 00:06:49,779 --> 00:06:53,120 podemos permitirnos dar esa información y representarlo de esta manera. 84 00:06:53,819 --> 00:06:58,800 Límite cuando x tende a x cero de f de x es igual a más infinito o bien es menos infinito. 85 00:06:59,240 --> 00:07:02,879 Insisto en que esto no es el concepto de límite de una función en un punto. 86 00:07:02,879 --> 00:07:12,339 Es una forma de representar que ambos límites laterales son infinitos y ambos son más infinito o bien ambos son menos infinito. 87 00:07:13,100 --> 00:07:17,459 Podemos ver esto mismo representado en el ejemplo que estábamos discutiendo hace un momento. 88 00:07:20,180 --> 00:07:29,399 En el caso del límite de f de x cuando x tendría menos 2, por la izquierda la función diverge a más infinito, por la derecha la función diverge a menos infinito. 89 00:07:29,399 --> 00:07:38,240 Ambos límites laterales son infinitos y sin importarnos el signo podríamos escribir límite cuando x tiende a menos 2 de f de x es igual a infinito. 90 00:07:38,839 --> 00:07:58,120 Insisto en que esto no es la definición o no guarda relación con el límite de una función en un punto y el que no haya signos, el que tengamos escrito infinito a secas, lo que indica es que en el momento en el que estamos escribiendo esto, lo relevante es que ambos límites laterales son infinitos y no tiene importancia. 91 00:07:58,120 --> 00:08:02,100 si uno es más, el otro es menos, ambos más o ambos menos infinito. 92 00:08:02,420 --> 00:08:05,019 Es posible incluso que no lo sepamos, pero que no sea relevante 93 00:08:05,019 --> 00:08:09,120 y entonces esta información sea suficiente y esta sea la forma de representarlo. 94 00:08:10,100 --> 00:08:14,279 Igualmente, sin más discusión, límite de f de x cuando x tiende a 1 95 00:08:14,279 --> 00:08:17,759 por la izquierda es menos infinito, por la derecha es más infinito, 96 00:08:18,240 --> 00:08:22,420 podríamos representar límite de f de x cuando x tiende a 1 igual a infinito. 97 00:08:23,019 --> 00:08:27,000 En el caso del límite cuando x tiende a 1 en la función g de x, 98 00:08:27,000 --> 00:08:36,659 ambos límites laterales eran más infinitos. Haciendo los límites por ambos lados, por izquierda y por la derecha, la función divergía hacia más infinito. 99 00:08:36,860 --> 00:08:47,679 En ese caso podríamos escribir igual que antes, límite de g de x cuando x tende a 1 es igual a infinito, indicando que el hecho de que es infinito en ambos límites laterales, 100 00:08:48,340 --> 00:08:54,740 sin que sea relevante a esto o porque no lo sepamos, que ambos son más o menos o uno es más y otro es menos infinito, 101 00:08:54,740 --> 00:09:02,379 pero si tenemos la información de los signos y queremos hacer hincapié en ella, en ambos casos los límites son más infinito, 102 00:09:02,500 --> 00:09:07,019 en ambos límites laterales la función diverge hacia más infinito, podríamos indicarlo así. 103 00:09:07,580 --> 00:09:10,860 Límite cuando x tiende a 1 de g de x es igual a más infinito. 104 00:09:11,159 --> 00:09:17,879 Insisto en que aquí no estamos con el concepto de límite de la función en un punto que teníamos en la videoclase anterior. 105 00:09:20,940 --> 00:09:26,480 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 106 00:09:27,220 --> 00:09:31,360 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 107 00:09:32,159 --> 00:09:36,919 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 108 00:09:37,480 --> 00:09:38,879 Un saludo y hasta pronto.