1 00:00:01,100 --> 00:00:08,400 Buenos días, soy Miriam de Lucas y en este trabajo voy a realizar un estudio completo y detallado de la función trigonométrica coseno. 2 00:00:08,820 --> 00:00:15,880 A lo largo de esta exposición voy a explicar qué es el coseno, cómo se define matemáticamente, cómo se representa en el círculo trigonométrico, 3 00:00:16,460 --> 00:00:26,300 cuáles son sus principales características como función, su dominio, su recorrido, su gráfica, sus máximos y mínimos, su periodicidad y sus aplicaciones en la vida real. 4 00:00:26,300 --> 00:00:39,100 El objetivo principal de este trabajo es demostrar que el coseno no es simplemente una fórmula que memorizamos en clase, sino una herramienta matemática fundamental que nos ayuda a describir muchos fenómenos naturales que se repiten de forma regular. 5 00:00:39,979 --> 00:00:48,960 La exposición seguirá el siguiente orden lógico. Primero haré una introducción general sobre las funciones trigonométricas, después explicaré la definición del coseno en el triángulo rectángulo, 6 00:00:48,960 --> 00:01:05,599 A continuación lo ampliaré utilizando un círculo trigonométrico, analizaré su expresión analítica y su representación gráfica, más tarde estudiaré sus características principales y después explicaré las transformaciones de la función y finalmente hablaré de sus aplicaciones reales y haré una conclusión final. 7 00:01:06,719 --> 00:01:12,760 La introducción. La función coseno pertenece al grupo de las funciones trigonométricas, junto con el seno y la tangente. 8 00:01:13,280 --> 00:01:18,379 Estas funciones surgieron originalmente para resolver problemas relacionados con triángulos, 9 00:01:18,920 --> 00:01:23,719 pero con el tiempo se descubrió que también sirven para describir fenómenos periódicos. 10 00:01:24,359 --> 00:01:29,120 Un fenómeno periódico es aquel que se repite de manera regular en el tiempo, 11 00:01:29,120 --> 00:01:34,579 por ejemplo, el movimiento de un péndulo, las olas del mar, la vibración de una cuerda de guitarra, 12 00:01:34,739 --> 00:01:36,120 la corriente eléctrica alterna... 13 00:01:36,700 --> 00:01:40,879 Todos estos movimientos tienen algo en común, suben y bajan de forma repetitiva. 14 00:01:40,879 --> 00:01:45,900 Esa forma repetitiva puede escribirse matemáticamente mediante fusiones como el coseno. 15 00:01:46,340 --> 00:01:50,260 Por eso esta función tiene una gran importancia en matemáticas física e ingeniería. 16 00:01:51,079 --> 00:01:54,799 La definición del coseno en el triángulo rectángulo y en general. 17 00:01:55,280 --> 00:02:02,340 En un triángulo rectángulo el coseno de un ángulo agudo se define como el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 18 00:02:02,799 --> 00:02:06,879 Es decir, coseno de alfa es igual a cateto adyacente dividido entre hipotenusa. 19 00:02:06,879 --> 00:02:11,680 hipotenusa. Esto significa que el coseno expresa una proporción entre dos lados del 20 00:02:11,680 --> 00:02:17,479 triángulo. Si el ángulo cambia, la proporción también cambia. Sin embargo, esta definición 21 00:02:17,479 --> 00:02:23,560 tiene una limitación importante. Solo funciona para ángulos entre 0 y 90 grados. Para poder 22 00:02:23,560 --> 00:02:27,780 estudiar el coseno como una función completa definida para cualquier número real, necesitamos 23 00:02:27,780 --> 00:02:33,620 una definición más general. El coseno en el círculo trigonométrico. Para ampliar 24 00:02:33,620 --> 00:02:38,819 la definición utilizamos el círculo trigonométrico. El círculo trigonométrico es una circunferencia 25 00:02:38,819 --> 00:02:43,659 de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Cuando representamos un ángulo en posición 26 00:02:43,659 --> 00:02:48,259 estándar, el punto donde el lado final del ángulo corta la circunferencia tiene coordenadas 27 00:02:48,259 --> 00:02:53,840 coseno de x y seno de x. Eso significa que el coseno de un ángulo es la coordenada x 28 00:02:53,840 --> 00:02:59,860 de ese punto. Gracias a esta definición podemos calcular el coseno no solo de ángulos pequeños, 29 00:02:59,860 --> 00:03:04,919 sino de cualquier número real, incluyendo ángulos mayores que 360 grados o incluso 30 00:03:04,919 --> 00:03:09,460 negativos. Esta es la definición que utilizamos cuando hablamos de la función coseno como 31 00:03:09,460 --> 00:03:16,180 función matemática. La expresión analítica. La función se empresa como f de x igual a 32 00:03:16,180 --> 00:03:21,539 coseno de x. Es una función continua, lo que significa que no tiene saltos ni interrupciones 33 00:03:21,539 --> 00:03:28,300 en su gráfica. Además, es una función periódica, es decir, repite su comportamiento a intervalos 34 00:03:28,300 --> 00:03:34,460 regulares. Esta periodicidad es una de sus características más importantes. El dominio 35 00:03:34,460 --> 00:03:39,939 y el recorrido. El dominio de la función coseno es todo el conjunto de los números reales. Podemos 36 00:03:39,939 --> 00:03:45,259 calcular el coseno de cualquier número sin ninguna restricción. Sin embargo, su recorrido está 37 00:03:45,259 --> 00:03:52,280 limitado entre menos 1 y 1. Esto ocurre porque el coseno representa la coordenada x en una 38 00:03:52,280 --> 00:03:59,360 circunferencia de radio 1 y esa coordenada nunca puede ser mayor que 1 ni menor que menos 1. Por 39 00:03:59,360 --> 00:04:05,680 eso decimos que es una función acotada. La representación gráfica. La gráfica de la 40 00:04:05,680 --> 00:04:11,439 función coseno tiene forma de onda suave y regular. Comienza en el punto 0, 1. Desciende 41 00:04:11,439 --> 00:04:16,920 progresivamente hasta alcanzar el valor menos 1 cuando x es igual a pi. Después vuelve a subir 42 00:04:16,920 --> 00:04:23,779 hasta alcanzar el valor 1 cuando x es igual a 2pi. Un comportamiento como este se repite 43 00:04:23,779 --> 00:04:29,899 indefinitivamente cada dos piunidades. La forma ondulatoria refleja perfectamente su 44 00:04:29,899 --> 00:04:35,699 carácter periódico. Los cortes con los ejes. La función corta el eje y en el punto 0, 45 00:04:35,879 --> 00:04:41,759 1, ya que coseno de 0 es 1. Corta el eje x cuando el coseno es igual a 0. Esto ocurre 46 00:04:41,759 --> 00:04:48,199 en pi medios más múltiplos de pi. Debido a su periodicidad, estos cortes se repiten infinitamente 47 00:04:48,199 --> 00:04:54,399 hacia la derecha y hacia la izquierda. Máximos y mínimos. El valor máximo absoluto de la función 48 00:04:54,399 --> 00:05:03,180 es 1. Se alcanzan en los puntos 2kpi. El valor mínimo es 1. Se alcanzan en pi más 2. Estos 49 00:05:03,180 --> 00:05:08,759 valores extremos se repiten cada dos pi unidades, lo que vuelve a mostrar su comportamiento periódico. 50 00:05:08,759 --> 00:05:11,300 La periodicidad y simetría 51 00:05:11,300 --> 00:05:14,560 El periodo fundamental de la función es 2pi 52 00:05:14,560 --> 00:05:19,500 Esto significa que coseno de x más 2pi es igual a coseno de x 53 00:05:19,500 --> 00:05:24,540 Además es una función par porque coseno de menos x es igual a coseno de x 54 00:05:24,540 --> 00:05:32,259 Eso implica que su gráfica es simétrica respecto al eje y la simetría facilita mucho su estudio y representación 55 00:05:32,259 --> 00:05:35,420 La concavidad y asíntotas 56 00:05:35,420 --> 00:05:49,620 La función cambia de concavidad en pi medios más múltiplos de pi. En estos puntos se encuentran los puntos de inflexión. En cuanto a las asíntotas, la función coseno no tiene ninguna. Esto se debe a que es periódica y está cotada, por lo que nunca tiende a infinito. 57 00:05:49,620 --> 00:05:53,600 Las transformaciones y aplicaciones 58 00:05:53,600 --> 00:05:57,199 La forma general de la función es A coseno de BX más CD 59 00:05:57,199 --> 00:06:01,899 El valor A modifica la amplitud, es decir, cuánto se estira o comprime verticalmente 60 00:06:01,899 --> 00:06:03,800 El valor B modifica el periodo 61 00:06:03,800 --> 00:06:06,579 El valor C desplaza la gráfica horizontalmente 62 00:06:06,579 --> 00:06:09,480 El valor D desplaza la gráfica verticalmente 63 00:06:09,480 --> 00:06:13,319 Estas transformaciones permiten adaptar la función a modelos reales concretos 64 00:06:13,319 --> 00:06:18,019 Sobre las aplicaciones puedo contarte que el coseno tiene múltiples aplicaciones reales 65 00:06:18,019 --> 00:06:23,180 en física describe el movimiento armónico simple como el de un péndulo, en electricidad se utiliza 66 00:06:23,180 --> 00:06:28,279 para modelizar la corriente alterna, en acústica representa ondas sonoras, también puede utilizarse 67 00:06:28,279 --> 00:06:32,819 para aproximar la variación de horas de luz solar a lo largo del año, esto demuestra que el coseno 68 00:06:32,819 --> 00:06:39,540 no es sólo un concepto teórico sino una herramienta práctica. La conclusión, en conclusión es que la 69 00:06:39,540 --> 00:06:44,620 función del coseno no es una función, es una función periódica continua y acotada que permite 70 00:06:44,620 --> 00:06:50,339 escribir fenómenos que se repiten de forma regular. Su estudio combina geometría, álgebra y análisis 71 00:06:50,339 --> 00:06:55,639 matemático. Además, tiene aplicaciones directas en muchas áreas científicas. Por todo ello, podemos 72 00:06:55,639 --> 00:07:01,399 afirmar que el coseno es una de las funciones más importantes dentro de las matemáticas. Muchas 73 00:07:01,399 --> 00:07:08,339 gracias por... bueno, aquí tienes la bibliografía, que no la voy a explicar, son las webs de donde he sacado 74 00:07:08,339 --> 00:07:12,680 la información para mi presentación. Y bueno, esto ha sido el final. Muchas gracias por vuestra 75 00:07:12,680 --> 00:07:15,120 atención y espero que os haya gustado.